命题大赛 福建莆田市 2025-2026学年下学期高一数学期末模拟试卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 莆田市高一数学期末卷以“中国鞋都”质检、“荔城”荔枝采摘等本地文化情境设计原创题，如第8题双箱轮换质检概率、第19题荔枝文化节挑战赛，考查数学建模与应用能力，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、向量、统计抽样|第3题分层抽样结合本地学校数据，培养数据分析能力| |多选题|3/18|向量运算、概率事件|第10题荔枝采摘概率，考查对立事件与互斥事件判断| |填空题|3/15|复数模、直观图面积、几何最值|第13题斜二测画法还原面积，强化空间观念| |解答题|5/77|统计直方图、向量夹角、解三角形、立体几何、概率应用|第19题结合文化节志愿活动，设计甲、乙答题策略概率问题，体现数学思维与现实问题解决的结合|

《莆田市 2025-2026 学年下学期数学期末质量调研试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B C B C B ABD ABC 题号 11 答案 ACD 1．D 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法求出，再求模长即可. 【详解】， 所以． 故选：D. 2．C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．C 【难度】0.85 【知识点】总体百分位数的估计、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由题可求出分层抽样比为，故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，根据第40百分位数的定义即可求解. 【详解】由题可知分层抽样比为：， 故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，排序后分别为10，15，20，25，30. 因为，所以该组数据的第40百分位数为. 故选：C. 4．B 【难度】0.85 【知识点】随机数表法 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据， 依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084，371（超出299，舍去），169，285，074，360（超出299，舍去），295（重复出现，舍去），784（超出299，舍去），183 即得到的第7个样本编号是183. 故选：B. 5．C 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面位置关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：若，则的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，则的位置关系不确定，故B错误； 对C：若，则//，故C正确； 对D：若，则的位置关系不确定，故D错误. 故选：C. 6．B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：B. 7．C 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C．[方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 8．B 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【详解】红箱总共有5+3=8只鞋底，其中不合格 3 只 从红箱取到不合格鞋底的概率：P(红箱取不合格)= 白箱总共有3+5=8只鞋底，其中不合格 5 只 从白箱取到不合格鞋底的概率：P(白箱取不合格)= 第一次取不合格的概率P1​，题目规定第一次固定从红箱抽取，因此：P1​= 对应的，第一次取到合格鞋底的概率：1−P1​=1−​= 第二次取不合格的概率P2​，第二次取到不合格鞋底，只有两种互斥的情况（不能同时发生）： 第一次取合格 → 第二次从红箱取不合格 第一次取不合格 → 第二次从白箱取不合格 根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式： P2​​=P(第一次合格)×P(红箱取不合格)+P(第一次不合格)×P(白箱取不合格)= ×+​×= 计算第三次取不合格的概率P3​，第三次取到不合格鞋底，同样只有两种互斥的情况： 第二次取合格 → 第三次从红箱取不合格 第二次取不合格 → 第三次从白箱取不合格 第二次取到合格鞋底的概率：1−P2​=1−= 代入公式计算：P3​​=P(第二次合格)×P(红箱取不合格)+P(第二次不合格)×P(白箱取不合格)= ​×​+×​=​+= ​​故选：B 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积、求投影向量 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 10．ABC 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 选项 A 解析 考查点：对立事件的定义 事件 "至少去一个采摘园"：包含 "去 1 个"、"去 2 个"、"去 3 个" 三种情况 事件 "一个采摘园都不去"：只有 "甲、乙、丙都不去" 这一种情况 这两个事件不能同时发生，且覆盖了所有可能的结果，符合对立事件的定义 选项 B 解析 考查点：互斥事件的概率加法公式 "恰好去一个采摘园" 包含三个互斥的情况： 只去甲园，不去乙、丙园：概率为​×​×=​ 只去乙园，不去甲、丙园：概率为​××=​​ 只去丙园，不去甲、乙园：概率为​××​=​​ 总概率： P(恰好去一个)= ​+​+​= 选项 C 解析 考查点：对立事件的概率公式 "至少去两个采摘园" 的对立事件是 "至多去一个采摘园"，包含： 一个都不去：概率为​××=​ 恰好去一个：概率为​（同选项 B） 所以至多去一个的概率：​+=​ 因此至少去两个的概率： P(至少去两个)=1−​= 选项 D 解析 考查点：互斥事件的定义 互斥事件是指两个事件不能同时发生. 事件 "去甲园但不去丙园"：包含 "甲去、乙去、丙不去" 和 "甲去、乙不去、丙不去" 两种情况 事件 "去乙园"：包含所有乙园被去的情况 这两个事件可以同时发生（比如 "甲去、乙去、丙不去"），因此不是互斥事件 结论：D 错误 11．ACD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、异面直线的判定 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 12． 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 13．6 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 14． 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】设，，由正弦定理求解，再结合三角形面积公式及三角函数辅助角公式求三角函数最值得出结果. 【详解】设，，则中，， 由正弦定理得：，∴， 在中，，，同理可得， 因此可得， ， 因为，其中，， 由于，，所以当时，， 所以，则的最小值为. 故答案为：. 15．（Ⅰ）0．3（Ⅱ）71（Ⅲ） 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（Ⅰ）由题意得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的概率；（Ⅱ）平均数为每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和；（Ⅲ）由题意，根据直方图计算出[80，90）分数段的人数为15人；[90，100]分数段的人数为3人；由分层抽样得在[80，90）与[90，100]分数段抽取人数分别为5人，1人．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．再利用古典概型计算出事件发生的概率即可 【详解】（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为： （Ⅱ）平均分为： （Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：人 [90，100]分数段的人数为：人； ∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人， 记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的 分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人． 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件， 则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C）， （B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种． 事件包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种． ∴恰有1人的分数不低于90分的概率为 16．(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得 （2）根据向量夹角为锐角，可得数量积大于且不共线，代入坐标计算即可. 【详解】（1）因为 ，且 . 所以 ，即. 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 ，又 ， 所以 . 因为 和 的夹角为锐角， 所以 且 与 不共线， 则 ，解得 . 因为 与 不共线，所以，即 ， 所以 的取值范围是 . 17．(1) (2); 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得； （2）由向量数量积的定义求出，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【详解】（1）    连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法]    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 19．(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）利用对立事件概率公式计算即可； （2）利用对立事件概率公式计算即可； （3）利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可. 【详解】（1）甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 甲通过第一轮挑战赛的概率为. （2）乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 乙通过第一轮挑战赛的概率为. （3）甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为. 答案第2页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 求复数的模、复数的除法运算 0.94 2 单选题 5 判断命题的充分不必要条件、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 0.65 3 单选题 5 总体百分位数的估计、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 0.85 4 单选题 5 随机数表法 0.85 5 单选题 5 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 0.85 6 单选题 5 正弦定理解三角形、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 0.65 7 单选题 5 锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 0.4 8 单选题 5 有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 0.65 9 多选题 6 数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积、求投影向量 0.65 10 多选题 6 互斥事件的概率加法公式 0.85 11 多选题 6 证明线面平行、证明线面垂直、异面直线的判定 0.65 12 填空题 5 求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 0.65 13 填空题 5 由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 0.65 14 填空题 5 正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 0.65 15 解答题 13 频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数 0.65 16 解答题 15 由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 0.75 17 解答题 15 正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 0.65 18 解答题 17 求点面距离、求二面角、证明线面平行 0.65 19 解答题 17 利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 0.65 $ 莆田市2025-2026年下学期期末质量调研试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数满足（i为虚数单位），则（   ） A．1 B． C． D． 2．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．莆田市教育局对全市五所高中的高一学生进行体质健康测试.已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（   ） A．15 B．20 C．17.5 D．30 4．某地区为了调查木兰溪沿岸居民对于生态保护的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（   ） 2145  7016  3388  2954  0761  1084  3711  6928  5074  3602  9578 4183  1572  6049  0839  2456  8109  8043  1967  5203  9845  9625 A．084 B．183 C．371 D．295 5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则// D．若，则 6．在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 8．（原创）莆田被誉为 "中国鞋都"，夏季是运动鞋生产销售旺季。某鞋厂采用 "双箱轮换质检法" 检查鞋底质量：红箱内有 5 只合格鞋底和 3 只不合格鞋底，白箱内有 3 只合格鞋底和 5 只不合格鞋底。质检规则如下： 1. 第一次从红箱内随机取出 1 只鞋底检查，检查后放回原箱 2. 从第二次开始，每次都从与上一次取出鞋底质量相同的箱子内取 1 只，检查后放回 3. 记第n次取出不合格鞋底的概率为Pn​ 则P3​的值为（ ） A. B. C. ​ D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．（原创）莆田素有 "荔城" 美誉，六月荔枝红遍城乡。某同学周末计划前往三个荔枝采摘园：甲园、乙园、丙园。已知他去每个采摘园的概率均为​，且是否去各园相互独立。设事件A="去甲园采摘"，事件B="去乙园采摘"，事件C="去丙园采摘"，则下列说法正确的是（ ） A. 事件 "至少去一个采摘园" 与事件 "一个采摘园都不去" 互为对立事件 B. 事件 "恰好去一个采摘园" 的概率为 C. 事件 "至少去两个采摘园" 的概率为 D. 事件 "去甲园但不去丙园" 与事件 "去乙园" 互斥 11．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面ABC B． C．平面 D．PQ与MN相交 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 13．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 14．已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：，，…， 后得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求分数在内的频率； （Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分； （Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 16．直角坐标系中，已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 17．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 18．如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 19．莆田市举办2026 夏季荔枝文化节趣味挑战赛，旨在推广莆田荔枝文化，鼓励居民参与志愿活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配 4 道难度相当的荔枝知识题，参赛选手需依次回答 4 道题目，任何 1 道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前 2 道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答 1 道题就需要后期参与一次荔枝采摘志愿活动；若 4 道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道题的概率均为.甲热爱志愿活动，若需要答题机会，他愿意参与；乙不热爱志愿活动，若前 2 道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立. （1）求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求乙通过第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙中只有 1 人通过了第一轮挑战赛的概率. 试卷第4页，共5页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $