2026年湖北省武汉市九年级数学中考模拟试卷（人教版）

**基本信息** 以AI大模型图标、长征胜利90周年、消防机器人灭火等真实情境为载体，融合函数、几何、统计等知识，考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|轴对称、随机事件、科学记数法|结合科技热点（AI图标）与文化素材（《九章算术》）| |填空题|6题/18分|反比例函数、分式方程、二次函数性质|设置生活场景（轿车停车），考查空间观念| |解答题|8题/72分|不等式组、几何证明、统计分析、二次函数综合|压轴题（22题消防抛物线、24题函数探究）体现分层设计，培养推理能力与创新意识|

2026年武汉市中考数学模拟测试卷双向细目表 一、试卷整体结构 题型 题量 分值 占比 选择题 10 30 25% 填空题 6 18 15% 解答题 8 72 60% 合计 24 120 100% 二、详细双向细目表 题号 题型 分值 考查知识点 能力层次 难度等级 预估得分率 所属知识模块 1 选择题 3 轴对称图形的识别 理解 易 0.90 图形与几何 2 选择题 3 随机事件、必然事件、不可能事件的分类 理解 易 0.90 统计与概率 3 选择题 3 简单组合体的主视图判断 理解 易 0.85 图形与几何 4 选择题 3 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 掌握 易 0.85 数与代数 5 选择题 3 合并同类项、同底数幂乘除、幂的乘方运算 掌握 易 0.80 数与代数 6 选择题 3 平行线的性质、三角形外角性质、对顶角相等 掌握 中 0.75 图形与几何 7 选择题 3 放回型摸球问题的概率计算（树状图 / 列表法） 应用 中 0.70 统计与概率 8 选择题 3 一次函数图象的实际应用（行程问题） 应用 中 0.65 数与代数 9 选择题 3 三角形内切圆性质、切线长定理、勾股定理 应用 难 0.45 图形与几何 10 选择题 3 线段中点规律探究、等比数列通项与求和公式 应用 难 0.45 数与代数 11 填空题 3 相反意义的量（正负数的实际意义） 了解 易 0.95 数与代数 12 填空题 3 反比例函数的图象性质、参数范围求解 理解 易 0.85 数与代数 13 填空题 3 分式方程无解问题的求解 掌握 中 0.70 数与代数 14 填空题 3 解直角三角形的实际应用（轿车停车问题） 应用 中 0.65 图形与几何 15 填空题 3 等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理 应用 难 0.45 图形与几何 16 填空题 3 二次函数图象与系数的关系、二次函数最值、抛物线与 x 轴交点问题 应用 难 0.40 数与代数 17 解答题 6 一元一次不等式组的求解 掌握 易 0.85 数与代数 18 解答题 8 三角形全等的判定（ASA/AAS）、等腰三角形的性质、三角形内角和定理 掌握 中 0.75 图形与几何 19 解答题 8 条形统计图与扇形统计图综合、用样本估计总体、列表法求概率 应用 中 0.70 统计与概率 20 解答题 8 圆周角定理、切线的判定（两种方法）、解直角三角形 应用 中 0.65 图形与几何 21 解答题 8 网格中的无刻度直尺作图（平行四边形、线段相等、线段中点） 应用 中 0.60 图形与几何 22 解答题 10 二次函数的实际应用（抛物线解析式、最值、平移、不等式求解） 应用 难 0.45 数与代数 23 解答题 10 正方形与矩形的性质、全等三角形判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形 应用 难 0.40 图形与几何 24 解答题 12 二次函数解析式、平行四边形存在性、抛物线切线性质、直角三角形存在性 综合应用 难 0.35 数与代数 三、各知识模块分值分布统计 知识模块 分值 占比 核心考查内容 数与代数 49 40.8% 整式运算、分式方程、不等式组、一次函数、反比例函数、二次函数、规律探究 图形与几何 52 43.3% 三角形、四边形、圆、解直角三角形、三视图、轴对称、网格作图 统计与概率 14 11.7% 事件分类、概率计算、统计图综合应用、用样本估计总体 综合与实践 5 4.2% 跨模块综合应用、实际问题建模、探究性问题 四、命题特点说明 1.难度梯度合理：易题（42 分）、中档题（48 分）、难题（30 分）比例约为 3.5:4:2.5，符合武汉市中考数学命题的难度要求，兼顾基础考查与选拔功能。 2.核心知识全覆盖：全面覆盖初中数学三大核心模块的主干知识，重点考查二次函数、三角形、四边形、圆等中考高频考点。 3.注重能力立意：突出对数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养的考查，如第 22 题消防机器人灭火问题、第 24 题抛物线综合探究题。 4.贴近生活实际：结合消防安全、社区生活、大运会等现实情境命题，体现数学的应用价值。 5.原创性强：第 8、22、24 题均为原创题，避免陈题旧题，能够真实考查学生的数学能力。 | 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年武汉市中考数学模拟测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．一个不透明的盒子内装有2个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为（    ） A． B． C． D． (原创）8．甲，乙从地沿一条笔直的公路匀速前往地，已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，乙到达终点时甲离终点还有（    ） A．280米 B．300米 C．320米 D．340米 9．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，，连续这样操作2n+1次（n≥1），则每次取的两个中点所形成的所有线段之和（　　） A． B． C． D． 二 、填空题 11．我国东汉时期的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”．若规定收入100元为“元”，那么“元”表示______． 12．如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 13．已知关于的分式方程无解，则的值为__________． 14．如图是轿车停入车位的示意图，其中矩形表示轿车，矩形表示车位，同时是两矩形的对称轴．已知车宽为1.8米，车门的长为1米（点在边上），车门与车身的夹角（即）的大小为，当时，乘客可从车门处自由上下车． 若乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽至少为___________米（结果保留整数）（参考数据：，． 15．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是______． 16．二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 三、解答题 17．（本小题满分8分） 解不等式组：． 18．（本小题满分8分） 如图，在中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E． (1)若求证：； (2)在点D的运动过程中，的形状也在改变．当是等腰三角形时，求的度数． 19．（本小题满分8分） 某学校积极开展了如下丰富多彩的课外兴趣活动：乒乓球，篮球，足球，自行车越野四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． (1)请根据统计图将下面的信息补充完整； ①参加问卷调查的学生共有______人，并补全条形图； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______； (2)若该校共有学生1200名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ (3)现从喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 20．（本小题满分8分） 如图，在中，以为直径的与交于点D，点E是的中点，连接、． (1)求证：是的切线（请用两种证法解答）； (2)若，，求的长． 21. （本小题满分8分） 如图，在5×5的正方形网格中，A，B，D为小正方形的格点，E，F分别为AB，AD与网格线的交点．请用无刻度的直尺画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)画□ABCD； (2)在CB上画点M，使CM＝DF； (3)在CD上画点N，使CN＝BE； (4)画线段EF的中点H． （原创）22．（本小题满分10分） 消防安全是社区生活的重要保障.消防机器人喷出的水流轨迹近似为抛物线，操作员通过精准计算水流的飞行轨迹，能够准确瞄准不同位置的火源，高效完成灭火任务. 如图，消防机器人在坡地底部点O处，水枪出水口A的竖直高度OA=3m.当水流与点O水平距离为8m时到达最高点，此时离地竖直高度为7m.在直线坡地OB上，点B到O水平距离为12m，竖直高度为9m. (1) 求水流轨迹抛物线的解析式； (2) 求水流与坡地OB竖直距离的最大值； (3) 在点B处建有向上高度为2m的防火墙BC.将消防机器人沿坡地OB方向移动5am（机器人在防火墙前方被挡住），若确保喷出的水流能够越过防火墙顶部，浇到防火墙后方的火源，请求出a的取值范围. 23．（1）【证明推断】如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点、不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、． ①求证：；②直接写出的值； （2）【类比探究】如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变． ①若，求的值； ②若，直接写出的值（用含的代数式表示）； （3）【拓展运用】如图3，在矩形中，点是对角线上一点（与点、不重合），连接，过点作，分别交直线于点、，连接，当，，时，求的长． （原创）24.（12 分）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，其对称轴上有定点。 (1)（3 分）求抛物线的解析式； (2)（4 分）如图1，点是抛物线上异于点的动点，连接交抛物线对称轴于点，过点作轴垂线，垂足为。若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)（5 分）如图2，过点的直线交抛物线于，两点（点在点左侧）。分别过点，作与抛物线有且只有一个公共点的直线，两条直线交于点。当为直角三角形时，求直线的解析式。 图1 图2 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年武汉市中考数学模拟测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； ． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查事件的分类． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，判断各选项描述的事件类型即可． 【详解】解：A．旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； B．萍水相逢指偶然相遇，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； C．瓮中捉鳖是肯定能达成的事件，属于必然事件，不符合题意； D．天方夜谭指不可能发生的事情，属于不可能事件，不符合题意． 故选：B． 3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：该立体图形主视图的第1列有2个正方形、第2列有1个正方形、第3列有1个正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，幂的乘方，合并同类项，据上述计算法则逐一判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵一束平行于主光轴的光线， ∴． 故选：D． 7．一个不透明的盒子内装有2个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及出现相同颜色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将纸箱里4个球的颜色依次标记为，，Y，B，其中，表示2个红球， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中出现相同颜色的结果有6种， ∴出现相同颜色的概率为． 故选：D． (原创）8．甲，乙从地沿一条笔直的公路匀速前往地，已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，乙到达终点时甲离终点还有（    ） A．280米 B．300米 C．320米 D．340米 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可知： 甲步行的速度为：米/分，故A选项正确，不符合题意； ∴A、B两地相距为（米）， 由图知，乙追上甲用的时间为：（分钟），故C选项正确，不符合题意； ∴乙的速度为（米/分） 乙走完全程用的时间为（分钟），故B选项正确，不符合题意； 乙到达终点时，甲离终点的距离是： （米），故D选项错误，符合题意； 故选：D 9．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 10．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，，连续这样操作2n+1次（n≥1），则每次取的两个中点所形成的所有线段之和（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的性质、等比数列的通项与求和公式，熟练掌握线段中点的性质以推导线段长度的规律，并运用等比数列求和公式计算总和是解题的关键．根据，、分别为、的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：，、分别为、的中点， ， 又，分别为、的中点， ， ，分别为、的中点， ，， 由此可得：， =． 故选：D． 二 、填空题 11．我国东汉时期的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”．若规定收入100元为“元”，那么“元”表示______． 【答案】支出了80元 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键． 根据正负数的定义，正数表示收入，则负数表示相反意义的量，即支出． 【详解】解：规定收入100元为“元”， “元”表示与收入相反的意义，即支出了80元， 故答案为：支出了80元． 12．如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 13．已知关于的分式方程无解，则的值为__________． 【答案】2 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的无解问题． 将分式方程化为整式方程，通过增根条件求解． 【详解】解：原方程可化为， 即． 两边同乘，得， 解得． 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得． 故当时，方程无解． 故答案为：2． 14．如图是轿车停入车位的示意图，其中矩形表示轿车，矩形表示车位，同时是两矩形的对称轴．已知车宽为1.8米，车门的长为1米（点在边上），车门与车身的夹角（即）的大小为，当时，乘客可从车门处自由上下车． 若乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽至少为___________米（结果保留整数）（参考数据：，． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解三角形的应用，作，垂足为，求出车门与车身的不同夹角时，点到车上的距离即可解题. 【详解】解：作，垂足为， 当时， 乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽， 车位宽至少为3米（结果保留整数）故答案为. 15．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是______． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形；过点C作，在等腰中，求出、，再在中即可求出，即可求解． 【详解】解：过点C作，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴为斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵ ∴，②说法不正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴，即，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，⑤说法不正确； 故答案为①③④． 评卷人 得分 三、解答题 17．解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 分别算出每个不等式的解集，再求出它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：解得，； 解得，． 原不等式组的解集为：． 18．如图，在中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E． (1)若求证：； (2)在点D的运动过程中，的形状也在改变．当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）证明，即可证明； （2）分类解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形内角和的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：当时， ， ， ； 当时， ， ， ； ； 当时， ， ， 这与三角形的外角大于任何一个不相邻的内角矛盾，不成立； 综上所述，等于或． 19．“爱成都迎大运”，为迎接第31届世界大学生夏季运动会的举行，某学校积极开展了如下丰富多彩的课外兴趣活动：乒乓球，篮球，足球，自行车越野四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． (1)请根据统计图将下面的信息补充完整； ①参加问卷调查的学生共有______人，并补全条形图； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______； (2)若该校共有学生1200名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ (3)现从喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【答案】(1)①240，② (2)360人 (3) 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图 【分析】（1）①根据“B”的人数除以其百分比得到参加问卷调查的人数．根据最喜欢A课程的百分比求出对应的人数，将总人数减去最喜欢A，B，D课程的人数，求出最喜欢C课程的人数，即可补全条形图； ②将乘以“D”对应的比例，即可解答； （2）将总人数乘以最喜欢C课程的人数的占比，即可求解； （3）根据题意画树状图，找出所有等可能的结果和符合要求的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解∶①参加问卷调查的学生人数是（人）； 最喜欢A课程人数为（人）， 最喜欢C课程人数为（人）， 补全条形图为： ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为． （2）解：估计全体1200名学生中最喜欢C课程的人数约为（人） 答：估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有360人． （3）解：由题意画树状图为： ∴共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到有2种等可能的结果， ∵， ∴恰好甲和丁同学被选到的概率为． 20．如图，在中，以为直径的与交于点D，点E是的中点，连接、． (1)求证：是的切线（请用两种证法解答）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键. （1）方法一：连接，由圆周角定理得到由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得由等腰三角形的性质得到根据得到由切线的判定即可证得与相切； 方法二：由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质可得 再利用可证明可得即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出. 【详解】（1）证明：方法一：连接，如图所示， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； 方法二：连接，如图所示， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴， ∴与相切； （2）解：由（1）知，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ， ∴．， 在中，，即， ∴（负值已舍去）， ∴． 21. （本小题满分8分） 如图，在5×5的正方形网格中，A，B，D为小正方形的格点，E，F分别为AB，AD与网格线的交点．请用无刻度的直尺画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)画□ABCD； (2)在CB上画点M，使CM＝DF； (3)在CD上画点N，使CN＝BE； (4)画线段EF的中点H． 解：如图所示． （原创）22．（本小题满分10分） 消防安全是社区生活的重要保障.消防机器人喷出的水流轨迹近似为抛物线，操作员通过精准计算水流的飞行轨迹，能够准确瞄准不同位置的火源，高效完成灭火任务. 如图，消防机器人在坡地底部点O处，水枪出水口A的竖直高度OA=3m.当水流与点O水平距离为8m时到达最高点，此时离地竖直高度为7m.在直线坡地OB上，点B到O水平距离为12m，竖直高度为9m. (1) 求水流轨迹抛物线的解析式； (2) 求水流与坡地OB竖直距离的最大值； (3) 在点B处建有向上高度为2m的防火墙BC.将消防机器人沿坡地OB方向移动5am（机器人在防火墙前方被挡住），若确保喷出的水流能够越过防火墙顶部，浇到防火墙后方的火源，请求出a的取值范围. 解：（1）由题意，设抛物线的顶点式为：y=a(x−8)2 +7（a≠0） ············ 1 分 将点A(0,3)代入解析式：3=a(0−8) 2 +7 64a=−4 解得：a=− ············ 2 分 ∴ 抛物线的解析式为：y=－(x−8)2 +7=－x2+x+3 ············3 分 （2）设直线 OB 的解析式为y=kx（k≠0） 将点B(12,9)代入：9=12k，解得：k= ∴ 直线 OB 的解析式为：y=x ············4 分 设抛物线与直线 OB 的竖直距离为h，则： h=－x2+x+3 −x =−x2+x+3 ············5 分 ∵−﹤0,抛物线开口向下 ∴当x=－=2时，h有最大值= ∴ 竖直距离的最大值为m. ············6 分 （3）∵ OB==15m, ∴ 沿 OB 方向移动5am，等价于：水平向右移动4am，竖直向上移动3am , 平移后抛物线的顶点坐标为(8+4a,7+3a). ············7 分 ∴ 平移后的抛物线解析式为：y=−(x−8－4a)2 +7+3a . ············8 分 ∵B（12,9）向上2m，∴ C（12,11）. ∵水流能够越过防火墙顶部, ∴−(12−8－4a)2 +7+3a >11, ············9 分 化简不等式： a2 −5a+5<0, (a−1)(a−4)<0, 解得：1<a<4. 又∵机器人在防火墙前方被挡住, ∴ 0﹤5a﹤15,∴0<a<3. ∴a的取值范围是1<a<3. · ···········10分 23．（1）【证明推断】如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点、不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、． ①求证：；②直接写出的值； （2）【类比探究】如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变． ①若，求的值； ②若，直接写出的值（用含的代数式表示）； （3）【拓展运用】如图3，在矩形中，点是对角线上一点（与点、不重合），连接，过点作，分别交直线于点、，连接，当，，时，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）①；②；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①由“”可证；②由全等三角形的性质可得，即可求解； （2）①由（1）得，，可证，可得，通过证明，得，即可求解；②思路同①，可证，可得，通过证明，得，则可求解； （3）过点作于，由勾股定理可求得长，由锐角三角函数可求长度，进而利用勾股定理求得，根据等腰三角形三线合一可知，则、长度可求，由求得长，由求得长，利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ； ②解：；理由如下： 由①知：， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ，， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②；理由如下： 四边形是矩形， ，， 同①理可证， ， ，， ， ， ； （3）解：如图3，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ． （原创）24.（12 分）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，其对称轴上有定点。 (1)（3 分）求抛物线的解析式； (2)（4 分）如图1，点是抛物线上异于点的动点，连接交抛物线对称轴于点，过点作轴垂线，垂足为。若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)（5 分）如图2，过点的直线交抛物线于，两点（点在点左侧）。分别过点，作与抛物线有且只有一个公共点的直线，两条直线交于点。当为直角三角形时，求直线的解析式。 图1 图2 (1) 设抛物线的顶点式为： 将点代入得： 解得： ∴ 抛物线的解析式为： (2) 设点的坐标为，则垂足的坐标为。 直线过点和，其斜率为： ∴ 直线的解析式为： 抛物线对称轴为，将代入直线解析式，得点的纵坐标： ∴ 点的坐标为。 ∵ 和均为竖直线段（横坐标不变） ∴ ∴ 四边形为平行四边形当且仅当一组对边平行且相等，即。 由得： 两边同时乘 2 消去分母： 情况 1： 移项整理得： 情况 2： 移项整理得： 将四个值代入抛物线解析式，得： 当时， 当时， 当时， 当时， ∴ 符合条件的点的坐标为： (3) 设过抛物线上任意一点的直线解析式为。 ∵ 直线与抛物线有且只有一个公共点 ∴ 联立方程只有一组解。 消去得： 整理为标准一元二次方程： ∵ 方程有两个相等的实数根 ∴ 判别式 化简得： ① 又∵ 点在直线和抛物线上 ∴ ② ③ 联立①②③，消去可得：， ∴ 过点的切线解析式为： 设，，则过、的切线解析式分别为： 联立两切线方程： 移项化简： ∵ ，两边除以得： 将代入任意一条切线方程，化简得： ∴ 交点的坐标为： 设直线的解析式为（过点） 与抛物线联立得： 整理得： 由根与系数的关系（韦达定理）得： 将其代入点坐标： ∴ 无论取何值，点的纵坐标恒为，即。 已知，，，根据勾股定理逆定理，分三种情况讨论直角顶点： 情况 1：直角顶点为（）此时 代入勾股定理： 展开： 化简： 解得： ∴ 直线的解析式为： 情况 2：直角顶点为（） 此时 代入各边平方： 展开： 化简： 解得： ∴ 直线的解析式为： 情况 3：直角顶点为（） 此时 代入各边平方： 展开： 化简： 即： 判别式 ∴ 此方程无实数根，该情况不存在。 ∴直线的解析式为或。 试卷第2页，共25页 试卷第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $