精品解析：广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第二阶段质量监测数学试题

2025－2026学年度第二学期高一年级第二阶段质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的模长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角的对边分别为．若，，，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 9 4. 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 27 5. 已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（ ） A. B. 45° C. 60° D. 7. 已知向量与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知复数，则下列结论中错误的是（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 的共轭复数为 10. 如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 直线AM与是异面直线 B. 直线MN与是共面直线 C. 直线BN与是异面直线 D. 直线MN与BN所成角为 11. 在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，且，则______． 13. 已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2，侧面积是，则该圆台的体积为________. 14. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面.若,则直线与平面所成的角的大小为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求． 16. （1）已知，求与垂直的单位向量的坐标． （2）已知向量，，当为何值时，与垂直？ （3）已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直？ 17. 已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，． （1）求，； （2）求与的夹角． 18. 如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． （3）在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 19. 如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． （1）求直三棱柱的体积； （2）求证：面． （3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期高一年级第二阶段质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的模长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得，解得. 3. 在中，角的对边分别为．若，，，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理可得， 故，解得或（舍）. 故. 4. 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 27 【答案】C 【解析】 【详解】该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积． 5. 已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 6. 如图，已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（ ） A. B. 45° C. 60° D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到二面角的平面角为，即可得到答案； 【详解】由平面，平面，所以， 又，可知为二面角的平面角， 因为为正方形，所以， 所以二面角的大小是. 故选：B 7. 已知向量与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式计算即可. 【详解】向量与上的投影向量为 . 故选：B. 8. 在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果. 【详解】设，则， 所以，， 所以 又，当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知复数，则下列结论中错误的是（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 的共轭复数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简, 【详解】复数， 所以的实部为，故A不正确； 的虚部为，故B不正确； ，故C不正确； 的共轭复数为,故D正确； 10. 如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 直线AM与是异面直线 B. 直线MN与是共面直线 C. 直线BN与是异面直线 D. 直线MN与BN所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用异面直线的性质一一验证即可，选项D可以利用勾股定理验证. 【详解】 直线平面，面，面， 直线AM与是异面直线， A正确； 同理，直线MN与是异面直线， B错误； 直线BN与是异面直线， C正确； 设正方体的棱长为2， ，， ， ， 直线MN与BN所成角不是 D错误； 故选：AC. 【点睛】此题考异面直线的定义和性质，两条直线的夹角，属于简单题. 11. 在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用余弦定理边角转化即可；对于B：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；对于CD：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故B正确； 对于选项C：由可得， 且，即，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：由可得，即， 且，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】转化，利用数量积的定义及题干数据，即得解 【详解】 13. 已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2，侧面积是，则该圆台的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求得母线长及高，代入圆台的体积公式求解. 【详解】圆台的上底面和下底面的半径分别是和，设母线长为，高为，侧面积是， 故 ， 所以， 圆台的高为 ， 所以圆台体积为 . 故答案为： 14. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面.若,则直线与平面所成的角的大小为________ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：将四棱锥放入边长为的正方体内，故为直线与平面所成的角，根据长度关系得到答案. 【详解】如图所示：将四棱锥放入边长为的正方体内. 连接相交于，易知：，故平面 故为直线与平面所成的角 中：，故 故答案为： 【点睛】本题考查了线面角，将四棱锥放入边长为的正方体内是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）由正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理，， ∵， ∴. 【小问2详解】 由正弦定理，， 由第（1）问，， ∴. 16. （1）已知，求与垂直的单位向量的坐标． （2）已知向量，，当为何值时，与垂直？ （3）已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直？ 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求与垂直的单位向量注意模长为，与垂直即数量积为； （2）向量与垂直即，代入坐标即可求解； （3）与互相垂直的充要条件是，求解即可. 【详解】（1）设与垂直的单位向量为． 则解得或 所以或． （2）因为，，所以， 因为与垂直，所以， 所以，即，所以． （3）与互相垂直的充要条件是， 即． 因为，，所以． 解得．也就是说，当时，与互相垂直． 17. 已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，． （1）求，； （2）求与的夹角． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用模长公式及向量数量积的运算律即得； （2）利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，是两个单位向量，其夹角为60°， 则，，, 又， 所以， 同理， 所以； 【小问2详解】 由题得，， 设与的夹角为θ， 则， 因为θ∈[0,π]，所以， 则向量与的夹角为． 18. 如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． （3）在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得； （2）连接，作于，证明平面，再计算即得； （3）设球心为，由对称性可知球心在直线上，由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，进而结合勾股定理列方程求出外接球半径，进而求解即可. 【小问1详解】 证明：延长，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，易知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 连接，作于，由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 故到平面的距离为的长． 易知，， 又，所以， 所以， 又，所以， 故， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 存在外接球，设球心为，由对称性可知球心在直线上， 由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，下面为截面示意图： 设球半径为，在直角三角形中，由勾股定理知， 则，解得， 所以球表面积. 19. 如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． （1）求直三棱柱的体积； （2）求证：面． （3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 【答案】（1）144； （2）证明：连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算得解. （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理即得. （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，由，得， 由，得，， 所以直三棱柱的体积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图， 连接，过作于，交于点， 由，得，，， ，则， 因此； 当小虫从点沿正方形爬到点D，把正方形与置于同一平面内， 或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，； 当小虫从点沿矩形爬到点D，把矩形与置于同一平面内， 或把矩形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，， 显然， 所以小虫爬行的最短距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $