精品解析：云南师范大学附属中学2026届高三下学期适应性考试（二）数学试题

云南师大附中2026届高三适应性考试（二） 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 故选：B． 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知， 所以. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性来确定正确答案. 【详解】根据函数的基本性质，逐项判定： 对于A中，函数是奇函数，在区间上单调递增，不合题意； 对于B中，函数是偶函数，在区间上单调递增； 对于C中，函数是偶函数，在区间上单调递减，不合题意； 对于D中，函数是偶函数，在区间上单调递减，不合题意． 故选：B 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 5. 在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得，再运用三角形面积公式计算即得. 【详解】由余弦定理， 得，解得，则． 所以的面积为． 故选：C. 6. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 7. 点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 8. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】借助对已知化简，可求出的值，再由可解. 【详解】因为，即， 所以， 整理得，变形得， 所以. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为 ，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即 ，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10. [多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 设总样本的方差为，若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据分层抽样均值的求法，计算出，再比较即可；对于B，举例说明即可判断；对于C，由分层抽样方差公式计算出，结合实例判断；对于D，计算出即可判断． 【详解】对于A选项，因为， 所以，， 即，A正确； 对于B选项，不妨设第一部分样本数据为1，1，1，1，1，则，， 设第二部分样本数据为，9，则，，所以，B不正确； 对于C选项，不妨设第一部分样本数据为，，0，1，2，则，， 设第二部分样本数据为1，2，3，4，5，则，， 所以总样本的平均数， 所以，C不正确； 对于D选项，若，，则总样本的平均数， 所以，D正确． 11. 某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，其中四边形是边长为4的正方形，点是弧上的动点（包括端点），且在平面内，则下列说法正确的有（ ） A. 若点为弧的中点，则平面平面 B. 存在点，使得 C. 不存在点，使得直线与平面所成的角为60° D. 当点到平面的距离最大时，三棱锥外接球的半径 【答案】ACD 【解析】 【分析】- 利用图形进行数形结合，并利用反例，结合面面垂直的判定、线线平行的判定、线面角的求解方法、几何体外接球的关系以及空间向量的应用逐项分析即可. 【详解】如图所示，连接，作出符合题意的图形， 若点为弧的中点，则， 所以，即，因为，所以， 又，面， 所以平面平面， 则平面平面，故A正确； 假设存在点，使得，则四点共面， 又该几何体上下两个底面平行，且为平面与这两个底面的交线， 所以，则四边形为平行四边形，则有， 而由三角形性质得，发生矛盾，故B错误； 假设存在点，使得直线与平面所成的角为， 以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，作出符合题意的图形， 则，设， 则，所以， 得到，设平面的法向量为， 则，令，则，， 即，设直线与平面所成的角为， 依题意， 整理得，这与矛盾，所以假设不成立，故C正确； 由题意得，且， 可得，，设面的法向量为， 得到，令，则，，得到， 设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 化简得，当时，取得最大值， 此时，即点位于点， 可得三棱锥，即三棱锥，即三棱锥， 可将其补形为一个以为同一个顶点出发的三条侧棱的正方体， 且棱长为4，其外接球半径，故正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理进行表示即可. 【详解】假设竖直向上的一个向量的起点与终点在网格的格点上，且长度为最小正方形边长， 那么，所以有， 那么. 故答案为：. 13. 已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先求出平移后的函数图象解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值. 【详解】将函数的图象向右平移得到的图象， 又的图象关于原点对称，所以， 即，，当时，. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为____________. 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】由和圆中的几何关系求出点O到直线l的距离为1，然后利用点到直线的距离公式求出直线斜率即可 【详解】由题意得圆心，半径，， 故M点在圆O外，设点O到直线l的距离为d， 由得，即， 即，即，解得， 设直线l的方程为， 则或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，，数列满足，． （1）求数列前项和； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1） （2）（）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，求出公差，进而求出通项公式，再利用等差数列前项和公式求解即可； （2）由已知条件易得，由累加法结合等比数列前项和公式求出通项公式. 【小问1详解】 解：（1）由为等差数列，，则，解得， 又，所以， 因此 ，即， 所以，数列的前项和为； 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 则当时， ， 当时，，也符合， 即（）． 16. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：相关系数r=，≈1.414. 【答案】（1）；（2）；（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可； （2）利用公式计算即可； （3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样. 【详解】（1）样区野生动物平均数为， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为 （2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为 （3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 17. 如图，在正方体中，，均为线段上的动点（不含端点），． （1）证明：． （2）设，，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明你的理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）连接，，，应用线面垂直的性质、判定定理证明结论； （2）连接，，设且，结合已知得，应用三角形面积公式及已知得、，最后求即可得结论. 【小问1详解】 连接，，． 在正方体中平面，平面，则． 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 因为且都在平面内，所以平面． 因为平面，所以； 【小问2详解】 为定值，证明如下： 连接，，设，则， 易知是正三角形，则，，其中． 因为，且， 所以，同理，， 故 ，为定值 18. 设函数（）． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； （2）求证：； （3）关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）不可能有三个不同的实根，证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据已知切线方程列方程求参数值； （2）问题化为证明，构造函数 并应用导数证明不等式即可； （3）问题化为证明在上至多有一个实根，导数研究 在上的零点个数即可. 【小问1详解】 由题设，且 ， 又点在切线上，所以，则， 又切线斜率为2，所以，故； 【小问2详解】 要证， 即证， 即证时，， 即证， 令 ，则 ， 故在上单调递增，， 故； 【小问3详解】 不可能有三个不同的实根，证明如下： 令，． 如果有三个不同的实根， 则至少要有三个单调区间， 则至少有两个不等实根， 只要证明在上至多有一个实根即可． ， 令 ，则， 当时，，， ， 在上单调递增， 在上至多有一个实根； 当时，由（2）得 ， ∵当时，， ， 在上没有实根． 综上所述，在上至多有一个实根， 所以不可能有三个不同的实根得证. 19. 已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程. （3）过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出的值即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与双曲方程，结合韦达定理及题设可得，进而代入双曲线方程即可求出，进而得解； （3）由（2）可得，设直线的方程为，， 可得由，，可得，，，，表示出，换元，结合对勾函数求解即可. 【小问1详解】 由题意，，解得，， 则双曲线的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为时，， 此时，显然不存在点满足； 则直线的斜率不为，设直线的方程为，， 联立，得， 则，，即， ， 则， 又， 则， 即，代入， 得， 解得或，即（舍去）或， 则直线的方程为， 即. 【小问3详解】 由（2）知，设直线的方程为，， ， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为，， 同理可得， 由，， 则，，即，， 所以， ， 所以 ， 令，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；时，；时，， 则，所以， 函数在上单调递增， 则，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2026届高三适应性考试（二） 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. 3 D. 12 6. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 7. 点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 10. [多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 设总样本的方差为，若，，则 11. 某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，其中四边形是边长为4的正方形，点是弧上的动点（包括端点），且在平面内，则下列说法正确的有（ ） A. 若点为弧的中点，则平面平面 B. 存在点，使得 C. 不存在点，使得直线与平面所成的角为60° D. 当点到平面的距离最大时，三棱锥外接球的半径 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示__________. 13. 已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为_____． 14. 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，，数列满足，． （1）求数列前项和； （2）求数列的通项公式． 16. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：相关系数r=，≈1.414. 17. 如图，在正方体中，，均为线段上的动点（不含端点），． （1）证明：． （2）设，，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明你的理由． 18. 设函数（）． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； （2）求证： ； （3）关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 19. 已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程. （3）过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $