专题11期末复习小题压轴题填空题集中训练（十大考点） 2025-2026学年七年级数学下学期人教版

**基本信息** 聚焦期末小题压轴填空，覆盖代数几何十大核心考点，以题载知，系统整合概念应用与综合探究，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十大考点（26题）|平方根与立方根、规律型图形变化等|代数概念应用、规律探究、方程不等式综合、几何性质计算|从基础概念（平方根、方程解）到综合应用（含参不等式、方程组与不等式组），再到几何直观（坐标性质、平行线、三角形面积），逻辑递进，覆盖期末压轴核心考法|

专题11期末复习小题压轴题填空题集中训练（十大考点） 考点一 平方根与立方根 1．（2026春•启东市期中）已知实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，则式子的值为　2　 ． 【分析】根据平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值，再根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵实数a+9的平方根是±5， ∴a+9＝25， ∴a＝16， ∵2b﹣a的立方根是﹣2， ∴2b﹣a＝﹣8， ∴2b﹣16＝﹣8， ∴b＝4， ∴4﹣2＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 考点二 规律型：图形的变化类 2．（2025•让胡路区校级模拟）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第10个“星阵”中的★的个数是　112　 ． 【分析】由图可得第n个图中的★的个数是n×（n+1）+2＝n2+n+2，再求出n＝10时的值即可得解． 【解答】解：由图可得： 第1个图中的★的个数是：4， 第2个图中的★的个数是：8， 第3个图中的★的个数是：14， 第4个图中的★的个数是：22， …， 故第n个图中的★的个数是：n×（n+1）+2＝n2+n+2， ∴第10个“星阵”中的★的个数是102+10+2＝112， 故答案为：112． 【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． 3．（2024春•白碱滩区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 　（2025，2）　 ． 【分析】根据点P的运动规律可得点P的纵坐标从第一次运动开始以1、0、2、0循环变化，而横坐标即为运动次数，即可求得点P的坐标． 【解答】解：通过观察点P的运动规律可知： 其纵坐标从第一次运动开始以1、0、2、0循环变化， 而横坐标即为运动次数， 所以2025÷4＝505…3 所以点P的坐标为：（2025，2）． 故答案为：（2025，2）． 【点睛】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律． 考点三 二元一次方程的解 4．（2026春•崇川区校级期中）已知关于x，y的方程（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a，当m＝1时，写出x与a的数量关系式　﹣x＝3+a ；若无论m为何值时，方程总有一组解为其中a，b是常数），则b的值为　1　 ． 【分析】将m＝1代入关于x，y的方程（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a中整理后可得x与a的数量关系式；再将代入该方程，然后根据题意列得关于b的方程，解方程即可． 【解答】解：已知关于x，y的方程（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a， 当m＝1时， ﹣x＝3+a； 将代入（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a中得2（m﹣2）+b（m﹣1）＝3m+a， 整理得：2m﹣4+bm﹣b﹣3m﹣a＝0， 即（b﹣1）m﹣a﹣b﹣4＝0， ∵无论m为何值时，方程总有一组解为其中a，b是常数）， ∴b﹣1＝0， 解得：b＝1， 故答案为：﹣x＝3+a；1． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 5．（2026春•通州区期中）已知和都是关于x，y的方程ax﹣y＝c（a，c是常数，a≠0）的解，其中t≠1，则a＝　﹣1　 ． 【分析】将已知解分别代入方程ax﹣y＝c中得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：已知和都是关于x，y的方程ax﹣y＝c（a，c是常数，a≠0）的解， 则a﹣t＝at﹣1＝c， 整理得：（1﹣t）a＝t﹣1， ∵t≠1， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解其意义是解题的关键． 考点四 解三元一次方程组 6．（2026春•海门区期中）已知，则　　 ． 【分析】把z看作已知数表示出x与y，即可求出所求． 【解答】解：方程组整理得：， ②×4﹣①得：11y＝22z， 解得：y＝2z， 把y＝2z代入②得：x+4z＝7z， 解得：x＝3z， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 考点五 方程组与不等式组综合 7．（2024春•崇川区校级期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c＝4，2a+b+3c＝5，设s＝5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，则m+n的值为 　26　 ． 【分析】联立，把a看作常数，解得，则5a+4b+7c＝﹣2a+14，根据a≥0，b≥0，c≥0，解得a≤1，则0≤a≤1，当a＝0时，m＝14；当a＝1时，n＝12，即m＝14，n＝12，故m+n可求． 【解答】解：联立， 把a看作常数，解得， ∴5a+4b+7c＝5a+42a+14， ∵a≥0，b≥0，c≥0， ∴， 解得a≤1， ∴0≤a≤1， 当a＝0时，m＝14； 当a＝1时，n＝12， ∴m+n＝26． 故答案为：26． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 考点六 含参一元一次不等式与一元一次不等式组 8．（2025春•南通期末）关于x的不等式的解都是不等式的解，则a的取值范围是a≥﹣7　 ． 【分析】解得不等式的解集为x和x＜5，根据“同小取小”列出关于a的不等式，解不等式，即可得出a的取值范围． 【解答】解：解关于x的不等式得：x， 解关于x的不等式得：x＜5， 因为关于x的不等式的解都是不等式的解， 所以有5， 解得a≥﹣7． 故答案为：a≥﹣7． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式是解题的关键． 9．（2025春•通州区期末）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤6　 ． 【分析】求出第1个不等式的解集，结合不等式组的解集，利用“同大取大”确定关于m的不等式，解之即可． 【解答】解：由x﹣3＞﹣1得：x＞2， 由x＞m﹣4且不等式组的解集为x＞2知，m﹣4≤2， 解得m≤6， 故答案为：m≤6． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10．（2025春•如皋市期末）若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是　﹣2＜m≤1　 ． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可． 【解答】解：解不等式2x﹣m＜2﹣x得：x， 解不等式得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴01， 解得：﹣2＜m≤1， 故答案为：﹣2＜m≤1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中． 11．（2026•南通模拟）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 　7≤a＜8　 ． 【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到a的取值范围． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞4.5， 解不等式②，得：x≤a， ∵关于x的不等式组恰有3个整数解， ∴这三个整数解是5，6，7， ∴7≤a＜8， 故答案为：7≤a＜8． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 12．（2024•阳春市一模）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为 　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解即可求出a的取值范围， 【解答】解：， 解①得，x＞a， 解②得，x＜2， ∴不等式组的解集为a＜x＜2， ∵不等式组有3个整数解， ∴﹣2≤a＜﹣1， 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 13．（2025春•海安市期末）已知关于x的多项式mx﹣m﹣1（m＞0），当1＜x≤3时，该多项式有2个整数值，则m的取值范围是　1≤m＜1.5　 ． 【分析】令y＝mx﹣m﹣1（m＞0），根据一次函数的图象性质求得y的取值范围，然后根据题意列得关于m的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：令y＝mx﹣m﹣1（m＞0）， 则y随x的增大而增大， 当x＝1时， y＝m﹣m﹣1＝﹣1， 当x＝3时， y＝3m﹣m﹣1＝2m﹣1， ∵1＜x≤3时， ∴﹣1＜y≤2m﹣1， ∵多项式mx﹣m﹣1有2个整数值， ∴y有2个整数值， 那么这2个整数值位0，1， 则， 解得：1≤m＜1.5， 故答案为：1≤m＜1.5． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式组，理解题意并得到关于x的一次函数是解题的关键． 考点七 一元一次不等式的应用 14．（2026•南京一模）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 　120　 m． 【分析】设小明到A站之间的距离为xm，小明的速度为vm/s，则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5vm/s，利用时间＝路程÷速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设小明到A站之间的距离为xm，小明的速度为vm/s，则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5vm/s， 根据题意得：， 即5x≤720﹣x， 解得：x≤120， ∴小明到A站之间的距离最大为120m． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 考点八 坐标与图形性质 15．（2025春•庆云县期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝y1﹣y2＝a（a为常数），则称点A为点B的“a级位移点“．如：点（5，3）为点（2，0）的“3级位移点”．如图，C（2，1），D（2，﹣3）．若点N（n，2n﹣1）的“a级位移点”在线段CD上，则n的取值范围是　﹣4≤n≤0　 ． 【分析】先根据所给定义，表示出点N的“a级位移点”，再结合点C和点D的坐标，得出关于n，a的等式及不等式，据此进行求解即可． 【解答】解：由题知， 因为点N的坐标为（n，2n﹣1）， 所以点N的“a级位移点”的坐标为（n+a，2n﹣1+a）． 因为点C（2，1），D（2，﹣3），且点N的“a级位移点”在线段CD上， 所以n+a＝2，﹣3≤2n﹣1+a≤1， 则﹣3≤2n﹣1+2﹣n≤1， 解得﹣4≤n≤0． 故答案为：﹣4≤n≤0． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，理解题中所给定义是解题的关键． 16．（2025春•如皋市期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点M（x1，y1），N（x2，y2）满足x1﹣x2＝y1﹣y2，则称点M，N互为“等距点”．如点（﹣2，3），（1，6）互为“等距点”．已知A，B两点的坐标分别为（3，2），（3，﹣1），若在线段AB上存在一点与点M（m，2）互为“等距点”，则m的取值范围是　3＜m≤6　 ． 【分析】设线段AB上存在一点N（3，n）与M（m，2）互为“等距点”，得3﹣m＝n﹣2；根据﹣1≤n≤2，解答即可． 【解答】解：设线段AB上存在一点N（3，n）与 M（m，2）互为“等距点”，得3﹣m＝n﹣2， 解得5﹣m＝n； 根据A，B两点的坐标分别为（3，2），（3，﹣1）， 得﹣1≤n≤2， 故﹣1≤5﹣m≤2， 解得3≤m≤6， 当m＝3时，n＝2，此时点M与点A重合，不符合题意， 故m的取值范围是3＜m≤6， 故答案为：3＜m≤6． 【点睛】本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 17．（2026春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），B（3，0），C（5，4），连接AB，BC，P（x，y）为折线段A﹣B﹣C上的动点（不与点A，C重合），记d＝|y﹣m|，其中m为实数． （1）当m＝3时，d的最大值为　3　 ； （2）若d存在最大值，则m的最小值为　2　 ． 【分析】（1）当m＝3时，d＝|y﹣3|，根据绝对值的几何意义，可知d表示P（x，y）与直线y＝3之间的距离，当点P在点B（3，0）时，距离最大，由此得解； （2）先求出当点C和B到直线y＝m距离相等时，此时m＝2，d有最大值，然后画图分析可知，当直线y＝m在直线l1：y＝2下方时，点A距离直线y＝﹣a距离最大，由于点P不与点C重合，此时d＝|y﹣m|取不到最大值，当直线y＝m在直线l1：y＝2上方时，当P与点B重合时可以取到最大值，由此得解． 【解答】解：（1）当m＝3时，d＝|y﹣3|， 根据绝对值的意义，可知d表示P（x，y）与直线y＝3之间的距离， ∴当点P与点B（3.0）重合时，距离最大，此时d＝3﹣yB＝3﹣0＝3． 故答案为：3； （2）如图，直线l1：y＝2， 此时，折线段A﹣B﹣C上，点C、B距离直线l1：y＝2的距离最大，都是2， 当m＝2时，d＝|y﹣2|，表示P（x，y）与直线l1：y＝2之间的距离， ∴当点P与点B（3，0）重合时，d取得最大值为2﹣0＝2， 如图：当直线l2：y＝m，在直线l1：y＝2下方，即m＜2时，此时，折线段A﹣B﹣C上，点B距离直线l2距离最大， ∴若m＜2，d＝|y﹣m|，d表示P（x，y）与直线l2：y＝m之间的距离，由于P不与点C重合， ∴此时d不存在最大值． 如图，当直线l2：y＝m，在直线l1：y＝2上方，即m＞2时，此时，折线段A﹣B﹣C上，点C距离直线距离最大， ∴若m＞2，d＝|y﹣m|，d表示P（x，y）与直线：y＝m之间的距离，此时d存在最大值，即当p在点B处时取得最大值． 综上所述，当m≥2时，t存在最大值． ∴m的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 考点九 平行线的判定与性质 18．（2026春•启东市期中）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°，则∠P1＝　（x+y）　 度（用x，y的代数式表示）；若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠P2026＝　（）2025（x+y）　 度． 【分析】作过P1的辅助线MN∥AB，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题． 【解答】解：如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． ∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴∠BEP2∠BEP1x°，∠DFP2∠DFP1， 同理可证：（x°+y°）， 以此类推：∠P3＝（）2（x°+y°），∠P4＝（）3（x°+y°）…∠Pn＝（）n﹣1（x°+y°）， ∴∠P2026＝（）2025（x°+y°）， 故答案为：（x+y），（）2025（x+y）． 【点睛】主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用归纳推理的思想解决． 19．（2026春•海安市期中）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．则∠BCD与∠ACE的数量关系是　∠BCD＝∠ACE ，若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，当∠ACD等于　60°或120°　 时CE∥AB． 【分析】依据∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD＝90°，即可得到∠BCD＝∠ACE；CE∥AB时，分两种情况讨论，根据平行线的判定，即可得到当∠ACD等于60°或120°． 【解答】解：由题意得∠ACB＝90°，∠DCE＝90°， ∵∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE； 如图所示，当点E在BC下方，且∠BCE＝∠B＝60°时，CE∥AB， 此时∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°． 如图所示，当点E在BC上方，且∠ACE＝∠A＝30°时，CE∥AB， 此时∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°； 综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB． 故答案为：∠BCD＝∠ACE，60°或120°． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 考点十 三角形的面积 20．（2026春•海门区期中）如图，平面直角坐标系中，第四象限内的点B和点C的纵坐标分别为﹣1和﹣3，，直线BC交x轴于点A（2，0），点D（﹣1，0），连接DB，DC．则点D到直线BC的距离是 　2.4　 ． 【分析】设点D到直线BC的距离是h，则S△BCDBC•h，再由点A（2，0），点D（﹣1，0）可知AD＝3，根据S△BCD＝S△DAC﹣S△DAB即可得出结论． 【解答】解：设点D到直线BC的距离是h， ∵， ∴S△BCDBC•hhh， ∵点A（2，0），点D（﹣1，0）， ∴AD＝3， ∵点B和点C的纵坐标分别为﹣1和﹣3， ∴S△BCD＝S△DAC﹣S△DAB AD×3AD×1 3×33×1 ＝3， ∴h＝3， 解得h＝2.4． 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 21．（2025春•南通期末）如图，在△ABC中，BC＝6，点D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝BD，CE＝2BE，连接AE，CD交于点F，当四边形BEFD的面积为时，边AC长度的最小值为 　6　 ． 【分析】连接BF，设S△BEF＝S则根据“AD＝BD，CE＝2BE''分别将△CAF和△AEC的面积用含S的代数式表示出来，再根据S△CAE＝S△CAF+S△CEF列方程求出S，从而求出△CBA的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【解答】解：连接BF． 设S△BEF＝S，则， ∵AD＝BD， ∴， ∵CE＝2BE，S△CEF＝2S△BEF＝2S，S△AEC＝2S△ABE， ∵AD＝BD， ∴S△CAD＝S△BCD， ∴S△CAF＝S△CAD﹣S△ADF＝S△BCD﹣S△BDF＝S△BEF+S△ECF＝3S， ∴S△CAE＝S△ABE＝2（S四边形BEFD+S△ADF）， ∵S△CAE＝S△CAF+S△CEF＝2S+3S＝5S， ∴， ∴S， ∴， ∵BC＝6， ∴AC⊥BC时，AC最小，即当AC是△ABC的高时，AC， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2025春•通州区期末）如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝2CD，AE＝BE，BD与CE交于点O，若BC＝6，S四边形ADOE＝5，则AB长的最小值为 　4　 ． 【分析】连接OA，根据AD＝2CD，得到S△ABD＝2S△BCD，S△AOD＝2S△COD，设S△COD＝x，则S△AOD＝2x，S△AOE＝5﹣2x，根据AE＝BE得到S△BOE＝S△AOE＝5﹣2x，S△BCE＝S△ACE，进而得到S△BOC＝S△AOC＝3x，则可求出S△BAD＝10﹣2x，S△BCD＝4x，则10﹣2x＝2×4x，解方程求出△ABC的面积，再根据点C到AB的距离h一定满足h≤6，，可求出答案． 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵AD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△BCD，S△AOD＝2S△COD， 设S△COD＝x，则S△AOD＝2x， ∵S四边形ADOE＝5， ∴S△AOE＝S四边形ADOE﹣S△AOD＝5﹣2x， ∵AE＝BE， ∴S△BOE＝S△AOE＝5﹣2x，S△BCE＝S△ACE， ∴S△BCE﹣S△BOE＝S△ACE﹣S△AOE， ∴S△BOC＝S△AOC＝3x， ∴S△BAD＝5+5﹣2x＝10﹣2x，S△BCD＝3x+x＝4x， ∴10﹣2x＝2×4x， 解得x＝1， ∴S△ABC＝2S△ACE＝2（5+x）＝12， ∵BC＝6， ∴点C到AB的距离h一定满足h≤6， 又∵， ∴当h＝6时，AB有最小值，最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积和中线的性质，掌握以上性质是解题的关键． 23．（2025秋•叙州区期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是边AB上一动点，作直线MN经过点C、点D，分别过点A，B作AF与MN垂直，BE与MN垂直，垂足分别为点F，E．设线段BE，AF的长度分别为d1，d2，则d1+d2的最大值为 　10　 ． 【分析】根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD，即得到，则d1+d2的最大值就是CD的最小值，由垂线段最短可得当CD⊥AB时，CD最小，即可求解． 【解答】解：由题意可得：S△ABC＝S△ACD+S△BCD，即， 化简可得：CD×（d1+d2）＝AC×BC， 解得， 则d1+d2取最大值时，CD取最小值， 由垂线段最短可得当CD⊥AB时，CD最小， 由可得，， ∴d1+d2的最大值为． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是得出，确定d1+d2取最大值时，CD取最小值，并掌握垂线段最短的性质． 24．（2025春•沙洋县期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由五个边长为1的正方形组成的．A（a，0），B（3，3），连接AB的线段将图案的面积分成相等的两部分，则a的值是 　　 ． 【分析】把图形补成正方形，然后根据梯形的面积公式与三角形的面积公式表示出被分成两个部分的面积，然后列出方程求解即可． 【解答】解：如图，由题意得，（3+a）×3﹣3×12（3﹣a）×3﹣12， 整理得，6a＝4， 解得a． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，作辅助线补成规则图形并表示出分成两个部分的面积是解题的关键． 25．（2024秋•德城区期末）如图，在△ABC中，E是AC上的一点，AE＝4EC，点D是BC的中点，且S△ABC＝15，则S1﹣S2＝　4.5　 ． 【分析】根据三角形面积公式，利用AEAC得到S△BCE＝3，即S2+S△BDF＝3①，利用点D是BC的中点得到S△ABD＝7.5，即S1+S△BDF＝7.5②，然后把两式相减可得到S1﹣S2的值． 【解答】解：∵AE＝4EC， ∴AEAC， ∴S△BCES△ABC15＝3， 即S2+S△BDF＝3①， ∵点D是BC的中点， ∴S△ABDS△ABC15＝7.5， 即S1+S△BDF＝7.5②， ∴②﹣①得S1﹣S2＝7.5﹣3＝4.5． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底×高． 26．（2025春•海门市期末）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积是 　16　 cm2． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【解答】解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为4cm2， ∴△ACE的面积为8cm2，∵E是BD的中点， ∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE， ∴， ∴△ABC的面积＝16cm2． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11期末复习小题压轴题填空题集中训练（十大考点） 考点一 平方根与立方根 1．（2026春•启东市期中）已知实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，则式子的值为　 　 ． 考点二 规律型：图形的变化类 2．（2025•让胡路区校级模拟）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第10个“星阵”中的★的个数是　 ． 3．（2024春•白碱滩区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 　 　 ． 考点三 二元一次方程的解 4．（2026春•崇川区期中）已知关于x，y的方程（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a，当m＝1时，写出x与a的数量关系式　 ；若无论m为何值时，方程总有一组解为其中a，b是常数），则b的值为　 ． 5．（2026春•通州区期中）已知和都是关于x，y的方程ax﹣y＝c（a，c是常数，a≠0）的解，其中t≠1，则a＝　 　 ． 考点四 解三元一次方程组 6．（2026春•海门区期中）已知，则　 ． 考点五 方程组与不等式组综合 7．（2024春•崇川区校级期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c＝4，2a+b+3c＝5，设s＝5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，则m+n的值为 　 　 ． 考点六 含参一元一次不等式与一元一次不等式组 8．（2025春•南通期末）关于x的不等式的解都是不等式的解，则a的取值范围是 　 ． 9．（2025春•通州区期末）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 ． 10．（2025春•如皋市期末）若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是　 　 ． 11．（2026•南通模拟）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 　 　 ． 12．（2024•阳春市一模）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为 　 　 ． 13．（2025春•海安市期末）已知关于x的多项式mx﹣m﹣1（m＞0），当1＜x≤3时，该多项式有2个整数值，则m的取值范围是　 　 ． 考点七 一元一次不等式的应用 14．（2026•南京一模）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 　 m． 考点八 坐标与图形性质 15．（2025春•庆云县期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝y1﹣y2＝a（a为常数），则称点A为点B的“a级位移点“．如：点（5，3）为点（2，0）的“3级位移点”．如图，C（2，1），D（2，﹣3）．若点N（n，2n﹣1）的“a级位移点”在线段CD上，则n的取值范围是　 　 ． 16．（2025春•如皋市期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点M（x1，y1），N（x2，y2）满足x1﹣x2＝y1﹣y2，则称点M，N互为“等距点”．如点（﹣2，3），（1，6）互为“等距点”．已知A，B两点的坐标分别为（3，2），（3，﹣1），若在线段AB上存在一点与点M（m，2）互为“等距点”，则m的取值范围是　 　 ． 17．（2026春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），B（3，0），C（5，4），连接AB，BC，P（x，y）为折线段A﹣B﹣C上的动点（不与点A，C重合），记d＝|y﹣m|，其中m为实数． （1）当m＝3时，d的最大值为　 　 ； （2）若d存在最大值，则m的最小值为　 　 ． 考点九 平行线的判定与性质 18．（2026春•启东市期中）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°，则∠P1＝　 　 度（用x，y的代数式表示）；若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠P2026＝　 度． 19．（2026春•海安市期中）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．则∠BCD与∠ACE的数量关系是　 ，若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，当∠ACD等于　 　 时CE∥AB． 考点十 三角形的面积 20．（2026春•海门区期中）如图，平面直角坐标系中，第四象限内的点B和点C的纵坐标分别为﹣1和﹣3，，直线BC交x轴于点A（2，0），点D（﹣1，0），连接DB，DC．则点D到直线BC的距离是 　 　 ． 21．（2025春•南通期末）如图，在△ABC中，BC＝6，点D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝BD，CE＝2BE，连接AE，CD交于点F，当四边形BEFD的面积为时，边AC长度的最小值为 　 　 ． 22．（2025春•通州区期末）如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝2CD，AE＝BE，BD与CE交于点O，若BC＝6，S四边形ADOE＝5，则AB长的最小值为 　 　 ． 23．（2025秋•叙州区期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是边AB上一动点，作直线MN经过点C、点D，分别过点A，B作AF与MN垂直，BE与MN垂直，垂足分别为点F，E．设线段BE，AF的长度分别为d1，d2，则d1+d2的最大值为 　 　 ． 24．（2025春•沙洋县期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由五个边长为1的正方形组成的．A（a，0），B（3，3），连接AB的线段将图案的面积分成相等的两部分，则a的值是 　 ． 25．（2024秋•德城区期末）如图，在△ABC中，E是AC上的一点，AE＝4EC，点D是BC的中点，且S△ABC＝15，则S1﹣S2＝　 　 ． 26．（2025春•海门市期末）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积是 　 　 cm2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $