第07讲 双曲线的解答题题型讲义-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线解答题，涵盖定义、标准方程、直线与双曲线位置关系等16类核心题型，按知识逻辑分层梳理，通过考点精讲、方法归纳（如点差法、韦达定理应用）、真题演练环节，帮助学生构建系统解题框架，突破难点。 讲义以题型为载体，融入数学思维与数学语言培养，如中点弦问题用点差法强化推理能力，面积最值问题结合函数思想提升运算能力。设置基础到综合变式训练，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升备考针对性。

第07讲 双曲线解答题题型归纳 目 录 知识要点 2 题型归纳 5 题型01：双曲线的定义及标准方程 5 题型02：直线与双曲线的位置关系 8 题型03：直线与双曲线相交弦问题 10 题型04：中点弦（点差法） 15 题型05: 焦点三角形问题 22 题型06：双曲线中的面积问题 23 （一）三角形面积 23 （二）三角形面积最值 24 （三）三角形面积求参数 26 （四）三角形面积的关系 27 （五）四边形面积 30 （六）四边形面积的最值 31 题型07：定点问题 33 题型08：定直线问题 41 题型09：定值问题 49 （一） 距离定值 49 （二） 斜率及斜率积商关系定值 52 （三） 面积定值 56 （四）其它定值 58 题型10：最值取值范围 61 （一） 距离 61 （二） 距离关系 63 （三） 面积 65 （四） 面积关系 68 （五） 斜率角度 70 （六） 参数 72 （七） 与数列结合的最值范围 74 题型11：证明问题 76 题型12：探索性问题 84 题型13：双曲线与向量 91 题型14：双曲线的切线和切点弦方程 97 题型15：双曲线的重心问题 98 题型16: 双曲线与数列 102 知识点一：直线与双曲线 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 直线与双曲线的位置关系的判断方法： (1) 代数法：通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断。①代入②得，， a. 当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点。 b. 当，即，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点。 (2) 几何法（渐近线法）：可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系,设此双曲线的渐近线斜率为. a. 当直线过点P且斜率等于时,直线与双曲线相交于一点,如图,直线①③均与双曲线右支交于一点; b. 当直线过P点且斜率在内时,直线与双曲线左右两支各交于一点,如直线②; c. 当直线过点P且斜率在内时,直线可能与双曲线的右支交于两点,如直线⑥,也可能与双曲线右支相切,如直线④,还可能与双曲线相离,如直线⑤. 知识二：弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 知识点三：“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. ①做法 利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。 设，中点M，,代入双曲线方程 得 ; 两式相减可得： ,当时，有，后使用点斜式求出直线方程。 ②弦的中点与直线的斜率的关系 若线段AB是双曲线的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在x轴】 若线段AB是双曲线 的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在y轴】 知识点四：双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 知识点五：双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．双曲线中的定点、定值问题 双曲线中的定点定值问题一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，双曲线中的过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 2．双曲线中的过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．双曲线中的定值问题的三个求解步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 题型01：双曲线的定义及标准方程 【典型例题1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【解析】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 【典型例题2】已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 【答案】(1)，点M的轨迹是除去，两点的双曲线 (2)不是线段CD的中点，理由见解析 【分析】（1）根据斜率公式化简得出轨迹方程； （2）法一：联立直线CD与双曲线的方程，结合韦达定理和中点坐标公式，列出方程，作出判断； 法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，判别式检验. 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 因为A，B两点的坐标分别为，， 所以直线AM的斜率为 所以直线BM的斜率为 由已知得， 化简得点M的轨迹方程为， 故点M的轨迹是除去，两点的双曲线 （2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在 设直线CD的方程为， 联立，消y得：， 由直线CD与双曲线相交于两点可得：， 设，，则， 若是线段CD的中点，则，解得：． 此时，与矛盾， 故不是线段CD的中点 解法二：假设是线段CD的中点， 设，，则， ∵C、D在双曲线上，∴， ①-②整理可得：，即， ∴线段CD所在直线，的方程是，即， 联立，消y得：，即， ，不是线段CD的中点. 【变式训练1-1】已知双曲线为上一点，为的右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与的左支交点为，求直线的斜率. 【变式训练1-2】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【变式训练1-3】已知双曲线 的右顶点是抛物线的焦点，过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线交于两点，且 (1)求双曲线C的方程； (2)点在双曲线C的左支上，过点作抛物线的两条切线，其斜率分别为，求的最大值． 题型02：直线与双曲线的位置关系 【典型例题】设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M． (1)求C的方程； (2)若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围； (3)若，求直线与的一般式方程． 【答案】(1) (2) (3)和，或和． 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据焦点坐标，求出c值，根据离心率，求出a值，根据a，b，c的关系，求出b值，即可得答案. （2）分析可得斜率大于0，分别讨论P，Q分别在左、右两支上和当P，Q在双曲线左支上，两种情况，根据渐近线的意义及其斜率，分析即可得答案. （3）设、的方程分别为、，将与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式.方法一：只需求，根据两点间距离公式，代入整理，即可求得答案；方法二：设中点为A，可得A点坐标，由题意可得，分别求出直线AM和直线PQ的斜率，根据斜率的关系，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）设c为双曲线C的半焦距，则．                 又离心率为，故，解得．                     则．即． （2）易得斜率不为0， 又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0，                 ①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 且为，此时斜率的取值范围为．                     ②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 此时斜率的取值范围为． 综上，斜率的取值范围为． （3）易得，斜率存在，设、的方程分别为、， 可知，设，，， 联立，得，                 其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有．                 因此，则，             方法一：要使，只需成立， 即， 将、代入得：，                                     整理得， 即，所以，解得，         则与的一般式方程分别为和， 或和．                         方法二：设中点为A，则，即， 若，则必有，                     而，， 故，解得．       故平行直线的斜率为， 则与的一般式方程分别为和， 或和． 【变式训练2-1】设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，． (1)求的方程； (2)若不在轴上，满足，求的横坐标； (3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【变式训练2-2】双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【变式训练2-3】已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【变式训练2-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 题型03：直线与双曲线相交弦问题 【典型例题1】已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点， 与x轴垂直，且 (1)求C的方程; (2)若直线与C交于A，B两点，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线的定义得，解得， 设焦距，则， 因为与x轴垂直，所以点P的横坐标为c，设点P的纵坐标为， 因为点P在双曲线C上，所以，解得， 因为与x轴垂直，且，所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）将直线l与双曲线C联立，得， 解得， 所以. 【典型例题2】已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交双曲线于两点（两点均位于轴下方，在左，在右），线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据条件得到，再利用点在双曲线上和间的关系，建立方程组，求出，即可求解； （2）设直线方程为，联立双曲线方程得到，根据条件得到点和点到直线的距离相等，从而可求出，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以焦点，即， 又，由，解得，所以双曲线. （2）由题知直线斜率不为，设过的直线为， 由，消得到， 则，且 设，则由韦达定理有， 因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以， 故. 【变式训练3-1】已知点，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. (1)求双曲线的离心率； (2)设点在双曲线上，且，求点到轴的距离； (3)过且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求线段的长度. 【变式训练3-2】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线的左右焦点分别为，直线过且与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为2，求线段的长； 【变式训练3-3】已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【变式训练3-4】已知双曲线C的方程为． (1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； (2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 【变式训练3-5】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【变式训练3-6】已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 【变式训练3-7】已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 【变式训练3-8】已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与双曲线的两支分别交于、两点，且与直线交于点，求的值. 【变式训练3-9】在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标. 题型04：中点弦（点差法） 【典型例题1】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当时，点的横坐标为， 代入C的方程，得，故，即 因，所以，故，解得， 故C的离心率为． （2）由（1）知，设，， 因为P，Q是C上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为， 【典型例题2】已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    【典型例题3】已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 【典型例题4】已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)，其中或． 【分析】（1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可； （2）利用点差法进行求解即可. 【解析】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则． 因为双曲线的一条渐近线为． 点到双曲线的渐近线的距离为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为； （2）设，中点，则：， 因为在双曲线，故， 两式相减（点差法）：， 因式分解得：， 两边除以（直线斜率显然存在），代入： ， 又直线过和，故斜率，因此：， 整理得轨迹方程（将换为）：， 所以点的轨迹方程为，其中或． 【典型例题5】已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【变式训练4-1】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【变式训练4-2】设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【变式训练4-3】双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【变式训练4-4】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 【变式训练4-5】已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【变式训练4-6】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式训练4-7】已知双曲线. (1)求的取值范围. (2)已知的渐近线方程为. ①求的值； ②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率. 【变式训练4-8】已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-9】已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 题型05: 焦点三角形问题 【典型例题】已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， 代入双曲线方程得，又， 所以， 所以，所以双曲线的方程为； （2）设，直线：，与双曲线联立得 ， ， 所以， 由韦达定理得，， 所以重心坐标为， 代入双曲线方程得，合题意， 所以直线的方程为. 【变式训练5-1】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【变式训练5-2】已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值．， 【变式训练5-3】若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. (1)证明； (2)当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； (3)已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 题型06：双曲线中的面积问题 （一）三角形面积 【典型例题1】已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式训练6-1】已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【变式训练6-2】已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． （2） 三角形面积最值 【典型例题2】已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 【变式训练6-3】已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． （三）三角形面积求参数 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意可知，， 在中，由，得， 由，解得， 又由余弦定理得，， 化简得，即， ，从而， 所以，双曲线方程为. （2） 设直线l的方程为，与双曲线相交于，， 联立化简可得， 由，可得， ，， 所以，， 设点到直线l的距离为d，则， 故，解得 故l的方程为. 【变式训练6-4】已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 【变式训练6-5】已知双曲线的左顶点为A，虚轴上端点为，左、右焦点分别为，，离心率为，的面积为4． (1)求双曲线的方程； (2)若过且与轴的夹角在内的直线交双曲线于两点，的面积为，求的方程． 【变式训练6-6】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. （四）三角形面积的关系 【典型例题4】线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1).；(2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解析】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 【变式训练6-7】已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【变式训练6-8】已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 【变式训练6-9】已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．    (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 【变式训练6-10】已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，点到双曲线上的动点的距离的最小值为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与的上支交于点、下支交于点，且，求的方程. 【变式训练6-11】已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. (1)求双曲线E的标准方程： (2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. （五）四边形面积 【典型例题5】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为的一条渐近线的倾斜角为， 所以，① 因为一个焦点到上的点的最小距离为， 所以，② 又，③ 联立①②③，解得， 则的方程为； （2）联立，消去并整理得， 不妨设， 由韦达定理得， 不妨设，所以， 此时， 易知直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 同理， 所以 ， 故四边形的面积. 【变式训练6-12】双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. （六）四边形面积的最值 【典型例题6】已知双曲线：的实轴长为2，点在上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)9 【解题思路】（1）根据双曲线的实轴长和双曲线上点的坐标求双曲线的标准方程. （2）设直线：，代入双曲线方程，利用韦达定理表示点坐标.利用三点共线和，表示出点坐标，然后弦长公式和点到直线的距离公式表示出四边形的面积，再结合换元法和导数分析函数的单调性，求四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）由已知得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）设，，，， 如图：    设直线的方程为， 联立得， ，且， ，， 所以，所以. 由，，三点共线得，① 由得， 又，则，② 联立①②解得，，即， 由是线段的中点及可知，四边形是平行四边形， 设到直线距离为， 则， 而， . 令（且），则， 则， 令，则， 所以在上，单调递增； 在上，单调递减； 在上，单调递增， 又因为，， 所以， 当即时，符合题意， 所以. 【变式训练6-13】已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 题型07：定点问题 【典型例题1】已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . (1)求的方程； (2)证明：直线MH过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为C的一条渐近线方程为， 所以点A到渐近线的距离为， 所以，所以双曲线C的方程是 . （2）由题意双曲线C的右焦点，直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为， 因为直线与双曲线左，右两支分别交于两点， 所以， 设，将直线的方程代入中， 得到， 则，，所以， 直线的方程，又直线 ，联立可得， 所以直线的方程为 ， 又直线的方程是，联立可得 ， 又，所以H的坐标是， 所以直线的方程是： 令，由，， 得， 所以直线过定点. 【典型例题2】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 【典型例题3】已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【详解】（1）由双曲线经过点两点， 得，解得， 故的方程为． （2）因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． （3）由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点．      【典型例题4】已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，直线与双曲线交于不同的两点． (1)求的方程； (2)若直线斜率为1，双曲线的左焦点为，点，为线段的中点，若．求直线的方程： (3)已知，，若，在双曲线的右支上，直线过点，直线与直线交于点．证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 所以， 由到渐近线的距离为，得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）得． 设直线的方程为. 联立，得. 所以. 所以， 故. 因为，所以， 又， 所以，即， 解得. 所以直线的方程为，即. （3）因为两点在双曲线的右支上，所以直线与轴不重合， 设直线的方程为． 当时，联立方程， 得， 则， ，则， 直线的方程为， 令，得点的坐标为， 所以直线的方程为， 易知直线经过的定点在轴上. 令，得直线与轴交点的横坐标 由上知直线与轴交点的横坐标. 故直线恒过定点. 【变式训练7-1】已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【变式训练7-2】已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【变式训练7-3】在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【变式训练7-4】已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【变式训练7-5】已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【变式训练7-6】如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【变式训练7-7】在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【变式训练7-8】已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【变式训练7-9】已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【变式训练7-10】已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 【变式训练7-11】已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【变式训练7-12】已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 题型08：定直线问题 【典型例题1】已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由得，其半径为4， 因为线段的垂直平分线与直线交于点，    故，则, 而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线， 则， 故点的轨迹的方程为. （2）证明：由题意知，    若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意； 故直线l的斜率不能为0，故设其方程为， 联立，得，， 故， 设，则直线的方程为， 直线的方程为， 故， 则， 即，解得， 故直线与直线的交点在定直线上. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，则， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由，得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得，代入②可得，即，解得（负值舍去）， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，直线的方程为：， 则； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由，得， 则，所以， 即， 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【典型例题3】已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【解题思路】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【解答过程】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【典型例题4】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得， 设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点轨迹方程为. 【变式训练8-1】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上． 【变式训练8-2】已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 【变式训练8-3】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【变式训练8-4】已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. (1)求的方程： (2)已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 【变式训练8-5】已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【变式训练8-6】已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【变式训练8-7】已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【变式训练8-8】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【变式训练8-9】已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【变式训练8-10】在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点G叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）．如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为，点在曲线E上． (1)求曲线E的方程并确定点G的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点（，3，…）：过点作斜率为2的直线交E于另一点，设是点关于x轴的对称点．记的坐标为． （i）求证：数列为等比数列； （ii）记M为直线与直线的交点，N为直线与直线的交点，R为直线MN与直线的交点，证明：R在定直线上． 题型09：定值问题 （1） 距离定值 【典型例题1】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      【变式训练9-1】已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【变式训练9-2】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的右顶点为A，过点的直线与双曲线交于两点不在x轴上）.若直线AB和AC分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. （2） 斜率及斜率积商关系定值 【典型例题2】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的标准方程为，故， 设、，则、， 由，则有，化简得， 由点是双曲线上两点，则、， 将代入，有， 整理得，又可得， 则，解得，则， 则，则， 当时，， 此时直线的斜率为； 当时，， 此时直线的斜率为， 故为定值或. 【典型例题3】已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）虚轴长为，，， 直线为双曲线的一条渐近线，， ，， 双曲线的标准方程为； （2）①过点的直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去，得到， 整理得，设， 则有， 故； ②， 当直线垂直轴时，过点的直线的方程为， 将代入双曲线中得，解得 则， ，，， 当直线不垂直轴时，过点的直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去， 得到关于的一元二次方程， 整理得到，设， ，， ，， . 综上可知，为定值. 【变式训练9-3】已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【变式训练9-4】在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式训练9-5】已知双曲线的焦距为，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是． (1)求双曲线的方程 (2)记双曲线的左、右顶点分别为，直线与的右支交于两点． （i）求实数的取值范围 （ii）若直线的斜率分别为，证明：是定值． 【变式训练9-6】已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【变式训练9-7】已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【变式训练9-8】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【变式训练10-11】已知点，，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．不过原点的直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，直线TB和NB的斜率之积为6． (1)求C的方程； (2)判断l是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由； (3)试判断的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明． 【变式训练9-11】已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【变式训练9-12】在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. （3） 面积定值 【典型例题4】已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 【变式训练9-13】已知双曲线的离心率是，虚轴长为2，是坐标原点. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相切，交一条渐近线于点，求的面积； (3)点为的右支上任意一点，过点的直线与相切，交两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 【变式训练9-14】已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【变式训练9-15】已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【变式训练9-16】已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 【变式训练9-17】已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； (3)在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． （四）其它定值 【典型例题5】已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． (1)求双曲线E的方程； (2)是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； (3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由焦距可得，由渐近线方程可得，据此可得双曲线方程； （2）由题可得B为PQ中点，设，，由点差法可得直线PQ斜率为渐近线斜率，据此可完成判断； （3）方法1，设直线，将其与双曲线联立，由韦达定理结合题意可得MN的中点为，据此可完成证明；方法2，设，，由题可得，，将双曲线的方程化为，将其与直线联立，然后由韦达定理可得，据此可完成证明. 【详解】（1）由题，设双曲线E的焦距为2c，则，即， 根据双曲线的性质可知，点在渐近线上， 所以，即①， 又，所以② 又①②解得，， 所以E的标准方程为． （2）不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得与的面积相等， 则点B为PQ的中点，设，，代入E的方程得：， 两式作差得， 因为点为PQ的中点，所以，， 故，即直线l的斜率为， 故直线，即， 此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾， 所以不存在直线l，使得与的面积相等 （3）证明：由题可知，直线l的斜率存在，设直线，与E的方程联立，得， 由题，，得，且， 设，，则，， 设，，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ，所以， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证． 另解：设，，又，所以， 令得，同理可得， 双曲线的方程化为：，即， 设直线，即， 联立得， 所以， 等式两边同时除以得：， 设，，易得满足方程， 则为方程两根，由韦达定理可得 ，故， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证 【变式训练9-18】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练9-19】已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. (1)当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. (2)当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. 题型10：最值取值范围 （1） 距离 【典型例题1】已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解. （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练10-1】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【变式训练10-2】我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 【变式训练10-3】已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【变式训练10-4】双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 【变式训练10-5】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【变式训练10-6】双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． （2） 距离关系 【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若的外心为，求的取值范围. 【解析】（1）设双曲线的半焦距为，因为双曲线的右焦点为，所以， 因为点和点关于轴对称，所以当时，直线的方程为， 联立可得，又，所以，又， 所以，故双曲线方程为； （2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾， 所以可设直线的方程为， 联立，消，得， 方程的判别式， 设，则， ， 由已知，所以， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为，所以点的坐标为， 所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以，所以 所以的取值范围为. 【变式训练10-7】已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. (1)设，求证：是定值； (2)求的取值范围. 【变式训练10-8】已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【变式训练10-8】已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若动点在轴右侧，点，求的最小值. 【变式训练10-10】已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程. (3)过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值. （3） 面积 【典型例题3】已知圆，定点，N为圆C上一动点，线段MN的中垂线与直线CN交于点P． (1)证明：为定值，并求出点P的轨迹的方程； (2)若曲线上一点Q，点A，B分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围． 【解析】（1）证明：由题意，圆C的圆心，半径， 由点N与M关于PQ对称，则，， 且， 由双曲线定义知，点P的轨迹为以C，M为焦点，实轴长为的双曲线，       设双曲线方程为：，，，，， 所以双曲线方程为. （2）由题意知，，分别为双曲线的渐近线, 设，，由，设． ，，，,             由于P点在双曲线上，，， ,又，同理，设OA的倾斜角为， 则． , 函数，，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时，；． 【变式训练10-11】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 【变式训练10-12】已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【变式训练10-13】已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【变式训练10-14】在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D． （ⅰ）求证：直线过定点E； （ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值． 【变式训练10-15】已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. (1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； (2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; (3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. （4） 面积关系 【典型例题4】已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)记三角形的面积为的面积为,求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由焦距及渐近线方程可得,确定双曲线标准方程； （2）设出直线与点,联立直线与双曲线方程，根据题意写出表示出,再结合韦达定理化简计算； （3）设出直线与,表示出的纵坐标，再将三角形面积之比中的边长之比转化为纵坐标的比，最后结合与的范围求解. 【详解】（1）由题意知,,且, 所以, 所以双曲线的标准方程为. （2） 证明：由题意知直线的斜率不等于0，设的方程为, 由，得． 因为直线与双曲线的右支交于两点，所以①， 因为, 所以, ， 所以由①式解得． 因为,所以 , 所以直线与直线的斜率之积为定值． （3）设,且, 所以,即,所以． 又因为,所以． 由得,所以,同理可得． 由得,所以,同理可得, 所以 . 令,由,得, 所以． 令, 因为在区间上为增函数,所以的取值范围为, 所以的取值范围为． 【变式训练10-16】已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. （5） 斜率角度 【典型例题5】已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 【变式训练10-17】已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【变式训练10-18】已知双曲线的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线、、的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线、的夹角为，求的取值范围． 【变式训练10-19】已知双曲线的右焦点为，离心率为，双曲线过点，直线与双曲线的右支交于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线过点，定点（异于点）满足，求的值； (3)若线段的中垂线过点，求的取值范围． （6） 参数 【典型例题6】已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可知，所以，，由已知，可得， 则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，联立，整理可得 所以，解得，由，可得， ， 原点到直线的距离， 所以 设，，易知渐近线方程为，不妨设在渐近线上， 由得，同理， 所以， 到直线的距离， 所以， 所以， ，则 令，则，故的取值范围是 【变式训练10-20】已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. （7） 与数列结合的最值范围 【典型例题7】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为. (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是以为公比的等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、由定义判定等比数列、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用给定条件，求出渐近线方程，进而求出离心率. （2）由（1）求出双曲线方程，设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线与轴交点坐标，结合已知推理得证. （3）利用（2）求出的坐标，求出的面积，求出数列的所有项和的函数关系，再求出其最小值即可. 【详解】（1）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为， 依题意，，解得，， 则双曲线的渐近线方程为，即， 所以双曲线的离心率为 （2）由（1）知，，双曲线的方程为， 设，，则，， 过的直线斜率不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 则，， ， 直线的斜率，直线的方程为， 令，则 ，因此直线恒过定点， 又直线与轴的交点为，于是，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.    （3）由对称性知，直线也恒过定点，则，， 因此 ，， 则是以为首项，为公比的等比数列，数列的所有项和 ，设，则， 由过的直线与双曲线的右支交于两点，得，即， 则，又函数在上单调递减， 则 ，， 所以数列的所有项和的最小值为. 【变式训练10-21】双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为，的面积为，求的最大值． 题型11：证明问题 【典型例题1】已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为1的直线与的渐近线分别交于，两点（在第一象限），为坐标原点，． (1)求的方程； (2)过点且倾斜角不为0的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：． 【解析】（1）由已知得：，联立解得，同理可得． ∵，∴，整理得．又，∴，， ∴的方程为．    （2）要证明，只需证明的中点与的中点重合． 设的中点为，直线：，联立得， 设，，则， ，，即， 双曲线：的渐近线方程为， 由得可得， 由得可得， ∴的中点为，∴点与点重合，∴． 【典型例题2】设双曲线的焦距为6，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点. 【解析】（1）因为焦距为6，所以，将点代入的方程，得， 又因为，解得，所以双曲线方程为. （2）如图所示：    是直线上一点，的横坐标为， 设直线的方程为，则， 联立方程组得，设， 则，且， 则， 直线的方程为，① 又直线的方程为，②，由①②消去得， 在中， 两式相除，得，则， 则， ，故为线段的中点.    【典型例题3】在平面直角坐标系中，已知双曲线的两条渐近线将圆分为四段弧长分别为的圆弧. (1)求与的方程； (2)过上一动点作的切线交于不同的两点，证明：. 【答案】(1)双曲线：；圆：；(2)证明见解析 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 由题意可知：圆的周长为，解得， 所以圆的方程为； 因为四段弧长分别为的圆弧对应的圆心角分别为， 又因为双曲线的渐近线方程为， 可知渐近线的斜率为，倾斜角， 可得，即，， 所以双曲线的方程为. （2）设，则， 若切线斜率不存在，设切线为，， 可知，，且，即，可得， 因为； 若切线斜率存在，设切线方程为， 则，可得， 联立方程，消去可得， 在的前提下可得， 则 ； 综上所述：，所以. 【典型例题4】已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为，且，． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的右支交于两点，求周长的最小值； (3)已知点，直线与的右支交于点，过点作，交直线于点，证明：点在定圆上． 【答案】(1) (2)16 (3)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求双曲线中的弦长、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意，列出关系式求解得到答案； （2）先证明当为通径时最小，结合双曲线定义可得，进而得到的周长的最小值； （3）求出直线的方程与双曲线联立求得点的坐标，进而求出直线与的方程，求得点的坐标，消去参数得证. 【详解】（1）设双曲线的左右焦点为，，， 由，， 所以，解得，则， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，将代入，解得，即此时， 当直线的斜率存在时，设，，且， 联立，消去整理得， 则，，且，， ， 综上，，当且仅当为通径时最小. 又，可得， 所以的周长， 即的周长的最小值为16. （3）因为，，则，所以直线的方程为， 将代入双曲线的方程可得， 则，又，故，得， 所以点的坐标为， 又，，所以直线的方程为， 又，所以直线的方程为， 联立直线与的方程可得，， 消去参数，可得， 所以点在定圆上. 【变式训练11-1】已知椭圆的左、右焦点为双曲线的顶点，的左、右顶点为的焦点，且离心率的和为. (1)求的离心率. (2)若在第一象限内的交点为. （i）求的值. （ii）若为平面内一动点，直线交于两点，直线交于两点，且，证明：当直线的斜率之积大于0时，点一定在上. 【变式训练11-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【变式训练11-3】已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 【变式训练11-4】已知等轴双曲线的焦点分别在轴上，经过，的焦距为． (1)求的方程； (2)为直线上一点，相互垂直且斜率均存在的直线交于点，与交于两点，与交于两点．设直线与关于直线对称，证明： ①直线与关于直线对称； ②． 【变式训练11-5】已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. (1)求双曲线 的离心率； (2)若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形为平行四边形. 【变式训练11-6】已知，，二者相交于，离心率为． (1)求的方程； (2)记在第一象限交于，第二象限交于，第三象限于，第四象限交于． （i）如图1，过点的直线交于，过点的直线交于，斜率分别为，，的中点分别为，．求证：当时， (所有直线斜率均存在) ； （ii）如图2，为上的动点，连接交于，连接交于．连接交于，连接交于，求证：轨迹为双曲线，并给出轨迹方程． 【变式训练11-7】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点且倾斜角为45度的直线交双曲线于，两点（在轴右侧）且，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过，分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 【变式训练11-8】已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． (1)求双曲线的方程； (2)求点的坐标； (3)若、，记的面积为，证明：． 【变式训练11-9】已知双曲线经过点，动直线与恰有1个公共点，且与的两条互相垂直的渐近线分别交于点. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，求证：的面积为定值； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线，且与交于两点，与交于两点，若的中点为的中点为，求证：直线与轴垂直. 【变式训练11-10】双曲线，射线和射线分别与交于点和点． (1)求双曲线的离心率； (2)作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 【变式训练11-11】已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【变式训练11-12】（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为； （2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点． 【变式训练11-13】在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 题型12：探索性问题 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】（1）根据已知列出关于方程组，求解即可得出答案； （2）假设存在.设，有.由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出及其斜率，进而设出的方程为，，.联立直线的方程，求出坐标，表示出.联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，表示出，再根据假设，化简运算，求解即可得出答案. 【解析】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，右焦点， 右焦点到其中一条渐近线，即的距离. 则由已知可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）假设存在实数，使得. 由题意知点在第一象限，其坐标为， 则①. 因为双曲线的右支，所以， 由可得，， 求导可得，， 根据导数的几何意义可知，直线的斜率为. 又直线经过点以及点，所以， 所以有②. 由①②可解得，，，点，， 所以，直线的方程为，即，直线的斜率为. 设直线的方程为，，， 联立可得， 即，， 所以，. 联立可得，， 恒成立. 由韦达定理可得，. 因为都在直线上， 所以， 所以，， 所以， ， 所以，. 因为， 所以，假设成立. 所以，存在实数，使得，且.    【典型例题2】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）为定值，（ii） 【分析】（1）设出双曲线方程，根据离心率的乘积得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到； （ii）方法一：设直线，代入双曲线方程，由两根之积得到，结合点A在双曲线的右支上，得到，同理得到，结合确定，由和函数单调性得到答案； 方法二：求出双曲线的渐近线方程，由于点A在双曲线的右支上，与渐近线的斜率比较得到，同理可得，结合求出，由和函数单调性得到答案. 【解析】（1）由题意可设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，直线的方程为， 由，消元得. 则，且， ，    或由韦达定理可得，即, ， 即与的比值为定值. （ii）方法一：设直线， 代入双曲线方程并整理得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，. 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以，解得， 即，同理可得， 由（i）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在上单调递减，故， 故的取值范围为； 方法二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），    所以. 同理，过点作两渐近线的平行线， 由于点在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），    所以. 由（i）中结论可知， 得，所以, 故. 【变式训练12-1】已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练12-2】已知双曲线过点且一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使直线与直线关于轴对称，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-3】已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【变式训练12-4】已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练12-5】已知双曲线． (1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； (2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练12-6】已知双曲线（，）过点，且焦距为4. (1)求C的方程. (2)设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值. (3)若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-7】已知直线，双曲线，圆， (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若直线与圆相切，证明：与的上下两支各有一个公共点； (3)设直线与轴交于点，且与圆交于点，与的上下两支交于点，从上到下依次为，当时，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练12-8】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【变式训练12-9】已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且． (1)求曲线的方程； (2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型13：双曲线与向量 【典型例题1】已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为， 又点在双曲线上，所以， 故双曲线标准方程为； （2）由（1）知，，所以左顶点为，右焦点为， 为双曲线右支上任意一点，设，，则，即， 则 ， 因为，故当时，取得最小值． 【典型例题2】已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； （2）∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积.    （3）设，则，所以，. 所以的取值范围是. 【典型例题3】已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意知解得 故双曲线的方程为． （2）证明：设，，，直线的方程分别为，． 因为，，所以，， 所以，． 所以，． 故． 因为，所以． 【典型例题4】已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 【变式训练13-1】已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【变式训练13-2】设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【变式训练13-3】在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【变式训练13-4】已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【变式训练13-5】已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． (3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围． 【变式训练13-6】已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【变式训练13-7】已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【变式训练13-8】已知双曲线的焦距为8，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 【变式训练13-9】已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 【变式训练13-10】已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【变式训练13-11】已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【变式训练13-12】已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 【变式训练13-13】已知是以为焦点的抛物线，是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点 (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练13-14】已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【变式训练13-15】已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 题型14：双曲线的切线和切点弦方程 【典型例题】已知双曲线过点，离心率为，直线与的左支交于两点，与轴交于点. (1)求的方程； (2)为坐标原点，设的面积分别为，若，求的方程； (3)若上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的参数及范围 【分析】（1）根据双曲线所过的点及离心率求双曲线参数，即可得方程； （2）若且，根据已知得且，联立直线与双曲线并应用韦达定理，列方程求，即可得直线方程； （3）设双曲线的切线为，联立双曲线并应用判别式为0得，再由在切线上，代入切线方程整理得，令为过点的两条切线的斜率，则，结合点的存在性求的范围. 【详解】（1）由题设且，，则，所以； （2）由恒过，即，若且，故， 又，所以，则， 联立与，则， 所以，，则，且， 所以，且，可得，则（负值舍）， 综上，直线，即；    （3）由题设，易知两条切线的斜率一定存在，设切线为， 联立，可得，所以， 则，得，则切线为， 而在切线上，则， 所以，则， 若为过点的两条切线的斜率，根据垂直关系有， 所以，根据点的存在性知， 所以，可得. 【变式训练14-1】已知双曲线的右焦点为，离心率为． (1)求的标准方程； (2)设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)已知点是上任意一点，直线是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比． 题型15：双曲线的重心问题 【典型例题1】已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， 代入双曲线方程得，又， 所以， 所以，所以双曲线的方程为； （2）设，直线：，与双曲线联立得 ， ， 所以， 由韦达定理得，， 所以重心坐标为， 代入双曲线方程得，合题意， 所以直线的方程为. 【典型例题2】若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. (1)证明； (2)当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； (3)已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)过多边形的重心，理由见解析 (3) 【详解】（1）不妨设在渐近线上，在渐近线上. 联立与，得到，， 同理，得到，， 进而有，， 故为线段中点，即. （2）设多边形有个顶点，分别为. 不妨设顶点在上方，在下方. 令方程为，且顶点到距离为， 于是，， 由题知，，故有， 即，故过多边形的重心. （3）设三角形、、的重心分别为、、，四边形的重心为. 易知，可得，进而、、三点共线. 由（2）知必过、，于是为直线. 又因为四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上， 故在直线上，故、、、共线. 可得直线且过点，则， 于是直线为，故，. 于是切线为，与轴交点为. 由（1）知，， 故. 【变式训练15-1】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【变式训练15-2】已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【变式训练15-3】已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 【变式训练15-4】已知是以为焦点的抛物线，是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点 (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练15-5】双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为. （1）若，求的面积； （2）若，求点的坐标. 【变式训练15-6】已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 题型16: 双曲线与数列 【典型例题1】已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，公比为； (3)证明见解析. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 【典型例题2】已知双曲线的渐近线方程为，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． (1)求； (2)求数列的通项公式，并说明理由； (3)记的面积为，证明：． 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴，且双曲线的渐近线方程为， 则， 又点在上，则， 联立，解得，则双曲线方程为， 由题意得，的斜率， 则，解得， 同理，由题意得，的斜率， 则，解得， 因为， 所以， ， . （2）因为，所以，因为， 所以， 于是，① 由于，， 所以．且， 两式作差可得，② 把①代入②可得，③ 由③+①得， 即， 因为，所以， 由（1）知，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． （3）由（2）知，， 又，所以，， ， ， 所以 ， 即为定值， 所以. 【变式训练15-1】双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. (1)如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； (2)按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. ①求证：数列为等比数列. ②求数列的前项和. 【变式训练15-2】已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 【变式训练15-3】在矩形中，，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点、满足，直线与直线交于点，记点及其关于轴、轴和原点的对称点的轨迹为． (1)求的方程； (2)点在上，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与交于另一点为关于轴对称点． （Ⅰ）证明为等比数列； （Ⅱ）记为的面积，求数列的通项公式． 【变式训练15-4】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于另一点，当（为坐标原点）的面积为1时，求直线的方程； (3)若对，点都在双曲线上，且，设.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 双曲线解答题题型归纳 目 录 知识要点 2 题型归纳 5 题型01：双曲线的定义及标准方程 5 题型02：直线与双曲线的位置关系 10 题型03：直线与双曲线相交弦问题 18 题型04：中点弦（点差法） 29 题型05: 焦点三角形问题 45 题型06：双曲线中的面积问题 51 （一）三角形面积 51 （二）三角形面积最值 53 （三）三角形面积求参数 56 （四）三角形面积的关系 61 （五）四边形面积 71 （六）四边形面积的最值 74 题型07：定点问题 77 题型08：定直线问题 105 题型09：定值问题 127 （一） 距离定值 127 （二） 斜率及斜率积商关系定值 132 （三） 面积定值 146 （四）其它定值 155 题型10：最值取值范围 161 （一） 距离 161 （二） 距离关系 170 （三） 面积 177 （四） 面积关系 187 （五） 斜率角度 190 （六） 参数 201 （七） 与数列结合的最值范围 203 题型11：证明问题 207 题型12：探索性问题 241 题型13：双曲线与向量 259 题型14：双曲线的切线和切点弦方程 284 题型15：双曲线的重心问题 287 题型16: 双曲线与数列 298 知识点一：直线与双曲线 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 直线与双曲线的位置关系的判断方法： (1) 代数法：通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断。①代入②得，， a. 当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点。 b. 当，即，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点。 (2) 几何法（渐近线法）：可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系,设此双曲线的渐近线斜率为. a. 当直线过点P且斜率等于时,直线与双曲线相交于一点,如图,直线①③均与双曲线右支交于一点; b. 当直线过P点且斜率在内时,直线与双曲线左右两支各交于一点,如直线②; c. 当直线过点P且斜率在内时,直线可能与双曲线的右支交于两点,如直线⑥,也可能与双曲线右支相切,如直线④,还可能与双曲线相离,如直线⑤. 知识二：弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 知识点三：“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. ①做法 利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。 设，中点M，,代入双曲线方程 得 ; 两式相减可得： ,当时，有，后使用点斜式求出直线方程。 ②弦的中点与直线的斜率的关系 若线段AB是双曲线的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在x轴】 若线段AB是双曲线 的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在y轴】 知识点四：双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 知识点五：双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．双曲线中的定点、定值问题 双曲线中的定点定值问题一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，双曲线中的过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 2．双曲线中的过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．双曲线中的定值问题的三个求解步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 题型01：双曲线的定义及标准方程 【典型例题1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【解析】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 【典型例题2】已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 【答案】(1)，点M的轨迹是除去，两点的双曲线 (2)不是线段CD的中点，理由见解析 【分析】（1）根据斜率公式化简得出轨迹方程； （2）法一：联立直线CD与双曲线的方程，结合韦达定理和中点坐标公式，列出方程，作出判断； 法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，判别式检验. 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 因为A，B两点的坐标分别为，， 所以直线AM的斜率为 所以直线BM的斜率为 由已知得， 化简得点M的轨迹方程为， 故点M的轨迹是除去，两点的双曲线 （2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在 设直线CD的方程为， 联立，消y得：， 由直线CD与双曲线相交于两点可得：， 设，，则， 若是线段CD的中点，则，解得：． 此时，与矛盾， 故不是线段CD的中点 解法二：假设是线段CD的中点， 设，，则， ∵C、D在双曲线上，∴， ①-②整理可得：，即， ∴线段CD所在直线，的方程是，即， 联立，消y得：，即， ，不是线段CD的中点. 【变式训练1-1】已知双曲线为上一点，为的右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与的左支交点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据已知条件及两点间距离公式可得出关于的值，即可得出双曲线的方程； （2）先设点，再结合及面积得出，最后结合点在双曲线上得出点的坐标应用两点求斜率公式即可解得实数. 【解答过程】（1）因为双曲线中， ，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）设，且，， 所以，所以，所以， 又因为在双曲线上，所以，所以， 所以或， 所以直线的斜率或.    【变式训练1-2】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 因为双曲线的右焦点为，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以； 又，可得； 所以双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 依题意直线的斜率一定存在，设斜率为，则直线的方程为， 设； 联立可得， 显然，且，解得且； 则，， 可得， 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或（舍），即， 所以直线的方程为或. 【变式训练1-3】已知双曲线 的右顶点是抛物线的焦点，过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线交于两点，且 (1)求双曲线C的方程； (2)点在双曲线C的左支上，过点作抛物线的两条切线，其斜率分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）设直线联立方程得出韦达定理结合数量积坐标公式计算求解得出双曲线即可； （2）设直线方程再联立方程组结合斜率公式计算得出，再结合二次函数值域得出最大值. 【解答过程】（1）由抛物线的焦点为得，设双曲线右焦点为， 直线， 与抛物线方程联立可得． 则， 解得，所以，故的方程为. （2）设抛物线的切线方程为，显然， 与抛物线方程联立可得， 令，得， 切线方程为． 设，代入切线方程可得， ． 点在的左支上，． 代入得， 故当时，的最大值为. 题型02：直线与双曲线的位置关系 【典型例题】设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M． (1)求C的方程； (2)若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围； (3)若，求直线与的一般式方程． 【答案】(1) (2) (3)和，或和． 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据焦点坐标，求出c值，根据离心率，求出a值，根据a，b，c的关系，求出b值，即可得答案. （2）分析可得斜率大于0，分别讨论P，Q分别在左、右两支上和当P，Q在双曲线左支上，两种情况，根据渐近线的意义及其斜率，分析即可得答案. （3）设、的方程分别为、，将与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式.方法一：只需求，根据两点间距离公式，代入整理，即可求得答案；方法二：设中点为A，可得A点坐标，由题意可得，分别求出直线AM和直线PQ的斜率，根据斜率的关系，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）设c为双曲线C的半焦距，则．                 又离心率为，故，解得．                     则．即． （2）易得斜率不为0， 又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0，                 ①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 且为，此时斜率的取值范围为．                     ②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 此时斜率的取值范围为． 综上，斜率的取值范围为． （3）易得，斜率存在，设、的方程分别为、， 可知，设，，， 联立，得，                 其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有．                 因此，则，             方法一：要使，只需成立， 即， 将、代入得：，                                     整理得， 即，所以，解得，         则与的一般式方程分别为和， 或和．                         方法二：设中点为A，则，即， 若，则必有，                     而，， 故，解得．       故平行直线的斜率为， 则与的一般式方程分别为和， 或和． 【变式训练2-1】设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，． (1)求的方程； (2)若不在轴上，满足，求的横坐标； (3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【难度】0.15 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由双曲线的定义结合图中几何关系以及关系可得； （2）设的方程为，直曲联立，由判别式等于零得到斜率进而得到直线方程，再由两直线垂直得到斜率关系写出方程，然后联立解出的横坐标； （3）当时，由两直线垂直斜率关系得到直线的方程，联立的方程解出的坐标，再代入双曲线方程后可得；当时，代入验证可得. 【详解】（1） 当轴时，由双曲线的定义可知，所以 在中，有，即，解得， 所以，故双曲线的方程为． （2）设的方程为，其中． 联立，消去得， 由题意可得，把代入得，整理得， 因为，所以， 从而有，即，解得， 所以的方程为，化简得， 故的方程为． 由（1）可知，所以直线的斜率为， 因为点不在轴上且， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，故点的横坐标为． （3）由（2）可得当时，直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得， 因为点满足， 所以，代入式，化简得 则，即； 当时，，也符合上式， 故点的轨迹为圆，该圆的方程为． 【变式训练2-2】双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由直线与轴垂直时，，故，故， 又离心率为，则，所以， 双曲线的方程为：. （2）设直线l的方程是，，. 由得， ，. 因为，所以，从而. 所以，，消去得，解得， 它满足，. , 故到直线的距离为， 所以， 由于，所以, 【变式训练2-3】已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【变式训练2-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)或. (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程； （2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标； （3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围. 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 题型03：直线与双曲线相交弦问题 【典型例题1】已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点， 与x轴垂直，且 (1)求C的方程; (2)若直线与C交于A，B两点，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线的定义得，解得， 设焦距，则， 因为与x轴垂直，所以点P的横坐标为c，设点P的纵坐标为， 因为点P在双曲线C上，所以，解得， 因为与x轴垂直，且，所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）将直线l与双曲线C联立，得， 解得， 所以. 【典型例题2】已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交双曲线于两点（两点均位于轴下方，在左，在右），线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据条件得到，再利用点在双曲线上和间的关系，建立方程组，求出，即可求解； （2）设直线方程为，联立双曲线方程得到，根据条件得到点和点到直线的距离相等，从而可求出，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以焦点，即， 又，由，解得，所以双曲线. （2）由题知直线斜率不为，设过的直线为， 由，消得到， 则，且 设，则由韦达定理有， 因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以， 故. 【变式训练3-1】已知点，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. (1)求双曲线的离心率； (2)设点在双曲线上，且，求点到轴的距离； (3)过且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）根据题意，双曲线的左顶点为，故， 则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率为； （2）由（1）得，又，所以， 设，，则在中，有， 又由双曲线的定义，可得，解得，则， 又，解得， M点到轴的距离为； （3）因，则过且斜率为1的直线的方程为， 与双曲线方程联立消元，可得， 设，，则，， 由弦长公式，， 所以DE的长度为. 【变式训练3-2】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线的左右焦点分别为，直线过且与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为2，求线段的长； 【答案】(1) (2)30 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以， 又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点，所以，所以， 又因为，所以， 所以双曲线C的方程为. （2），直线l过且斜率为2，设直线l的方程为， 设，联立与消去得， 由根与系数关系可得， 所以. 【变式训练3-3】已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 【变式训练3-4】已知双曲线C的方程为． (1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； (2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 【解析】（1）联立,得， 直线被双曲线截得的弦长为,, 设直线与双曲线交于,则, 由弦长公式得,解得. （2）设,，则， ，上式作差得， 当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知， 当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知， 当直线的斜率存在时，且时，， ，，化简得，其中， 而点，适合上述方程，则线段的中点的轨迹方程是.    【变式训练3-5】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【答案】(1)；(2)或或 【解析】（1）因为双曲线过，离心率为， 所以，解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 所以，解得， 由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意. 综上所述，直线的方程为或或. 【变式训练2-11】已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过，与双曲线的右支交于两点，且，求． 【解析】（1）已知双曲线与双曲线渐近线相同， 由的渐近线方程得， 故的渐近线方程斜率为，即，得， 可得，代入点得，解得， 故. （2）由方程得，焦点， 设直线，与联立得， 设，韦达定理得， ，又得， 而，其中，代入得， 平方整理得，解得， 弦长. 【变式训练3-6】已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线定义可得该双曲线实轴长为，焦距为， 则虚轴长为，故双曲线的标准方程为； （2）联立，消去得， ， 设、，则，， 则 ， 则，故. 【变式训练3-7】已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 【答案】(1) (2)12 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由双曲线渐近线方程的性质结合解方程可得； （2）设出直线方程，直曲联立，由韦达定理表示出弦长，求出，再由同角的三角函数关系结合点到直线的距离公式和三角形的面积公式可得. 【详解】（1）由可得，即， 又，即，且， 联立可得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意可得当时，，显然不合题意，所以， 设直线方程为，， 联立，消去可得， 因为直线经过与的右支交于不同的两点，， 所以， ， ， 即 两边取平方后化简可得， 进一步化简可得， 因为直线经过与的右支交于不同的两点，所以， 解得， 又， 原点到直线的距离， 所以. 【变式训练3-8】已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与双曲线的两支分别交于、两点，且与直线交于点，求的值. 【解析】（1）由题可得，，解得， 所以的方程： （2）由于双曲线的渐近线方程为， 可设直线的方程为，且，，则    联立直线与双曲线， 所以， 则 . 【变式训练3-9】在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标. 【解析】（1）设双曲线C的标准方程为，渐近线方程为， 则由题意可得，，且， 解得， 则双曲线C的标准方程为； （2）双曲线的方程为，所以的右焦点， 点Q满足，则P为OQ的中点，设，则，    若直线AB的斜率不存在，则其方程为，此时，m＝1，Q与F重合，不合题意； 若直线AB的斜率存在，设，m≠1， ∵，∴，∴， ∵点P在双曲线C上，∴，∴，即， 联立消去得． 所以， 设，则， ∵，∴，∴， ∴，即 ∴，解得，，符合题意， 所以，点P的坐标． 题型04：中点弦（点差法） 【典型例题1】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当时，点的横坐标为， 代入C的方程，得，故，即 因，所以，故，解得， 故C的离心率为． （2）由（1）知，设，， 因为P，Q是C上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为， 【典型例题2】已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    【典型例题3】已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 【典型例题4】已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)，其中或． 【分析】（1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可； （2）利用点差法进行求解即可. 【解析】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则． 因为双曲线的一条渐近线为． 点到双曲线的渐近线的距离为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为； （2）设，中点，则：， 因为在双曲线，故， 两式相减（点差法）：， 因式分解得：， 两边除以（直线斜率显然存在），代入： ， 又直线过和，故斜率，因此：， 整理得轨迹方程（将换为）：， 所以点的轨迹方程为，其中或． 【典型例题5】已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【变式训练4-1】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 【变式训练4-2】设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 【变式训练4-3】双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)存在，. 【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可； （2）利用点差法计算即可. 【解析】（1）令，所以， 又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的标准方程为：； （2）假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为， 则，， 又有，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 联立直线与双曲线方程得： ， 即直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以存在直线，其方程为. 【变式训练4-4】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为. （2）由题意可得：， 显然直线的斜率不为0，设直线：， 联立方程，消去x整理得， 则，且， 因为，可得， 因为直线的方程为， 令，得， 因为，可得， 所以直线过定点， 由对称性可知直线过定点，即直线与的交点为， 则， 令，则， 则， 因为函数在区间内单调递减， 所以当时，的面积取得最小值，最小值为. 【变式训练4-5】已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1)2 (2)3 (3)或 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的离心率. （2）根据题意易得直线的斜率存在，设， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3. （3）由题意得双曲线的右焦点为. 若以线段为直径的圆经过坐标原点，则. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 根据对称性不妨设，则，， 所以直线的斜率存在， 则可设直线的方程为. 由，得， ， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以直线的方程为，即或. 而，故， 所以直线AB过定点. 【变式训练4-6】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    【变式训练4-7】已知双曲线. (1)求的取值范围. (2)已知的渐近线方程为. ①求的值； ②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意得， 得，所以的取值范围为. （2）①由，得，则， 所以的渐近线方程为，得. ②由①得.设，则. 由 得，得， 得，所以的斜率为. 因为在上支的上侧，的斜率，所以与必定相交于两点. 第（2）②问还可以这样解答： 由①得.易知的斜率必定存在，设，）. 由得， 得，解得. 此时，所以的斜率为. 【变式训练4-8】已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式训练4-9】已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由焦距得，又，得. 则的标准方程为. （2）（i）联立方程得， 若，不符合题意. 若，则， 设，则. 因为，所以. 依题设，，同理得，则， 则的取值范围是. （ii）设，因为弦的中点为， 则 得，同理. 假设过定点，依据对称性，点必在轴上，设， 则. 由得， 化简得，得，则恒过定点. 题型05: 焦点三角形问题 【典型例题】已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， 代入双曲线方程得，又， 所以， 所以，所以双曲线的方程为； （2）设，直线：，与双曲线联立得 ， ， 所以， 由韦达定理得，， 所以重心坐标为， 代入双曲线方程得，合题意， 所以直线的方程为. 【变式训练5-1】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 【变式训练5-2】已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）先得到，由圆到直线距离公式得到方程，求出，，得到双曲线方程； （2）设直线，它与E的另一个交点记为C，由对称性可知，四边形面积等于三角形面积，设，联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方程，求出或，经检验不合要求，时，求出交点纵坐标，得到的值. 【详解】（1）由题意得，解得， ∵双曲线的渐近线为， ∴，解得，所以，故双曲线方程为：； （2）由同向可知，直线、与E均有两个交点. 设直线，它与E的另一个交点记为C. 由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积， 所以四边形面积等于三角形面积. 设， 联立方程：，得， ， 三角形面积， 整理得，解得或， 经检验时，，故均在轴上方或下方， 不妨令，此时， 解得或， 画出图象如下： 此时反向，故舍去； 同理可得也不满足要求， 当时，可验证得同向，符合题意， 若，由，解得或， 由于，所以，， 故， 若，同理可得， 综上，. 【变式训练5-3】若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. (1)证明； (2)当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； (3)已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)过多边形的重心，理由见解析 (3) 【详解】（1）不妨设在渐近线上，在渐近线上. 联立与，得到，， 同理，得到，， 进而有，， 故为线段中点，即. （2）设多边形有个顶点，分别为. 不妨设顶点在上方，在下方. 令方程为，且顶点到距离为， 于是，， 由题知，，故有， 即，故过多边形的重心. （3）设三角形、、的重心分别为、、，四边形的重心为. 易知，可得，进而、、三点共线. 由（2）知必过、，于是为直线. 又因为四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上， 故在直线上，故、、、共线. 可得直线且过点，则， 于是直线为，故，. 于是切线为，与轴交点为. 由（1）知，， 故. 题型06：双曲线中的面积问题 （一）三角形面积 【典型例题1】已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式训练6-1】已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为，离心率 (2) 【详解】（1）由题意，知双曲线的标准方程为， 所以，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，离心率. （2）联立双曲线与直线的方程，化简得. 设，则， 利用弦长公式，得. 因为点到直线的距离为， 所以. 【变式训练6-2】已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由渐近线方程，及点在双曲线上，可联立求得，，可得双曲线方程； （2）由题意，写出直线的方程，与双曲线联立，可求得，数形结合，可得的面积． 【解答过程】（1）已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，故其标准方程为， 又其渐近线方程为，即①， 又点在双曲线上，代入得②， 联立①②，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）直线过点且倾斜角为，故其方程为， 将其代入双曲线方程，联立得，化简得， 解得和，代入直线，求得和， 即直线与双曲线的交点， 所以. （2） 三角形面积最值 【典型例题2】已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 【变式训练6-3】已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3). 【详解】（1）由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； （2）由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； （3） 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 由，得， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. （三）三角形面积求参数 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意可知，， 在中，由，得， 由，解得， 又由余弦定理得，， 化简得，即， ，从而， 所以，双曲线方程为. （2） 设直线l的方程为，与双曲线相交于，， 联立化简可得， 由，可得， ，， 所以，， 设点到直线l的距离为d，则， 故，解得 故l的方程为. 【变式训练6-4】已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设焦距为，由题意得，所以， 因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为. （2）（i）设，， 联立，化简得， 若，两点分别位于的左、右两支，则，解得 即的取值范围为.    （ii）由题得， 则， 所以的面积为，解得（负值已舍去）， 又，所以. 【变式训练6-5】已知双曲线的左顶点为A，虚轴上端点为，左、右焦点分别为，，离心率为，的面积为4． (1)求双曲线的方程； (2)若过且与轴的夹角在内的直线交双曲线于两点，的面积为，求的方程． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为， 因为，即，又因为，则， 由，可得，即， 所以，得，则．故双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立方程，消去整理得． 可得，且， 则，， 可得， 因为，可得， 所以，即， 化简得，解得或． 由题可知，所以或，故直线的方程为或， 即直线的方程为或． 【变式训练6-6】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 因为双曲线的右焦点为，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以； 又，可得； 所以双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 依题意直线的斜率一定存在，设斜率为，则直线的方程为， 设； 联立可得， 显然，且，解得且； 则，， 可得， 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或（舍），即， 所以直线的方程为或. （四）三角形面积的关系 【典型例题4】线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1).；(2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解析】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 【变式训练6-7】已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【解析】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 【变式训练6-8】已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3) 【解题思路】（1）求出双曲线渐近线，设出点,应用点到直线的距离公式即可； （2）设出直线,联立直线与双曲线方程，根据韦达定理表示出两点纵坐标的差的绝对值，则,再求其最大值； （3）联立直线与双曲线的渐近线，求出两个交点坐标，再根据（1）,（2）中的结论分别表示出与,代入求范围. 【解答过程】（1）由题意知,双曲线的渐近线方程为, 设,,则. 设点到两条渐近线的距离为, 则. （2）    设直线的方程为,因为直线与双曲线的右支相交，故. ,有. . 令,则（当时取等号）. （3）由,得,则, 得.同理，可得. 所以，. 故，,因为,所以. 所以，的取值范围为. 【变式训练6-9】已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．    (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）过定点，定点坐标，理由见解析；（ⅱ） 【解题思路】（1）由离心率和双曲线上的点结合，解得，即可得出答案； （2）（ⅰ）设， 方法一：由，设，得直线即的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理求得，写出直线的方程，进而可得，分和两种情况，得直线的方程即可得直线所过的定点； 方法二：设直线的方程为，一方面，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到；另一方面，写出直线的方程，进而得到的坐标，再由得到.从而有，即可得到直线所过的定点. （ⅱ）由（ⅰ）结合得到 在双曲线的右支上根据渐近线方程得到，通过换元并利用导数可求得的取值范围. 【解答过程】（1）因为离心率，所以，而，所以． 所以双曲线的方程为． 将点代入双曲线方程，得，所以． 所以的方程为． （2）（ⅰ）直线过定点． 由双曲线的方程可知，设． 方法一：由，可设，则直线即的方程为． 联立整理得. 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以． 所以，即． 又直线即的方程为， 联立得， 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以， 所以. ∴． 当时，直线的斜率 ． 直线的方程为． 化简整理得，直线过定点． 当时，，即， 解得．直线也过定点． 综上，直线过定点． 法二：设直线的方程为，联立 整理得， 则． 所以． 直线．令，得． 直线，令，得． 由，得， 即， 所以． 即． 因为， 所以． 整理可得． 所以，所以直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点，    则． 由（ⅰ）知， ∴． 又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为． 所以． 令，则， 于是． 令，，则，在单调递减， 所以在单调递增， 当，即时，取得最小值． 所以的取值范围是． 【变式训练6-10】已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，点到双曲线上的动点的距离的最小值为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与的上支交于点、下支交于点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，则，代入中，由最小值为求解，得到方程； （2）设：，与的方程联立消元得到一元二次方程，由韦达定理及求解得到方程. 【解答过程】（1） 的焦点在轴上，渐近线方程为， 故设的方程为（），设， 则，有， 因为 （）， 由已知，解得， 所以的方程为. （2）由题意，知：，设：，与的方程联立， 有， 方程的判别式， 设，，则①，②， 由，有，即，有③， 解①③，得④，⑤， 由，，，有，解得， 将④⑤代入②，有，解得（舍）， 故：，即. 【变式训练6-11】已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. (1)求双曲线E的标准方程： (2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据双曲线的虚轴长和离心率公式求出、的值，进而得到双曲线的标准方程； （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出相关点的坐标关系，进而证明直线AN的斜率为定值； （ii）根据三角形面积公式求出的表达式，再根据条件确定其取值范围. 【解答过程】（1）已知双曲线的虚轴长为，则，解得. 又因为离心率，且，把代入可得. 由可得，将其代入中，得到. 解得，所以双曲线的标准方程为. （2）（ⅰ）当斜率为0时： 已知，BC方程. 令，则，解得，所以. . 当斜率不为0时： 设AB方程，与联立： 把代入得. 由韦达定理得，. 因为直线交左右两支，有，解得. BC方程，令，得，即. 则，经化简得， 把，代入. 先看分子： 再看分母：    此时. 因为，，约分后可得. （ⅱ）当斜率为0时，因为，两三角形相似，. 当斜率不为0时，不妨设，，，所以. . ，代入与的值得. 因为，所以，结合，解得. 所以. 综上，的取值范围是. （五）四边形面积 【典型例题5】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为的一条渐近线的倾斜角为， 所以，① 因为一个焦点到上的点的最小距离为， 所以，② 又，③ 联立①②③，解得， 则的方程为； （2）联立，消去并整理得， 不妨设， 由韦达定理得， 不妨设，所以， 此时， 易知直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 同理， 所以 ， 故四边形的面积. 【变式训练6-12】双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据实轴以及离心率求解的值，即可得解， （2）联立直线与曲线方程可得韦达定理，结合相似比可得，即可利用弦长公式以及点到直线的距离公式，求解，由三角形面积公式求解，即可利用相似比求解四边形的面积. 【解答过程】（1）由直线与轴垂直时，，故，故， 又离心率为，则，所以， 双曲线的方程为：. （2）设直线l的方程是，，. 由得， ，. 因为，所以，从而. 所以，，消去得，解得， 它满足，. , 故到直线的距离为， 所以， 由于，所以,. （六）四边形面积的最值 【典型例题6】已知双曲线：的实轴长为2，点在上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)9 【解题思路】（1）根据双曲线的实轴长和双曲线上点的坐标求双曲线的标准方程. （2）设直线：，代入双曲线方程，利用韦达定理表示点坐标.利用三点共线和，表示出点坐标，然后弦长公式和点到直线的距离公式表示出四边形的面积，再结合换元法和导数分析函数的单调性，求四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）由已知得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）设，，，， 如图：    设直线的方程为， 联立得， ，且， ，， 所以，所以. 由，，三点共线得，① 由得， 又，则，② 联立①②解得，，即， 由是线段的中点及可知，四边形是平行四边形， 设到直线距离为， 则， 而， . 令（且），则， 则， 令，则， 所以在上，单调递增； 在上，单调递减； 在上，单调递增， 又因为，， 所以， 当即时，符合题意， 所以. 【变式训练6-13】已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长 【分析】（1）讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得， 综上可知： （2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 题型07：定点问题 【典型例题1】已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . (1)求的方程； (2)证明：直线MH过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为C的一条渐近线方程为， 所以点A到渐近线的距离为， 所以，所以双曲线C的方程是 . （2）由题意双曲线C的右焦点，直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为， 因为直线与双曲线左，右两支分别交于两点， 所以， 设，将直线的方程代入中， 得到， 则，，所以， 直线的方程，又直线 ，联立可得， 所以直线的方程为 ， 又直线的方程是，联立可得 ， 又，所以H的坐标是， 所以直线的方程是： 令，由，， 得， 所以直线过定点. 【典型例题2】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 【典型例题3】已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【详解】（1）由双曲线经过点两点， 得，解得， 故的方程为． （2）因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． （3）由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点．      【典型例题4】已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，直线与双曲线交于不同的两点． (1)求的方程； (2)若直线斜率为1，双曲线的左焦点为，点，为线段的中点，若．求直线的方程： (3)已知，，若，在双曲线的右支上，直线过点，直线与直线交于点．证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 所以， 由到渐近线的距离为，得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）得． 设直线的方程为. 联立，得. 所以. 所以， 故. 因为，所以， 又， 所以，即， 解得. 所以直线的方程为，即. （3）因为两点在双曲线的右支上，所以直线与轴不重合， 设直线的方程为． 当时，联立方程， 得， 则， ，则， 直线的方程为， 令，得点的坐标为， 所以直线的方程为， 易知直线经过的定点在轴上. 令，得直线与轴交点的横坐标 由上知直线与轴交点的横坐标. 故直线恒过定点. 【变式训练7-1】已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）如图， 设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 【变式训练7-2】已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【变式训练7-3】在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 【变式训练7-4】已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. 【解析】（1）由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由消去并整理得， ，解得且，， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 【变式训练7-5】已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【解析】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 【变式训练7-6】如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)过定点，理由见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出，即得双曲线方程； （2）设点,由题设条件依次求得点，，再求直线的方程； （3）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可求得定点． 【解析】（1）依题意，可得，解得， 故双曲线C的方程为； （2）    如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 所以直线的方程为 （3）直线经过点，理由如下： 易知直线斜率不为0，设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 【变式训练7-7】在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)都是曲线的“优点”，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由点在轴上，由对称性可得； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线方程.由点在双曲线上，利用韦达定理知求点坐标，同理可得点坐标，进而表示出斜率化简得定值；由点在轴上，作点关于轴的对称点，直线与双曲线交点，利用韦达定理得到关系，表示出直线方程，令化简得定点. （3）结合（1）（2）分析，得出条件，同理可证. 【解析】（1）由，直线斜率分别为，可知两直线关于轴对称， 结合双曲线对称性可知，关于轴对称， 故直线的斜率，即斜率为定值， 所以是曲线的“优点”； （2）①是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，令， 则直线的方程为，令，且. 则. 由，可知在双曲线的下支上， 设， 联立，得， 由题意或. 由和是方程的两不等根，则由韦达定理知， 解得； 同理，将换成，换成，可得. 又， 则直线的斜率 . 故是曲线的“优点”. ②是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 由题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 ， 故直线过定点， 所以是曲线的“优点”. （3）若满足条件或， 则是曲线的“优点”，且①直线的斜率为定值. 当，即点在轴上时，直线的斜率为定值； 当，即点在双曲线上时，直线的斜率为定值； 若满足条件，即点在轴上（且不为原点）时， 则是曲线的“优点”，且②直线经过定点，定点为. 理由如下： 若，即点在轴上，由对称性可知，直线的斜率为定值； 若，即点在双曲线上时， 设直线， 联立得，， 题意或. ，则，， 以代得，，， ； 若满足条件，即点在轴上时，， 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 . 故直线过定点. 【变式训练7-8】已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据点以及渐近线方程列出关于的方程组即可； （2）先讨论直线斜率不存在时，根据得出矛盾，再设直线AB：，与双曲线方程联立，根据得出，即可求出定点. 【详解】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 【变式训练7-9】已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式求出，即可求出双曲线的渐近线方程. （2）求出直线的方程，平移直线与双曲线右支相切，求出面积最小值. （3）设出直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及对称关系建立方程求解. 【详解】（1）依题意，点，设，由，得， 解得，而，因此，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，直线的方程为， 由消去得，解得， 则， 的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小， 平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小， 设切线方程为，由消去得， ，解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此， 因此点到直线的距离为点到直线的距离， 所以求的面积的最小值为. （3）依题意，直线斜率存在，设其方程为，， 由为双曲线的左支上与不重合的点，得， 设点关于直线对称点为，则， 解得，由直线平分，得在直线上， 而，则， 即，整理得， 由消去得，， ，因此， 整理得，而，解得，直线：过定点， 所以直线MN恒过定点. 【变式训练7-10】已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分直线当直线或的斜率不存在与直线和的斜率都存在两种情况讨论，当直线和的斜率都存在设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线方程与双曲线方程，消元，分二次项系数为和不为两种情况讨论，即可求出交点个数； （2）首先判断直线过定点，则定点应在轴上，再计算时直线过定点坐标，最后推导当时，三点共线即可. 【详解】（1）当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在）， 因为两直线均过点，所以两直线的方程分别为， 则直线与双曲线共有四个交点， 分别为，.（由，解得或）， 当直线和的斜率都存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程分别为. 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得. 当，即时，方程仅有一解，此时直线与双曲线仅有一个交点； 当，即时，，此时直线与双曲线有两个交点. 同理联立直线与双曲线的方程，可知当时，直线与双曲线仅有一个交点； 当时，直线与双曲线有两个交点； 综上，当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），交点个数为4； 当且时，交点个数为2； 当且时，交点个数为4； 当且或时，交点个数为3； 当且且时，交点个数为4. （2）由（1）可知，当直线或的斜率不存在时，两直线与双曲线有四个交点，分别为，， 则点坐标分别为，直线与轴重合，所以若直线过定点，则定点应在轴上. 当直线和的斜率同时存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程分别为. 因为在双曲线中，所以由（1）可知，当两直线与双曲线有四个交点时，且 记点， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得， 则，则，即点. 同理可得点. 当时，，， 则， 此时直线的方程为； 同理当时，，则， 此时直线的方程为. 所以若直线过定点，则定点在直线上. 又因为定点在轴上，所以可猜想定点为， 所以只需证明当时，三点共线即可. 此时，，直线的斜率都存在，即证明. 因为， ， 所以，即三点共线，即直线过定点. 综上，直线过定点. 【变式训练7-11】已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【解答过程】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； （2）①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练7-12】已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、双曲线中向量点乘问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 题型08：定直线问题 【典型例题1】已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由得，其半径为4， 因为线段的垂直平分线与直线交于点，    故，则, 而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线， 则， 故点的轨迹的方程为. （2）证明：由题意知，    若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意； 故直线l的斜率不能为0，故设其方程为， 联立，得，， 故， 设，则直线的方程为， 直线的方程为， 故， 则， 即，解得， 故直线与直线的交点在定直线上. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，则， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由，得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得，代入②可得，即，解得（负值舍去）， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，直线的方程为：， 则； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由，得， 则，所以， 即， 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【典型例题3】已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【解题思路】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【解答过程】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【典型例题4】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得， 设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点轨迹方程为. 【变式训练8-1】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），，，整理可得：， 又，曲线的方程为：. （2）    由题意知：直线斜率不为，则可设， 设， 则直线，直线， 由得：， 由得：，则，即， ，，， ，解得：， 即点在定直线上. 【变式训练8-2】已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【解答过程】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得，故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为， 与联立得. 设、，由题意，得，解得. （i）因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）设直线的方程为，令，得. 同理可得，，， 因为为中点，所以，即. 又因为点、、都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【变式训练8-3】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)在， 【解题思路】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【变式训练8-4】已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. (1)求的方程： (2)已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由题意得，， 故，，所以的方程为. （2）设，则直线DE：. 由得，（*） （ⅰ）①当，即时， 由（*）可知，，， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； ②当，即时，要使直线DE与双曲线仅有一个公共点，则，即， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； 综上，直线DE方程为或. （ⅱ）当时，即，解得，因为在线段AB上，故， 由直线DE交于，两点， 设，，则（*）有两个不相等的实根，， 所以即，且，. 故 . 所以，所以，即. 【变式训练8-5】已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1)；(2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【解析】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 【变式训练8-6】已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【解析】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 【变式训练8-7】已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 【变式训练8-8】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由题可得，据此可得离心率； （2）由（1）可设，然后由题可得，据此可得答案； （3）设，将直线，直线联立，可得，然后将直线方程和双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可得，解方程可完成证明. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，点，所以， 所以，即，所以，即， 所以，即，解得（舍去. （2）由（1）可得，，所以可设，计算可得，点， 该双曲线的一条渐近线的方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得， 又，所以，可得，所以 因此，可得该双曲线的方程为. （3）证明：由（2）可知，，设， 则直线，直线， 联立 两式相除可得，所以， 当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线， 则， 代入可得， 联立整理得，所以 所以， 则 ，注意到， 所以，解得， 所以点在直线上. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线问题，通常可设点，而不是设点所在的直线.对于表达式中出现非对称式，常利用韦达定理去找到两根之和与两根之积之间的联系，从而化简相关表达式. 【变式训练8-9】已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)是， (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由双曲线的焦距为，得到，再根据一条渐近线方程为，由求解； （2）易知切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，根据直线与圆相切，由圆心到切线的距离为，得到，设切线的斜率，且，分别设直线PB，PC的方程，与双曲线方程联立求得点B，C的坐标，写出直线BC的方程求解； （3）由（1）得到动点的轨迹，其中，设直线的方程分别为和，其中，与双曲线的方程联立，求得E，F，M，N的坐标求解. 【详解】（1）由双曲线的焦距为可得， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，动圆的半径为，所以圆心到切线的距离为， 化简得，则的斜率是该方程的两个根，可得． 设直线， 联立方程得． 由韦达定理，，则，将其代入可得, 即得，同理可得,因，则得 又因为， 所以直线的方程为， 法一：直线的方程可化为 故直线过定点. 法二：根据双曲线的对称性，若定点存在，则一定在轴上，不妨设为， 将代入方程，得， 化简整理，得， 因,故由，解得． 故直线过定点. （3）由（1）知，设,依题意，, 化简得：,两边取平方，整理即得动点的轨迹方程为，其中. 由题意可设直线的方程分别为和，其中， 联立方程得，所以， 将代入到直线得到； 联立方程得，所以， 将代入到直线得到， 同理可得. 将点，同时向右平移一个单位长度，分别得到，，直线与轴交点的纵坐标为 ， 因此直线经过点， 同理可得（将互换）直线也经过点， 所以直线与的交点为，在定直线上. 【变式训练8-10】在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点G叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）．如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为，点在曲线E上． (1)求曲线E的方程并确定点G的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点（，3，…）：过点作斜率为2的直线交E于另一点，设是点关于x轴的对称点．记的坐标为． （i）求证：数列为等比数列； （ii）记M为直线与直线的交点，N为直线与直线的交点，R为直线MN与直线的交点，证明：R在定直线上． 【答案】(1)，点G为坐标原点O (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求平面轨迹方程、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）（i）由题意易得，，进而得到是首项为1，公比为的等比数列； （ii）先求出直线的方程为，，，可得直线的方程为，进而求证即可. 【详解】（1）依题意，得  即 ∴，故曲线E方程为．∵点在曲线E上，∴，故曲线E方程为．由对称性可知，点G为坐标原点O． （2） （i）依题意，得，得①， 又∵直线的斜率为2且，，∴②． 将②代入①中，得③，将②和③相减，得， 从而，∴是首项为1，公比为的等比数列． （ii）点R在定直线上．证明如下： ∵，， ∴直线的方程为， 令，得． ∵直线的方程为，直线的方程为， 联立解得． ∵直线的方程为，直线的方程为， 联立解得． ∴直线MN的方程为． 令，得， ∴直线与直线MN的交点坐标为， 故点R在定直线上． 题型09：定值问题 （1） 距离定值 【典型例题1】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      【变式训练9-1】已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆离心率，可得a，c的关系，分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大，代入面积公式，结合的关系，即可得答案. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得表达式，结合斜率坐标公式，化简计算，即可得答案. （3）当直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况，综合分析，可得直线恒过定点，且设为R， 由，得在为直径的圆上，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率，得， 分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大， 则， 又，解得， 所以曲线的方程为. （2）证明：由（1）得，依题意，直线不垂直于轴， 设， 由消去得， 则， 则 ， 所以为定值； （3）证明：设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为， 由直线不过点，得， 由消去得， 则，且， 所以， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 此时直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得， 此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点，使得为定值. 【变式训练9-2】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的右顶点为A，过点的直线与双曲线交于两点不在x轴上）.若直线AB和AC分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由已知，设，则双曲线， 又点在双曲线上，解得，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）设直线， 由，得， 其中且， 所以， 设直线，令，得， 同理可得，故． 记以PQ为直径的圆与轴交于M，N两点，圆心为， 从而， 所以 ， 所以为定值. （2） 斜率及斜率积商关系定值 【典型例题2】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的标准方程为，故， 设、，则、， 由，则有，化简得， 由点是双曲线上两点，则、， 将代入，有， 整理得，又可得， 则，解得，则， 则，则， 当时，， 此时直线的斜率为； 当时，， 此时直线的斜率为， 故为定值或. 【典型例题3】已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）虚轴长为，，， 直线为双曲线的一条渐近线，， ，， 双曲线的标准方程为； （2）①过点的直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去，得到， 整理得，设， 则有， 故； ②， 当直线垂直轴时，过点的直线的方程为， 将代入双曲线中得，解得 则， ，，， 当直线不垂直轴时，过点的直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去， 得到关于的一元二次方程， 整理得到，设， ，， ，， . 综上可知，为定值. 【变式训练9-3】已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【详解】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2） 由（1）知，，. 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 【变式训练9-4】在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，. 【详解】（1）由题可得，，两边平方得， 整理得，故的方程为：. （2） 直线的斜率是否为定值，下证： 设，则，则有，作差得， 等式两边同除，得：， 即，因此， 因此，直线的斜率为定值，定值是. 【变式训练9-5】已知双曲线的焦距为，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是． (1)求双曲线的方程 (2)记双曲线的左、右顶点分别为，直线与的右支交于两点． （i）求实数的取值范围 （ii）若直线的斜率分别为，证明：是定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）(1) 设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以， 所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值，为， 所以，因为，所以， 又因为焦距为所以，即， 由和,可得， 所以双曲线的方程为 （2）（i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点， 可得． 解得所以的取值范围是； （ii）由（i）可得 将乘以得： 将变形为，代入上式： 则： 因为， 则直线的斜率，直线的斜率， 因此： 将，代入上式，得： 所以. 即是定值． 【变式训练9-6】已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【答案】(1)； (2)直线AP和直线AQ的斜率乘积为，证明过程见解析 【详解】（1）由题意得，将代入中得 ，又， 解得，故双曲线方程为； （2）由题意得，显然过点的直线l斜率不为0， 故设直线l的方程为，联立得 ，则，解得， 设，则， ， 则. 【变式训练9-7】已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，计算即可求得方程； （2）设，，，利用点差法可证得结论； （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明. 【详解】（1）由已知得 解得， 故双曲线C的标准方程为：； （2）设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证. （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线. 【变式训练9-8】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据离心率和双曲线所过点的坐标可求方程； （2）①利用弦长公式可求答案；②结合韦达定理求出，再利用斜率公式可求答案. 【解答过程】（1）因为点在双曲线上，所以. 离心率为，，解得，. 故双曲线的标准方程为. （2）①设，. 联立得， 则，. 故. ②. 由题意得点M，N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以， 则. 故. 【变式训练10-11】已知点，，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．不过原点的直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，直线TB和NB的斜率之积为6． (1)求C的方程； (2)判断l是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由； (3)试判断的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明． 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 (3)钝角三角形，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中向量点乘问题、双曲线中的直线过定点问题、求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）设，由，及得出，结合Q在线段AB外，即可求解； （2）设，，根据直线TB和NB的斜率之积为6，设，结合韦达定理即可得出l过定点； （3）分类讨论和的情况，由平面向量数量积即可证明． 【详解】（1）设，因为，，且，垂足为Q， 则Q点坐标为，则，，， 已知，即， 因为Q在线段AB外，所以，则， 所以曲线C的方程为． （2）设，，则， 显然l的斜率不为零，否则有，，， 此时，与直线TB和NB的斜率之积为6，矛盾； 故可设，由得， 依题意，且， ∴且，，， 由得， ∴，， ∵直线TB和NB的斜率之积为6，∴， 所以，，，解得， 此时恒成立， ∴，过定点． （3）由（2）知，，，， ①当，即时，， ∴M，N均在C的右支，如图，    此时 ， ∴∠MBN是钝角，△BMN是钝角三角形； ②当，即或时，， ∴M，N分别在C的两支.不妨设M在C的右支，则，如图，    设，则， ∴， ∵l过点R，∴， ∴∠BMN是钝角，△BMN是钝角三角形， 综上，△BMN是钝角三角形． 【变式训练9-11】已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【解题思路】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【解答过程】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 【变式训练9-12】在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【分析】 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    （3） 面积定值 【典型例题4】已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 【变式训练9-13】已知双曲线的离心率是，虚轴长为2，是坐标原点. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相切，交一条渐近线于点，求的面积； (3)点为的右支上任意一点，过点的直线与相切，交两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【详解】（1）由题意知解得 所以的标准方程为. （2）根据题意得，过的直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立消去得， 因为直线与相切，所以且， 解得，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为. 由（1）得，渐近线方程为，联立解得 所以点的坐标为， 又因为点，所以， 因此的面积为. 同理可得，当渐近线方程为时，的面积为. 综上所述，的面积为. （3）设过点与双曲线相切的直线为， ①当直线的斜率不存在时，直线， 直线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为，， 所以的面积为； ②当直线的斜率存在时，不妨设直线，联立 消去得， 因为直线与双曲线相切，所以 解得，， 分别联立直线与双曲线的两条渐近线，即或 解得，， 所以， 原点到直线的距离为， 所以的面积为 综上，的面积为定值，该定值为. 【变式训练9-14】已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】(1) (2)①是，；②是 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）①设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据得出，再根据弦长公式化简即可； ②联立直线与渐近线的方程求出两点的纵坐标，化简即可. 【解答过程】（1）因为的虚轴长为，所以.     因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故，     所以双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点，    由，得，    则，即.    ①因为，且，    所以，所以，为定值.    ②由得，同理可得，    所以.     因为原点到直线的距离，所以.    因为，所以，即的面积为定值.    【变式训练9-15】已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，即， 所以右焦点到该渐近线的距离为， 因为，，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 而两条渐近线方程为， 不妨设与的交点为，与的交点为， 则或， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且， 由，得， 由，得. 由，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可得，所以. 因为原点到直线的距离，所以， 因为，所以，则. 综上所述，故的面积是定值，定值为. 【变式训练9-16】已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点，定点为 (3)为定值，定值为，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、双曲线中的定值问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）由题意利用离心率求出，即得答案； （2）求出双曲线方程，联立直线方程，可得根系数关系式，结合题意知，化简可得，即可得结论； （3）求出的值，设渐近线的倾斜角为，则，求出，即可求出的面积，可得结论. 【详解】（1）由知，， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）由，得，，双曲线的方程为 联立方程组得，， ， 设，，则，， 则，． 因为 即， 展开得 即， 即，，或． 当时，直线过，不符合题意，舍去； 当时，直线过定点． （3）由（1）知，双曲线的两条渐近线方程为和； 设，有，即， 则， 设渐近线的倾斜角为，则，， 所以的面积， 即的面积为定值，定值为． 【变式训练9-17】已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； (3)在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)是定值，定值为； (3)存在定点，该定点坐标为. 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用焦点到渐近线的距离及过的点求出参数值即可. （2）求出双曲线的渐近线方程，求出过点与其中一条渐近线平行的直线并求出与另一条渐近线的交点，再利用平行四边形面积公式计算求解. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及已知求解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，右焦点， 双曲线的渐近线，点到渐近线的距离， 又，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线：的渐近线为， 由在双曲线上，得，即， 过点与直线平行的直线方程为， 由，解得，得交点， 依题意，四边形是平行四边形，， 点到直线的距离， 所以四边形的面积为定值.    （3）假设存在点， 由（1）知，，由直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为， 由消去得，设， ，解得或， 由，得，而， 于是，则平分，因此直线的斜率互为相反数， 即， ，解得， 所以在轴上存在定点，使恒成立. （四）其它定值 【典型例题5】已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． (1)求双曲线E的方程； (2)是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； (3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由焦距可得，由渐近线方程可得，据此可得双曲线方程； （2）由题可得B为PQ中点，设，，由点差法可得直线PQ斜率为渐近线斜率，据此可完成判断； （3）方法1，设直线，将其与双曲线联立，由韦达定理结合题意可得MN的中点为，据此可完成证明；方法2，设，，由题可得，，将双曲线的方程化为，将其与直线联立，然后由韦达定理可得，据此可完成证明. 【详解】（1）由题，设双曲线E的焦距为2c，则，即， 根据双曲线的性质可知，点在渐近线上， 所以，即①， 又，所以② 又①②解得，， 所以E的标准方程为． （2）不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得与的面积相等， 则点B为PQ的中点，设，，代入E的方程得：， 两式作差得， 因为点为PQ的中点，所以，， 故，即直线l的斜率为， 故直线，即， 此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾， 所以不存在直线l，使得与的面积相等 （3）证明：由题可知，直线l的斜率存在，设直线，与E的方程联立，得， 由题，，得，且， 设，，则，， 设，，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ，所以， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证． 另解：设，，又，所以， 令得，同理可得， 双曲线的方程化为：，即， 设直线，即， 联立得， 所以， 等式两边同时除以得：， 设，，易得满足方程， 则为方程两根，由韦达定理可得 ，故， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证 【变式训练9-18】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【解答过程】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 【变式训练9-19】已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. (1)当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. (2)当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. 【答案】(1)①定值为，证明见解析；②定值为，证明见解析 (2)或 【详解】（1）①当时，过点，此时方程为，联立双曲线，解得，由于点位于第二象限， 可知点坐标为，点坐标为，设， 直线，故直线斜率分别为：，， 而 ， 联立直线与双曲线得： ，因为直线与双曲线的左右两支相交， 故，且，解得， 根据韦达定理可知， 将其代入， 故直线斜率之差为定值，定值为. ②设，由①知， 解得，故位于定直线上，而的面积为， 故的面积为定值，定值为. （2）由题知恒为定值，即为定值， 对于：因为三点共线，所以 ， 由①知， 故，而， 故，所以， 对于： ，则直线的方程为：，设，， 直线与双曲线方程联立可得， 即， 所以， 所以，，， 得， 又因为， 所以， 当时，即时，为定值， 所以或, 故动点所在曲线的方程为或. 题型10：最值取值范围 （1） 距离 【典型例题1】已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解. （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练10-1】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【解答过程】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 【变式训练10-2】我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 【答案】(1)，;(2) 【解析】（1）因为是焦距为8的等轴双曲线的一部分， 所以，解得 所以的方程为的方程为. （2）设，当时，， 因为，所以当时，； 当时，， 当时，. 又，所以， 即线段长度的最小值为. 【变式训练10-3】已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入可知曲线为双曲线，根据双曲线标准方程即可求离心率； （2）（ⅰ）由，结合即可求，然后建立方程组求得点的坐标； （ⅱ）先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时可得直线过定点，再求得弦长，建立函数求最值可得斜率不存在时取得最小值. 【解析】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 【变式训练10-4】双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 【解析】（1）双曲线，，所以，所以左焦点为． 所以直线的方程为，联立直线与双曲线方程得： ，化简得. 设，根据韦达定理得. 所以. 因为，所以，化简得，解得. （2）设，因为点P在双曲线上，所以满足，得到. 所以. 因为或，根据二次函数的性质可知，当时，取最小值为. 【变式训练10-5】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【解答过程】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 【变式训练10-6】双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【解析】（1）依题意，，焦半径，由，得，得， 解得：（其中舍去），所以，故双曲线的方程为； （2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，，则，， 由，得，即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. （2） 距离关系 【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若的外心为，求的取值范围. 【解析】（1）设双曲线的半焦距为，因为双曲线的右焦点为，所以， 因为点和点关于轴对称，所以当时，直线的方程为， 联立可得，又，所以，又， 所以，故双曲线方程为； （2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾， 所以可设直线的方程为， 联立，消，得， 方程的判别式， 设，则， ， 由已知，所以， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为，所以点的坐标为， 所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以，所以 所以的取值范围为. 【变式训练10-7】已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. (1)设，求证：是定值； (2)求的取值范围. 【解析】（1）由是直线与抛物线的两个交点， 显然直线不垂直y轴，点， 故设直线的方程为，由消去并整理得， 所以为定值.    （2）由（1）知，直线的斜率，方程为， 令，得点的横坐标，设， 由消去得， ， ， 而直线的方程为，依题意， 令，得点的横坐标 ，因此，所以的取值范围是. 【变式训练10-8】已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【解析】（1）由双曲线过点，得， 又因为离心率，所以，结合，解得，， 所以方程为． （2）①证明：如图，设的内切圆与，，分别切于，，， 所以，，， 所以， 又，所以，， 又，，所以与重合，所以的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，所以，，三点共线. ②设直线的倾斜角为，则，， 则 ， 当时，， 当时，由题知，，，，则， 所以渐近线的斜率为，则渐近线的倾斜角为和， 因为，两点在双曲线的右支上，所以，且， 所以或，所以，且， 则， 综上所述，． 【变式训练10-8】已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若动点在轴右侧，点，求的最小值. 【解析】（1）， 点到直线的距离， 由题意可知，， 化简得：，即曲线的方程为：； （2）设点到直线的距离为，因为，所以， 所以， 因为点在轴右侧，即点在双曲线的右支，过点向直线作垂线，垂足为， 所以， 当点三点共线时，取得最小值， 且最小值为点到直线的距离，即为：， 所以的最小值为. 【变式训练10-10】已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程. (3)过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线向量共线比例问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意可得，解出的值即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与双曲方程，结合韦达定理及题设可得，进而代入双曲线方程即可求出，进而得解； （3）由（2）可得，设直线的方程为，， 可得由，，可得，，，，表示出，换元，结合对勾函数求解即可. 【详解】（1）由题意，，解得，， 则双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 此时，显然不存在点满足； 则直线的斜率不为，设直线的方程为，， 联立，得， 则，，即， ， 则， 又， 则， 即，代入， 得， 解得或，即（舍去）或， 则直线的方程为， 即. （3）由（2）知，设直线的方程为，， ， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为，， 同理可得， 由，， 则，，即，， 所以， ， 所以 ， 令，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；时，；时，， 则，所以， 函数在上单调递增， 则，即的最小值为.      （3） 面积 【典型例题3】已知圆，定点，N为圆C上一动点，线段MN的中垂线与直线CN交于点P． (1)证明：为定值，并求出点P的轨迹的方程； (2)若曲线上一点Q，点A，B分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围． 【解析】（1）证明：由题意，圆C的圆心，半径， 由点N与M关于PQ对称，则，， 且， 由双曲线定义知，点P的轨迹为以C，M为焦点，实轴长为的双曲线，       设双曲线方程为：，，，，， 所以双曲线方程为. （2）由题意知，，分别为双曲线的渐近线, 设，，由，设． ，，，,             由于P点在双曲线上，，， ,又，同理，设OA的倾斜角为， 则． , 函数，，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时，；． 【变式训练10-11】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2)12 【解析】（1）由题知 ， 又 轴时，有代入方程解得，， 则双曲线的方程为： ； （2）设直线方程为， ，消去得， 则， 所以， ， 因为， 令，则，得 设，则该函数在上单调递减，则， 故，，即面积的最小值为12. 【变式训练10-12】已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以， 所以双曲线的方程为，即为. （2）（i）设点、，又，， 所以，同理，， 所以，所以； （ii）（法一）由已知与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为， 由，消去得， 所以，                              . 所以， 整理，得， 即 整理，得，解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过定点，                                    .. 因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令，则， ， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以面积的取值范围是. （ii）（法二）设直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，则，解得，， 同理，. 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 所以，，可得，解得即且. 又，即， 所以. 由， 令，且且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故， 所以， ， 由在上单调递减，所以，即， 所以，所以面积的取值范围是. 【变式训练10-13】已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【解析】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； （2）①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练10-14】在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D． （ⅰ）求证：直线过定点E； （ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中的最值问题、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义确定双曲线参数，即可得的轨迹； （2）（i）设，则，直线，联立双曲线并写出韦达定理，结合化简整理得，即可证；（ii）设，，联立双曲线并应用韦达定理，结合得到，应用换元法及对勾函数性质求其最小值. 【详解】（1）由在线段的垂直平分线上，则， 点是圆上任意点，则，， 所以， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线， 对应双曲线参数为，则轨迹方程为； （2）（i）设，则，直线， 联立双曲线，得， ，且，， 由，则， 整理得， 又，， 所以，显然直线过定点，得证； （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 所以，可设，，联立双曲线， 整理得，，则， 则，， ， 令，则， 又在上单调递减，则，此时，即， 所以最小. 【变式训练10-15】已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. (1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； (2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; (3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用椭圆定义求方程、求两曲线的交点、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据椭圆的定义和性质求出椭圆方程，再根据题目条件求出双曲线方程； （2）根据等腰三角形的性质和椭圆方程可求出点的坐标； （3）设出直线方程，与椭圆方程联立表示出弦中点的坐标，进而得到直线方程，再与双曲线方程联立，结合图形性质表示四边形面积即可求出最小值. 【详解】（1）由椭圆定义得，， 的周长为，故. ，， . （2），，故. 若，设，则，解得， 点的坐标为. 若，设，则，解得或（舍），点的坐标为. 综上, 点的坐标为.     （3）由题知：，. 直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由得， ，故. 点在直线上，， 直线的方程为，即. 由得， 由得，且. 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， 直线的方程可化为，.     点在线段的两端，， 点在直线上， ， 四边形的面积为， . 令，， 在上单调递增， 当时，. （4） 面积关系 【典型例题4】已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)记三角形的面积为的面积为,求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由焦距及渐近线方程可得,确定双曲线标准方程； （2）设出直线与点,联立直线与双曲线方程，根据题意写出表示出,再结合韦达定理化简计算； （3）设出直线与,表示出的纵坐标，再将三角形面积之比中的边长之比转化为纵坐标的比，最后结合与的范围求解. 【详解】（1）由题意知,,且, 所以, 所以双曲线的标准方程为. （2） 证明：由题意知直线的斜率不等于0，设的方程为, 由，得． 因为直线与双曲线的右支交于两点，所以①， 因为, 所以, ， 所以由①式解得． 因为,所以 , 所以直线与直线的斜率之积为定值． （3）设,且, 所以,即,所以． 又因为,所以． 由得,所以,同理可得． 由得,所以,同理可得, 所以 . 令,由,得, 所以． 令, 因为在区间上为增函数,所以的取值范围为, 所以的取值范围为． 【变式训练10-16】已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 【解析】（1）由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为， 所以右焦点到渐近线的距离，又因为，所以，则依题意可得， 由离心率，解得，所以双曲线的方程为. （2）如图所示，    由（1）知，，设直线的方程：， 由得， 因为直线与双曲线的右支交于两点，所以解得， ，所以， 设，且， 所以，即，所以， 又因为，所以，由，得， 所以，同理可得，由得， 所以，同理可得， 所以 ， 令，由，得， 所以，令， 因为在区间上为增函数，所以的取值范围为， 又因为，所以的取值范围为. （5） 斜率角度 【典型例题5】已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 【变式训练10-17】已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【详解】（1）由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； （2）方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 【变式训练10-18】已知双曲线的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线、、的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线、的夹角为，求的取值范围． 【解析】（1）已知双曲线渐近线为，可得：； 将点代入双曲线方程中得：， 由，解得：，， 所以双曲线方程为. （2） 如图，设，，，， 则，，， 设，联立方程：， 得：，因为两交点均在右支，则， ， ，， ， 由此可得：，因此得证：直线、、的斜率成等差数列； （3） 如图，设过点的切线方程为， 设直线、的斜率分别为，， 联立方程：， 得：， 由于直线与曲线相切，所以，即， 整理得：， 当时，方程的其中一个根为， 此时切线与渐近线重合，不合题意； 当时，方程的其中一个根为， 此时切线与渐近线重合，不合题意； 又因为方程的判别式， 故的取值范围为. 由此可得：与为方程的两个根； 即得：，. 直线、的夹角为， 则， 由于（当时，最小值取等号） 得：， 所以的取值范围为. 【变式训练10-19】已知双曲线的右焦点为，离心率为，双曲线过点，直线与双曲线的右支交于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线过点，定点（异于点）满足，求的值； (3)若线段的中垂线过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）分析可知轴为的角平分线，故，由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，结合与韦达定理可求得实数的值； （3）设线段的中点为，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，根据可得出，结合题设条件求出的取值范围，求出、的表达式，进而可得出的取值范围，由此可得出的范围，进而可得出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为. （2）因为，所以， 设点到直线、的距离分别为、， 所以，，所以， 故轴为的角平分线，故， 由题意可知直线不与轴重合，且点， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由韦达定理可得，，解得， ， 即， 所以对任意的恒成立， 所以，解得. （3）设线段的中点为， 易知直线不与轴垂直，设直线的方程为， 联立可得， 所以①， 由韦达定理可得，， 则，②， 即点， ③， 因为线段的中垂线过点，则， 且，即，整理得④， 由④得⑤，⑤代入①得， 可得，解得或， ⑤代入②可得，可得，由③得，故， ， 故， ， 故 ，    由③可得，故， 因为，所以，故，故， 所以， 因为，故，所以. 即的取值范围是. （6） 参数 【典型例题6】已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可知，所以，，由已知，可得， 则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，联立，整理可得 所以，解得，由，可得， ， 原点到直线的距离， 所以 设，，易知渐近线方程为，不妨设在渐近线上， 由得，同理， 所以， 到直线的距离， 所以， 所以， ，则 令，则，故的取值范围是 【变式训练10-20】已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. （7） 与数列结合的最值范围 【典型例题7】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为. (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是以为公比的等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、由定义判定等比数列、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用给定条件，求出渐近线方程，进而求出离心率. （2）由（1）求出双曲线方程，设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线与轴交点坐标，结合已知推理得证. （3）利用（2）求出的坐标，求出的面积，求出数列的所有项和的函数关系，再求出其最小值即可. 【详解】（1）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为， 依题意，，解得，， 则双曲线的渐近线方程为，即， 所以双曲线的离心率为 （2）由（1）知，，双曲线的方程为， 设，，则，， 过的直线斜率不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 则，， ， 直线的斜率，直线的方程为， 令，则 ，因此直线恒过定点， 又直线与轴的交点为，于是，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.    （3）由对称性知，直线也恒过定点，则，， 因此 ，， 则是以为首项，为公比的等比数列，数列的所有项和 ，设，则， 由过的直线与双曲线的右支交于两点，得，即， 则，又函数在上单调递减， 则 ，， 所以数列的所有项和的最小值为. 【变式训练10-21】双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，，（ii）． 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中的最值问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式可求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）写出直线方程，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理可得出，，再利用等比数列的定义可证得结论成立； （ii）求出、的表达式，可得出的表达式，结合数列的单调性可求得的最大值. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，， 则点到渐近线的距离为，所以，所以的方程为． （2）（i）因为，所以、， 直线的方程为，即， 代入，得， 根据韦达定理得． 所以，， 由题设有， 因为， 所以是公比为的等比数列． 因为， 所以是公比为的等比数列， 所以，所以，. （ii）先证明结论：若，为两个不共线的非零向量， 则 . 本题中，因为．， 所以． 因为，， ， 又因为， ， 所以，， 所以， 设，则， 所以，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为． 题型11：证明问题 【典型例题1】已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为1的直线与的渐近线分别交于，两点（在第一象限），为坐标原点，． (1)求的方程； (2)过点且倾斜角不为0的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：． 【解析】（1）由已知得：，联立解得，同理可得． ∵，∴，整理得．又，∴，， ∴的方程为．    （2）要证明，只需证明的中点与的中点重合． 设的中点为，直线：，联立得， 设，，则， ，，即， 双曲线：的渐近线方程为， 由得可得， 由得可得， ∴的中点为，∴点与点重合，∴． 【典型例题2】设双曲线的焦距为6，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点. 【解析】（1）因为焦距为6，所以，将点代入的方程，得， 又因为，解得，所以双曲线方程为. （2）如图所示：    是直线上一点，的横坐标为， 设直线的方程为，则， 联立方程组得，设， 则，且， 则， 直线的方程为，① 又直线的方程为，②，由①②消去得， 在中， 两式相除，得，则， 则， ，故为线段的中点.    【典型例题3】在平面直角坐标系中，已知双曲线的两条渐近线将圆分为四段弧长分别为的圆弧. (1)求与的方程； (2)过上一动点作的切线交于不同的两点，证明：. 【答案】(1)双曲线：；圆：；(2)证明见解析 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 由题意可知：圆的周长为，解得， 所以圆的方程为； 因为四段弧长分别为的圆弧对应的圆心角分别为， 又因为双曲线的渐近线方程为， 可知渐近线的斜率为，倾斜角， 可得，即，， 所以双曲线的方程为. （2）设，则， 若切线斜率不存在，设切线为，， 可知，，且，即，可得， 因为； 若切线斜率存在，设切线方程为， 则，可得， 联立方程，消去可得， 在的前提下可得， 则 ； 综上所述：，所以. 【典型例题4】已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为，且，． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的右支交于两点，求周长的最小值； (3)已知点，直线与的右支交于点，过点作，交直线于点，证明：点在定圆上． 【答案】(1) (2)16 (3)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求双曲线中的弦长、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意，列出关系式求解得到答案； （2）先证明当为通径时最小，结合双曲线定义可得，进而得到的周长的最小值； （3）求出直线的方程与双曲线联立求得点的坐标，进而求出直线与的方程，求得点的坐标，消去参数得证. 【详解】（1）设双曲线的左右焦点为，，， 由，， 所以，解得，则， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，将代入，解得，即此时， 当直线的斜率存在时，设，，且， 联立，消去整理得， 则，，且，， ， 综上，，当且仅当为通径时最小. 又，可得， 所以的周长， 即的周长的最小值为16. （3）因为，，则，所以直线的方程为， 将代入双曲线的方程可得， 则，又，故，得， 所以点的坐标为， 又，，所以直线的方程为， 又，所以直线的方程为， 联立直线与的方程可得，， 消去参数，可得， 所以点在定圆上. 【变式训练11-1】已知椭圆的左、右焦点为双曲线的顶点，的左、右顶点为的焦点，且离心率的和为. (1)求的离心率. (2)若在第一象限内的交点为. （i）求的值. （ii）若为平面内一动点，直线交于两点，直线交于两点，且，证明：当直线的斜率之积大于0时，点一定在上. 【答案】(1)的离心率分别为； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的参数及范围 【分析】（1）若且，根据已知得到，即可求离心率； （2）（i）由，，结合点在曲线上列方程求参数值即可；（ii）由（i）得，，且，设且、，进而得到，，分别联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式求，结合已知化简整理即可证结论. 【详解】（1）若且，则，的焦点为， 由题意，则，， 又，所以，， 所以的离心率分别为； （2）由题设，，而（1）知，则， （i）所以，，又是它们的交点， 所以且，可得； （ii）由上可得，故，，且， 设且、，则，， 所以，， 联立，可得， 所以，显然， 则，， 所以 ， 联立，可得， 所以，显然， 则，， 同上可得， 由，则， 所以， 整理得， 所以，而， 所以，即点一定在上，故. 【变式训练11-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为， 联立与，消去，得， 所以， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去； 当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BC的斜率，所以． 【变式训练11-3】已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知且， 所以，所以的方程为. （2）由题意知，， 当直线的斜率为时，：，此时三点共线显然成立， 当直线的斜率不为时，设：，，， 联立可得， 由题意得， ， 所以，， 因为直线的方程为， 令，得，所以， 所以， 因为， 所以 所以，故三点共线， 综上：三点共线. 【变式训练11-4】已知等轴双曲线的焦点分别在轴上，经过，的焦距为． (1)求的方程； (2)为直线上一点，相互垂直且斜率均存在的直线交于点，与交于两点，与交于两点．设直线与关于直线对称，证明： ①直线与关于直线对称； ②． 【答案】(1)， (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）（i）假设方程，由与关于直线对称可得方程，由可得方程，依题意只需证明即可； （ii）由对称性可得，故只需证明即可，将线段化为坐标运算，结合韦达定理证明即可. 【详解】（1）设：代入得：，故 设：，而，故： （2）（ⅰ）设，与关于直线对称，故 所以，而，所以， 因为所以与关于直线对称 （ⅱ）由对称性：设与交于两点，则： 下试证：， 设：，， ，， 故：， 同理： 要证原式成立，即证：． 所以：，同理，用替换得： 所以即证：， 代入数据即证：，这显然成立， 所以：成立 【变式训练11-5】已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. (1)求双曲线 的离心率； (2)若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形为平行四边形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线的对称性、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合双曲线的定义即可求解，即可利用离心率公式求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，即可根据两点求解直线，联立与渐近线方程可得坐标，即可根据向量的坐标运算，代入韦达定理可证明得解. 【详解】（1）连接, 由于关于直线对称，又，所以， 到直线的距离为， 因此，故， 由双曲线定义可得，故， 因此离心率为， （2）当时，则，故双曲线的方程为， ，直线，故， 由题意可知直线有斜率，故设， 联立与可得， 设，则， 则直线，联立与方程可得， 解得，，所以, 同理可得, ,, ， 所以，即， 因此，因此, 故四边形 为平行四边形. 【变式训练11-6】已知，，二者相交于，离心率为． (1)求的方程； (2)记在第一象限交于，第二象限交于，第三象限于，第四象限交于． （i）如图1，过点的直线交于，过点的直线交于，斜率分别为，，的中点分别为，．求证：当时， (所有直线斜率均存在) ； （ii）如图2，为上的动点，连接交于，连接交于．连接交于，连接交于，求证：轨迹为双曲线，并给出轨迹方程． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，轨迹方程为 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的轨迹方程、求平面轨迹方程、双曲线中的定值问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意可得，，计算即可得解； （2）（i）由题意可得，，分别联立曲线，结合韦达定理可得的横坐标，则可计算出的纵坐标，从而可用表示出的斜率，结合计算即可得证；（ii）设直线、、、的斜率分别为、、、，分别联立直线、、与曲线、、，结合韦达定理计算出、、的坐标，从而可得出、、、间的关系，并可用表示出，再设，结合、两点坐标可得，，则可得所满足关系式，即为轨迹. 【详解】（1）由题意可得，且，即， 故，解得，则， 故，； （2）（i）由题意可得，， 联立，消去有， 故，则， ，故， 联立，消去有， 故，则， ，故， 由，故，故； （ii）设直线、、、的斜率分别为、、、， 则， 联立，消去有， 则，故， 则， 由，则， ， 联立，消去有， 则，故， 则， 由，则， 则， ， 联立，消去有， 则，故， 则， 由，则， 则， 设，则，， 故有， 即有， 化简可得，故轨迹为双曲线， 且轨迹方程为. 【变式训练11-7】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点且倾斜角为45度的直线交双曲线于，两点（在轴右侧）且，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过，分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【难度】0.15 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线与反光镜的设计问题、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）设，联立直线和双曲线方程，得到韦达定理，结合，的坐标关系得到结果； （2）①由双曲线的光学性质可得，利用平面几何的知识和双曲线的定义可得结果； ②法一：由双曲线的对称性及圆中的性质可证；法二：联立直线和双曲线的方程，由可得，从而得到，利用点到直线的距离公式，化简即可证明. 【详解】（1），，， 设，，， ， 设，，则， ， 所以直线与双曲线交点位于两支上，即点在轴左侧， 又，， 解得：， 又， 即，又，解得， ， . （2）（2）①设，， 由双曲线光学性质，， ，， ，均为等腰三角形， ，，， 又，分别为，的中位线， ，， 又， ，同理，， ，在以原点为圆心的单位圆上.    ②法一：设关于的对称点为点，设处双曲线的切线交于， 由对称性：， 由于的左右顶点为， 故，，，，均在单位圆上，如图， 由圆的性质得； 法二、设，过的直线 ， 即，故， 又，故， 所以，即，解得， ， 又， ， ， ∴. 【变式训练11-8】已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． (1)求双曲线的方程； (2)求点的坐标； (3)若、，记的面积为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、数列不等式恒成立问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析额可直线经过的定点也在轴上，设点设点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线得出联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，由此可得出点的坐标； （3）分析可知，点均在轴上，考虑一般情况，假设点，设点，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，同理得出点的坐标，利用、、三点共线，结合斜率公式可得出，由此可归纳得出的坐标，由此可得出的表达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为， 又因为，所以， 因此，双曲线的方程为. （2）当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上， 的中点也在轴，故经过的定点也在轴上， 设点，设直线的方程为，设点、， 联立得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点， 同理可知，直线的方程为，的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可得，得， 解得，因此，. 当时，，此时过， 故. （3）由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上， 考虑一般情况，假设点，设点， 设直线的方程为，设点、， 联立得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点为， 同理，直线的方程为， 线段的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可知，，即， 整理可得，即当点时，， 当时，，此时过， 综上，. 故当点时，、、、， 由题意可知，的面积为， 所以， 所以. 【变式训练11-9】已知双曲线经过点，动直线与恰有1个公共点，且与的两条互相垂直的渐近线分别交于点. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，求证：的面积为定值； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线，且与交于两点，与交于两点，若的中点为的中点为，求证：直线与轴垂直. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由双曲线方程得到渐近线方程，再由渐近线垂直得到，然后结合点在双曲线上解方程组可得； （2）分当动直线的斜率不存在和存在时讨论，当存在时，设出直线方程，直曲联立，令判别式为零结合渐近线方程解出点坐标，再由点到直线的距离公式表示出，然后由三角形的面积公式计算； （3）当直线与的斜率都存在时，设直线的方程为，直曲联立，表示出韦达定理，由中点坐标公式得到点坐标，再将换成得到点坐标可得；当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时与当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时由特殊值验证即可. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线垂直可得，所以. 将点代入，得，解得， 所以的方程为. （2）    证明：当动直线的斜率不存在时，. 当动直线的斜率存在时，不妨设直线， 故由得， 从而，化简，得. 又因为双曲线的渐近线方程为， 由得所以，同理可得， 所以， 又原点到直线的距离， 所以，又，所以. 综上所述，的面积为定值1. （3）证明：由题意可得，双曲线的右焦点为， 当直线与的斜率都存在时，设直线的方程为， 由得， 且， 所以， 因为点是的中点，所以. 因为，所以将换成，得. 因为点与点的纵坐标相同，所以直线与轴垂直， 当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，易得； 当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，易得. 所以直线的方程为，与轴垂直. 综上所述，直线与轴垂直.    【变式训练11-10】双曲线，射线和射线分别与交于点和点． (1)求双曲线的离心率； (2)作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求双曲线中的弦长、由导数求函数的最值（不含参）、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离 【分析】（1）根据题意可得，再利用，从而可求解； （2）①中将直线与双曲线方程分别联立求出，，从而求出，同理求出，从而可证；②中由（1）可得当时，且，则可得直线方程为：，再由到到的距离，从而求出，令，再利用导数求出，从而得，又因为而时，，从而可证. 【详解】（1）双曲线， 双曲线的离心率. （2）①证明：由题意将与双曲线联立，， 化简得，， ， 同理将与双曲线联立，，同理可得， 同理 ，，． 从而可证． ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ， 令，则， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递增， ，， 又因为时，， ． 从而可证． 【点睛】方法点睛：第二问的第一小问可分别将两条射线，和双曲线联立，进而求出和的坐标，从而算出和的斜率，直接代入斜率公式，可以得到是一个关于，的式子，其值为定值，故也有．最后一小问受（2）第一小问的启发可分别写出，的坐标，并写出直线的方程，算出的长和点到直线的距离，进而表示出的面积，并视为主元，构造一个函数，求出的最小值，进而得到的最大值，接着就是对进行放缩处理了，向右裂项放缩即可得出结果，本题比较综合涵盖三角形面积的转化求解，主元法和构造函数求最值以及数列中裂项放缩求和等经典元素，实属一道不可多得的好题，值得一做． 【变式训练11-11】已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【解答过程】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【变式训练11-12】（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为； （2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析； 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的切线方程、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）讨论切线的斜率并设切线，联立双曲线，根据相切关系有判别式为0求得，代入直线方程化简整理即可证； （2）设，与双曲线的切点为，则切线方程为，联立渐近线求坐标，结合三角形面积求得，即可得双曲线方程； （3）若，则，过点作直线的垂线为，进而依次求出的坐标，并确定为、的中点，即可证共圆，写出圆的方程易得所过的定点. 【详解】（1）若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为，联立， 所以，则， 所以， 整理得， 因为点在双曲线上，所以， 所以，则， 所以，则， 由，则，即， 所以，显然切线的斜率不存在时，即切线过双曲线顶点也满足，得证； （2）由题意，设，其焦点坐标为， 设与双曲线的切点为，则切线方程为， 联立，可得，即，同理， 所以，，则， 而，故，即所求等轴双曲线的方程； （3）由（2）双曲线为，若，则， 所以过点作直线的垂线为，即， 令，则，即，令，则，即， 联立，可得，同理， 综上，、的中点坐标均为，即是点，所以四点共圆， 易知圆的方程为，显然原点恒在圆上，得证. 【变式训练11-13】在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得，所以， 即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 又，，所以， 所以的方程为. （2）假设存在点满足条件. 由（1）知，双曲线的右焦点为. 设为双曲线右支上的一点，则. ①当时，， 因为，所以， 于是，所以或5. 即或都满足条件. ②当时，根据①我们猜想定点为或， 当点在轴负半轴上时， ，. 因为，所以. （i）当时，上式化简为：. 又即，代入上式得. 所以，解得，即. （ii）当时，，即也能满足. 当点在轴正半轴上时，，. 过程同上，得到不能满足条件. 综上所述，在轴上存在定点，使得. 题型12：探索性问题 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】（1）根据已知列出关于方程组，求解即可得出答案； （2）假设存在.设，有.由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出及其斜率，进而设出的方程为，，.联立直线的方程，求出坐标，表示出.联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，表示出，再根据假设，化简运算，求解即可得出答案. 【解析】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，右焦点， 右焦点到其中一条渐近线，即的距离. 则由已知可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）假设存在实数，使得. 由题意知点在第一象限，其坐标为， 则①. 因为双曲线的右支，所以， 由可得，， 求导可得，， 根据导数的几何意义可知，直线的斜率为. 又直线经过点以及点，所以， 所以有②. 由①②可解得，，，点，， 所以，直线的方程为，即，直线的斜率为. 设直线的方程为，，， 联立可得， 即，， 所以，. 联立可得，， 恒成立. 由韦达定理可得，. 因为都在直线上， 所以， 所以，， 所以， ， 所以，. 因为， 所以，假设成立. 所以，存在实数，使得，且.    【典型例题2】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）为定值，（ii） 【分析】（1）设出双曲线方程，根据离心率的乘积得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到； （ii）方法一：设直线，代入双曲线方程，由两根之积得到，结合点A在双曲线的右支上，得到，同理得到，结合确定，由和函数单调性得到答案； 方法二：求出双曲线的渐近线方程，由于点A在双曲线的右支上，与渐近线的斜率比较得到，同理可得，结合求出，由和函数单调性得到答案. 【解析】（1）由题意可设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，直线的方程为， 由，消元得. 则，且， ，    或由韦达定理可得，即, ， 即与的比值为定值. （ii）方法一：设直线， 代入双曲线方程并整理得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，. 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以，解得， 即，同理可得， 由（i）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在上单调递减，故， 故的取值范围为； 方法二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），    所以. 同理，过点作两渐近线的平行线， 由于点在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），    所以. 由（i）中结论可知， 得，所以, 故. 【变式训练12-1】已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得，， 同理可得， ， 所以存在满足． 【变式训练12-2】已知双曲线过点且一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使直线与直线关于轴对称，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】(1)利用渐近线方程设出双曲线方程，再将点代入即可求出双曲线方程； (2)假设存在点，联立直线与双曲线方程，应用韦达定理，将直线与直线关于轴对称转化为，进而可求出点的坐标. 【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为， 又双曲线过点，则代入得， 双曲线的方程为； （2）    设，， 假设在轴上存在定点，使直线与直线关于轴对称. 由题意知，直线的斜率一定存在，则设其方程为， 联立方程组，消去得：， 由题意知，即， 又有，， 则， ， ，， 上式对恒成立，， 存在定点，使，即使直线与直线关于轴对称. 【变式训练12-3】已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 【变式训练12-4】已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在 【解题思路】（1）由已知可求得，进而由离心率求得，可求得的方程． （2）（i）设，将直线方程与的方程联立，由韦达定理可得，求得点的坐标，分与两种情况讨论可得结论；（ii）根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. 【解答过程】（1）设的半焦距为． 因为在上，所以， 因为的离心率，即， 所以． 故的方程为． （2）（i）由的方程知， 设． 由 得， 因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得， 即， 所以． 直线的方程为， 令，得， 所以，同理得． 所以 即． 当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足； 当时，有，也满足． 综上，． （ii） 所以，即存在，符合条件．    【变式训练12-5】已知双曲线． (1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； (2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点，使得，此时 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【详解】（1）设， 则，作差可得，所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. （2）假设存在定点，使得. 设，焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以， 代入上式可得， 整理可得，因为对于恒成立， 所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 【变式训练12-6】已知双曲线（，）过点，且焦距为4. (1)求C的方程. (2)设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值. (3)若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，再结合焦距列出方程求解； （2）依题意直线AP的方程为，设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为，则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小，此时的面积最小，从而求解； （3）由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，设其方程为，，，联立方程组，再假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，，，根据得，化简可得的值. 【详解】（1）由题意可得，得，， 故C的方程为. （2）由（1）可得， 故，直线AP的斜率， 则直线AP的方程为. 设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为， 则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小， 此时的面积最小. 由，得， 令，解得， 当时，直线l与双曲线C的左支相切，符合题意； 当时，直线l与双曲线C的右支相切，不符合题意. 故直线l与直线AP之间的距离的最小值为， 所以面积的最小值为. （3）由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，不妨设在左支上，在右支上， 设其方程为，，， 由，得， 其判别式， 所以，. 假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，， 因为，所以， 因为，，， 所以， ， 由题知，，， 所以， 整理得， 则， 所以，解得， 因此直线上存在点，使得DQ平分. 【变式训练12-7】已知直线，双曲线，圆， (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若直线与圆相切，证明：与的上下两支各有一个公共点； (3)设直线与轴交于点，且与圆交于点，与的上下两支交于点，从上到下依次为，当时，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系、根据韦达定理求参数 【分析】（1）把时代入，进而求出双曲线离心率. （2）由相切可得，把直线方程与双曲线方程联立，利用判别式及韦达定理推理得证. （3）把直线方程与圆及双曲线方程分别联立，利用韦达定理，结合数量积关系列出关于的方程求解. 【详解】（1）当时，双曲线的实半轴，半焦距， 所以双曲线的离心率. （2）由直线与圆相切，得，即， 由消去得，即， 由恒成立，得与有两个不同的交点，且两根之积为， 即该方程的两根一正一负，所以直线与的上下两支各有一个公共点. （3）存在，， 由直线与圆相交，得，即，由直线与双曲线相交及（2）知， 方程中，，即， 而，且，则， 设，由（2）得， 由，得，则， 由，且四点共线，得，则， 即，则或，因此，即， 整理得，即， 于是，化简得，解得，符合题意， 所以存在，使得.    【变式训练12-8】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）为定值，（ii） 【分析】（1）设出双曲线方程，根据离心率的乘积得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到； （ii）方法一：设直线，代入双曲线方程，由两根之积得到，结合点A在双曲线的右支上，得到，同理得到，结合确定，由和函数单调性得到答案； 方法二：求出双曲线的渐近线方程，由于点A在双曲线的右支上，与渐近线的斜率比较得到，同理可得，结合求出，由和函数单调性得到答案. 【解析】（1）由题意可设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，直线的方程为， 由，消元得. 则，且， ，    或由韦达定理可得，即, ， 即与的比值为定值. （ii）方法一：设直线， 代入双曲线方程并整理得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，. 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以，解得， 即，同理可得， 由（i）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在上单调递减，故， 故的取值范围为； 方法二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），    所以. 同理，过点作两渐近线的平行线， 由于点在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），    所以. 由（i）中结论可知， 得，所以, 故. “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 【变式训练12-9】已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且． (1)求曲线的方程； (2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）设点的坐标为，则，， 由题意可得，，化简得， 进而曲线的方程为． （2）（ⅰ）若直线的斜率存在，设， 由，得， 则，即， 设，，则，，      因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 即，整理得，               ， 设为点到直线的距离，则，所以， 又，所以．        （ⅱ）若直线的斜率不存在，则， 不妨设，则，代入方程，得， 所以，则， 综上，存在这样的直线与曲线交于，两点， 以为直径的圆经过坐标原点，且． 题型13：双曲线与向量 【典型例题1】已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为， 又点在双曲线上，所以， 故双曲线标准方程为； （2）由（1）知，，所以左顶点为，右焦点为， 为双曲线右支上任意一点，设，，则，即， 则 ， 因为，故当时，取得最小值． 【典型例题2】已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； （2）∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积.    （3）设，则，所以，. 所以的取值范围是. 【典型例题3】已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意知解得 故双曲线的方程为． （2）证明：设，，，直线的方程分别为，． 因为，，所以，， 所以，． 所以，． 故． 因为，所以． 【典型例题4】已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 【变式训练13-1】已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）： 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 因为， 所以，代入，解得， 故直线AB的方程为， （或者直线AB的方程为或）． 法2（定比点差法）： 因为A、B在C上，于是，即， 两式相减得， 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 故， 联立解得，或，． 第一种情况，得； 第二种情况，同理得． 故直线AB的方程为或． （2）设，则，，， ，所以，即， 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 又，故， 故， 当，即时，，无解，舍去； 当，即时，整理得， 解得或． 综上所述，的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 假设存在，等价于． 由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线， 则直线，又，故， 从水平方向上看，有，整理得． 从竖直方向上看，有，整理得． 所以， 又由（2）得，， ，， 所以，，代入整理得． 而，所以，整理得， 所以，解得，与矛盾． 故不存在这样的． 【变式训练13-2】设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【变式训练13-3】在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为， 所以， 所以其轨迹方程为. （2） 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 由题意， 设， 则， ， ， 且， ， 直线的方程. 【变式训练13-4】已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 【变式训练13-5】已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． (3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线与双曲线交点坐标分别为， 则，两式相减可得：， 即， 所以直线的方程为，即. （3）如图， 由消去y并整理得：， 显然，且，解得且， 设，则，， ， ，解得， 由可得，解得或， 所以k的取值范围. 【变式训练13-6】已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 【变式训练13-7】已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【解析】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 【变式训练13-8】已知双曲线的焦距为8，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 【解析】（1）由题意，得，，解得，. 因为， 所以双曲线C的标准方程为. （2）如图， 因为直线l与圆相切， 所以圆心到直线l的距离. 由（1）知，双曲线C的渐近线的斜率为. 因为直线l与双曲线C的左、右两支相交，所以直线l的斜率k存在，且. 设直线l的方程为，则，所以. 由消去y，整理得. ， 设，，则，，所以. 因为，， 所以 . 把，代入，得 ， 所以，所以. 【变式训练13-9】已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，，， 因为曲线是以、两点为顶点的双曲线， 所以设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由题意，设点、， 直线的方程为，（）， 联立椭圆方程， 消去得， 由，可得， 联立双曲线方程， 消去得， 同理可得， 所以； （3）设点、，则，， 因为，所以，即， 因为点在双曲线上，即，所以，即， 又点是双曲线在第一象限内的一点，所以， 因为，， 所以， 由（2）知，，设，则，则， 令，， 设，则， 因为，故即， 所以在区间上单调递增，当时 ，，， 则，则，所以， 即当时，的取值范围为. 【变式训练13-10】已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 【变式训练13-11】已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 【变式训练13-12】已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不存在；理由见解析 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 【变式训练13-13】已知是以为焦点的抛物线，是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点 (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)9 (3)存在，理由见详解. 【分析】（1）设双曲线的方程，利用双曲线的焦点坐标和离心率建立方程组，即可求 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得. 因此，存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 【变式训练13-14】已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为， 又点在双曲线上，所以， 故双曲线标准方程为； （2）由（1）知，，所以左顶点为，右焦点为， 为双曲线右支上任意一点，设，，则，即， 则 ， 因为，故当时，取得最小值． 【变式训练13-15】已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线求出，即可得解. （2）①根据双曲线对称性得，进而，设，则，代入双曲线方程即可求解； ②设直线，与双曲线联立方程，韦达定理，根据数量积坐标运算化简得，然后利用及求解即可. 【解答过程】（1）根据题意得，故，故C的方程为． （2）①根据双曲线对称性知，故， 所以； 故，设，则， 又，解得，即，从而． ②由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②， ， 则，因为在直线上， 则， 即，即， 将①②代入有， 即， 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得，又因为，则， 综上知，，故． 题型14：双曲线的切线和切点弦方程 【典型例题】已知双曲线过点，离心率为，直线与的左支交于两点，与轴交于点. (1)求的方程； (2)为坐标原点，设的面积分别为，若，求的方程； (3)若上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的参数及范围 【分析】（1）根据双曲线所过的点及离心率求双曲线参数，即可得方程； （2）若且，根据已知得且，联立直线与双曲线并应用韦达定理，列方程求，即可得直线方程； （3）设双曲线的切线为，联立双曲线并应用判别式为0得，再由在切线上，代入切线方程整理得，令为过点的两条切线的斜率，则，结合点的存在性求的范围. 【详解】（1）由题设且，，则，所以； （2）由恒过，即，若且，故， 又，所以，则， 联立与，则， 所以，，则，且， 所以，且，可得，则（负值舍）， 综上，直线，即；    （3）由题设，易知两条切线的斜率一定存在，设切线为， 联立，可得，所以， 则，得，则切线为， 而在切线上，则， 所以，则， 若为过点的两条切线的斜率，根据垂直关系有， 所以，根据点的存在性知， 所以，可得. 【变式训练14-1】已知双曲线的右焦点为，离心率为． (1)求的标准方程； (2)设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)已知点是上任意一点，直线是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、求双曲线的切线方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线的几何性质求的值，写出的标准方程； （2）设出的方程及点的坐标，写出根与系数的关系，求出的值， （3）先求出切线方程，结合两直线方程求出，再利用根与系数的关系、两点间距离公式求出、，根据切割比定义求解. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，所以， 所以的离心率为，所以，， 故的标准方程为． （2）由（1）知，由题意知的斜率不为0， 设的方程为，，， 联立方程，得，得， 所以， ，， 所以 ，得证． （3）由题意知，显然在点处的切线的斜率存在， 设在点处的切线方程为，即， 代入，消去得， 因为与相切，所以，解得． 所以在点处的切线方程为． 易知直线的斜率， 可设直线的方程为，，． 由方程组，解得， 所以点的坐标为，所以． 由方程组，消去可得， 则， 所以，， 所以， 同理可得， 所以 ， 所以，即． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定值问题的解题步骤 （1）选取变量：设点的坐标、直线的方程，设直线方程时注意斜率不存在的情况； （2）代换变量：联立方程，写出判别式，得到根与系数的关系； （3）表达变量：根据所求定值问题，表示出斜率、弦长、面积等； （4）解出定值：最后通过消参得到所求定值． 题型15：双曲线的重心问题 【典型例题1】已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， 代入双曲线方程得，又， 所以， 所以，所以双曲线的方程为； （2）设，直线：，与双曲线联立得 ， ， 所以， 由韦达定理得，， 所以重心坐标为， 代入双曲线方程得，合题意， 所以直线的方程为. 【典型例题2】若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. (1)证明； (2)当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； (3)已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)过多边形的重心，理由见解析 (3) 【详解】（1）不妨设在渐近线上，在渐近线上. 联立与，得到，， 同理，得到，， 进而有，， 故为线段中点，即. （2）设多边形有个顶点，分别为. 不妨设顶点在上方，在下方. 令方程为，且顶点到距离为， 于是，， 由题知，，故有， 即，故过多边形的重心. （3）设三角形、、的重心分别为、、，四边形的重心为. 易知，可得，进而、、三点共线. 由（2）知必过、，于是为直线. 又因为四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上， 故在直线上，故、、、共线. 可得直线且过点，则， 于是直线为，故，. 于是切线为，与轴交点为. 由（1）知，， 故. 【变式训练15-1】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 【变式训练15-2】已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 【变式训练15-3】已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不存在；理由见解析 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 【变式训练15-4】已知是以为焦点的抛物线，是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点 (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)9 (3)存在，理由见详解. 【分析】（1）设双曲线的方程，利用双曲线的焦点坐标和离心率建立方程组，即可求 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得. 因此，存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 【变式训练15-5】双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为. （1）若，求的面积； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设， ，解得， .. （2）设，则.设的内切圆半径为，则 ， 于是，. 由知，，即. 又，可得.因此，， 又点在第一象限，解得，（舍负），故. 【变式训练15-6】已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②不存在，理由见解析 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）    ①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 题型16: 双曲线与数列 【典型例题1】已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，公比为； (3)证明见解析. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 【典型例题2】已知双曲线的渐近线方程为，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． (1)求； (2)求数列的通项公式，并说明理由； (3)记的面积为，证明：． 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴，且双曲线的渐近线方程为， 则， 又点在上，则， 联立，解得，则双曲线方程为， 由题意得，的斜率， 则，解得， 同理，由题意得，的斜率， 则，解得， 因为， 所以， ， . （2）因为，所以，因为， 所以， 于是，① 由于，， 所以．且， 两式作差可得，② 把①代入②可得，③ 由③+①得， 即， 因为，所以， 由（1）知，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． （3）由（2）知，， 又，所以，， ， ， 所以 ， 即为定值， 所以. 【变式训练15-1】双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. (1)如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； (2)按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. ①求证：数列为等比数列. ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设的方程为, 因的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为， 则，设，，则 代入方程可得，且，解得， 故该双曲线的标准方程为. （2）（i）因为，可得，，， 则,直线，即， 联立方程组，整理得， 则恒成立 所以，即① 又因为满足直线方程， 所以，即②$