期末备考05 平面向量的数量积 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以平面向量数量积四大核心方法为统领，通过教材母题与变式题系统构建“定义-坐标-基底-几何意义”的解题体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|4种|定义法、坐标运算法、基底法、几何意义|从概念生成到原理推导，构建数量积计算完整路径| |基础应用|5单选（含3道教材例题/改编）|直接应用定义与坐标运算求数量积|聚焦模长、夹角的基础计算，巩固核心公式| |综合辨析|3多选|数量积性质（垂直、投影、模长关系）|关联向量夹角、投影向量等概念，培养推理意识| |情境应用|3填空（含2道教材题）|几何意义与坐标法结合|从正方形动点等情境抽象数学模型，发展应用意识| |能力提升|3解答（含2道教材证明题）|夹角公式、投影向量计算、恒等式证明|整合四大方法解决综合问题，提升数学思维系统性|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考05 测试范围：平面向量的数量积 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 一、单选题 1、【人教版必修二第6.2.4节例12】已知，，与的夹角为60°，则=（ ） A．72 B．36 C． D． 2．【人教版必修二第6.2.4节例12改编】已知向量和的夹角为，且，，则（ ） A．3 B．-1 C． D．13 3．【人教版必修二第6.2.4节例12改编】已知向量，，，若和的夹角为60°，则（ ） A．72 B．35 C． D． 4．已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 5.【人教版必修二第6.2.4节例13】已知，，且与不共线．若向量与相垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．向量，满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模等于 D． 7．下列叙述正确的是（   ） A．在等边三角形中，与的夹角为 B．若二非零向量，满足，则 C．已知向量，，，若，，则 D．若为所在平面内一点，且，则为的垂心 8．下列说法不正确的是（   ） A．若，则与中至少有一个为 B．边长为1的等边三角形中，设，，，则 C．向量在向量上的投影向量可表示为 D．中，，且，则是等边三角形 三、填空题 9．【人教版必修二第6.2.4节练习第1题】已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，则（1）= ；（2）= ． 10．【人教版必修二第6.2.4节例13改编】已知向量，的夹角为，，，，，则______，_____． 11、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________ 四、解答题 12．已知向量，且向量与同向共线，. (1)求与夹角；(2)计算. 13. 求证：（1）【人教版必修二第6.2.4节练习第3题】． （2）【人教版必修二习题6.2第12题】. 14．已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求的值； (3)若向量在方向上的投影向量为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考05 测试范围：平面向量的数量积 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 一、单选题 1、【人教版必修二第6.2.4节例12】已知，，与的夹角为60°，则=（ ） A．72 B．36 C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积运算律及平面向量数量积公式计算求解； 【详解】 ． 2．【人教版必修二第6.2.4节例12改编】已知向量和的夹角为，且，，则（ ） A．3 B．-1 C． D．13 【答案】A 【详解】由题意可得. 3．【人教版必修二第6.2.4节例12改编】已知向量，，，若和的夹角为60°，则（ ） A．72 B．35 C． D． 【答案】D 【分析】由数量积运算律结合题设可得答案. 【详解】因为，所以，又因为，若和的夹角为60°， 所以；因为，，所以， 所以，则. 4．已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解, 【详解】因为，所以，即， 又因为向量均为单位向量，且向量夹角为，所以，即. 5.【人教版必修二第6.2.4节例13】已知，，且与不共线．若向量与相垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与互相垂直的充要条件是，． 因为，，所以．解得．也就说，当时，与互相垂直． 二、多选题 6．向量，满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模等于 D． 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的运算律结合题干条件即可判断选项A；由平面向量的数量积定义即可判断选项B；根据投影向量的计算公式即可判断选项C；根据向量数量积的运算律计算即可判断选项D. 【详解】∵，，，∴，∴，故选项A错误；设的夹角为，则，∴，∵，∴，故选项B正确；∵在上的投影向量为，∴在上的投影向量的模等于，故选项C正确； ∵，∴，故选项D正确.故选：BCD. 7．下列叙述正确的是（   ） A．在等边三角形中，与的夹角为 B．若二非零向量，满足，则 C．已知向量，，，若，，则 D．若为所在平面内一点，且，则为的垂心 【答案】BD 【分析】利用向量夹角的意义判断A；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断BD；利用共线向量的意义判断C. 【详解】对于A，在等边三角形中，与的夹角为，A错误； 对于B，由，得，而，均为非零向量，则，B正确； 对于C，当时，，不共线，也满足，，C错误； 对于D，由，得，即， 同理，又为所在平面内一点，则最多一个为零向量， 若均为非零向量，则，为的垂心， 若中只有一个零向量，不妨令，则是直角，即为的垂心，D正确. 故选：BD 8．下列说法不正确的是（   ） A．若，则与中至少有一个为 B．边长为1的等边三角形中，设，，，则 C．向量在向量上的投影向量可表示为 D．中，，且，则是等边三角形 【答案】AB 【分析】举反例判断A，根据向量夹角的定义判断B，根据投影向量的定义判断C， 根据数量积的定义可求出与，即可判断D. 【详解】对于A：当与均不为，且时，有，故A错误；对于B：在边长为1的等边三角形中，有，故B错误；对于C：向量在向量上的投影向量可表示为，故C正确.；对于D：因为，所以，又，所以， 又，即，即，所以为等边三角形，故D正确. 故选：AB 三、填空题 9．【人教版必修二第6.2.4节练习第1题】已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，则（1）= ；（2）= ． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解；（2）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解. 【详解】（1）；（2）． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算，属基础题. 10．【人教版必修二第6.2.4节例13改编】已知向量，的夹角为，，，，，则______，_____． 【答案】 【分析】根据题中数据代入向量夹角公式运算求解即可得向量夹角；由可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】因为，且，所以；又因为，则，解得． 11、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________ 【解析】法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则＝＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于||2＝1．要使最大，只要使向量在向量上的投影向量的长度达到最大即可，因为在向量上的投影向量的长度最大为||＝1，所以()max＝||2＝1． 法二(基向量法)：因为＝且⊥，所以＝()·＝||2＝1，＝()·＝＝||||＝||，所以要使最大，只要||最大即可，显然随着E点在AB边上移动，||max＝1，故()max＝1． 法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，所以＝x，因为0≤x≤1，所以()max＝1． 四、解答题 12．已知向量，且向量与同向共线，. (1)求与夹角；(2)计算. 【答案】(1)；(2)0 【分析】（1）由数量积的定义可求. （2）利用数量积的运算律可求. 【详解】（1）因为，故，故，而，故. （2），因为与同向共线，故可设，其中，而，故，此时，故； 综上，. 13. 求证：（1）【人教版必修二第6.2.4节练习第3题】． （2）【人教版必修二习题6.2第12题】. 【分析】（1）由平面向量的运算性质即可得证.（2）分，，讨论即可得到结论. 证明：（1）由左边右边，故等式成立． （2） 设，的夹角为， ①当时，. ，成立. ②当时，与同向，与同向，与的夹角为，与的夹角为. ，， 成立. ③当时，与反向，与反向，与的夹角为，与的夹角为. ,, ,成立. 综上可知，原等式成立. 14．已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求的值； (3)若向量在方向上的投影向量为，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）通过向量数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式求出夹角； （2）根据向量垂直的性质列出方程求解；（3）先求出投影向量，再计算. 【详解】（1）已知，根据向量数量积的分配律展开可得： ,因为，所以；，所以.代入上式可得，即，解得. 设向量与的夹角为，，根据向量夹角公式可得：，因为，所以. （2）因为，可知.同样根据向量数量积的分配律展开可得： 将，，代入上式可得：，解得. （3）向量在方向上的投影向量.则. 将，代入可得：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $