精品解析：河南漯河市郾城区2025-2026学年下学期期中教学质量监测八年级 数学

河南漯河市郾城区2025-2026学年下学期期中教学质量监测八年级+数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，根据二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 21 【答案】C 【解析】 【详解】解：D，E分别是的中点， 是的中位线， ． 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 6. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①不符合题意； ∵， 设，则， ∴， ∴为直角三角形， 故②不符合题意； ∵， 设，则、， ∴， ∴， ∴，，， ∴不是直角三角形， 故③符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形， 故④不符合题意， 故选A． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 8. 如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， ∵顶点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 故选：A； 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，理解网格特点，掌握勾股定理求线段长度的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图可知平分，得到，根据平行四边形的性质得到，得出，继而得到，得到，得出． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ， ， ， ． 14. 如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 15. 在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． 分两种情况：当，得到是等边三角形，即可解题；当时利用正切的定义求解即可． 【详解】分两种情况讨论： ①当时，如图（1），垂直平分， ， 又∵ 是等边三角形， ； ②当时，如图（2）， 则； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练计算是解题的关键． （1）先计算乘除，然后合并同类二次根式； （2）先利用完全平方公式和平方差计算，再加减求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）电视背景墙的周长为 （2）整个电视背景墙需要花费元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 18. 如图，是的对角线上的两点．有如下三个关系：①，②，③．请你从中选择一个合适的关系作为条件，作为结论，得到一个真命题，然后再证明． （1）你选择 （填序号）作为条件； （2）请你完成证明． 【答案】（1）①或③（写其中一个即可） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合题目条件可知①③可以证明，②无法证明． （2）选①时，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，可证，即可得证；选③时，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，可证，即可得证． 【小问1详解】 解：选①或③均可． 【小问2详解】 解：选①时，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 选③时，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，．     （1）连接，求的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1） （2）57000元 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，掌握相关定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再计算面积，进而得到绿化费用即可． 【小问1详解】 解：， ； 答：的长为； 【小问2详解】 解：， ， 是直角三角形，且， ， ， ， （元）． 答：绿化这片空地共需花费57000元． 20. 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝高地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 …… 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 【答案】（1）61.5米；（2）20米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 21. 我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． （1）5与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数． （2）若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）与不是关于1的“平衡数”，见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算5和关于1的“平衡数”； （2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴5与是关于1的“平衡数”， ∵， ∴与是关于1的“平衡数”， 故依次填：，； 【小问2详解】 解：不是． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∴与不是关于1的“平衡数”． 22. 如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，交于点H（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）； （3）连接，若，，则的长为________． 【答案】（1）见解析 （2）见详解 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定定理说明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． （2）先根据尺规作图和题目要求作图即可； （3）先根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 平分，平分， ， ， ， 又， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图即为所求； 【小问3详解】 解：根据（2）中作图可得， 根据（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了菱形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质，尺规作垂线等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】（1），见解析 （2）是等边三角形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南漯河市郾城区2025-2026学年下学期期中教学质量监测八年级+数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 21 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A. B. C. 5 D. 4 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 13. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为________． 14. 如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 15. 在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 18. 如图，是的对角线上的两点．有如下三个关系：①，②，③．请你从中选择一个合适的关系作为条件，作为结论，得到一个真命题，然后再证明． （1）你选择 （填序号）作为条件； （2）请你完成证明． 19. 某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，．     （1）连接，求的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 20. 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝高地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 …… 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 21. 我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． （1）5与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数． （2）若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 22. 如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，交于点H（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）； （3）连接，若，，则的长为________． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $