2026年陕西中考数学备考——概率的计算

**基本信息** 以生活情境为载体，系统训练概率计算，通过列表法与树状图法培养数据意识与模型观念，构建从单一事件到复合事件的完整解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概率|18题（第1问）|直接应用概率公式|从等可能结果数切入，强化抽象能力| |复合事件|18题（第2问）|列表法、树状图法|通过分类讨论建立事件关系，发展推理意识|

2026陕西中考备考——概率的计算 1．如图，转盘A被等分成四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6；转盘B中圆心角为120°的扇形上面标有数字4，其余部分上面标有数字5． （1）转动转盘A一次，指针指向3的概率是 　 　 ； （2）若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和为偶数的概率． 2．某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《将进酒》、B．《夜雨寄北》、C．《念奴娇•赤壁怀古》这三首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C为宋词）．该班的小明和小雪参加了此次大赛． （1）小明选择C．《念奴娇•赤壁怀古》的概率是　 　 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择唐诗的概率． 3．陕北说书既有浓厚的地方色彩，又具有广泛的社会影响力，堪称民间艺术的瑰宝．娜娜和晓月计划去观看陕北说书节目，她们制作了一个如图所示的可自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上曲目A．《观灯记》、B．《杨家将》、C．《翻身记》、D．《宜川大胜利》，娜娜先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的曲目，然后晓月再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的曲目，根据两人转到的曲目名称一起观看节目．（若指针指在分割线上，则重转） （1）娜娜转到曲目B．《杨家将》的概率为　 　 ； （2）请用列表法或画树状图法，求她们最终观看曲目A．《观灯记》和D．《宜川大胜利》的概率． 4．化学课上，高老师给同学们变了个魔术，在白纸上用无色溶液写隐形文字，然后喷上小苏打水，纸上立刻显现出红色字迹．这是因为无色酚酞溶液遇碱变红、遇酸或中性试剂不变色，常用来做化学密信．现有五个完全相同且无标签的棕色细口瓶，里面分到装有酚酞等五种液体，如图所示． （1）请一位同学随机选出一瓶溶液，选中蒸馏水的概率是　 　 ； （2）高老师从五瓶液体中随机选取两瓶，分别取出适量溶液并在试管中充分混合，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 5．如图，在关中平原某座小城的丁字路口，每逢放学时段，接送孩子的车辆与通勤车流交织．按照交通规则，经过这个丁字路口的汽车，只有左转和右转两种行驶方向．经验丰富的老交警统计发现，在无特殊天气、交通管制的情况下，每一辆汽车选择左转或右转的概率完全相等，且彼此的行驶选择互不影响．为了测算该路口的交通调度效率，交通部门统计了某一时段甲、乙、丙三辆连续经过该路口的汽车行驶情况． （1）求甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率 　 　 ； （2）求甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 6．如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是　 　 ，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是　 　 ； （2）明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 7．某旅行社围绕冰雪、温泉、过大年等内容，推出了5类精品旅游线路．小明和小丁选了其中四条旅游线路，分别为：A．“冬景风光”，B．“滑雪健身”，C．“温泉度假”，D．“红色记忆”，两人决定用抽卡片的方式选择其中一条线路．他们准备了四张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，D，卡片除正面字母不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽出一张卡片记下字母后，放回洗匀，小丁再从中随机抽出一张卡片． （1）小明抽到旅游线路是“红色记忆”的概率为　 　 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小丁抽到不同旅游线路的概率． 8．根据金属活动性顺序可知，Fe（铁）、Zn（锌）、Mg（镁）都可以与稀盐酸反应，而Cu（铜）、Ag（银）与稀盐酸不反应，如图，某学习小组制作了一个可以自由转动的转盘，该转盘被它的半径等分为5个扇形区域，每个扇形内分别写有一种金属，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形内部，则该扇形内的金属即为转出的金属，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形内部为止）． （1）小西转动转盘一次，转出的金属是“Mg”的概率为　 　 ； （2）小西转动转盘一次后，小安再转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求两人转出的金属都能与稀盐酸反应的概率． 9．2026年4月4日，中国兆瓦级氢燃料航空发动机AEP100首飞成功，彰显了中国科技自主创新硬实力．小钧和小乐各自计划去某科技馆参观，体验科技的魅力与神奇．该科技馆有两个入口和三个出口，其出、入口示意图如图所示，小钧和小乐各自随机选择一个人口进入科技馆，参观结束后再各自随机选择一个出口离开，两人选择每个出、入口的可能性相同，且两人的选择相互之间不受形响． （1）小钧进入科技馆时选择入口A的概率是　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法求小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口D的概率． 10．某校开展“传承红色基因，共建巩固国防”为主题的国防教育活动，组识学生到纪念馆参观，薪火社团和星星社团均计划在A．延安革命纪念馆、B．西安事变纪念馆、C．渭华起义纪念馆、D．洛川会议纪念馆中随机选择一个参观．社团成员准备了四个小球，并在这些小球上分别标上字母A、B、C、D，这些小球除所写字母不同外其余都相同，将小球放入不透明的箱子中搅匀，薪火社团的成员先从箱子中随机摸出一个小球，记录小球上的字母后放回搅匀，然后星星社团的成员再从箱子中随机摸出一个小球，记录小球上的字母，每个社团根据各自摸到的小球上字母所对应的纪念馆进行参观． （1）薪火社团去B．西安事变纪念馆参观的概率是　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求两个社团参观的纪念馆不同的概率． 11．物理课上，学习完“探究杠杆平衡条件”后，李老师为了激发学生的学习兴趣，准备了四张完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了杠杆示意图，A：省力杠杆，B：省力杠杆，C：等臂杠杆，D：费力杠杆将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．同学们轮流随机抽取一张卡片，抽到哪一张，就举例说明该种杠杆在生活中的应用（下一位同学抽取前，重新将四张卡片背面朝上放好并洗匀）． （1）小明同学从中随机抽取一张卡片，抽到“省力杠杆”的概率是　 　 ； （2）小明和小丽按老师要求依次各抽取一次，请用画树状图或列表的方法，求这两位同学抽取到的卡片所描绘的杠杆类型恰好为“一个省力杠杆和一个费力杠杆”的概率． 12．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为50g和10g的物体后，天平倾斜，如图所示，现有A、B、C、D四个物体，它们除质量不同外其余完全相同，其中A物体10g，B物体15g，C物体20g，D物体30g． （1）从A、B、C、D这四个物体中，随机选取一个，质量恰好为20g的概率为　 　 ； （2）小明从A、B、C、D这四个物体中，随机选取两个放置在天平的右端托盘上．请用列表或画树状图的方法，求小明恰好使天平恢复平衡的概率．（天平两端的托盘上放置的物体质量相同，天平恢复平衡） 13．当秦腔邂逅马拉松，我们看到的不仅是一场文化盛宴，更是一种文化自信的鲜活表达．小星和小红各自报名参加西安马拉松赛事的志愿服务工作，他们均计划在“A．欢乐跑终点”“B．半程终点”“C．赛道补给站”“D．赛道观察岗”中随机选择一项参加．（小星和小红相互之间选择不受影响，且他们选择每项的可能性相同） （1）小星选择“A．欢乐跑终点”的概率是　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小星和小红都未选择“D．赛道观察岗”的概率． 14．中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为　 　 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 15．2026年两会期间，航天科技工作者表示火箭重复使用技术将支撑航天产品化发展．某校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动，其中甲同学在这次航天知识科普竞赛活动中的成绩为A等级，乙、丙、丁三名同学的成绩均为B等级． （1）若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取1人进行知识分享，则选中的同学成绩为A等级的概率为　 　 ； （2）若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出选中的两名同学的成绩等级不同的概率． 16．在今年的国际数学日（3月14日），某校的七年级（一）班开展“讲数学家故事”的活动．A、B、C、D四张卡片上分别印有四位中国数学家：祖冲之、刘徽、华罗庚、陈景润（卡片除图案外其他均相同）．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）随机抽取一张卡片，卡片上是数学家祖冲之的概率是　 　 ； （2）小安随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的概率． 17．一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球摇匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 666 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.333 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是　 　 （精确到0.01），由此估计袋中红球有　 　 个． （2）调整袋中球的个数，使袋中最终有3个红球，1个白球．从该袋中摸出1个球，记下颜色后放回，将袋中小球摇匀，再摸出1个球，记下颜色．用画树状图或列表的方法，求出这两次摸出的小球恰好是1个白球，1个红球的概率． 18．习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲．某中学围绕这三个成语开展学习活动，将其分别写在三张不透明的卡片上，卡片背面完全相同（如图）．将三张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到“B．万马奔腾”的概率是　 　 ； （2）从中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的成语恰好相同的概率． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）转动转盘A一次，指针指向3的概率是； 故答案为：； （2）把B转盘等分成三个扇形，其中数字5占份， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中A、B两个转盘转出的数字之和为偶数的结果数为6， 所以A、B两个转盘转出的数字之和为偶数的概率． 2．【解答】解：（1）共有3种等可能的选择结果，其中小明选择C．《念奴娇•赤壁怀古》的结果有1种， 因此小明选择C．《念奴娇•赤壁怀古》的概率是； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知：两人之间只有一人选择唐诗的结果有4种， 因此两人之间只有一人选择唐诗的概率为． 3．【解答】解：（1）通过简单概率计算公式进行求解可得： 娜娜转到曲目B．《杨家将》的概率为， 故答案为：； （2）根据题意，列表如下： 晓月娜娜 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由上表可知，她们最终观看曲目A．《观灯记》和D．《宜川大胜利》的结果有2种， ∴P（她们最终观看曲目A．《观灯记》和D．《宜川大胜利》）． 4．【解答】解：（1）∵现有五个完全相同且无标签的棕色细口瓶，里面分到装有酚酞等五种液体， ∴请一位同学随机选出一瓶溶液，选中蒸馏水的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中混合后溶液变红的结果有4种，即AB、AD、BA、DA， ∴混合后溶液变红的概率为． 5．【解答】解：（1）甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率为； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有8种等可能的结果，其中三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的结果数为4， 所以三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 6．【解答】解：（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “附”的笔画数是7， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是12， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是， 故答案为：，； （2）游戏不公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：“是”、“骄”、“傲”， 8个汉字中笔画不多于7画的有：“我”、“附”、中、人、“我”， 所以明明获胜的概率为， 红红获胜的概率为， ∴明明获胜的概率≠红红获胜的概率， 所以游戏不公平． 7．【解答】解：（1）由题意可得， 小明抽到旅游线路是“红色记忆”的概率为， 故答案为：； （2）树状图如下， ， 由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小丁抽到不同旅游线路的可能性有12种， ∴小明与小丁抽到不同旅游线路的概率为． 8．【解答】解：（1）∵该转盘被它的半径等分为5个扇形区域，每个扇形内分别写有一种金属 ∴转出的金属是“Mg”的概率为， 故答案为：； （2）把Fe（铁）、Zn（锌）、Mg（镁）、Cu（铜）、Ag（银）分别记为A，B，C，D，E，画列树状图如下： 一共有25种等可能的结果，满足两人转出的金属都能与稀盐酸反应的结果有9种， ∴两人转出的金属都能与稀盐酸反应的概率为． 9．【解答】解：（1）∵该科技馆有两个人口， ∴小钩进入科技馆时选择入口A的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小钩和小乐离开科技馆时均没有选择出口D的结果有4种，即CC、CE、EC、EE， ∴小钩和小乐离开科技馆时均没有选择出口D的概率为． 10．【解答】解：（1）薪火社团摸球时，共有4种等可能的结果，摸到标记B的结果只有1种 因此薪火社团去B参观的概率为， 故答案为：； （2）根据题意，列表如下： 薪火 星星 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中两个社团参观纪念馆不同的结果有12种， ∴P（两个社团参观纪念馆不同）． 11．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“省力杠杆”卡片的结果有2种， ∴抽到“省力杠杆”的概率是． 故答案为：； （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两位同学抽取到的卡片所描绘的杠杆类型恰好为“一个省力杠杆和一个费力杠杆”的结果数有4种， ∴两位同学抽取到的卡片所描绘的杠杆类型恰好为“一个省力杠杆和一个费力杠杆”的概率为． 12．【解答】解：（1）由题意可得， 从A、B、C、D这四个物体中，随机选取一个，质量恰好为20g的概率为， 故答案为：； （2）树状图如下所示， ， 由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好使天平恢复平衡的有2种可能性， ∴恰好使天平恢复平衡的概率为． 13．【解答】解：（1）小星选择“A．欢乐跑终点”的概率是． 故答案为：． （2）作树状图如下： 一共有16种等可能的情况，其中小星和小红都未选择“D．赛道观察岗”的情况有9种， ∴． ∴小星和小红都未选择“D．赛道观察岗”的概率为． 14．【解答】解：（1）共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有1种， ∴小明选择的是“竹”的概率为； （2）将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有6种， ∴小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为． 15．【解答】解：（1）根据题意可知选中的同学成绩为A等级的概率为； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下， 由树状图可知等可能的结果12种，其中选中的两名同学的成绩等级不同的结果有6种， ∴选中的两名同学的成绩等级不同的概率为． 16．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是数学家祖冲之的结果有1种， ∴随机抽取一张卡片，卡片上是数学家祖冲之的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的概率为． 17．【解答】解：（1）由表格中的数据可知， 摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.33（精确到0.01）， 由此估计袋中红球有：6÷0.33﹣6≈12（个）， 故答案为：0.33，12； （2）树状图如下所示， ， 由上可得，一共有16种等可能性，其中这两次摸出的小球恰好是1个白球，1个红球的可能性有6种， ∴这两次摸出的小球恰好是1个白球，1个红球的概率为． 18．【解答】解：（1）∵用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲，将其分别写在三张不透明的卡片上，卡片背面完全相同， ∴从中随机抽取一张，抽到“B．万马奔腾”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的成语恰好相同的结果有3种，即AA、BB、CC， ∴两次抽到的成语恰好相同的概率为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/25 19:03:03；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $