2026年江苏省南京市初中学业水平模拟测试数学试卷

**基本信息** 聚焦核心素养，融合文化传承与现实应用，如铁塔测量、商场利润问题考查数学建模，几何综合题发展推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|实数与数轴、幂运算等，考查抽象能力|基础概念辨析，如平方根与立方根的区分| |填空题|10/20|科学记数法、因式分解等，体现数感|小知识点综合，如等腰三角形与一次函数结合| |解答题|11/88|统计图表、解直角三角形、几何综合等，发展推理与数据意识|分层设计，基础计算、中档应用（铁塔测量）、压轴探究（旋转综合），贴合真题趋势|

2026年江苏省南京市初中学业水平模拟测试数学试卷 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B．1的立方根与平方根都是1 C．的算术平方根是2 D．数轴上的点和实数一一对应 2．（2分）下列计算结果正确的是（　　） A．a4•a2＝a8 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 3．（2分）如图是雨水管示意图，截面是半径为50cm的圆，管内水面AB＝80cm，则水深CD等于（　　）（单位：cm） A． B． C．20 D．30 4．（2分）下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）若a＜b，则下列不等式正确的是（　　） A．﹣3a＜﹣3b B．ma＞mb C．﹣a﹣1＞﹣b﹣1 D． 6．（2分）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）﹣2的相反数是 　 　 ，3的相反数是 　 　 ． 8．（2分）当x＝　 　 时，分式无意义． 9．（2分）某芯片晶体管的线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为　 　 米． 10．（2分）计算：的值为 　 　 ． 11．（2分）因式分解：9x4﹣4x2y2＝　 　 ． 12．（2分）如图，小丽同学用纸板制作一个高为12cm、底面半径为5cm的圆锥形漏斗模型（无底面），若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 　 　 cm2． 13．（2分）已知A（0，4），B（3，0），C点为x轴上一点，且△ABC为等腰三角形，直线AC的表达式为y＝kx+b，则k的值为　 　 ． 14．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直线MN与⊙O相切，点C为切点，OB为半径，若∠ACN＝50°，则∠OBA等于　 　 ． 15．（2分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为4，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数的图象上，则k＝ 　 　 ． 16．（2分）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的结论有　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（7分）化简并求值：，其中x＝3． 19．（9分）某电商平台统计了A、B两种品牌空气净化器7个月的销售情况，并将获得的数据绘制成折线统计图． （1）根据折线统计图填写表： 平均数 中位数 方差 A 140 a b B c 150 则a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）结合上表中的数据及折线统计图，你会选择购买哪种品牌的空气净化器，并说明理由． 20．（7分）如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q为CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP． 21．（7分）图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．当某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）小明转动转盘，转出的数字是偶数的概率是多少？ （2）小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 22．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，B分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P．当AB，BC满足什么关系时，四边形COBP是正方形，请说明理由． 23．（7分）开封铁塔（又称开宝寺塔）始建于公元1049年（北宋皇祐元年），素有“天下第一塔”之称，是国家重点保护文物之一．1957年6月11日开始动工修复开封铁塔，到10月底全部修复竣工，同时还安装了104个铁铸风铃，增装了洞门铁栏和避雷针，千年宝塔以崭新的面貌展现在世人面前．如图，周末，某中学九年级课外兴趣小组在老师的指导下测量铁塔的高度，他们先在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A处测得塔顶P点的仰角∠1＝45°，然后走上台阶顶部B处，测得塔顶P点的仰角∠2＝38.8°．若台阶的高BC＝3米，台阶斜坡AB的坡度为3：10，求铁塔的高度PE．（点C，A，E在一条直线上，结果保留整数，参考数据：tan38.8°≈0.8） 24．（9分）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 25．（8分）如图，在△OAB中，OA＝OB＝6，∠A＝30°，⊙O与AB相切于点C，与OB交于点D，延长AO，BO分别与⊙O交于点E，F，连接DE，CF交AE于点G． （1）求弦CF的长； （2）求证：AC2＝BF•DE． 26．（9分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标； （2）在坐标系中画出图象； （3）结合图象写出y＜0时，变量x的取值范围是　 　 ．当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是　 　 ． 27．（10分）如图，将△ABC的边AC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）至CD，直线CD，AB交于点E，连接AD，直线AD，BC交于点F． （1）如图1，当α＜∠ACB时，若∠F＝45°，AB＝AC＝5，CE＝4，求BC的长； （2）如图2，当α＜∠ACB时，若∠BEC＝2∠F，∠BAF+∠BCD＝∠F，猜想线段AD与BF之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当180°＜α＜180°+∠ACB时，若∠BEC＝60°，AB＝AC＝6，点P在线段AD上且满足，G，H分别为线段CP，AP上两点，连接GH，将△ACP沿GH折叠使得点P的对应点P′落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O，请直接写出CP最小时，点O到AC的距离． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B．1的立方根与平方根都是1 C．的算术平方根是2 D．数轴上的点和实数一一对应 【考点】实数与数轴；平方根；算术平方根；立方根． 【专题】实数；符号意识． 【答案】D 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义，以及实数与数轴的关系逐项分析即可． 【解答】解：A．的平方根是，故不正确，不符合题意； B．1的立方根是1，1的平方根是±1，故不正确，不符合题意； C．的算术平方根是，故不正确，不符合题意； D．数轴上的点和实数一一对应，正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，以及实数与数轴的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 2．（2分）下列计算结果正确的是（　　） A．a4•a2＝a8 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方运算法则一一判断即可． 【解答】解：A、a4•a2＝a6，a6≠a8，选项计算错误，不符合题意； B、（a2）3＝a6，选项计算正确，符合题意； C、a6÷a2＝a4，a4≠a3，选项计算错误，不符合题意； D、（﹣a2b）2＝a4b2，a4b2≠﹣a4b2，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键． 3．（2分）如图是雨水管示意图，截面是半径为50cm的圆，管内水面AB＝80cm，则水深CD等于（　　）（单位：cm） A． B． C．20 D．30 【考点】垂径定理的应用． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】C 【分析】连接OA，设CD为xcm，由于C点为弧AB的中点，CD⊥AB，根据垂径定理的推理和垂径定理得到CD必过圆心O，即点O、D、C共线，AC＝BCAB＝40，在Rt△OAC中，利用勾股定理得（50﹣x）2+402＝502，然后解方程即可． 【解答】解：连接OA、OC，如图， ∵CD为水深，即D点为弧AB的中点，CD⊥AB， ∴CD必过圆心O，即点O、D、C共线，AC＝BCAB＝40cm， 设CD＝xcm， 在Rt△OAC中，OA＝50，OC＝50﹣x，AC＝40， ∵OC2+AC2＝OA2， ∴（50﹣x）2+402＝502， 解得x＝20， 即水深CD约为20cm． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 4．（2分）下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【考点】展开图折叠成几何体． 【专题】展开与折叠；空间观念． 【答案】B 【分析】根据棱柱表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：根据棱柱的表面展开图的特征可知， A．选项A中的图形可以折叠成三棱柱，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形不能折叠成四棱柱，因此选项B符合题意； C．选项C中的图形可以折叠成正方体，因此选项C不符合题意； D．选项D中的图形可以折叠成五棱柱，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查棱柱的表面展开图，掌握棱柱表面展开图的特征是正确解答的关键． 5．（2分）若a＜b，则下列不等式正确的是（　　） A．﹣3a＜﹣3b B．ma＞mb C．﹣a﹣1＞﹣b﹣1 D． 【考点】不等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质逐一判断即可解题． 【解答】解：利用不等式的性质逐一判断如下： 如果a＜b，则﹣3a＞﹣3b，故A不正确，不符合题意； 如果a＜b，当m＝0时，则ma＝mb，故B不正确，不符合题意； 如果a＜b，则﹣a﹣1＞﹣b﹣1，故C正确，符合题意； 如果a＜b，则，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 6．（2分）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 【考点】点的坐标． 【专题】平面直角坐标系；应用意识． 【答案】D 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案． 【解答】解：∵P点在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴P（﹣4，3）， 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟记点的坐标特征．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）﹣2的相反数是 　　 ，3的相反数是 　　 ． 【考点】实数的性质；算术平方根． 【专题】实数；符号意识． 【答案】． 【分析】根据互为相反数是只有符号不同的两个数，进行解答即可． 【解答】解：的相反数是，的相反数是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握互为相反数是只有符号不同的两个数． 8．（2分）当x＝　3　 时，分式无意义． 【考点】分式有意义的条件． 【专题】分式；运算能力． 【答案】3． 【分析】根据当分式的分母为0时，分式无意义． 【解答】解：∵分式无意义 ∴x﹣3＝0 ∴x＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查分式无意义的条件．掌握当分式的分母为0时分式无意义是解题的关键． 9．（2分）某芯片晶体管的线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为　5.3×10﹣9 米． 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【专题】实数；符号意识． 【答案】5.3×10﹣9． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000000053＝5.3×10﹣9． 故答案为：5.3×10﹣9． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．（2分）计算：的值为 　1　 ． 【考点】分母有理化；二次根式的乘除法． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】1． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再进行二次根式的乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：原式＝5 ＝5 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了分母有理化，分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了二次根式的乘除法． 11．（2分）因式分解：9x4﹣4x2y2＝x2（3x+2y）（3x﹣2y）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解；运算能力． 【答案】x2（3x+2y）（3x﹣2y）． 【分析】先提公因式x2，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：9x4﹣4x2y2＝x2（9x2﹣4y2）＝x2（3x+2y）（3x﹣2y）， 故答案为：x2（3x+2y）（3x﹣2y）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 12．（2分）如图，小丽同学用纸板制作一个高为12cm、底面半径为5cm的圆锥形漏斗模型（无底面），若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 　65π　 cm2． 【考点】圆锥的计算． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】65π． 【分析】根据圆锥的侧面展开是扇形，即求扇形的面积，根据勾股定理可求得圆锥的母线长，即扇形的半径，再由扇形的面积公式SlR即可得出答案． 【解答】解：∵圆锥的母线长13（cm）， ∴她所用纸板的面积是2π×5×13＝65π（cm2）． 故答案为：65π． 【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13．（2分）已知A（0，4），B（3，0），C点为x轴上一点，且△ABC为等腰三角形，直线AC的表达式为y＝kx+b，则k的值为　或2或或　 ． 【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形性质． 【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】或2或或． 【分析】首先设C（x，0），根据AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC三种情况进行讨论求解点C的坐标，即可求出直线AC的表达式的斜率． 【解答】解：由题意得：，设C（x，0）， ∵△ABC为等腰三角形， ∴根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， ①当AB＝AC时，，解得：x＝3（与点B重合，舍去）或x＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， ∵A（0，4）， ∴将A（0，4），C（﹣3，0），代入y＝kx+b中，得， 解得：， ∴； ②当AB＝BC时，BC＝|x﹣3|＝5，解得：x＝8或x＝﹣2， 当C（8，0）时，∴将A（0，4），C（8，0），代入y＝kx+b中，得， 解得：， ， 当C（﹣2，0）时，∴将A（0，4），C（﹣2，0），代入y＝kx+b中，得， 解得：， ∴k＝2； ③当AC＝BC时，，解得 ∴，∴将A（0，4），，代入y＝kx+b中，得， 解得：， ； 综上所述，则k的值为或或2或． 故答案为：或或2或． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，根据等腰三角形的边长进行分类讨论是解题的关键． 14．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直线MN与⊙O相切，点C为切点，OB为半径，若∠ACN＝50°，则∠OBA等于　25°　 ． 【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】25°． 【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OC， ∵MN与⊙O相切于点C， ∴OC⊥MN， 即∠OCN＝90°， 又∵∠ACN＝50°， ∴∠OCA＝90°﹣50°＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠ABC∠AOC＝50°， ∵AB＝BC，OB＝OB，OC＝OA， ∴△AOB≌△COB，（SSS） ∴∠OBA＝∠OBC∠ABC＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，掌握圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质是正确解答的关键． 15．（2分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为4，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数的图象上，则k＝ 　或8　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣旋转． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】或8． 【分析】过点A作AH⊥OB于H，则，∠OAB＝60°，进而可得，∠BAH＝30°，再分顺时针旋转30度或逆时针旋转30度，两种情况分别求出点B对应点的坐标即可得到答案． 【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥OB于H， 由条件可得，∠OAB＝60°， ∴，， 如图所示，当点B绕点A顺时针旋转30度与点B′重合时，则∠BAB′＝∠BAH＝30°， ∴A、H、B′三点共线，AB′＝AB＝4， ∴， ∴点B′的坐标为， 由条件可知； 当点B绕点A逆时针旋转30°得到AB″，过点A作AM⊥y轴于M，过点B″作B″N⊥MA交MA的延长线于N． 由条件可知∠OAB″＝90°， ∵∠AMO＝∠N＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°，∠OAM+∠NAB″＝90°， ∴∠AOM＝∠NAB″， ∵AO＝AB″， ∴△AMO≌△B″NA（AAS）， ∴， ∴， ∴B″的坐标为， ∵点B″在反比例函数的图象上， ∴； 综上所述，k的值为或8， 故答案为：或8． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，求反比例函数解析式，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握以上知识点是关键． 16．（2分）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的结论有　①②④　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心． 【专题】图形的全等；与圆有关的计算；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】①②④ 【分析】设AE、BD交于点G，连接OD，DE，EB，根据切线的性质，得Rt△CDO≌Rt△CBO（HL），得∠COD＝∠COB，根据，得AD∥OC，故①正确；CD是⊙O的切线，，而，∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，根据CO平分∠CBD，得E为△CBD的内心，故②正确；若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠EAB＝∠DBA，应有，而与不一定相等，故③不正确；由②可知∠EBG＝∠EBF，又BE⊥GF，FB＝GB，证明∠ABG＝∠ECF，得△ABG∽△ECF，得，即得CE•FB＝AB•CF，故④正确． 【解答】解：设AE、BD交于点G，连接OD，DE，EB， ∵CD与BC是⊙O的切线， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°，CD＝CB， 在Rt△CDO和Rt△CBO中， ， ∴Rt△CDO≌Rt△CBO（HL）， ∴∠COD＝∠COB， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∵∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝2∠BAD， ∴， ∴AD∥OC， 故①正确； ∵CD是⊙O的切线， ∴， ∵， ∴∠CDE＝∠BDE， 即DE是∠CDB的角平分线， ∵CO平分∠CBD， ∴E为△CBD的内心， 故②正确； 若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF， 应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA， 应有， 而与不一定相等， 故③不正确； 由②可知∠EBG＝∠EBF， 又∵BE⊥GF， ∴∠BEF＝∠BEG＝90°， ∵BE＝BE， 在△BEF和△BEG中， ， ∴△BEF≌△BEG（ASA）， ∴FB＝GB， ∵∠CEF＝∠OEA，∠OEA＝∠OAE， ∴∠OAE＝∠CEF， ∵OC⊥BD， ∴∠ECF+∠CBG＝90°， ∵∠ABG+∠CBG＝90°， ∴∠ABG＝∠ECF， ∴△ABG∽△ECF， ∴， ∴CE•GB＝AB•CF， ∴CE•FB＝AB•CF， 故④正确． ∴正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 【考点】解分式方程；有理数的加减混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】实数；分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）0； （2）x＝3． 【分析】（1）先根据负整数指数幂，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可； （2）方程两边同乘以（x﹣1）（x﹣2）得出（x+1）（x﹣2）＝（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1×4+4﹣1+1 ＝﹣4+4﹣1+1 ＝0； （2）， 方程两边同乘以（x﹣1）（x﹣2），得 （x+1）（x﹣2）＝（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2）， 解这个整式方程，得x＝3， 检验：当x＝3时（x﹣1）（x﹣2）≠0， 所以分式方程的解是x＝3． 【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． 18．（7分）化简并求值：，其中x＝3． 【考点】分式的化简求值． 【专题】分式；运算能力． 【答案】，． 【分析】先把括号里的式子通分进行减法计算，再把除法转化成乘法进行计算，最后把x的值代入计算即可． 【解答】解： ， 当x＝3时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．（9分）某电商平台统计了A、B两种品牌空气净化器7个月的销售情况，并将获得的数据绘制成折线统计图． （1）根据折线统计图填写表： 平均数 中位数 方差 A 140 a b B c 150 则a＝　140　 ，b＝　　 ，c＝　　 ； （2）结合上表中的数据及折线统计图，你会选择购买哪种品牌的空气净化器，并说明理由． 【考点】折线统计图；中位数；方差． 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】（1）140，，； （2）选择购买A种品牌的空气净化器，理由见解析． 【分析】（1）分别列出A、B种品牌空气净化器7个月的销量，根据中位数、方差、平均数的定义进行求解即可； （2）分别比较统计量的大小，即可得到结论． 【解答】解：（1）A种品牌空气净化器7个月的销量为：100，140，170，160，130，140，140， 从小到大排列为：100，130，140，140，140，160，170，故中位数为140，即a＝140， ， B种品牌空气净化器7个月的销售量为：60，90，120，150，160，170，200， ∴， 故答案为：140，，． （2）选择购买A种品牌的空气净化器，理由如下： A种品牌的平均数高于B种品牌，说明销量大，A种品牌的方差低于B种品牌的方差，说明A种品牌的销量稳定，所以选择购买A种品牌的空气净化器． 【点评】此题考查了方差、平均数、中位数、折线统计图等知识，熟练掌握个统计量的求法是解题的关键． 20．（7分）如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q为CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP． 【考点】相似三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ADQ＝∠QCP， ∴△ADQ∽△QCP． 【分析】利用两边及其夹角法即可作出证明． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ADQ＝∠QCP， ∴△ADQ∽△QCP． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形相似的三个判定定理是解答本题的关键． 21．（7分）图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．当某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）小明转动转盘，转出的数字是偶数的概率是多少？ （2）小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【考点】几何概率；列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】（1）；（2）小颖的观点是对的． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）由概率公式求出小明转出来的数字是偶数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率，再比较即可． 【解答】解：（1）小明转出来的数字是是偶数的结果共有4个，即2，4，6，8， ， 答：转出的数字是偶数的概率是． （2）小颖的看法对，理由如下： 因为， 红色部分所在扇形圆心角的度数是360°﹣120°＝240°， 所以， 因为， 所以小颖的观点是对的． 【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 22．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，B分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P．当AB，BC满足什么关系时，四边形COBP是正方形，请说明理由． 【考点】正方形的判定；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】AB＝BC，理由见解析过程． 【分析】根据矩形的性质得出OC＝OB，根据正方形的判定定理需要∠BOC＝90°，则AB＝BC，进而证明四边形COBP是正方形． 【解答】解：当AB＝BC时，四边形COBP是正方形；理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ABC＝90°， 又∵OCAC，OBBD， ∴OC＝OB， 又∵AB＝BC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，即∠BOC＝90°． 又∵BP∥OC，CP∥OB， ∴四边形COBP是平行四边形． 又∵OC＝OB， ∴平行四边形COBP是菱形． 又∵∠BOC＝90°， ∴四边形COBP是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 23．（7分）开封铁塔（又称开宝寺塔）始建于公元1049年（北宋皇祐元年），素有“天下第一塔”之称，是国家重点保护文物之一．1957年6月11日开始动工修复开封铁塔，到10月底全部修复竣工，同时还安装了104个铁铸风铃，增装了洞门铁栏和避雷针，千年宝塔以崭新的面貌展现在世人面前．如图，周末，某中学九年级课外兴趣小组在老师的指导下测量铁塔的高度，他们先在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A处测得塔顶P点的仰角∠1＝45°，然后走上台阶顶部B处，测得塔顶P点的仰角∠2＝38.8°．若台阶的高BC＝3米，台阶斜坡AB的坡度为3：10，求铁塔的高度PE．（点C，A，E在一条直线上，结果保留整数，参考数据：tan38.8°≈0.8） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】铁塔的高度PE约为55米． 【分析】根据题意可得：BC⊥AC，BF＝EC，BC＝EF＝3米，根据已知易得：AC＝10米，然后设AE＝x米，则BF＝EC＝（x+10）米，分别在Rt△AEP和Rt△BFP中，利用锐角三角函数的定义求出PE和PF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：BC⊥AC，BF＝EC，BC＝EF＝3米， ∵斜坡AB的坡度为3：10， ∴， ∴AC＝10米， 设AE＝x米， ∴BF＝EC＝AE+AC＝（x+10）米， 在Rt△AEP中，∠1＝45°， ∴PE＝AE•tan45°＝x（米）， 在Rt△BFP中，∠2＝38.8°， ∴FP＝BF•tan38.8°＝0.8（x+10）米， ∵PF+EF＝PE， ∴0.8（x+10）+3＝x， 解得：x＝55， ∴PE＝55米， ∴铁塔的高度PE约为55米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．（9分）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用；一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）y＝﹣5x+800；（2）当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，又过（100，300），（120，200），可得方程组，计算即可得解； （2）依据题意得，，故100≤x≤116，又商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）＝﹣5（x﹣120）2+8000，结合﹣5＜0，100≤x≤116，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b， 又过（100，300），（120，200）， ∴． ∴． ∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800． （2）由题意得，， ∴100≤x≤116． ∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800） ＝﹣5x2+1200x﹣64000 ＝﹣5（x﹣120）2+8000， 又﹣5＜0，100≤x≤116， ∴当x＝116时，利润最大，最大值为7920． 答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 25．（8分）如图，在△OAB中，OA＝OB＝6，∠A＝30°，⊙O与AB相切于点C，与OB交于点D，延长AO，BO分别与⊙O交于点E，F，连接DE，CF交AE于点G． （1）求弦CF的长； （2）求证：AC2＝BF•DE． 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题；三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）3． （2）证明见解答． 【分析】（1）连接OC，CD，根据题意及切线的性质，求出∠B，进而求出DF，根据圆周角定理得到∠DCF＝90°，解直角三角形即可解答． （2）连接OC，CD，证明△CBD∽△FBC，得到△ODE是等边三角形，进而得到△OAB是等腰三角形，即可解答． 【解答】（1）解：如图，连接OC，CD， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB， 又∵OA＝OB＝6，∠A＝30°， ∴∠B＝30°， 在Rt△ACO中，OC＝OA•sin30°＝3，∠COB＝∠COA＝60°， ∴DF＝6， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝60°， ∵DF是⊙O的直径， ∴∠DCF＝90°， ∴； （2）证明：如图，连接OC，CD， 由（1）可得∠ODC＝∠OCD＝60°，OC⊥AB， ∴∠CFD＝∠DCB＝30°， ∴BD＝CD， 在△CBD和△FBC中，∠CBD＝∠FBC，∠BCD＝∠BFC， ∴△CBD∽△FBC， ∴， ∴BC2＝BF•BD， ∵∠A＝30°＝∠B， ∴∠DOE＝60°， ∵OD＝OE， ∴△ODE是等边三角形， ∴DE＝OD＝BD， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC， ∴AC2＝BF•DE． 【点评】本题考查相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，切线性质，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，切线性质，圆周角定理是解题的关键． 26．（9分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标； （2）在坐标系中画出图象； （3）结合图象写出y＜0时，变量x的取值范围是　1＜x＜3　 ．当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是　﹣1≤y≤3　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）顶点坐标为（2，﹣1）；与x轴交点坐标为（1，0），（3，0）； （2） ； （3）1＜x＜3；﹣1≤y≤3． 【分析】（1）把二次函数化为顶点式，把y＝0代入抛物线的解析式，求出x的值，即可得出答案； （2）先列表，再描点、连线，画出函数图象即可； （3）根据画出的图象，由图象即可得出y＜0时，自变量x的取值范围，由图象得出0≤x≤3时，函数值y的取值范围即可． 【解答】解：（1）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3． ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， 把y＝0代入y＝x2﹣4x+3得0＝x2﹣4x+3， 解得：x1＝3，x2＝1， ∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0）； （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 描点、连线，如图所示： （3）根据函数图象可知：当y＜0时，自变量x的取值范围为1＜x＜3；当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3． 故答案为：1＜x＜3；﹣1≤y≤3． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，画二次函数图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（10分）如图，将△ABC的边AC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）至CD，直线CD，AB交于点E，连接AD，直线AD，BC交于点F． （1）如图1，当α＜∠ACB时，若∠F＝45°，AB＝AC＝5，CE＝4，求BC的长； （2）如图2，当α＜∠ACB时，若∠BEC＝2∠F，∠BAF+∠BCD＝∠F，猜想线段AD与BF之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当180°＜α＜180°+∠ACB时，若∠BEC＝60°，AB＝AC＝6，点P在线段AD上且满足，G，H分别为线段CP，AP上两点，连接GH，将△ACP沿GH折叠使得点P的对应点P′落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O，请直接写出CP最小时，点O到AC的距离． 【考点】几何变换综合题． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）； （2）ADBF； （3）． 【分析】（1）可推出AB⊥CD，进一步得出结果； （2）作CQ⊥AF于Q，作BW⊥AF于W，设∠F＝β，∠BAF＝γ，可推出β＝45°，AB＝AC，进而证得△ABW≌△CAQ，从而AQ＝BW，进一步得出结果； （3）可推出∠AFB＝60°，以AC为底边作等腰三角形AIC，使∠AIC＝120°，可推出点F在以I为圆心，2为半径的圆上运动，作直径CV，延长AV至X，使AX＝3，连接IF，可证得△XAP∽△ICF，进而得出XPIF＝3，从而得出点P在以X为圆心，3为半径的圆上运动，连接CX，交⊙X于P″，此时CP″最小，即P在P′′处，CP最小，可求的CP的最小值；可推出点O在△ACP的中位线上运动，作PS⊥AC于S，根据sin∠ACX，进而求得结果． 【解答】解：（1）设∠BAF＝β， ∴∠ABC＝∠F+∠BAF＝45°+β， ∵AB＝AC＝5， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°+β， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝90°﹣2β， ∴∠CAD＝∠BAF+∠BAC＝90°﹣β， ∵边AC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）至CD， ∴AC＝CD， ∴∠ADC＝∠CAD＝90°﹣β， ∴∠BAF+∠ADC＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ∵AC＝5，CE＝4， ∴AE＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2， ∴BC； （2）如图1， 作CQ⊥AF于Q，作BW⊥AF于W， 设∠F＝β，∠BAF＝γ， ∴∠BEC＝2β， ∵∠BAF+∠BCD＝∠F， ∴∠BCD＝β﹣γ， ∵∠ABC＝∠F+∠BAF＝β+γ， ∴∠ABC+∠BCD＝2β， ∴∠ABC+∠BCD＝∠BEC， ∵∠ABC+∠BCD+∠BEC＝180°， ∴∠ADE＝90°﹣∠BAF＝90°﹣γ， ∵∠ABF+∠BCD＝∠ADE， ∴β+（β﹣γ）＝90°﹣γ， ∴β＝45°， ∴∠AFB＝45°，∠BCD＝45°﹣γ，∠ABC＝45°+γ， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠DAC＝90°﹣γ， ∴∠ACD＝180°﹣（∠ADC+∠DAC）＝2γ， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝2γ+（45°﹣γ）＝45°+γ， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵AC＝CD，CQ⊥AF， ∴∠ACQ，AD＝2AQ， ∴∠BAF＝∠ACQ， ∵∠AWB＝∠AQC＝90°， ∴△ABW≌△CAQ（AAS）， ∴AQ＝BW， ∴AD＝2BW， ∵∠F＝45°，∠BWF＝90°， ∴BWBF， ∴ADBF； （3）如图2， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 设∠B＝∠ACB＝δ， ∴∠BAC＝180°﹣2δ， ∵∠BEC＝60°， ∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BCE＝120°﹣δ， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝δ﹣（120°﹣δ）＝2δ﹣120°， ∵AC＝CD， ∴∠D＝∠CAD， ∵∠D+∠CAD＝∠ACE＝2δ﹣120°， ∴∠CAD＝δ﹣60°， ∴∠AFB＝∠ACB﹣∠CAD＝δ﹣（60°﹣δ）＝60°， 以AC为底边作等腰三角形AIC，使∠AIC＝120°， ∴AI＝CI， ∴点F在以I为圆心，2为半径的圆上运动， 作直径CV，延长AV至X，使AX＝3，连接IF， ∵， ∴∠XAF＝∠VCF， ∵， ∴△XAP∽△ICF， ∴， ∴XPIF＝3， ∴点P在以X为圆心，3为半径的圆上运动， 连接CX，交⊙X于P″，此时CP″最小，即P在P′′处，CP最小， ∵CV是⊙I的直径， ∴∠ACV＝90°， ∴CX3， ∴CP″＝CX﹣XP″＝33， ∵将△ACP沿GH折叠使得点P的对应点P′落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O， ∴OPPP′， ∴点O在△ACP的中位线上运动， 如图3， 作PS⊥AC于S， ∴∠PSC+∠CAX＝90°， ∴sin∠ACX， ∴， ∴SP， ∴OS， ∵当CP最小时，点O到AC的距离为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，圆周角定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $