第三章一次函数单元检测自主达标卷2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数核心内容，通过行程问题、茉莉花茶成本利润等真实情境，融合函数图像分析、几何综合及新定义“等长点”问题，考查抽象能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|函数定义、图像识别、行程图像、不等式与函数关系|第3题结合步行图书馆行程图像考查速度计算，体现数学眼光；第8题“对偶值”概念创新，培养推理意识| |填空题|4/20|一次函数象限、几何与函数结合、面积计算、不等式组与函数象限|第10题等腰直角三角形顶点坐标求函数关系式，融合几何直观与符号意识| |解答题|6/60|函数交点与面积、待定系数法、行程图像分析、成本利润应用、新定义“等长点”、几何综合|第16题茉莉花茶成本利润问题，建立函数模型解决最值，发展应用意识；第17题“等长点”新定义，考查创新思维与数学表达|

第三章一次函数单元检测自主达标卷湘教版2025—2026学年八年级下册（含答案） 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．已知，在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离与他所用的时间之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（    ） A． B． C． D． 5．关于函数，下列结论正确的是(    ) A．函数必经过点 B．y随x的值增大而增大 C．与x轴交于 D．图象经过第一、二、四象限 6．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是___________． 10．如图，已知等腰直角的顶点分别在轴上，，点的坐标是，的坐标是，则直线的函数关系式为_____． 11．一次函数的图象过点(2，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 12．若关于的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 14．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 15．甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． (1)从城到城的路程是________km； (2)甲、乙两车的平均速度分别为多少？ (3)乙在什么时刻追上甲？ 16．福州是世界茉莉花茶的发源地和主要产区，茉莉花茶是福州作为海上丝绸之路重要节点的文化名片．福州某茶企计划从闽江沿岸茉莉花种植基地购进茉莉花制成甲、乙两款茉莉花茶，用于供应本地茶博会与线上商城．已知乙款茉莉花茶的成本比甲款茉莉花茶的成本每千克高70元，5甲款茉莉花茶和乙款茉莉花茶的成本共需1900元． (1)问甲、乙两款茉莉花茶每千克的成本分别为多少元？ (2)该茶企计划制作甲、乙两款茉莉花茶共1000，其中甲款茉莉花茶的重量不超过乙款茉莉花茶重量的1.5倍，且两款茉莉花茶的总成本不超过229000元．若甲款茉莉花茶的售价是每千克250元，乙款茉莉花茶的售价是每千克350元，求销售完这两款茉莉花茶的最大利润． 17．在平面直角坐标系中，，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的等长点．例如：如图中的为矩形的一个等长点． (1)在点中，矩形的等长点是_____； (2)若为矩形的等长点，则值为_____； (3)若一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，则的取值范围是_____． 18．如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．D 7．D 8．C 二、填空题 9． 10． 11．4或 12．二 三、解答题 13．【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴, ∴． 14．【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， 当时，， 将代入得， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示， ． 15．【详解】（1）解：根据图象得，甲、乙两车各行驶了300千米； （2）根据图象得：甲车的平均速度为， 乙车的平均速度为： ， （3）解：设乙出发小时后，乙追上甲， ， 解得：， 小时分钟， 即乙在追上甲. 16．【详解】（1）解：设甲款茉莉花茶每千克成本为x元，则乙款每千克成本为元， 根据题意列方程：， 解得：， 则乙款成本为： (元/千克) 答：甲款茉莉花茶每千克成本180元，乙款茉莉花茶每千克成本250元； （2）解：设甲款茉莉花茶制作m千克，则乙款为千克，销售完这两款茉莉花茶的利润为， 由题意得， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 所以m的取值范围：， ∴， 整理得， ∵， ∴随的增大而减小，当时，取得最大值， 最大值为． 答：销售完这两款茉莉花茶的最大利润为91000元． 17．【详解】（1）解：由题意可得，， ∵， ∴是矩形的等长点； ∵， ∴不是矩形的等长点； ∵， ∴是矩形的等长点； 故答案为：，； （2）解：∵为矩形的等长点， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：或或或； （3）解：由题意可得，设为矩形的等长点， 则或或或，且，， 可得或或或， 画图象如下， 则矩形的等长点在线段、、，上， 由一次函数可得过定点， 因为一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，可得图象如下： 当一次函数经过点时，， 当一次函数经过点时，， 由此可得，； 当一次函数经过点时，， 当一次函数经过点时，， 由此可得，， 故答案为：或． 18．【详解】（1）解：把点代入，得 解得：， ∴ 令，则， 解得：， ∴． （2）解：由得， 由得， 分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E， 则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令，则 解得：， ∴； 当点P在点A左侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点P， 同理可得， 同样用待定系数法可求得直线解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． （3）解：过点C作于E，如图， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵AC平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 即 解得：， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为 分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形，如图， ∵ ∴与互相平分， ∵D为的中点， ∴D为的中点， ∴此时，点N是直线与x轴的交点， ∵直线解析式为； 令，则， ∴； b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形， ∴， ∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8， 把代入，解得：， ∴ ∴ ∴， ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形， ∴， 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴此时； 综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $