期末备考06 平面向量的模 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量模的专项训练，以坐标法和模平方公式为核心方法，通过多样化题型构建从概念到应用的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|坐标法、模平方公式，结合夹角、向量运算求模|从基础公式到几何应用（正方形、三角形），形成概念-运算-应用的推导链条| |多选题|3题|坐标法、模平方公式，结合夹角、向量运算求模|通过最值问题深化对模的性质理解，培养推理意识| |填空题|3题|坐标法、模平方公式，结合夹角、向量运算求模|改编教材题，强化公式灵活应用，体现模型意识| |解答题|3题|坐标法、模平方公式，结合夹角、向量运算求模|综合考查公式推导与实际应用，提升数学语言表达能力|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考06 测试范围：平面向量的模 求平面向量模的方法 (1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝． (2)利用|a|＝． 一、单选题 1．（人教A版必修二复习参考题6第13题（2））已知正方形的边长为1，，，，则（    ） A．0 B．3 C． D． 2．（人教A版必修二复习参考题6第13题（6））若平面向量两两的夹角相等，且，则（　） A．2 B．5 C．2或5 D．或 3．已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D． 4．已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A． B． C． D． 5．设平面向量，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（人教A版必修二习题6.2第10题改编）已知向量满足，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为3 C．的最小值为1 D．的最小值为2 8．已知平面向量，满足，，且（为实数）.则等于（    ） A． B． C． D． 9．若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 三、填空题 10．（人教A版必修二复习参考题6第13题（6）改编）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______. 11．设平面向量，若的模等于，则k的值为 . 12．（人教A版必修二习题6.2第10题） （1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________； （2）当非零向量,满足_____________时，平分与的夹角. 四、解答题 13．（人教A版必修二习题6.2第11题） （1）已知,且与的夹角，求； （2）已知,且,求. 14．（人教A版必修二习题6.2第10题改编）已知向量，满足，，求的最大值和最小值。 15．（1）已知平面向量，，，若，求的值。 （2）已知平面向量，满足，，若，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考06 测试范围：平面向量的模 求平面向量模的方法 (1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝． (2)利用|a|＝． 一、单选题 1．（人教A版必修二复习参考题6第13题（2））已知正方形的边长为1，，，，则（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】应用平面向量的加法计算再结合模长定义计算求解. 【详解】正方形的边长为1，，，， 则.故选：D. 2．（人教A版必修二复习参考题6第13题（6））若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A．2 B．5 C．2或5 D．或 【答案】C 【分析】由平面向量两两的夹角相等可知有两种可能，分类讨论可求解. 【详解】因为平面向量 两两的夹角相等，所以其夹角为或.当夹角为时，；当夹角为时， ，所以或2.故选C. 3．已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 ． 4．已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的坐标得到，然后利用数量积得到，即可得到. 【详解】由题得，，，所以. 5．设平面向量，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量平行得出坐标中的，即可求出的值. 【详解】由题意，∵，，，∴，解得， ∴，∴. 6．已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，利用坐标求解. 【详解】如图，以BC中点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，由，得而为AD的中点， 则，所以. 二、多选题 7．（人教A版必修二习题6.2第10题改编）已知向量满足，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为3 C．的最小值为1 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据向量模长的三角不等式计算即可得解. 【详解】已知，由向量模长的三角不等式可知，当与反向时，取到最大值为，故B正确；当与同向时，取到最小值为，故C正确. 8．已知平面向量，满足，，且（为实数）.则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以，而， 因为，所以或，当时，，则， 当时，，则。 9．若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确.对于B，设与的夹角为， 由，得：，，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确.故选：ACD 三、填空题 10．（人教A版必修二复习参考题6第13题（6）改编）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______. 【答案】 【分析】首先确定向量的夹角为，再根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题意可得向量，，两两的夹角为，则，，， 所以，故. 11．设平面向量，若的模等于，则k的值为 . 【答案】或 【分析】求出，表示出模，即可建立关系求解. 【详解】因为，因为的模等于，所以，化简得，解得或. 12．（人教A版必修二习题6.2第10题） （1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________； （2）当非零向量,满足_____________时，平分与的夹角. 【答案】 5 1 【解析】利用即可得到结论. 【详解】（1），当且仅当，同向时取等号，， 又，当且仅当，反向时取等号，. （2）当时，为以,为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分与的夹角. 四、解答题 13．（人教A版必修二习题6.2第11题） （1）已知,且与的夹角，求； （2）已知,且,求. 【答案】（1）；；（2）； 【解析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出； （2）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出. 【详解】（1）； ，。 （2）， 。 【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积，考查了运算能力，属于基础题. 14．（人教A版必修二习题6.2第10题改编）已知向量，满足，，求的最大值和最小值。 【答案】/ / 【分析】根据已知可得出，然后结合向量加法的三角形法则即可得出答案. 【详解】易知， 所以有. 所以，，当且仅当同向时，等号成立， 此时取最大值3，取最大值为； 所以，，当且仅当反向时，等号成立， 此时取最小值1，取最小值为. 15．（1）已知平面向量，，，若，求的值。 （2）已知平面向量，满足，，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为平面向量，，，且，所以， 解得：，或，所以或. 所以，此时； ，此时，综上所述：。 （2）∵，∴，即， 即，故， 所以。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $