精品解析：上海市金山中学2026届高三下学期数学素养检测5

2026届金山中学高三下素养检测5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 2. 抛物线的准线方程为_____. 3. 已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 4. 已知，则实数_____ 5. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______. 6. 已知空间向量，，共面，则实数______ 7. 方程的解为___________. 8. 现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 9. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______. 10. 已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 11. 雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 12. 已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 14. 已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（ ） A. 1 B. C. 无穷多个 D. 前面的说法都有可能 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．现有以下4个命题，其中所有的真命题为（ ）． ①存在“旋转函数”； ②“旋转函数”一定是“旋转函数”； ③若为“旋转函数”，则； ④若为“旋转函数”，则． A. ①③④ B. ①②④ C. ①④ D. ①③ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据．企业月收入（单位：万元）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． （1）求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层随机抽样的方式从月收入在，，内的企业中抽取6家进行问卷调查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在内的企业数为，求随机变量的分布列与数学期望． 18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，. （1）求证：平面BDS； （2）若，求四棱锥的体积. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，若的平分线交于，求的长. 20. 已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴．过作直线l交椭圆于A、B两点． （1）当的周长为8，椭圆的焦距为2时，求曲线及的方程； （2）当时，已知椭圆的上顶点为，是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标； （3）当时，是否存在椭圆的切线，其与双曲线的左、右两支分别交于点、，使得？若存在，求出所有满足要求的直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届金山中学高三下素养检测5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 2. 抛物线的准线方程为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程即得． 【详解】由抛物线， 抛物线的准线方程为． 故答案为：． 3. 已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 4. 已知，则实数_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 5. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______. 【答案】 【解析】 【详解】 考点：复数的模 6. 已知空间向量，，共面，则实数______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【详解】设，即， 故，解得. 故答案为：3 7. 方程的解为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】由对数运算法则化方程为．再根据对数函数的性质求解． 【详解】由得， 所以，解得． 故答案为：8． 8. 现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法1：条件概率公式法； 方法2：缩小样本空间法. 【详解】方法一：设事件A为“女生甲被选中”，事件B为“选取的3人包含2名男生和1名女生”，所求概率为条件概率. 1. 总基本事件数：从8人中任选3人的组合数为； 2. 事件A的基本事件数：先确定选女生甲，再从剩余7人中任选2人，即，故； 3. 事件AB（女生甲被选中且另外2人均为男生）的基本事件数：先选女生甲，再从5名男生中选2人，即，故； 4. 代入条件概率公式，得. 方法2：缩小样本空间法 已知女生甲已被选中，仅需从剩余的5名男生、2名女生共7人中再选2人，要求2人均为男生： 1. 该条件下样本空间的基本事件总数为； 2. 符合要求的基本事件数为从5名男生中选2人的组合数； 因此所求概率为. 9. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______. 【答案】0.6 【解析】 【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可. 【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以， 所以或． 由，得， 即， 所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可． 10. 已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出母线，作出圆台的轴截面，即可得出圆台的母线与底面所成角的平面角，进而可得出答案. 【详解】设圆台的母线长为， 由题意可得，解得， 作出圆台的轴截面如图所示，则即为圆台的母线与底面所成角的平面角， 且， 作，垂足为，则， 在中，， 所以圆台的母线与底面所成角的大小为. 故答案为：. 11. 雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 【答案】 【解析】 【分析】过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，先求出，，在中，利用正弦定理求得，再根据，求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】如图所示，过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，， 由题意，， 因为为得中点，所以，又，所以，， 又，， 由正弦定理得，所以， 又，所以， ， 所以， 所以, 所以阴影部分面积为. 故答案为： 12. 已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，， 设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系. 则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合本题的题意，可判断出答案. 【详解】根据题意，21位选手成绩的中位数是第11名的成绩，取前10名参加决賽，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的中位数. 故选：B. 14. 已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断 【详解】当时，则，则数列为递减数列， 当是递增数列时，，因为，所以，则可得， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 15. 设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（ ） A. 1 B. C. 无穷多个 D. 前面的说法都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】设出各点坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案. 【详解】设， 由得， 所以， 所以， 所以满足条件的点的个数为1个. 故选：A． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．现有以下4个命题，其中所有的真命题为（ ）． ①存在“旋转函数”； ②“旋转函数”一定是“旋转函数”； ③若为“旋转函数”，则； ④若为“旋转函数”，则． A. ①③④ B. ①②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，找出函数，即可得出结论；对于②，找出反例“倾斜角为的直线”，即可得出结论；对于③，利用函数是“旋转函数”，得出倾斜角为的直线与函数有至多1个交点，直曲联立得方程，对参数进行分类讨论，即可得出结论；对于④，利用函数是“旋转函数”，得出至多有1解，构造函数，利用单调性得出恒成立，构造函数，求导利用单调性即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意， 对于①，如，逆时针旋转后函数为，故①正确； 对于②，如倾斜角为的直线， 旋转后是倾斜角为函数，旋转后是垂直于轴的一条直线，不是函数， ∴ “旋转函数”不一定是“旋转函数”，②错误； 对于③， 在中，函数为“旋转函数”， ∴函数逆时针旋转后，不存在垂直于轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴不存在倾斜角为的直线，使其与函数有两个及以上交点， 即倾斜角为的直线与函数有至多1个交点， 直曲联立，解得， 当，即时，，至多一解，符合题意， 当，即时，为一元二次方程，， 对，都，使得，即方程有不止一个解， 故不合题意，舍去， ∴，③正确； 对于④， 在中，函数为“旋转函数”， ∴函数逆时针旋转后，不存在垂直于轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴不存在倾斜角为的直线，使其与函数有两个及以上交点， 即倾斜角为的直线与函数有至多1个交点， ∴即至多有1解， 在中，函数为单调函数， ， 为使为使函数为单调函数，其导数需恒为非正或恒为非负， ∵， ∴恒成立，单调递减， 即恒成立， 当时，，符合题意， 当时， 在中，， 当时，解得， ∴， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取得最小值， ， 解得：， 综上，，④正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据．企业月收入（单位：万元）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． （1）求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层随机抽样的方式从月收入在，，内的企业中抽取6家进行问卷调查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在内的企业数为，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1）（万元） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出的值，再将每个矩形中点的横坐标矩形面积全部相加即可； （2）根据分层随机抽样的抽取规则，求出6家企业中月收入在，，内的企业个数，利用古典概率计算公式求出相应概率，进而得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1知 ，解得. 所以月收入在，，，，，，内的频率分别为， 所以这1000家小微企业的月收入的平均数约为（万元）. 【小问2详解】 因为月收入在，，内的企业的比例为， 所以抽取的6家企业中月收入在，，内的企业数分别为. 所以从这6家企业中随机抽取3家企业，其中月收入在内的企业数的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为 所以数学期望为． 18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，. （1）求证：平面BDS； （2）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案； （2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案. 【小问1详解】 设AC与BD相交于点， 因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点. 又因为，所以平面BDS， 所以平面BDS. 【小问2详解】 因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则. 在中，，满足， 根据勾股定理逆定理可知，即. 由（1）知平面BDS，所以， . 则. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式得，再由三角函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，再结合题设条件及面积公式，建立方程，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，则，即，所以， 解得，又，所以，又的平分线交于，， 由，即， 得到，解得. 20. 已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴．过作直线l交椭圆于A、B两点． （1）当的周长为8，椭圆的焦距为2时，求曲线及的方程； （2）当时，已知椭圆的上顶点为，是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标； （3）当时，是否存在椭圆的切线，其与双曲线的左、右两支分别交于点、，使得？若存在，求出所有满足要求的直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）或或； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据的周长求出，结合椭圆的焦距得出，即可求出曲线及的方程； （2）求出曲线的方程，分别以点和点为圆心2为半径作圆，得出点的位置，即可求出点的坐标； （3）求出曲线及的方程，设出切线的表达式，分别与曲线及的方程联立，求出韦达定理，结合，即可求出切线的表达式. 【小问1详解】 由题意， 在中，的周长为8， ， ∵，， ，解得：， 椭圆的焦距为2， ∴，解得 ∴， 在双曲线中，实轴为椭圆的长轴，虚轴为椭圆的短轴， ∴. 【小问2详解】 由题意， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形，且是该三角形的腰， ∴①若，以点为圆心2为半径作圆，与椭圆有3个交点， 则， 解得或或， ，，， ②若，则以点为圆心2为半径作圆，与椭圆有2个交点， 一个为点，一个为点， 由对称性可知， 综上，点P的坐标为或或. 【小问3详解】 由题意，存在， 在中，， ∴， ∴，解得：，， 在双曲线中， 实轴为椭圆的长轴，虚轴为椭圆的短轴， ∴， 假设存在直线满足题意，切点为， 联立得， ，解得， 联立得， 设交点，则， ∴，， ∵， ∴，即， 整理，得， 其中 ∴， 化简，整理，解得， 结合，解得， ∴存在椭圆的切线l，其与双曲线的左、右两支分别交于点M、N，使， 满足要求的直线l的方程为. 21. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接取区间端点 ，计算，，不满足要求，故不是1级控制函数； （2）由定义化为​，得递增，即，分离得，从而得到最小值； （3）由控制函数定义及 得，利用在单调递增，得 ，应用换元法求得范围． 【详解】（1）由于， 故． 所以函数不是函数在区间上的1级控制函数． （2）由函数是函数在区间上的m级控制函数， 得， ， 从而， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 即在上为增函数， 故在上恒成立. 即， 在恒成立，即． 记，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，故实数m的最大值为e． （3）因为函数在区间上存在两个零点， 不妨设，且， 因为函数是在区间上的2026级控制函数， 所以，即， 所以， 即． 又函数在上单调递增，故有， 从而，即． 令， 则． 令，则， 从而， 即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $