2026年中考数学终极冲刺10：解直角三角形的实际应用专项（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“解直角三角形的实际应用”专题，覆盖仰角俯角、方位角、坡度坡比及综合类四大中考核心考点，按“考情分析-核心知识梳理-典例变式讲解-中考真题训练”流程设计，帮助学生系统构建解题模型，突破辅助线构造等难点。 亮点在于以“数学眼光”构建实景模型，如通过仰角俯角测量问题训练学生几何直观与空间观念，用“双直角三角形拆解法”培养数学思维中的推理能力。设置“典例-变式-中考真题”三级训练，配合5分钟解题规范限时练，确保学生高效掌握6-10分必考题型，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺10 解直角三角形的实际应用 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 解直角三角形实际应用是中考必考题型，分值一般 6-10 分，常以解答题形式考查，部分地区也会出选择填空题。题型紧密贴合生活场景，考查坡度坡角、仰角俯角、方位角、测量高度距离等问题。考题依托直角三角形边角关系、三角函数定义、勾股定理解题，常需作辅助线构造直角三角形求解。命题难度中等，解题套路固定，侧重考查识图建模、边角换算能力。多结合双直角三角形组合图形出题，是稳拿分题型，熟练公式与辅助线作法即可高效解题。 2、核心考查内容： 仰角俯角测量类、方位角航行类、坡度坡比堤坝类、综合类。 （1）仰角俯角测量类：理解仰角、俯角定义，过观测点作水平线构造直角三角形。 利用三角函数建立边角关系，求解物体高度、水平距离。 （2）方位角航行类：明确方位角表示规则，结合题意画出方位示意图。 拆分图形为直角三角形，计算航行路程、速度与角度。 （3）坡度坡比堤坝类：掌握坡度、坡角、坡比的换算关系，牢记坡比 = 垂直高度：水平宽度。 结合堤坝截面构造直角三角形，求坡面长、高度、宽度。 （4）综合类：图形由多个直角三角形组合而成，需分步拆解分析。 灵活添加辅助线，综合运用三角函数、勾股定理列式计算。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】仰角俯角测量类 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 【典例1】（2026·湖北恩施·模拟预测）为测量物体的高度，数学兴趣小组开展了如下活动： [制作仪器]把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点或最低点． [测量高度]小丽同学用此测角仪测量她家对面楼房的高度，她站在自家阳台上的A点，看对面一栋楼顶部C的仰角为，看这栋楼底部B的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点A作于点E，根据在中，，在中，，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： 则，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼的高度为． 【变式1】（2026·安徽淮北·模拟预测）在一次海上反潜演习中，我军舰测得潜艇和的连线与海平面的夹角为，位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇和连线与水平线的夹角为，试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】潜艇离开海平面的下潜深度为 【分析】如图：过点作交的延长线于，则，，在和中解直角三角形可得、，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于，则，， 设， 在中，，由， ∴， 在中，，由， ∴； ∴， 解得：， ∴潜艇离开海平面的下潜深度为． 【题型二】方位角航行类 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． 【典例2】（2026·山东东营·二模）我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形与等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ， 由题意知：， 在中，， 在中，， ∴， ． 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）郑州奥林匹克体育中心（简称郑州奥体中心）位于郑州市中原区，是河南省投资最高、体量最大、功能最全的大型综合体育场馆．有一天小高在中原西路的A点测得奥体中心（点O）在他的南偏东方向，然后他沿中原西路自西向东步行200步后到B点，他在B点测得奥体中心在他的南偏西方向．小高用卷尺量得他走10步的长度为8.5米，请你计算奥体中心距离中原西路大约有多远．（结果精确到整数．参考数据：，，） 【答案】70米 【分析】利用方向角求出的两个内角，作构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质和正切函数建立方程求解． 【详解】解：作于点， 设米， 由题意，（米）， 在点测得奥体中心在南偏东方向， ， 在点测得奥体中心在南偏西方向， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 答：奥体中心距离中原西路大约有70米远 【题型三】坡度坡比堤坝类 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【典例3】（2026·江西上饶·模拟预测）图1为“南昌之星”摩天轮，是南昌地标之一．图2为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，为垂直地面的直径．小明在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角．他沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面点处，再沿水平地面向左行走60米抵达摩天轮最低点的正下方点处．已知米． (1)求观景台到地面的垂直高度； (2)求摩天轮的直径． （参考数据：，结果精确到1米．） 【答案】(1)观景台到地面的垂直高度为10米 (2)摩天轮的直径为160米 【分析】（1）过A作于H，则，根据坡比是，得出，即可求解； （2）过A作于D，则四边形是矩形，解直角三角形求出，从而得，在中，解直角三角形求出，，即可解答． 【详解】（1）解：过A作于H，则， 的坡比是， ， 设， ∴， ∴， （米）， 答：观景台高度为10米； （2）解：过A作于D， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， （米）， 答：摩天轮直径为160米． 【变式3】（2026·河南商丘·一模）为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶．如图，这是某小区地下停车库入口的设计示意图，延长，与交于点E，坡道的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比) ，已知米，米． (1)请求出的长． (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志．根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值，即点 D 到的距离． (3)为保障安全，车辆顶部到车库顶部至少保留米的安全距离．现有一辆装满家具的小型货车，车装满家具后的高度为2米，通过计算判断这辆货车 (填“能”或“不能”)驶入该车库． 【答案】(1)米 (2)该车库入口的限高数值为米 (3)能 【分析】（1）根据，得出，即，根据米，求出即可； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可； （3）根据（2）中结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米； （3）解：∵， 这辆货车能驶入该车库． 【题型四】综合类 1.解直角三角形+相似：三角比表示边长，再走相似比例。 2.解直角三角形+圆：切线 / 直径出直角，直接解 Rt△。 3.解直角三角形+函数：坐标系构直角，用三角比求坐标与最值 【典例4】（2026·江苏宿迁·一模）王老师安排了一次测量旗杆高度的数学综合实践活动（旗杆垂直于地面）．将班级同学分成两个小组分别进行测量，两个小组测量方案和测量所得数据如下表． 课   题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪、卷尺等 测量小组 第一组 第二组 测量方案示意图   （B、C是地面上的两点，且四边形为矩形）   （是地面上的三点，且在同一条直线上） 测量所得数据 米， 米， (1)请对两个小组的测量方案进行论证，你认为哪一种方案可行？ (2)用你认为的可行方案所得的测量数据，计算旗杆的高度．（结果保留整数） （参考数据：) 【答案】(1)第二种方案可行 (2)62米 【分析】（1）第一小组：利用三角函数，得出，进而可确定无法求出；第二小组：设米，利用锐角三角函数，，根据，列方程，代入函数值解方程即可； （2）由（1）即可得． 【详解】（1）解：第一组：在中，， ， ， 未测量， 无法求出； 第二组：设米， ， ， ， 解得， 第二种方案可行； （2）解：由（1）可得，旗杆的高度为62米． 【变式4】（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解． 【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，， ， ． 在中， ， ∵， ． ∴米． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（2025·宁夏·中考真题）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到． 【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米， 因此，要求只需先求． 设，． 在中，， 则． 在中，， 则． 所以． 又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同， 所以， 若已知的长，设，则，代入可解得， 进而求得，最终得到． 综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到． 选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解： 选项缺少，无法联立方程组： 选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到； 选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到． 故选：D 3．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 4．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 5．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 6．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于，过点作于，   在中，， 在中，， 点到桌面的最大高度， 故选：D． 8．（2023·江苏南通·中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ． 故则这栋楼的高度为． 故选：B．    9．（2019·山东泰安·中考真题）如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（     ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得，;根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB= ，    所以可得 因此可得 故选B. 10．（2016·山东德州·中考真题）在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM  = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论： ①AM ＝CN  ②∠AME ＝∠BNE    ③BN－AM ＝2    ④ . 上述结论中正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题解析：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN． ∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2 ∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图， 由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN ∵tanα=，∴AM=AEtanα ∵cosα==，∴ ，∴=1+=1+=1+，∴=2（1+） ∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN =（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM =（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN =（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM） =AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM） =AE+AM﹣AE×AM+ =AE+AEtanα﹣tanα+ =2+2tanα﹣2tanα+2 =2（1+） =，∴④正确． 故选C． 11．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 12．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 14．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2019·浙江温州·中考真题）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】 4 【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∴∠COP＝∠COD＝30°， ∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米）， ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝OA＝5（分米）， ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋5． ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）， ∴BE＝10−2−2＝（8−2）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝＝2， ∴B′E′＝10−（2−2）＝12−2， ∴B′E′−BE＝4． 故答案为5＋5，4． 16．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 17．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 18．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 19．（2019·上海·中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米． (1)求点到的距离； (2)求、两点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理． （1）过点作，交于点，交于点，利用旋转的性质可得出厘米，，利用矩形的性质可得出，在中，通过解直角三角形可求出的长，结合及可求出点到的距离； （2）连接，，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点，交于点， 由题意得厘米，， 四边形是矩形， ， ， 在中，厘米， 厘米，厘米， 厘米， 厘米， 答：点到的距离为厘米； （2）如图，连接，，， 由题意得，， 是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米， 答：、两点的距离是厘米． 20．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺10 解直角三角形的实际应用 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 解直角三角形实际应用是中考必考题型，分值一般 6-10 分，常以解答题形式考查，部分地区也会出选择填空题。题型紧密贴合生活场景，考查坡度坡角、仰角俯角、方位角、测量高度距离等问题。考题依托直角三角形边角关系、三角函数定义、勾股定理解题，常需作辅助线构造直角三角形求解。命题难度中等，解题套路固定，侧重考查识图建模、边角换算能力。多结合双直角三角形组合图形出题，是稳拿分题型，熟练公式与辅助线作法即可高效解题。 2、核心考查内容： 仰角俯角测量类、方位角航行类、坡度坡比堤坝类、综合类。 （1）仰角俯角测量类：理解仰角、俯角定义，过观测点作水平线构造直角三角形。 利用三角函数建立边角关系，求解物体高度、水平距离。 （2）方位角航行类：明确方位角表示规则，结合题意画出方位示意图。 拆分图形为直角三角形，计算航行路程、速度与角度。 （3）坡度坡比堤坝类：掌握坡度、坡角、坡比的换算关系，牢记坡比 = 垂直高度：水平宽度。 结合堤坝截面构造直角三角形，求坡面长、高度、宽度。 （4）综合类：图形由多个直角三角形组合而成，需分步拆解分析。 灵活添加辅助线，综合运用三角函数、勾股定理列式计算。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】仰角俯角测量类 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 【典例1】（2026·湖北恩施·模拟预测）为测量物体的高度，数学兴趣小组开展了如下活动： [制作仪器]把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点或最低点． [测量高度]小丽同学用此测角仪测量她家对面楼房的高度，她站在自家阳台上的A点，看对面一栋楼顶部C的仰角为，看这栋楼底部B的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【变式1】（2026·安徽淮北·模拟预测）在一次海上反潜演习中，我军舰测得潜艇和的连线与海平面的夹角为，位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇和连线与水平线的夹角为，试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【题型二】方位角航行类 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． 【典例2】（2026·山东东营·二模）我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）郑州奥林匹克体育中心（简称郑州奥体中心）位于郑州市中原区，是河南省投资最高、体量最大、功能最全的大型综合体育场馆．有一天小高在中原西路的A点测得奥体中心（点O）在他的南偏东方向，然后他沿中原西路自西向东步行200步后到B点，他在B点测得奥体中心在他的南偏西方向．小高用卷尺量得他走10步的长度为8.5米，请你计算奥体中心距离中原西路大约有多远．（结果精确到整数．参考数据：，，） 【题型三】坡度坡比堤坝类 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【典例3】（2026·江西上饶·模拟预测）图1为“南昌之星”摩天轮，是南昌地标之一．图2为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，为垂直地面的直径．小明在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角．他沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面点处，再沿水平地面向左行走60米抵达摩天轮最低点的正下方点处．已知米． (1)求观景台到地面的垂直高度； (2)求摩天轮的直径． （参考数据：，结果精确到1米．） 【变式3】（2026·河南商丘·一模）为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶．如图，这是某小区地下停车库入口的设计示意图，延长，与交于点E，坡道的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比) ，已知米，米． (1)请求出的长． (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志．根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值，即点 D 到的距离． (3)为保障安全，车辆顶部到车库顶部至少保留米的安全距离．现有一辆装满家具的小型货车，车装满家具后的高度为2米，通过计算判断这辆货车 (填“能”或“不能”)驶入该车库． 【题型四】综合类 1.解直角三角形+相似：三角比表示边长，再走相似比例。 2.解直角三角形+圆：切线 / 直径出直角，直接解 Rt△。 3.解直角三角形+函数：坐标系构直角，用三角比求坐标与最值 【典例4】（2026·江苏宿迁·一模）王老师安排了一次测量旗杆高度的数学综合实践活动（旗杆垂直于地面）．将班级同学分成两个小组分别进行测量，两个小组测量方案和测量所得数据如下表． 课   题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪、卷尺等 测量小组 第一组 第二组 测量方案示意图   （B、C是地面上的两点，且四边形为矩形）   （是地面上的三点，且在同一条直线上） 测量所得数据 米， 米， (1)请对两个小组的测量方案进行论证，你认为哪一种方案可行？ (2)用你认为的可行方案所得的测量数据，计算旗杆的高度．（结果保留整数） （参考数据：) 【变式4】（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·宁夏·中考真题）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 3．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 4．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 5．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 6．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（    ）        A． B． C． D． 8．（2023·江苏南通·中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ）    A． B． C． D． 9．（2019·山东泰安·中考真题）如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（     ）.    A． B． C． D． 10．（2016·山东德州·中考真题）在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM  = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论： ①AM ＝CN  ②∠AME ＝∠BNE    ③BN－AM ＝2    ④ . 上述结论中正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 12．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 13．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 14．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 15．（2019·浙江温州·中考真题）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 16．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    17．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 18．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 19．（2019·上海·中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米． (1)求点到的距离； (2)求、两点的距离． 20．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $