天津市河西区2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三)数学试卷

: : 河西区2025一2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） : 数学试卷 : 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分 : 钟。第I卷1至4页，第l卷5至8页。 答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定 位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考 郑 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 : 擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： 拓 如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B) 如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B), 球体的表面积公式S=4πR2,其中R为球体的半径. :锥体的体积公式V=】Sh,其中S表示维体的底面面积，h表示锥体的高。 3 : 球体的体积公式V=了R'，其中R为球体的半径， 阳 一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 : (1)已知集合U={L,2,3,4,5},A={1,3,4},B={1,3,5},则Cu（A∩B)= (A)2 (B){1,3} 豁 (C) 2,4,5} (D){1,3,4,5} : : 高三（数学）试卷第1页（共8页）（三） (2)设L:y=kx+b，2:y=k2x+b2则“k=k2”是“1∥2”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)设a=2.1.7,b=0.721,c=1og210.7-,则a,b,c的天小关系是 (A)a<b<c (B)c<a<b (C)a<c<b (D)c<b<a (4)下列函数中，在(0，+∞)内单调递增的偶函数为 e*+1 e"+1 (A)y= (B)y=x· e*-1 e"-1 (C)y=x- 1 X D)y=+ 高三（数学）试卷第2页（共8页）（三） (5)为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次x(次/周)与数学模拟测试成 绩y(分)之间的关系，学校收集了一组成对数据(x,y,=1,2,,),计算可得样本平均 数元=4，=105，通过数据分析求得经验回归方程为)=3.5x+à，下列关于这组数据 的统计分析中，说法错误的是 (A)变量x与y呈正相关关系 (B)经验回归直线必过样本中心点(4,105)，且a=91 (C)若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为-2 (D)若这组数据的残差平方和越小，则决定系数R越小，说明经验回归模型的拟合 效果越好 (6)已知函数f(x)=2cos2 受}+5sn(o侧1o>0,f医像的对称中心到相部 的对路精之何的距离为至，则闪在区同[一平 上的最小值为 (A)-V5 (B)1 (C) (D)-2 2 高三（数学）试卷第3页（共8页）（三） : (1)已知等差数列{an}满足：对任意的n∈N'，a,都有意义，且4，=4n-3，,则的42026 值为 : : (A)4049 (B)-4049 (c)4051 (D)-4051 : 务 (8)双曲线C: =1>0,6>0)的左、右焦点依次为R、R,坐标原点为0，过 x2y2 : 右焦点F,作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A,该垂线交双曲线C的右支于点P, 若点P恰好为线段AF,的中点，则双曲线C的离心率为 : : (A)√2 (B)√5 学 5 (D)√5 : (9)已知正方体ABCD-AB,C,D中，点M,N,P分别为棱AB,BC,DD1的中点，过 焙 点M,N,P的平面将正方体分成的两个几何体的体积之比为 : (A)25:119 (B)25:114 (c)1:5 (D)27:117 高三（数学）试卷第4页（共8页）（三） : 第Ⅱ卷 : 注意事项：本卷共11题，共105分。 : 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分， (10)已知i是虚数单位，.则1+2i1-y三 毁 (11) 在 的展开式中，二项式系数最大的项的系数为 (12)某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的 同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个 不同的工作组已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前 ! 台引导”组现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩 排则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为 ； 已知在 抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前 台引导”组志愿者的概率为 深 (13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为1，抛物线上一点P位于第四象限，且 lP寸=2，以F为圆心，且与1相切的圆交直线m于A,B两点，若直线m过点P,且与直 : 线4x-3y+1=0垂直，则AB= .. (14)已知直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=4CD=4,E为BC 上一点，且BE=2EC,若A正=几AB+HAD,其中九，4为实数，则九+u= : 设点P为线段BD上的动点，点Q为线段PE中点，则CD·AC= x2+a2 : x<a (15)已知a>0,函数fx)= a-x ,若对任意实数x,都有fx)≥@ : 2x-a-Vx2-a2,x≥a 恒成立，则k的取值范围为 靠 高三（数学）试卷第5页（共8页）（三） : 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (16)（本小题满分14分) 在AMBC中，角B,C所对的边分别为a,c.已知△1BC的面积S=5(6:+c2-4）, 4 3 a=13,b= c. 4 (I)求A的值： (Ⅱ)求b和c的值： (Ⅲ)求cos(2B-A)的值. (17)（本小题满分15分) 如图，在四棱台ABCD-A,B,C,D中，已知AA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD, 已知AB=AA=2,AD=DC=AB1=1. D (I)求证：BC⊥平面ACC1A: (Ⅱ)求平面A,BC与平面BC,D夹角的余弦值； (Ⅲ)求点A到平面BC,D的距离. 高三（数学）试卷第6页（共8页)（三) (18)(本小题满分15分) 已知数列{an}是等差数列，数列色n}是等比数列，且a4,=b=1,a2+b2=5,4+b=9. (I)求数列{an}和{b}的通项公式： anbn,n为奇数 (Ⅱ)设cn= 6,+G十可为得数’求数列，}的前2n项和； 3ba (Ⅲ) 设数列问，}满足日，=a,求数列日，}的最大项和最小项 b (19)（本小题满分15分) 已知椭圆C: +京=1(a>6>0)的右项点为A,上顶点为B,半焦距为c,已知点 x2 y2 在椭圆C上，过点P且斜率为整数的直线交椭圆C的另一点为2，线段PQ的 5 垂直平分线与x轴交于点H 9,0 (I)求椭圆的离心率； (Ⅱ)求直线l的斜率； (Ⅲ)设2关于x轴的对称点为Q,直线PO交x轴交于点G,若△PQG的面积为 27 0 求椭圆的标准方程。%。…0，T 高三（数学）试卷第7页（共8页）（三) : : (20)(本小题满分16分) 已知函数f(x)=a-x,其中a>1. （I)当a=e(e为自然对数的底数)时，求曲线y=f(x)在点（自，f)处的切线方程； (Ⅱ)若函数f(x)在区间(O,+∞)上存在两个墨点，求实数a的取值范围： 野 (Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，设函数f(x)较大的袋点为x,记M=,,当实数？满足M>e2 : ina : 时，求证：MlnM+MIn(In M)<x,<MlnM+2 M In(In M). 焙 高三（数学）试卷第8页（共8页）（三）河西区2025—2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分45分. (1)c (2)B (3)D (4)B (5)D (6)A (7)C (8)A (9)A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分 (10)√0 1015 (11)-160 (12) 21’37 (13) 号 1,2 (14)- 6'3 (15)2-2√2,2-√2 三、解答题：本大题共5小题，共75分 (16)本小题满分14分 (I)由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA可得：b2+c2-a2=2bcc0sA 将上式代入已知面积条件S- (62+c2-a2)中，得：S-=4 ·2bcc0sA= 2bccosA 又因为三角形面积公式为besinA,两式联立可得： bcsinA= 2bccosA 因为在△ABC中，b>0,c>0,所以：sinA=V5cosA 显然cosA0两边同除以cosA得：tanA=V5 因为A∈(0，，所以角A的大小为：A= 3 …4分 (Ⅱ)由余弦定理a2=62+e2-2 bccos,将a=V下，4-写，代入得： 16223 13=24e2-2bex7,13号66 c2,c=4 由已知得b=3 …9分 sinA sin得：sinB= (Ⅲ)在△MBC中，由正弦定理a=6 osin 3 sin3 √13 2W13 由（Ⅱ)可知b=3,a=V13,c=4。 2+c2-b213+16-9205 cos B= 2ac ,2×V13×48V132V13 高三数学试题参考答案第1页（共7页） 35515V5 sin 2 B=2 sin B cos B=2x- 2√132W1326 5 12 25 cos2B=2cos2B-1=2× 2/13 -1=2×52-1=26 w(80-cm28w4+284=(动爱咨-豆+点书-4分 (17)本小题满分15分 (I)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于E。 因为AD⊥AB,DC∥AB,且AD=DC=1,所以四边形AECD为正方形，可得AE=1,CE=1。 因为AB=2,所以EB=AB-AE=1。 在RI△AEC中，AC2=AE2+CE2=12+12=2。在RI△CEB中，BC2=CE2+EB2=12+12=2。 在△ABC中，因为AC2+BC2=2+2=4=AB2,所以∠ACB=90°，即AC⊥BC。 又因为侧棱A1A⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以A1A⊥BC。 因为A1AnAC=A,AA,ACC平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1 0 .5分 （Ⅱ)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系A-xy2。 由题意得相关点坐标： A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),A1(0,0,2). 由于四楼台，所以C1(0.5,0.5,2)。 平面A1BC:A1B=(2,0,-2),BC=(1,1,0)。 设平面A1BC的法向量为n=(1y1,),则： m·A1B=2x1-2Z1=0 ·BC=-x1ty1=0 令x1=1,则y1=1z1=1,得7=(1,1,1)。 平面BC1D:DB=(2,-1,0),DC=(0.5,-0.5,2)。 设平面BCD的法向量为n=(22,2z,则： n2.DB=2x2-y2=0 ·DC=0.5x2-0.5y2+2z2=0 令z2=1,则x2=4,y2=8,得n2=(4,8,1)。 计算夹角：cos0=园网网。 I1×4+1×8+1×1川 13 1313V5 ·2lV12+12+1z.V42+82+125·V8i9W3-27 即平面A1BC与平面BCD夹角的余弦值为135 27 …11分 （Ⅲ)已知平面BCD的一个法向量为2=(4,8,1)，平面外一点A(0,0,0)。 在平面BC1D上任取一点，D(0,1,0)。 所以AD=(0,1,0)。 点A到平面BC,D的距离4为：=而.应_I0x4+1×8+0x1川_8 √8I 高三数学试题参考答案第2页（共7页） 即点A到平面8C,0的距高为号： .15分 (18)本小题满分15分 （I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q。 由题意得方程组： ∫1++g=5∫=4-g 11+2d+g2=92d=8-g2 得：2(4-g)=8-g2即g2-2q=0。因为q+0,解得=2。此时d=4-2=2。 所以an=1+(0-1)×2=21-1:bn=1×2m-1=2m-1。 ….4分 (Ⅱ)前21项和T2n可以分为奇数项之和S奇与偶数项之和S例° 因为奇数项c2k-1=02k-1b2k-1=2(2k-1)-1·222=(4k-3)·222。 Sa() S奇=1·2+5·22+924++(4n-3)22m-2 4S=1·22+5·24+.+(4n-7)22m-2+(4n-3):22m -3S0=1+4·22+4·24++422m-2-(4n-3)22m -38%=1+16-03-4m-3》2 1-4 16 -390=1+3(4-1-10-(4n-3):2 3+4.22m-16-3(4n-3)22m-13-(12n-13):22m -3S 3 3 所以，S路-12m-13)22+13 0 7分 3b2k 3·22k1 (22k+1+1)-(22k-1+1) 1 偶数项co+1022tDa2+122+D21+1)2*+0）2+2中i 8n-∑(an2） 1 1 11 Sm-32*1+1° 所以7=省9=2m-13》20+13+3-2m-1320+16.1 9 322n+1+1 9 22m*+1.10分 (皿)由题意，4，=1少2-) 21-1 高三数学试题参考答案第3页（共7页） 由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨。 4k-1 ①记偶数项为=dk=k∈N)·。 4k+34k-14k+3-4(4k-1)-12k+7 k+1)-F2-2可= 22+1 22+1Γ· 因为21，所以-12k+7≤-5<0。 故k+1)),即偶数项子数列{d2k}是严格递减数列。 33 因此，在所有偶数项中，最大值为d1)==2。 12分 ②记奇数项为g=山k-1=22k-2(k∈N*)。 8+1)广8W=-6+-（4=3》-4h-1+44k-)12-13 22k 22k2 22k 22h。 当k=1时，12×1-13=-1<0，所以g(2)g(1),即d<d41 当k22时，12k-13≥11>0，所以g(k+1)>g(),即从第三项起，奇数项子数列严格递增， 有d3<ds<d<.… 因此，在所有奇数项中，最小值为4=82)2立=一4 -55 0 …14分 因为所有偶数项为正，所有奇数项为负， 3 5 所以数列d,}最大项为d4=乏，最小项为山=一4 .15分 （19)本小题满分15分 《T)拖点卫(c©直接代入椭圆方程，了c2 621 由于e9,且6a-c,转化为高心率e的方2型 9.2 a2c2-1e2+ -07sl 理得：e0-e+21-e2=4e0-e+9e2=41-e2)=4e-17e2+4年 4e2-1e2-40,因为椭圆的离心率满足0<e<1,故e2=4舍去，e2=9 解得离心率=2· 3分 （Ⅱ)由（I)知a2=4c2,b2=3c2。椭圆方程为3.2+4y2=12c2。 设直线1的斜率为k,过定点P(c,1.5c)。 高三数学试题参为答案第4页（共7页） 直线I的方程为：y-l.5c=kcc)一=kx+(5-k)c。 代入描圆方程：32+a+尼-)=1c 5分 化简得(3+4k2)x2+(12k-8k2)+(4k2-12k-3)c2=0 42-12k-3 o职=c。2=343P -6k2-6k+4.5 yo=k(Xo-c)+1.5c= -c 3+4k2 …7分 计算线段PQ的中点M的坐标： 8k2-12k42-6k XM= txe_14k2-12k-3\ 2 c+ 2 3+4k2c 2(3+4k2) 3+42c yu=Yotye_1/3 -6k2-6k+4.5 9-6k 4.5-3k 2 3+4k2 26+4k巧c3+4k2c 中垂线的斜率为-。令其方程)一yM一-x)冲0，得x轴截距xH: 4k2-6k.4.5-3kk2-1.5k XH=XM+kyM= 3+4k2c+ 3+4h2c= 3+4k2C …9分 5k2-1.5k5 题目已知xHi年c:3+4=一14-21k=15+20k2=6k2+21k+15=0=2k2+7k+5=-0 解得k=-1或=-2.5。因为直线1的斜率为整数。 故-2.5舍去，所以=-1。 10分 (Ⅲ)将k=-1代回2点得：xQ 4(1)-12(-1)-313 6(1)-6(-1)+4.59 4(1)+3-=76'Q-c > 139 139 此时卫点坐标为（号c,4。对称点（号c9。 921. 30 直线P2的斜率：p0CC= 14e5 13 6 Tc-c 7c 直线P2'的方程为：y-1.5c=-2.5(c)→y=-2.5x+4c。 8 令0，解得交点G(亏，0)。 .12分 0 0.万c,S△P0G-70c2 14分 1,8. 椭圆E的方程为： 2y2 431 .15分 高三数学试圆参考答案第5页（共7页） (20)本小题满分16分 (I)当a=e时，函数fx)=er-x。 当=1时，1)=el-1=e-1,故切点坐标为(1，e-1). 因为(x)=e-1。 当=1时，切线的斜率=f(1)=el-1=e-1。 所以，曲线在点(11)处的切线方程为： y-(e-1)=(e-1)-1) 化简得：y=(e-I)x .4分 (Ⅱ)对)=r-x求导，得x)=Ina-1。 令r-0,解得唯一极值点x0=log(na) 1 In (Ina) Ina 因为当x<xo时，f(x)<0:当xo时，>0。 所以x)在o处取得最小值。 ha_（-nlaa=L+n(na）_+n(na fmin八o)=aIna- Ina Ina'Ina In a .6分 要使x)存在两个零点，只需其最小值小于0即可。 因为a>1,所以lna>0。由 1+ln(na<0得到： Ina 1+In (In a)<0=In (In a)<-1=In a<-=a<ea 又因为>1，所以：实数a的取值范围是（1，) .9分 (Ⅲ)由题意x2)=0,即=x2。两边取自然对数得x?lna=ln2。 已知Mda代入上式得：Mag: 构造函数g()=x-MInx(>0)。显然x2是方程g()=0的较大根。 对B求导：g=1-M。可知g的在0，M上单调递减，在(M,止单调递增。 因为x2是较大根，故必有2>M,即x2落在g(x)的严格单调递增区间(M,o)内。 要证明L<2<U,只证明B(L)g2)=0且g(U)>g(2)=0即可。 …10分 ①证明左边不$式： 设L=MInM+M InIn M。 首先验证L>M:由于MEe2,则InM≥2，In In M≥ln2>0。 显然L=MInM+In InM)>M(2+O)>M,满足单调增区间条件。 g(L)=(M In M+M InIn M)-M In (MIn M+M InIn M) =M[In M+InIn M-In (M(In M+In In M))] =M[In M+In In M-In M-In (In M+In In M)] 高三数学试题参考答案第6页（共7页） =wanM-n(ant+n9)】 In In M -M InIn M-IninM-In(1+m) 三-M1n(1+nM） In In M 因为Mee2,所以lnM>0且In InM>0。 从而h InIn M In M 2>0,故n(+1nM >0。 因此g(L)<0。 因为gx)在(M,+∞)上单调递增且gk2)=0,必然有x2>L。左边得证。…13分 ②证明右边不等式： 设U=MInM+2 MIn In M。 g(U)=(MIn M+2MIn In M)-M In (MIn M+2MIn In M) =M[In M+2 InIn M-In M-In In M+2 In In M)] 2 InIn M M2Inin M-InInM-In (1+-inM) =anM-n(+2] 要安g0小，只霜注费snM>hn(:2的 因为对于任意>0，恒有lm(1+)<4 所以令 2 In In M >0,则：ln（1+ 2 In In M 2 In In M In M InM InM 此时，只需证明21nn InM -≤In InM 由于nlnM>0,不等式两边同除以In InM: nM1=nM≥2一M伦e2显然成立 所以g(U0>0。 同理，因为g)单调递增且gk2)=0,必然有x2<U。右边得证。 综上所述，原不等式MInM+M InIn M<2<MInM+2 MIn In M成立。.16分 高三数学试豳参考答案第7页（共7页）