四川德阳市2025-2026学年九年级数学下学期阶段测试（人教版）

**基本信息** 德阳九年级数学中考模拟卷，原创题融合德阳消费数据、数学文化等真实情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学计数法（第3题）、平行四边形性质（第5题）|结合“五一”消费数据考应用（第3题）| |填空题|5/20|概率（第11题）、函数最值（第14题）|数学文化节背景下考概率（第11题）| |解答题|7/90|二次函数综合（第22题）、几何证明（第21题）|梯度分明，从基础运算（第16题）到综合探究（第22题）|

Sheet1 题号 题型 分值 考查知识点 难度系数 1 选择题 4 相反数 0.85 2 选择题 4 幂的运算、单项式乘法 0.75 3 选择题 4 科学记数法（单位换算） 0.7 4 选择题 4 一次函数平移、交点与三角形面积 0.65 5 选择题 4 特殊平行四边形判定 0.8 6 选择题 4 坐标与旋转（旋转90°） 0.7 7 选择题 4 众数、中位数 0.8 8 选择题 4 圆的切线、直角三角形、扇形面积 0.65 9 选择题 4 等边三角形折叠、相似三角形 0.6 10 选择题 4 二次函数新定义（变函数）综合 0.55 11 填空题 4 概率（简单列举法） 0.8 12 填空题 4 因式分解（提公因式、完全平方） 0.75 13 填空题 4 函数自变量取值范围（二次根式+分式） 0.7 14 填空题 4 正方形动点最值（平移构造） 0.6 15 填空题 4 反比例函数几何综合（面积、相似） 0.55 16(1) 解答题 7 实数运算（乘方、绝对值、负指数幂、零次幂） 0.75 16(2) 解答题 7 不等式组及整数解 0.7 17 解答题 11 频数分布表与直方图、百分比计算 0.75 18 解答题 11 一次函数解析式、三角形面积、图象解不等式 0.7 19 解答题 12 矩形折叠、勾股定理 0.65 20 解答题 13 二元一次方程组、分式方程应用 0.65 21 解答题 14 圆切线证明、相似三角形、勾股定理 0.6 22 解答题 15 二次函数综合（解析式、相似比、定值面积） 0.55 $ 四川德阳九年级数学下学期阶段测试（中考自编模拟卷） 人教版 考试时间：120min 总分150分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的) 1．已知的相反数是a，则a的值为（　　） A．3 B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（原创）今年“五一”假期，我市紧扣“嗨购五一·惠享德阳”主题，坚持“政策+活动+场景”三轮驱动。据银联商务数据监测，5月1日—5日，全市线下消费26.3亿元，全市消费市场呈现“量质齐升、供需两旺”的良好态势。若以元为单位，下列用科学计数法表示该消费总额正确的是（   ） A．2.63×108 B．2.63×109 C．2.63×1010 D．26.3×108 4．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 5．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形； B．当时，四边形是菱形； C．当时，四边形是矩形； D．当时，四边形是正方形． 6．如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．为了解德阳中学初三某班学生每周使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如表： 每周使用零花钱（单位：元） 10 20 30 50 60 人数 2 5 4 3 1 则这15名同学每周使用零花钱的众数和中位数分别是（    ） A．5，4 B．20，30 C．5，5 D．20，20 8．如图，是的切线，切点为A，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C和D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则（    ） A． B． C． D． 10．定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的变函数． 例如：函数，它的变函数解析式为则关于函数，该函数图像经过点， 该抛物线的对称轴为直线； ②当，时，； ③若点、均在抛物线上，则的最小值为； ④若是的变函数，的函数图像仍然关于直线对称； ⑤若是的变函数，直线与的函数图像恰好有两个交点时，， 则其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上) 11．在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小陶从我国3位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小陶选中赵爽的概率是______． 12．分解因式：______． 13．若有意义，则的取值范围是______． 14．如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 15．如图，点A在双曲线（k是常数，，）上，点C在双曲线上，连接交x轴于点B，点D在x轴上，若，，且的面积为1，则k为____ ． 第II卷(非选择题，共90分) 三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.) 16．（14分）解下列各题： （1）（原创）（7分）+tan60°； （2）（7）求不等式组的整数解． 17.（11分）2026年5月在庆祝长三角地区首台“华龙一号”核电机组——中广核浙江三澳核电项目1号机组圆满完成168小时试运行、正式具备商业运行条件并投产发电的系列活动中，某校团委为调研本校学生对我国自主三代核电技术“华龙一号”的了解情况，在全校学生中随机抽取了20名学生，进行了知识测试，他们的成绩如下（满分100分）：                                           数据处理： 频数统计表（例如表示大于等于同时小于） 分组 人数（频数） 根据以上信息，解答下列问题： (1)频数统计表中，________，________； (2)补全频数直方图； (3) 若规定成绩在70分及以上为合格，请你计算抽取的学生中合格人数所占的百分比，并提出一条提高学生对“华龙一号”及核电技术了解程度的合理化建议。 18.（11分）如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线上的点C在第一象限，且，求点C的坐标； (3)根据图象直接写出：当x取何值时，． 19．（12分）（原创）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=15，点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处。 (1)求BD的长度以及DF的长度。 (2)求AE的长度。 20．（13分）某社区为庆祝“三八”国际妇女节，计划采购一批洗发套装和品牌护手霜作为慰问品，赠送给社区的女性环卫工人．已知购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元，购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元． (1)求每套洗发套装和每支品牌护手霜的进价分别是多少元？ (2)该社区联系到更优惠的供应商后，洗发套装的进价每套降低了元，品牌护手霜的进价每支降低了元．若用元购进洗发套装的数量与用元购进品牌护手霜的数量相同，求的值为多少？ 21．（14分）如图，，是的直径，连接，，过点作于点，交于点，交于另一点，延长至点，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 22．（15分）已知抛物线交x轴于点和B点，对称轴为，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线上不与重合的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为上方抛物线上一点，于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为的中点，直线交抛物线于点E，若直线的交点为点N，试判断的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川德阳九年级数学下学期阶段测试（中考自编模拟卷） 人教版 考试时间：120min 总分150分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的) 1．已知的相反数是a，则a的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是3， ∴． 2．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，正确． 3．（原创）今年“五一”假期，我市紧扣“嗨购五一·惠享德阳”主题，坚持“政策+活动+场景”三轮驱动。据银联商务数据监测，5月1日—5日，全市线下消费26.3亿元，同比增长3.5%。全市消费市场呈现“量质齐升、供需两旺”的良好态势。若以元为单位，下列用科学计数法表示该消费总额正确的是（   ） A．2.63×108 B．2.63×109 C．2.63×1010 D．26.3×108 【答案】B 【详解】解析：26.3亿元 = 26.3×108.选项A少一个数量级，选项C多一个数量级，选项D未化为科学计数法的规范形式（a×10ⁿ中1≤|a|<10） 4．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为， 令，分别求两条直线与轴的交点坐标： 对，，解得 ， 即与轴的交点为； 对，， 解得， 即与轴的交点为； ∴三角形在轴上的底边长为． 联立与的方程求交点： 解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为． ∴三角形面积． 5．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形； B．当时，四边形是菱形； C．当时，四边形是矩形； D．当时，四边形是正方形． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， 选项A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故A结论正确，不符合题意； 选项B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故B结论正确，不符合题意； 选项C、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此当时，四边形是矩形，故C结论正确，不符合题意； 选项D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，因此当时，四边形是矩形，不一定是正方形，故D结论错误，符合题意． 6．如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，原中轴， 因此，， 绕逆时针旋转后，如图： 在中轴， 因此，， 旋转后落在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正）， 因此坐标为． 7．为了解德阳中学初三某班学生每周使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如表： 每周使用零花钱（单位：元） 10 20 30 50 60 人数 2 5 4 3 1 则这15名同学每周使用零花钱的众数和中位数分别是（    ） A．5，4 B．20，30 C．5，5 D．20，20 【答案】B 【详解】解：∵一共调查了15名同学，即共有15个数据， 由表格可知，每周零花钱为20元的人数最多，为5人， ∴众数为20． 将15个数据从小到大排列，中位数为第8个数据， 累计人数可得，前两组（10元、20元）共有个数据，因此第8个数据为30， ∴中位数为30． 8．如图，是的切线，切点为A，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的切线，切点为A， ∴，即， 在中，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积． 9．如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C和D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 为等边三角形， ． 由折叠的性质可知：． ，， ，， ． 又， ． 与的相似比等于其周长之比． 的周长， 的周长， ． ， ． 10．定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的变函数． 例如：函数，它的变函数解析式为则关于函数，该函数图像经过点， 该抛物线的对称轴为直线； ②当，时，； ③若点、均在抛物线上，则的最小值为； ④若是的变函数，的函数图像仍然关于直线对称； ⑤若是的变函数，直线与的函数图像恰好有两个交点时，， 则其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：∵经过点， ∴， 整理得， ∴， ①对称轴为直线，故①正确； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在范围内，顶点在对称轴处，函数取得最大值，离对称轴距离最远，函数取得最小值， 当时，，为最大值 当时，，为最小值 ∴，故②正确； ③∵点在抛物线上 ∴， ∴ ∵， ∴的最小值为，故③正确； ④根据定义， 取，它关于的对称点为， 当时，，当时， ∵， ∴， 故不关于对称，④错误； ⑤时，，顶点为， 当时，直线与恰好有个交点；当时，直线也恰好与有个交点，故⑤正确； 综上，正确结论共个． 二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上) 11．在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小陶从我国3位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小陶选中赵爽的概率是______． 【答案】 【详解】解：将祖冲之、刘徽、赵爽分别记为、、，从位数学家中随机选取两位，所有等可能的结果为：，，，共种，其中选中赵爽的结果有种，因此小陶选中赵爽的概率为. 12． 分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 13． 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数为非负数，且分式的分母不等于零，可得： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是且． 14．如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：延长到点，使，连接、、，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴由图可得的最小值为， 在中，勾股定理可得， ∵，， 解得：， ∴的最小值为：， 15.如图，点A在双曲线（k是常数，，）上，点C在双曲线上，连接交x轴于点B，点D在x轴上，若，，且的面积为1，则k为____ ． 【答案】 【详解】解：如图，过A点作轴于E点，过C点作轴于F点， 设，，其中，， 则，，，， ，， ，， 且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第II卷(非选择题，共90分) 三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.) 16．（14分）解下列各题： (1)+tan60°； 【答案】-7 【详解】解：-+tan60 + -7； 【评分细则】 每个知识点运算正确得1分：(-1)^{2026}=-1，绝对值化简得2-√3，负指数幂=9，零次幂=1，tan60°=，再合并同类项，结果-7。步骤分：前5项每正确一项得1分，合并√3得1分，最终结果正确得1分，共7分。 （2）（7分）求不等式组的整数解． 【答案】不等式组的整数解为1和2 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为1,2． 【评分细则】 正确解出每个不等式各2分（共4分），正确写出解集2分，写出整数解1分。共7分。 17.（11分）2026年5月在庆祝长三角地区首台“华龙一号”核电机组——中广核浙江三澳核电项目1号机组圆满完成168小时试运行、正式具备商业运行条件并投产发电的系列活动中，某校团委为调研本校学生对我国自主三代核电技术“华龙一号”的了解情况，在全校学生中随机抽取了20名学生，进行了知识测试，他们的成绩如下（满分100分）：                                             数据处理： 频数统计表（例如表示大于等于同时小于） 分组 人数（频数） 根据以上信息，解答下列问题： (1)频数统计表中，________，________； (2)补全频数直方图； (3)若规定成绩在70分及以上为合格，请你计算抽取的学生中合格人数所占的百分比，并提出一条提高学生对“华龙一号”及核电技术了解程度的合理化建议。 (1)， (2)画图见详解 (3)，建议：学校可增加对核电科学技术普及的宣传活动． 【答案】(1)， (2)画图见详解 (3)，建议：学校可增加对核电科学技术普及的宣传活动． 【详解】（1）解：学生成绩在的有人，在的有人，故，； （2）解：频数直方图如图所示； （3）解：抽取的学生中合格人数所占的百分比为， 建议：学校可增加对核电科学技术普及的宣传活动． 【评分细则】 (1)每空2分，共4分；(2)补全直方图3分（每个柱子高度正确）；(3)计算合格率3分（列式2分，结果1分），提出合理建议1分。共11分。 18.（11分）如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线上的点C在第一象限，且，求点C的坐标； (3)根据图象直接写出：当x取何值时，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将，分别代入中， 得解得 故直线的解析式为． （2）解：设点C的纵坐标为m（）， ， ，解得． 将代入，得，解得， ． （3）解：∵直线与轴的交点为， ∴由图象可知，当时，． 【评分细则】 • (1)求解析式3分（列方程组1分，解对得2分）；(2)利用面积列方程3分，解出坐标2分，共5分；(3)写对范围3分。共11分。 19．（原创）（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=15，点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处。 (1)求BD的长度以及DF的长度。 (2)求AE的长度。 【答案】（1）9 （2）4.8 【详解】 （1）在矩形ABCD中,∠=90° 在Rt△ABD中，BD2= +AD2 ∵AB=8,AD= BC=15, ∴BD=17 又∵△ABE沿BE折叠得到△FBE, ∴AB= BF =8, ∴DF = BD- BF =17-8=9. （2） 设AE=X, 则DE=AD-AE=15 -X 由折叠可知EF= AE=X, ∠EFB=∠A= 90°, ∠EFD= 90°. ∴Rt△DEF中：EF2+DF2=DE2，即x2+92=(15-X)2 解得x=4.8 【评分细则】 (1) 求BD：写出勾股定理1分，结果正确1分（小计2分）；求DF：由折叠得BF=AB=8（1分），DF=BD-BF=9（1分）。（共4分） (2) 设AE=x（1分），表达DE=15-x（1分），EF=x（1分），在Rt△DEF中列方程x²+9²=(15-x)²（2分），解方程得x=4.8（3分）。（共8分）总计12分。 20．（13分）某社区为庆祝“三八”国际妇女节，计划采购一批洗发套装和品牌护手霜作为慰问品，赠送给社区的女性环卫工人．已知购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元，购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元． (1)求每套洗发套装和每支品牌护手霜的进价分别是多少元？ (2)该社区联系到更优惠的供应商后，洗发套装的进价每套降低了元，品牌护手霜的进价每支降低了元．若用元购进洗发套装的数量与用元购进品牌护手霜的数量相同，求的值为多少？ 【答案】(1)每套洗发套装的进价为元，每支品牌护手霜的进价为元 (2) 【详解】（1）解：每套洗发套装的进价为元，每支品牌护手霜的进价为元， 由题意得，， 解得， 答：每套洗发套装的进价为元，每支品牌护手霜的进价为元； （2）解：由题意得，， 解得； 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：的值为． 【评分细则】 (1) 正确设未知数1分，列对方程组2分，解对一组得1分，两组全对再得1分，写出答1分（共5分）。 (2) 列出分式方程3分，正确变形求解3分（去分母、化简），检验2分，答1分（共8分）。总计13分。 21．（14分）如图，，是的直径，连接，，过点作于点，交于点，交于另一点，延长至点，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径是 【详解】（1）解：是的直径， ，即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线 . （2）证明：是的直径， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ； （3）解：∵， ∴设，， ，， ， ，， ， 又， ， ，即， ， ，， ， ， ， 解得， ，即的半径是. 【评分细则】 (1) 证明切线：正确证明∠OCG=90°得4分（关键步骤：∠GCB=∠FBP，∠OBC=∠OCB，推出∠OCB+∠GCB=90°）。 (2) 证明乘积式：先证△FBC∽△CBD得BF·BD=BC²（2分），再证△PCB∽△BCF得PC·CF=BC²（2分），结合CG=CF得结论（1分）。小计5分。 (3) 设参数得CF=3x,CO=2x（1分），表示出相关线段（1分），利用勾股求DG（1分），利用相似求BG（2分），利用BF=BG及DF=14/5列方程（2分），解出x=2得半径（2分）。小计9分。总计14分。 22．（15分）已知抛物线交x轴于点和B点，对称轴为，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线上不与重合的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为上方抛物线上一点，于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为的中点，直线交抛物线于点E，若直线的交点为点N，试判断的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积是定值，2 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， 且过点， 由对称性，点的坐标为， 将和代入， ， 解得，， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入得， , 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交轴于点，过点作于点， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 消去 ，得， ， 点的坐标为； （3）解：是的中点， ， 设且， 设，将和代入得 ， 解关于的方程组， ， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线，消去得， 整理，得 ， 由韦达定理 ， ， 将代入，得 ， 设，将和代入得， ， 整理，得， ， ， 直线为， 设，将和代入得， ， ， 直线为； 设，将代入直线，得 ， ， 将代入直线，得 ， ， 整理，得， ， ， 的面积为定值2． 【评分细则】 (1) 求表达式4分（求B坐标2分，代入解方程2分）。 (2) 求D坐标：正确设出E,D坐标并建立相似关系（2分），列出方程（3分），解出b=7/2（2分），计算D纵坐标（1分）。共8分。 (3) 证明面积定值：设D(t, t²-4t+3)（1分），写出DM方程并求E坐标（2分），写出AE和DB方程（2分），联立求交点纵坐标得-2（2分），计算面积得2（1分）。共8分。总计15分。 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $