2026年重庆市九年级数学下学期中考模拟测试（北师大版）

**基本信息** 本试卷以原创题为主，融合风云四号03星、国产芯片等科技情境及AI采茶机器人等现实问题，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过分层设计考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数、圆、规律探究等|结合风云四号考查科学记数法，原创题占比高| |填空题|6/24|概率、平行线性质、新定义“吉祥数”|设计“吉祥数”新定义题，渗透创新意识| |解答题|9/86|方程应用、二次函数综合、几何变换|21题AI采茶机器人方程应用，24题二次函数与几何动态探究，25题几何变换最值问题，注重综合能力与应用意识|

多维细目表 数学模拟试题多维细目表 知识领域 题号 2025考点内容 题型 难易度 能力维度 核心素养 情境维度 预估分值 实测分值 选择 填空 解答 容易 中档 较难 了解 理解 掌握 运用 会观察 会思考 会表达 应用意识 创新意识 生活 社会 数学 科学 数与代数 1 判断无理数 √ 4 √ √ √ 3.9 图形与几何 2 识别轴对称图形 √ 4 √ √ √ 3.9 统计与概率 3 调查方式的选择-抽样调查 √ 4 √ √ √ √ √ √ 3.9 数与代数 4 已知点确定正比例函数的k值 √ 4 √ √ √ 3.8 图形与几何 5 圆内角度计算（圆周角定理、三角形内角和、等边对等角） √ 4 √ √ √ √ √ 3.9 数与代数 6 图形变化中的规律寻找（一次函数） √ 4 √ √ √ √ 3.8 数与代数 7 科学记数法（含计算） √ 4 √ √ √ √ 3.8 数与代数 8 一元二次方程的应用（增长率） √ 4 √ √ √ √ 2.9 图形与几何 9 正方形与折叠中的面积计算（翻折性质、HL、勾股定理、重心） √ 4 √ √ √ √ √ 2 数与代数 10 数式综合（整式和不等式的相关概念及分类讨论思想） √ 4 √ √ √ 1 数与代数 11 绝对值，零指数幂 √ 4 √ √ √ 3.9 统计与概率 12 求概率 √ 4 √ √ √ √ 3.4 图形与几何 13 平行线，垂直，求角度 √ 4 √ √ √ √ 3 数与代数 14 二次根式的估算 √ 4 √ √ √ 2.2 图形与几何 15 圆内线段计算（平行四边形，切线，相似三角形） √ 2 2 √ √ √ √ 1.8 数与代数 16 新定义数字（整除，二元一次方程，分类讨论） √ 2 2 √ √ √ √ 1.6 数与代数 17 求不等式组的整数解 √ 8 √ √ √ 7.2 图形与几何 18 尺规作图，几何证明（角平分线，三角形全等，三角形外角） √ 8 √ √ √ √ √ √ √ 6.8 统计与概率 19 统计图 √ 10 √ √ √ √ √ √ 8.8 数与代数 20 分式化简求值 √ 6 4 √ √ √ 7.8 数与代数 21 方程应用（一元一次方程，分式方程） √ 5 5 √ √ √ √ 6.5 数与代数 22 动点函数（一次函数，反比例函数） √ 4 6 √ √ √ √ 5.4 图形与几何 23 解直角三角形的实际应用（30°，60°）及一元一次方程 √ 4 6 √ √ √ √ √ √ 5 数与代数 24 二次函数综合（双最，角的存在性） √ 2 5 3 √ √ √ √ √ √ 4.5 图形与几何 25 三角形全等综合（30°，45°直角三角形，旋转，最值） √ 3 5 2 √ √ √ √ √ √ 2.4 90 47 13 103.2 $ 2025-2026学年度下期九年级质量监测 数学模拟试题 （全卷共三个大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1．下列各数中，无理数是（原创） A．3.1415 B． 　 C． 　 D．0 2．下列图案中，是轴对称图形的是（原创） A． B． 　 C． 　 D． 3．下列调查中最适合采用抽样调查的是 A．调查某班学生的视力情况 B．调查某校流感疫苗的接种情况 C．调查某款新能源汽车的电池续航能力 D．调查我国第二代静止轨道气象卫星风云四号03星（C星）的零部件情况 4．若正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点，则k的值是（原创） A． B． 　 C． 　 D． 　 5题图 5．如图，点A，B，C在上，若∠ACB=50°，则∠OAB 的度数为（原创） A．100° B．80° C．40° D．30° 6．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有16个圆点，第④个图中有24个圆点……按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（原创） 6题图 … A．64 B．56 C．48 D．40 7．2025年12月27日，风云四号03星在西昌卫星发射中心成功发射，其闪电成像仪可实现每秒500帧高频拍摄，该设备每帧数据量约为2.4×104字节，则每秒产生的数据量用科学记数法表示为（原创） A．1.2×107字节 B．1.2×106字节 C．12×105字节 D．0.12×108字节 8．国产芯片产业是我国科技自主可控的核心领域，发展势头迅猛．据统计，2023年国产芯片的销售额约为5120亿元，2025已突破8000亿元，那么这两年国产芯片的销售额的年平均增长率约为（原创） A．225% B．56% C．28% D．25% 9．如图，正方形ABCD的边长为3，点E是AB边的中点，连接DE，将△ADE9题图 沿直线DE翻折到正方形所在的平面内，得△FDE，延长DF交BC于点G． 取△CDG的重心O，连接DO，GO，则△ODG的面积为（原创） A． B． C． D． 10．已知整式，其中为正整数，且．下列说法：（原创） ①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有四次二项式中，存在实数使得其值为负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是 A．3 B．2 C．2 D．0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在 答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 12．在单词数学“Mathematics”中，任意选择一个字母，选到字母“a”的概率是 ． 13．如图，直线l1∥l2，线段BC分别与l1，l2交于点D，C，过点B作AB⊥BC，13题图 交直线l1于点A．若∠BAD=20°，则∠BCE的度数是 ． 14．若n为正整数，则且满足，则n= ．（原创）15题图 15．如图，A，F，B，C是圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形， ∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作圆的切线交AB的延长 线于点D，交AF的延长线于点H，若OA=3，则BD= ，CH= ． 16．对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“吉祥数”．例如，四位数4167，∵，∴4167是一个“吉祥数”．若一个四位数是“吉祥数”，则的值为 ；若一个四位数是“吉祥数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为 ． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组： 的所有整数解的和．① ② 18．我们知道：在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在△ABC中，作∠BAC的平分线交BC于点D，在AB上截取AE=AC，连接DE（不写作法，保留作图痕迹）； （2）证明：∵ AD平分∠BAC，18题图 ∴ ① ． 在△EAD和△CAD中， ∴ △EAD≌△CAD（SAS）． ∴ ③ ． ∵ ∠AED= ④ ＞∠B， ∴ ∠C＞∠B． 19．我国正式进入自动驾驶L3时代，全国首块L3级自动驾驶专用正式号牌在重庆诞生.科研人员开展了M，N两款新能源汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 抽取的对M款新能源汽车的评分数据中B等级的数据为：83，85，87，88，89，89 抽取的对N款新能源汽车的评分数据为：70，72，75，82，83，84，85，85，87，89，91，90，94，95，97，97，97，98，99，100. 抽取的对A，B款新能源汽车的评分统计表抽取的M款新能源汽车的评分扇形统计图 新能源汽车 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 M款 88 b 96 N款 88 90 c 根据以上信息， 解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为哪款新能源汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有500人对M款新能源汽车进行评分，600人对N款新能源汽车进行评分，请估计此次测验中对新能源汽车评分不低于80分的人数？ 20．先化简，再求值：，其中． 21．列方程（组）解下列问题： 为发展农业新质生产力，某茶厂引进AI采茶机器人作业．经测试，一小时一台机器人采茶的数量比一名工人采茶的数量多5千克，若一名工人采茶4小时、一台机器人采茶2小时，共采茶28千克． （1）分别求出一名工人和一台机器人每小时采茶的数量是多少？ （2）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每小时比之前多采a千克茶叶，工人每小时比之前多采千克茶叶，这样，一台机器人采78千克茶叶所用的时间是一名工人采22千克茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． （原创） 22．如图，在矩形中，对角线AC，BD交于点O．AB=6，BC=8，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着 运动，到点B时运动停止；同时动点从点出发，以相同的速度沿着运动，到点A时运动停止，连接DF．记点E运动的时间为x秒，点E到AB的距离为，矩形ABCD的面积为，△DCF的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．22题图 （原创） 23．为推进垃圾分类智能化，某社区规划建设智能垃圾分类站．如图，A为社区活动中心，B在A的正东方向，是垃圾分类站主体位置；C为垃圾转运通道入口，在A的北偏西30°方向，且在B的北偏西45°方向；D为监控设备安装点，在C的南偏西30°方向，且在A的正西 方向80米处．（参考数据：，，，） （1）求C，D间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）现需要沿着AB段和BC段铺设排污管道，铺设工程由甲、乙两施工团队合作 完成．甲队从A开始沿A→B→C铺设，每天铺设3米，乙队从C开始沿C→B→A铺设，每天铺设5米．开工第一天，乙队因事耽搁未能参加，在第二天加入并工作至铺设项目完成，而甲队全程参与铺设．求完成该管道铺设工程大约需要多少天（结果保留整数）？ 23题图 （原创） 24．已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A(，0)，B（3，0）． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）在直线BC上方抛物线上点P，且PE⊥BC于E，当PE取最大值时，在x轴上有点Q，请求出PQ+CQ的最小值； （3）直线与（1）中的抛物线相交于点K，并将（1）中抛物线沿射线OK方向平移个单位，新抛物线与原抛物线交于点M，链接CM交新抛物线于点N．在新抛物线上是否存在点H，使∠MNH=∠OCB，若存在，请求出点H坐标，至少写出一个点的解答过程；若不存在，请说明理由．图2 图1 图3 （原创） 25．在△ABC中，，AC=BC，点D为边AC上一动点． （1）如图1，若DC=，∠BDC=75°，求AB的长； （2）如图2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°到CE，连接AE、DE，点M为AE的中点，连接CM， 请猜想CM，AD，DE之间的数量关系，并说明理由； （3）若AC=BC=6，在Rt△ABC内有一点P，且CP=4，求2BP+3AP的最小值．图1 图2 图3 （原创） 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度下期九年级质量监测 数学模拟试题 (全卷共三个大题满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A,B, C,D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑. 1.下列各数中，无理数是（原创） A.3.1415 B.2 C.-1 D.0 2.下列图案中，是轴对称图形的是（原创） A. ① 0 3.下列调查中最适合采用抽样调查的是 A.调查某班学生的视力情况 B.调查某校流感疫苗的接种情况 C.调查某款新能源汽车的电池续航能力 D.调查我国第二代静止轨道气象卫星风云四号03星(C星)的零部件情况 4.若正比例函数y=(k≠0)的图象经过点(-4,2)，则k的值是（原创） A.-8 B.-6 C.-2 5.如图，点A,B,C在⊙O上，若∠ACB=50°，则∠OAB 的度数为（原创） A.100 B.80° C.40° D.30° 5题图 6.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有16 个圆点，第④个图中有24个圆点.按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（原创） 。。◆◆◆●● ● ● ● ●。。。● 。。。。。。● 6题图 A.64 B.56 C.48 D.40 7.2025年12月27日，风云四号03星在西昌卫星发射中心成功发射，其闪电成像仪可实现每秒500帧 高频拍摄，该设备每帧数据量约为2.4×104字节，则每秒产生的数据量用科学记数法表示为（原创） A.1.2×107字节 B.1.2×106字节C.12×105字节 D.0.12×108字节 8.国产芯片产业是我国科技自主可控的核心领域，发展势头迅猛.据统计，2023年国产芯片的销售额约 为5120亿元，2025已突破8000亿元，那么这两年国产芯片的销售额的年平均增长率约为（原创） A.225% B.56% C.28% D.25% 第1页共9页 第2页共9页 9.如图，正方形ABCD的边长为3，点E是AB边的中点，连接DE,将△ADE 沿直线DE翻折到正方形所在的平面内，得△FDE,延长DF交BC于点G. 取△CDG的重心O,连接DO,GO,则△ODG的面积为（原创） A.3 9 B.16 c. D. 9题图 10.己知整式M:x4+x+x.…+x,其中n,a,a2:…,an为正整数，且a<a2<a3<…<an≤6.下 列说法：（原创） ①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式： ②当n=2时，满足条件的所有整式M的和为5(x6+x3+x4+x3+x2+x); ③满足条件的所有四次二项式中，存在实数x使得其值为负数的整式M共有2个. 其中正确的个数是 A.3 B.2 C.2 D.0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在 答题卡中对应的横线上. 11.计算：-2+（π-）°= l2.在单词数学“Mathematics'”中，任意选择一个字母，选到字母“a”的概率是 13.如图，直线l1∥I2,线段BC分别与I,2交于点D,C,过点B作AB⊥ BC, A 交直线于点A.若∠BAD=20°，则∠BCE的度数是 E 13题图 14.若n为正整数，则且满足n<√63-√7<n+1,则n=·(原创) 15.如图，A,F,B,C是圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形， ∠FAB=15°，连接OF交AB于点E,过点C作圆的切线交AB的延长 线于点D,交AF的延长线于点H,若OA=3,则BD=一，CH= 15题图 16.对于一个四位自然数abcd,若满足ab+cd=6(a+b+c+d),那么称这个四位数为“吉祥数”.例 如，四位数4167，：41+67=6×(4+1+6+7)，.4167是一个“吉祥数”.若一个四位数3m76是 “吉祥数”，则m的值为；若一个四位数abcd是“吉祥数”，记s=ac+bd,t=ac-bd, 当25+t能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为一· 三、解答题：（本大题9个小题，17、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须 给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对 第3页共9页 应的位置上 4x-3<3x ① 17.求不等式组： x+13x- +1②的所有整数解的和. 3 4 18.我们知道：在一个三角形中，相等的边所对的角相等.那么，如果两边不相等，它们所对的角之间 的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等， 结合三角形外角定理探究该问题.根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在△ABC中，作∠BAC的平分线交BC于点D,在AB上截取AE=AC,连接DE(不写作 法，保留作图痕迹)： (2)证明：，AD平分∠BAC, ① 在△EAD和△CAD中， ② ∠EAD=∠CAD, B 18题图 AD=AD, ∴.△EAD≌△CAD(SAS). ③ .∠AED= ④ >∠B, .∠C>∠B. 第4页共9页 19.我国正式进入自动驾驶L3时代，全国首块L3级自动驾驶专用正式号牌在重庆诞生.科研人员开展了 M,N两款新能源汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和 分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x<90,C.70≤x<80,D.x<70,下 面给出了部分信息： 抽取的对M款新能源汽车的评分数据中B等级的数据为：83,85,87,88,89,89 抽取的对N款新能源汽车的评分数据为：70,72,75,82,83,84,85,85,87,89,91,90， 94,95,97,97,97,98,99,100. 抽取的对A,B款新能源汽车的评分统计表 抽取的M款新能源汽车的 A等级所 评分扇形统计图 新能源汽车 平均数 中位数 众数 占百分比 M款 88 b 96 45% N款 88 90 50% 解答下列问题： (1)上述图表中：a= ,b= C三 (2)根据以上数据分析，你认为哪款新能源汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即 可)； (3)在此次测验中，有500人对M款新能源汽车进行评分，600人对N款新能源汽车进行评分，请 估计此次测验中对新能源汽车评分不低于80分的人数？ 20先化简，再求值：+2-+兰〔)英中=份刊 第5页共9页 21.列方程（组）解下列问题： 为发展农业新质生产力，某茶厂引进AI采茶机器人作业.经测试，一小时一台机器人采茶的数量比 一名工人采茶的数量多5千克，若一名工人采茶4小时、一台机器人采茶2小时，共采茶28千克. (1)分别求出一名工人和一台机器人每小时采茶的数量是多少？ (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每小时比之前多采α千克 茶叶，工人每小时比之前多采)Q千克茶叶，这样，一台机器人采78千克茶叶所用的时间是一 名工人采22千克茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值. (原创) 22.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.AB=6,BC-8,动点E以每秒1个单位长度的 速度从点A出发，沿着A→O→B运动，到点B时运动停止；同时动点F从点C出发，以相同的 速度沿着C→A运动，到点A时运动停止，连接DF,记点E运动的时间为x秒，点E到AB的距 离为，矩形ABCD的面积为S,△DCF的面积为S,=4S (1)请直接写出y,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y,y2的图象，并分别写出函数y,y2的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出y<,时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 0.2). 9 (原创) 87 012345678910x 22题图 第6页共9页 23.为推进垃圾分类智能化，某社区规划建设智能垃圾分类站.如图，A为社区活动中心，B在A的正东 方向，是垃圾分类站主体位置；C为垃圾转运通道入口，在A的北偏西30°方向，且在B的北偏西 45°方向；D为监控设备安装点，在C的南偏西30°方向，且在A的正西方向80米处.（参考数 据：√2≈1.41,5≈1.73，V5≈2.24，V6≈2.45) (1)求C,D间的距离（结果保留小数点后一位）： (2)现需要沿着AB段和BC段铺设排污管道，铺设工程由甲、乙两施工团队合作 完成.甲队从A开始沿A→B→C铺设，每天铺设3米，乙队从C开始沿C→B→A铺设，每天 铺设5米.开工第一天，乙队因事耽搁未能参加，在第二天加入并工作至铺设项目完成，而甲队 全程参与铺设.求完成该管道铺设工程大约需要多少天（结果保留整数）？ 北 (原创) 60 东 B 23题图 第7页共9页 24.已知抛物线y=ax2+bx+V3与y轴交于点C,与x轴交于A(-1,0),B(3,0). (1)请求出该抛物线的解析式； (2)在直线BC上方抛物线上点P,且PE⊥BC于E,当PE取最大值时，在x轴上有点Q,请求出 PO+5 5 Q的最小值： (3)直线y=3 x与(1)中的抛物线相交于点K,并将(1)中抛物线沿射线OK方向平移25个单 位，新抛物线与原抛物线交于点M,链接CM交新抛物线于点N.在新抛物线上是否存在点H, 使∠MNH=∠OCB,若存在，请求出点H坐标，至少写出一个点的解答过程；若不存在，请说明 理由. 1' E B B x 0 (原创) 图1 图2 图3 第8页共9页 25.在△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC,点D为边AC上一动点. (1)如图1，若DC-2W3,∠BDC-75°，求AB的长： (2)如图2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°到CE,连接AE、DE,点M为AE的中点，连接CM, 请猜想CM,AD,DE之间的数量关系，并说明理由； (3)若AC=BC=6,在Rt△ABC内有一点P,且CP-4,求2BP+3AP的最小值. B B 图1 图2 图3 (原创) 第9页共9页2025-2026学年度下期九年级质量监测 数学模拟试题参考答案及评分细则 （全卷共三个大题满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B A D C D C B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） .3,2. :18.70:14.5:15.9-36:16.2,1160 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每题10分，共86分） 17.解：解不等式①，得 x<3.… ……2分 解不等式②，得 x2-1. 4分 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如下图 20124 ∴.原不等式组的解集是-1≤x<3.… …6分 则原不等式组的所有整数解为一1,0,1,2.……7分 ∴.-1+0叶1+2=2. ∴.所有整数解的和为2.… …8分 18.解：（1)作答如图.… …4分 B D 18题答图 (2)①∠BAD=∠CAD: ②AE=AC: ③∠AED=∠C: ④∠B叶∠EDB.…8分 第1页共8页 19.解：(1)由思意得：4%=1-1096-45%-6×100%=15%，即a=15, 20 M款的评分非常满意有20×45%=9（个）， 满意的数据为83,85,87,88,89,89， .把M款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是89、89， .中位数89， 在N款的评分数据中，97出现的次数最多， .众数c=97: 故答案为：15,89,97. …3分 (2)N款新能源汽车更受用户喜爱. 理由如下：：两款的评分数据的平均数相同都是88分，但N款评分数据的中位数为90分高于M款的 中位数89分， .N款新能源汽车更受用户喜爱.… ……6分 (3)50x(45%+5x1009%+600××10096=375+510=88(人)， 20 20 答：估计此次测验中对新能源汽车评分不少于80分的人数为885人.…10分 2解6+-g4“4〔品》 =2+4+4-(+44x+22+-2 x+1x+1 =4+c+2x+1 x+1x+x-2 =4++22 x+1 x+1(x-1)(x+2) 4++2 x-1 =4x-4+x+2 x-1 =5-2 ……7分 x-1 :得=11=2. ……8分 当x=2时，原式=5x-2_10-2 -1218、 ……10分 第2页共8页 21.解：(1)设一名工人每小时采茶xkg,一台机器人每小时采茶ykg,由题意，得 [y-x=5, 2y+4x=28. 2分 解这个方程组， 得3， 4分 y=5. .一名工人每小时采茶3kg,一台机器人每小时采茶5kg……5分 78221.5 (2)根据题意得，8+a+“ .1 …7分 解这个方程，得a=5.… ……9分 经检验，α=5是所列方程的解且符合题意。 .a的值为5.… …10分 22.解：，在矩形ABCD中，AB=CD=6,BC=AD=8, ∠ABC=∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°， .AC=BD=AB2+BC2=82+62=10, .AO=BO=CO=DO=5, 当0<x≤5时，如图1，过点E作EM⊥AB于点M, 则∠AME=90°， 22题答图1 ·sn∠BAC=CB_EM ACAC 即8、EM 10x :EM=x, 5 4 .X=5x; D 当5<x<10时，如图2，过点E作EP⊥AB于点P, 则∠BPE=90°， AE=x, 22题答图2 ∴.BE=10-x, ·sin∠ABD=AD-EP BD BE 即8、 1010-x 第3页共8页 BP=-4 +8, 4 .为= 5+8: 5r(0<rs5) 4 .= …2分 5+8(5<x<10) 如图3，过点D作DN⊥AC于点N, E Se-1AD.CD=IAC.DN. 2 .DN=AD.CD 24 22题答图3 AC 5 ·△DCr的面积为=CrDN=xx24_2, 255x, xX 又，矩形ABCD的面积为S=6x8=48, S485 :为484 12 -xx, 4-20<<10: …4分 (2)解：如图4所示： …6分 1 9 8 7 6 5 3 2 1 01234567891011x 22题答图4 性质：当0<x<5时，随x的增大而减小；当5<x<10时，随x的增大而增大： 当0<X<10时，y2随x的增大而减小；（不唯一)……8分 (3)解：结合函数图象，可得4<y时x的取值范围为0<x<2.5(或0<x<2.3<或0<x<2.4或 0<x<2.6或0<x<2.7),9.3<x≤10（或9.1<x<10<或9.2<x<10或9.4<x<10或 9.5<x<10). …10分 第4页共8页 23.解：(1)由题意，知∠1=30°，∠2=90°-30°=60°. .∠ACD=60°+∠1=90°.… …1分 在Rt△ACD中，∠2=60°，AD=80米， :sin∠2=CD-CDV3 …3分 AD802 ∴.CD=40W3≈69.2米. .C,D间的距离为69.2米.… …4分 (2)过点C作CE⊥BD于点E. ∴.∠3=∠4=90°. 60 ,在Rt△CDE中，∠DCE=60°，CD=40W3米， .CE=CDcos60°=40N5×1=20V5米. 2 4h3 2 ,在Rt△ACE中，∠2=60°， E A B 23题答图 an∠2=cg-205-5 AE AF .AE=20米. …6分 又在Rt△CDE中，∠5=90°-45°=45°， tan∠5=CE-20W =1,sim∠5=CE=20W3_V5 BEBE BC BC 2 .BE=20V3米，BC=20W6米. 。。。。。。。。。。。。。。。 …7分 .AB+BC=（20W5-20叶20W6)米.……8分 设完成该管道铺设工程需要x天，由题意，得 3x+5(x-1)=20V3+20w6-20… 9分 解得，x=205+20W6-15s96天). 8 ∴完成该管道铺设工程需要9天.… ……10分 第5页共8页 24.解：(1)，抛物线y=ax2+bx+√3经过(-1,0)，(3,0). a-b+V3=0, ……1分 19a+3b+√3=0. a--i 3 b-6 2分 (2)点C(0,V3),B(3,0): 马直线BC解析式y=-x+B ……3分 过点P作PW⊥x轴，交BC于点R, 设P,-5+名+B), 3 3 则R(,-54+5) 3 当PR取最大值时，PE的取值最大，则 m9++-西 24(2)题答图 3 3 -5+V5 3 -54-3+25. ……4分 3 2 4 当啡 2 ……5分 过原点作直线Om,使得与x轴夹角正切值为)，过点P作PmL于直线0W于点m,交x轴于点O 1 .直线OW:y=二x. 2 过P作PH∥y轴，交直线Om于点H, 易得PfB+3. …6分 4 且Pw=P②+5oe的豪小值. ..Pw 2 PH√5' Pm-名5pH=5+35. 10 0+5o0的发小位是压+高5. ……7分 8》平指后的艳物骏y=原：景6-5。 3 第6页共8页 原抛物线于新抛物线交点M2,√5). .CM∥x轴， .W(6V3). R 作zMN,则严=5. NZ 设H(m,- m2+85m-35, 3 3 5 m-3W3-V5 =√3. 6-1m 解得：m1=5,2=6(舍). 同理：当H在N下方时，解得m1=-1,2=6(舍) 24(3)题答图 .H1(5,2W3)H2(-1,-6W3).… …10分 25.解：(1)过点D作DH⊥BC于点H, ,AC=BC,且∠ACB=90°， ∴.∠A=∠B=45°. 又.∠BDC=75°，且DC=2√3， .∠DCB=60°. .在Rt△CDH中， sim∠DCHE DH3 DC 2 .'DH-3,CH=3 ∴.DH=HB=3. ∴.BC=3+V3. 又，∠B=45°， AB=√2BC=32+√6.……3分 （2)结论：AD2+4CM2=DE2 理由：延长AC到R,使AC=CR,连接BE 可证△ABD≌△CBE.…4分 第7页共8页 y .AD=BE,∠CBE=∠CAB-45° 又M是中点， .CMIER,且CML RE 又.CR=CB=AC 且∠RCE=∠BCD,CD=CE ∴.△BDC2△REC.…b ……6分 R ∴.RE=DB=2CM 25(2)题答图 易得在Rt△DEB中，DE2=BD2+BE2...... …7分 AD=BE,BD-2CM, .AD2+4CM2=DE2. …8分 (3取cE2即-号 8 3 易得△CPM∽△CBP. op. 当点A、P、M共线，则AP+2BP值最小. .2BP+3MP最小值=34P+2BP)=34M, 25(3)题答图 2Bp叶3Ap=2W97.…10分 第8页共8页 2025-2026学年度下期九年级质量监测 数学模拟试题参考答案及评分细则 （全卷共三个大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C C A D C B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．3； 12．； 13．70°； 14．5； 15．，； 16．2，11160. 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每题10分，共86分） 17．解：解不等式①，得 ． 2分 解不等式②，得 ． 4分 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如下图． ∴ 原不等式组的解集是． 6分 则原不等式组的所有整数解为－1，0，1，2． 7分 ∴ －1+0+1+2=2． ∴ 所有整数解的和为2． 8分 18. 解：（1）作答如图． 4分18题答图 （2）①∠BAD=∠CAD； ②AE=AC； ③∠AED=∠C； ④∠B+∠EDB． 8分 19．解：（1）由题意得：，即， M款的评分非常满意有（个， “满意”的数据为83，85，87，88，89，89， ∴ 把M款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是89、89， ∴ 中位数89， 在N款的评分数据中，97出现的次数最多， ∴ 众数； 故答案为：15，89，97． 3分 （2）N款新能源汽车更受用户喜爱． 理由如下：两款的评分数据的平均数相同都是88分，但N款评分数据的中位数为90分高于M款的中位数89分， ∴ N款新能源汽车更受用户喜爱． 6分 （3）（人， 答：估计此次测验中对新能源汽车评分不少于80分的人数为885人． 10分 20．解： ． 7分 ∵ ， 8分 当时，原式． 10分 21．解：（1）设一名工人每小时采茶x kg，一台机器人每小时采茶y kg，由题意，得 2分 解这个方程组，得 4分 ∴ 一名工人每小时采茶3 kg，一台机器人每小时采茶5 kg. 5分 （2）根据题意得， 7分 解这个方程，得． 9分 经检验，是所列方程的解且符合题意． ∴ a的值为5． 10分 22．解：∵ 在矩形中，， ， ∴ ，22题答图1 ∴ ， 当时，如图1，过点E作于点M， 则， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ；22题答图2 当时，如图2，过点E作于点P， 则， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ； ∴ 2分22题答图3 如图3，过点作于点， ∵ ， ∴ ， ∴ △DCF的面积为， 又∵ 矩形的面积为， ∴ ， ∴ ； 4分 （2）解：如图4所示： 6分22题答图4 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小；（不唯一） 8分 （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或），（或<或或或）． 10分 23．解：（1）由题意，知∠1=30°，∠2=90°－30°=60°． ∴ ∠ACD=60°+∠1=90°． 1分 在Rt△ACD中，∠2=60°，AD=80米， ∵ sin∠2=， 3分 ∴ CD=≈69.2米． ∴ C，D间的距离为69.2米． 4分 （2）过点C作CE⊥BD于点E． ∴ ∠3=∠4=90°．23题答图 ∵ 在Rt△CDE中，∠DCE=60°，CD=米， ∴ CE=CD·cos60°=米． ∵ 在Rt△ACE中，∠2=60°， ∴ tan∠2=． ∴ AE=20米． 6分 又在Rt△CDE中，∠5=90°－45°=45°， ∴ tan∠5=，sin∠5=． ∴ BE=米，BC=米． 7分 ∴ AB+BC=（－20+）米． 8分 设完成该管道铺设工程需要x天，由题意，得 9分 解得，（天）． ∴ 完成该管道铺设工程需要9天． 10分 24．解：（1）∵ 抛物线经过（－1，0），（3，0）． ∴ 1分 ∴ ∴ ． 2分 （2）∵ 点C（0，），B（3，0）； ∴ 直线BC解析式 3分 过点P作PW⊥x轴，交BC于点R，24（2）题答图 设P（t，）， 则R（t，）． 当PR取最大值时，PE的取值最大，则 PR= = =． 4分 ∴当t=时，P． 5分 过原点作直线OW，使得与x轴夹角正切值为，过点P作PW⊥于直线OW于点W，交x轴于点Q， ∴ 直线OW：． 过P作PH∥y轴，交直线OW于点H， ∴ 易得PH=． 6分 且PW=PQ+的最小值． ∵ ， ∴ PW=． ∴ PQ+的最小值是． 7分 （3）平移后的抛物线． 原抛物线于新抛物线交点M．24（3）题答图 ∴ CM∥x轴， ∴ N． 作HZ⊥MN，则． 设H， ∴ ． 解得：． 同理：当H在MN下方时，解得 ∴ ． 10分 25．解：（1）过点D作DH⊥BC于点H， ∵ AC=BC，且∠ACB=90°， ∴ ∠A=∠B=45°． 又∵ ∠BDC=75°，且DC=， ∴ ∠DCB=60°． ∴ 在Rt△CDH中， sin∠DCH=． ∴ DH=3，CH= ∴ DH=HB=3． ∴ BC=3+． 又∵ ∠B=45°， ∴ AB=BC=． 3分 （2）结论： 理由：延长AC到R，使AC=CR，连接BE 可证△ABD≌△CBE． 4分 ∴ AD=BE，∠CBE=∠CAB=45°25（2）题答图 又∵ M是中点， ∴ CM∥ER，且CM= 又∵ CR=CB=AC 且∠RCE=∠BCD，CD=CE ∴ △BDC≌△REC． 6分 ∴ RE=DB=2CM 易得在Rt△DEB中， 7分 ∵ AD=BE，BD=2CM， ∴ ． 8分 （3）取CM=，25（3）题答图 易得△CPM∽△CBP． ∴ PM=． 当点A、P、M共线，则AP+值最小． ∴ 2BP+3AP最小值=． ∴ 2BP+3AP=． 10分 第8页，共8页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $