17.2+平行四边形的判定（第3课时 平行四边形的性质和判定的综合应用）（教学课件）2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形性质与判定的综合应用，先复习线段关系判定方法，通过“能否用角关系判定”的问题引导逆向思考，构建从已知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以逆向思考（原命题与逆命题）培养推理意识，结合例1证明“两组对角相等的四边形是平行四边形”发展几何直观，用“判定思路表格”梳理方法体现模型意识。学生能提升推理与应用能力，教师可借助系统例题和总结高效教学。

17.2 平行四边形的判定 第3课时 平行四边形的性质与判定的 综合应用 第十七章 平行四边形 1.能够综合运用平行四边形的性质和判定定理解决进行计算和证明问题. 复习回顾 从“线段的关系”，判定平行四边形的方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义） ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（判定定理1） ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（判定定理2） 是否可以通过角的关系，来判定是平行四边形呢？ ④对角线互相平分的四边形是平行四边形；（判定定理3） 3 新知探究 角相等判定平行四边形 思考：由平行四边形的性质“平行四边形的对角相等＂，逆向思考，互换条件与结论，试写出它的逆命题． 条件 结论 平行四边形的两组对边分别相等 逆命题 一个四边形是平行四边形 这个四边形的对角相等 一个四边形的两组对角相等 这个四边形是平行四边形 你认为它是一个真命题吗？我们通过推理证明一下吧。 4 新知探究 例1 如图，在四边形中，. 求证：四边形是平行四边形． 证明：在四边形ABCD中， ∵， ∴，即， ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 角相等判定平行四边形 分析：根据，可以证明四边形的两组对边分别平行，从而根据定义可得四边形是平行四边形． 5 例2 如图，在 □ ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH. 求证：AC 与 HF 互相平分. D A C B H F ①要证 AC 和 HF 互相平分. ②想：平行四边形的对角线互相平分. ③通过判定定理 3 ，证明四边形 AFCH 是平行四边形. D A C B H F 证明 如图，分别连结 AH、CF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD (平行四边形的对边平行)， AB = CD (平行四边形的对边相等). 又∵BF = DH， ∴AB－BF = CD－DH，即 AF = CH. ∴四边形 AFCH 是平行四边形 (一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形). ∴AC 与 HF 互相平分 (平行四边形的对角线互相平分). 1.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD相交于点O，E、F 是对角线 AC 上的两点，给出下列四个条件： ①AE = CF；②DE = BF；③∠ADE = ∠CBF；④∠ABE = ∠CDF． 其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有 ( )　 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 B 2.如图，G、H 是 □ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AG = CH，E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点.求证：四边形 EHFG 是平行四边形. 证明：连结 EF 交 AC 于点 O . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = CD. 又∵E、F 分别是边 AB、CD 的中点，∴ AE = CF . 又∵AB // CD，∴∠EAO =∠FCO. O 在△AOE 和△COF 中， ∠EAO =∠FCO，∠AOE =∠COF，AE = CF， ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE = OF，OA = OC. 又 ∵AG = CH， ∴ OG = OH. ∴四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 平行四边形的判定定理 文字表述：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言：∵， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 归纳总结 角相等判定平行四边形 可以作为定义的拓展定理来使用哦。 D A C B 10 典例分析 例3 四边形和都是平行四边形， 求证:四边形是平行四边形. 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵四边形是平行四边形 ∴ . ∴.（平行线的传递性） ∴四边形是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 综合利用性质与判定证明平行四边形 A B C D E F 11 在利用平行四边形的判定和性质进行证明时，既可以根据已知条件正推出一些结论，再进行证明或求解，也可以根据需要求证或求解的问题反推出需要的条件. 例4 如图，在□ ABCD 中，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，连接AF，CE求证：AF = CE． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AB∥CD， ∴∠ABE = ∠CDF． 又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB = ∠CFD = 90°，AE∥CF， 在△ABE 和△CDF 中， ∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE = CF， ∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AF = CE． 判定平行四边形的基本思路 已知条件 基本思路 一组对边平行 一组对边相等 一组对角相等 已知条件与对角线有关 可以证明这组对边相等或另一组对边平行 可以证明这组对边平行或另一组对边相等 可以证明另一组对角相等 可以证明对角线互相平分 例5 如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，AF＝CE． （1）求证: △ABE ≌ △CDF； 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD，AD ＝BC，∠B＝∠D． ∵AF ＝ CE， ∴AD－AF ＝ BC－CE，即 DF ＝ BE． 在△ABE 和△CDF 中， ∵AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE ≌ △CDF (SAS)． 如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，AF＝CE． （2）连结 EF．请直接添加一个与线段相关的条件， 使四边形 ABEF 是平行四边形． 解: BE＝CE (答案不唯一)． 归纳总结 综合利用性质与判定证明平行四边形 平行四边形性质 + 判定综合解题技巧 一、先记牢核心知识点（做题基础） 二、综合题通用做题思路 1.步骤1：先看题目给了什么 （1）已知平行四边形 → 优先写：对边平行、对边相等、对角线平分； （2）已知中点、线段相等 → 想对角线互相平分； （3）已知平行线、角相等 → 想对边平行； 2.步骤2：明确要证什么 （1）证平行四边形 → 从5条判定里选最合适的一条； （2）证线段相等/平行 → 先证所在四边形是平行四边形 ； 3.步骤3：选判定的小技巧 （1）题目给平行多 → 用“一组对边平行且相等”或“两组对边平行”； （2）题目给相等线段多 → 用“两组对边相等”； （3）出现对角线、中点 → 优先试“对角线互相平分”； （4）角度条件多 → 用“两组对角相等”。 17 1. 在□ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 ( ) A．AF = CE B．AE = CF C．∠BAE =∠FCD D．∠BEA =∠FCE B 2. 如图，将四根木条钉成一个长方形框架ABCD，向右拉动框架得到四边形BCFE，下列判断错误的是(　　) A．四边形BCFE为平行四边形 B．点E，F到边BC的距离相等 C．四边形ABCD的周长不变 D．对角线的长度不变 D 例6 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B D C 证明 在四边形 ABCD 中， ∵∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，∠A =∠C，∠B =∠D， ∴2(∠A +∠B) = 360°，即∠A +∠B = 180°. ∴AD∥ CB. 同理可证 AB // CD . ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形). 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，若 ∠B ＝ 56°， 则 ∠A =_____，∠C =_____，∠D =_____. 解题依据： ①两直线平行，同旁内角互补； ②平行四边形，对角相等. 124° 124° 56° 典例分析 例7 如图，在□中，点分别在边上，且. 求证：与互相平分. 证明：如图，分别连结. ∵四边形是平行四边形， ∴(平行四边形的对边平行)， (平行四边形的对边相等). 又∵， ∴， 即 . ∴四边形是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). ∴与互相平分 (平行四边形的对角线互相平分). 利用性质与判定探究线段、角的关系 D A C B H F 22 归纳总结 1.对于边：从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探究邻边或对边的关系； 2.对于角：以邻角和对角两方面为主，探究其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数； 3.对于对角线：则探究两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系. 利用性质与判定探究线段、角的关系 23 通过这节课的学习，你能熟练运用平行四边形的性质和判定来解决与平行四边形相关的问题吗？ $