云南2026届高三下学期3+3+3考试数学试卷

数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A C C B A 【解析】 1．由，得，解得，即.由，得，解得，即，所以，故选D. 2．因为复数，所以共轭复数所以 ，故选B． 3．当时，函数在上单调递增，则“”是“在上单调递增”的充分条件；当在上单调递增，可得，则“”不是“在上单调递增”的必要条件；则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件，故选A． 4．的夹角均为，所以 ，，综上，故选A． 5．作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象.因为函数关于原点对称的图象与，图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对，故选C． 6．将直线方程化为令，解得，所以直线恒过定点 圆化为标准方程，圆心为，半径，而，即在圆内. 因此，无论取何值都有直线与圆相交，故选C. 7．方程有两个根为和，由韦达定理得 因为，所以又因为，所以，， ，所以，，，，所以，，，，故选B. 8．因为，所以.由，可得. 又，故. 设，显然为增函数，因为，所以. 因为，且为增函数，所以. 同理，设，因为，且为增函数，所以，结合，可知则.令，设，则，当时，单调递增，则在上单调递增，故，解得，故选A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABD AD BCD 【解析】 9．因 ，所以最小正周期，故A正确；令，解得，取得到一条对称轴，故B正确：令 ，解得，取，单增区间：所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；令，即，，，解得，，所以在内，取得；取得；其余均不在区间内，故在区间上有2个零点；令，即，所以，满足， ；所以在内，取得；取得；取得，故在区间上有2个极值点；综上，在区间上有2个零点和2个极值点，故D正确，故选ABD． 10．因为，所以，设过点的直线与的图象切于点，则切线斜率，即，去分母整理得，切线有3条，设，则有3个零点，，令，得或，所以，对于A，取，得，满足，A正确；对于B，取，则，不满足，B错误；对于C，令，，则，不满足，C错误；对于D，令，，则，，满足，D正确，故选AD． 11．对于A选项，设，则所以，整理得 又因为在椭圆上，联立得故不存在符合条件的点，故A错误；对于B选项，由椭圆定义得，所以由余弦定理知 ，所因此，，所以，故B正确；对于C选项，由椭圆的定义，则 ，故C正确；对于D选项，设过的直线方程为，，同时设联立消去可得，，， ，同理，所以 ，故D正确，故选BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 【解析】 12．不考虑首位限制，共有排列方式，其中首位为0的情况有所以符合要求的排法共有： 故答案为：50. 13．如图1，连接，在直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为.设，则，所 ( 图1 )故答案为： 14．小于等于的正整数有、、、，与不互质的数是的倍数，即、、、，共个，所以与互质的数有个，即； 由于，小于等于的正整数有、、、，与不互质的数是的倍数，即、、、，共个，所以与互质的数有个，即；小于等于的正整数有、、、，与不互质的数是的倍数，即、、、，共个，所以与互质的数有个，即；由于，且与互质，故所以 . 令，所以，且，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则.故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由 可得，……………………………………………………………（2分） 即. ………………………………………………………………………（3分） 由于， …………………………………………………（4分） 故，解得· ……………………………………………………………（6分） （2）由题设条件和正弦定理， ……………………………………………………………………………（7分） 又，则，进而， 得到， …………………………………………………………………（9分） 于是 ………………………………………………………………（10分） 由正弦定理可得，，即， ………………（11分） 解得， …………………………………………………………………（12分） 故的周长为·……………………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：因为为BD的中点， 所以. …………………………………………………………………………（2分） 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以. ……………………………………………（6分） （2）解：取的中点，因为为正三角形，所以. 过作与交于点，则， 所以两两垂直， 如图2，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ( 图2 ) 则. ……………………………………………………………………………………………（8分） 因为点在棱上，设，所以， 因为平面，故平面的一个法向量为 ………………（9分） 设平面的法向量为，， 所以，得. 令，则， 故. ………………………………………………………………（12分） 因为二面角的大小为， 所以， 化简得：，解得：， 因为点在棱上，所以， 即为棱上靠近点的三分点. ……………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）设为样本数据的平均数，则： 故该组数据的平均值为. ……………………………………………（4分） （2）根据频率分布直方图，参与该竞赛活动的学生为“滇超达人”的概率； 由题意知，，所以可能取值为…………………………（6分） ；； ； ， ……………………………………………………（8分） ∴的分布列为 0 1 2 3 0.189 所以 ………………………………………………………（10分） （3）设事件表示“抽到的学生为滇超达人”，分别表示“甲、乙、丙学校的参赛学生” 由已知 ……………………………………（12分） 由全概率公式得 ………………（15分） 18．（本小题满分17分） （1）解：抛物线的准线方程为 由题意，，解得， 所以抛物线的标准方程为. ………………………………………………（3分） （2）证明：由（1）知，焦点，设直线斜率为，则， 由，得， 则韦达定理： ……………………………………………（5分） 由，得出，所以，切线的斜率为 所以在点处的切线方程为 ………………………………………（7分） 同理，在点处的切线方程为 设，则满足：， 所以而， 代入得： ………………………（9分） 所以，同理； 两式相加得： 整理得 将韦达定理代入得： 因此，，即点在定直线上.………………………………………（12分） （3）解：由（2）知，直线 点到直线的距离为 弦长 所以的面积为 ……………………………………………………………………………（15分） 由于，所以，当且仅当时取等号， 因此，的面积最小值为16， 此时直线的方程为. ……………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：正实数满足，可得，即. · ……………………………………………………………………………………………（4分） （2）证明：依题意可得，即， 由对称性不妨假设，令， 则有 ……………………………………………………………（6分） 则有. 设…………………………（7分） 所以在上单调递增，则有， 所以，即，即， 即， …………………………………………………………………………（9分） 综上，． （3）解：已知对任意的正实数，均有， 不妨设是中的最小值，则令，其中. 将代入不等式并化简可得. ……………………………………………………………………………………………（10分） 若或，则不等式对任意实数均成立. 因为，所以要使不等式成立， 即. ……………………………………………（11分） 若，则不等式对任意实数均成立； 若，设. 当时，不等式可整理为. 设，对其进行变形可得. …………………（12分） 对求导，，令，， 因为，所以，即在上单调递增. 令，即，化简可得， 令，则，解得(舍去），即. 则存在，且， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，因为，所以， 则，所以. …………………………………（15分） 又因为，所以，则， 因为，所以，所以， 所以，所以. 当时，不等式可整理为， 此时，所以时，不等式恒成立. …………………………………（17分） 数学评分细则·第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $数学 数学双向细目表 主要知识 主要指标 核心素养 题号 一级指标 二级指标 题型 分值 难度 系数 分值 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 1 集合 集合的交集运算 单选 5 易 0.95 4.75 5 2 复数 复数运算 单选 5 易 0.95 4.75 5 3 逻辑 充要条件 单选 5 易 0.85 4.25 5 4 平面向量 向量模长 单选 5 易 0.8 4 2 3 5 函数 分段函数 单选 5 易 0.75 3.75 3 2 6 解析几何 直线与圆的位置关系 单选 5 中 0.65 3.25 3 2 7 数列 数列递推关系 单选 5 中 0.55 2.75 3 2 8 不等式 函数单调性的应用，比较大小 单选 5 难 0.3 1.5 2 2 1 40 0.725 29 9 三角函数 三角函数图象与性质 多选 6 易 0.85 5.1 3 3 10 函数 切线问题、函数的零点 多选 6 易 0.65 3.9 2 2 2 11 解析几何 椭圆的定义、圆与椭圆交点、三角形面积 多选 6 中 0.45 2.7 2 2 2 合计 18 0.65 11.7 12 排列组合 消序问题 填空 5 易 0.85 4.25 5 13 立体几何 空间中的几何关系 填空 5 中 0.7 3.5 3 2 14 数列 欧拉函数、等比数列求和 填空 5 难 0.45 2.25 2 3 合计 15 0.6666666667 10 15 解三角形 正余弦定理 解答 13 易 0.85 11.05 4 4 5 16 立体几何 垂直关系，面面角 解答 15 易 0.7 10.5 4 5 6 17 概率统计 频率分布直方图，二项分布，全概率公式 解答 15 中 0.75 11.25 5 5 5 18 圆锥曲线 抛物线方程、定点问题、最值问题 解答 17 中 0.45 7.65 6 6 5 19 导数 轮换、比值换元，最值问题 解答 17 难 0.4 6.8 6 7 4 合计 解答题合计 77 47.25 合计 17 46 5 18 59 5 比例 150 0.65 97.95 11% 29% 3% 11% 37% 3% $■■口■口口▣ 数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 D B A C C B A 【解析】 1.由2<8，得z<2<2,解得-1长x<3,即A=-1<K<3到由-22，得 -2≤x-2≤2，解得0≤x≤4，即B={x|0≤x≤4)，所以A∩B={x0≤x<3},故选D. 2.因为复数x=1-i,所以共轭复数元=1+i,所以21-23=2i-21+-2=-21+) 1-i1-i1-i01+i) =-1-i,故选B, 3.当0<a<1时，函数f(x)=x+b在(0，+o)上单调递增，则“0<a<1”是“f(x)=x“+b 在(0，+o)上单调递增”的充分条件；当f(x)=x“+b在(0，+o)上单调递增，可得a>0, 则“0<a<1”不是“f(x)=x+b在(0，+o)上单调递增”的必要条件；则“0<a<1” 是“f(x)=x“+b在(0，+o)上单调递增”的充分不必要条件，故选A. 4.d,b,c的夹角均为120°，所以a+b-cP=a2+b2+c2+2a.b-2a.c-2b.c=1+1+4 +2×1×1×cos120°-2×1×2×cos120°-2×1×2×cos120°=6-1+2+2=9，.a+b-c=3, 综上a+b-c上3，故选A. 5.作出f()的图象，再作出函数y= ,x≥0关于原点对称的图象.因为函数 y= x≥0关于原点对称的图象与y=-x2+4x|,x<0图象有三个交点，故f(x)图 象上关于原点对称的点有3对，故选C. 2x+y-3=0 6.将直线方程化为m2(2x+y-3)+m(x-y)+x-3y+2=0, 令 y=0，解得x=1 x-3y+2=0 y1 所以直线恒过定点P1,1).圆C化为标准方程C:(x-2)2+y2=4,圆心为O2,0),半径 数学评分细则·第1页（共10页） ■■口■口口▣口 r=2,而OP上VP+1=√2<r,即P在圆内.因此，无论m取何值都有直线1与圆C相 交，故选C 7.方程r--1=0有两个根为a和B,由韦达定理得a+B=10=-1.因为a,=-￡ a-B 所以ae=-g-a)).又因为G=u+lp=B+1，所以 a-B a-B da+)-B"B+DB a-B Q-B a-pdmt1,ds--p a-B a-B =x+B=1,所以a=42+a=2,a4=a3+a2=3,a=a+a=5,a6=a+a4=8,所 以a7=a6+a=13,a=a,+a,=21,a=a+a,=34,ao=a,+a=55,故选B. 8.因为n>0,所以4">e".由n+4"=e,可得e>n+e.又m+em=e,故m+e">n+e".设 t(x)=x+e,显然t(x)为增函数，因为t(m)>t(m),所以m>n.因为t()=1+e>e=t(m), 且t(x)为增函数，所以m<1.同理，设h(x)=x+4”,因为h(I)=5>e=h(n),且h(x)为增 函数，所以n<1,结合m>n>0,可知则0<n<m<c.令fW=坚=此，设g=血， x xlnl0 则g)=,当x∈0©)时，8)单调递增，则f)门 lnx-8四在x∈0，e上单 xIn10 In10 调递增，故fom>fm→l”>”,解得nlgm>mlg,故选A. m 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABD AD BCD 【解析】 9.f(x)=2v3cos2x+sin 2x-3=3(2cos2x-1)+sin2x=3cos2x+sin2x= 2n2x+哥》所以最小正周期7： 2π =元，故A正确：令2x+亚+k,k∈Z,解得 32 +,kE乙，取k=0得到一条对称轴x手 X= B,故B正确：令-+2X<2x+≤ 子加c,解得晋+如，取k=0,单增区间 [5π.兀 12'12 所以函数f(x)在 12 数学评分细则·第2页（共10页） ■■▣■▣▣口 [引上单同，在合引上单调莲减，放c错误：令0=0，即2an2x引-0， 2x+=k乙，解得x三石+k∈Z,所以在O,内，取大=1得x三：取k生 得x=5加 6 其余均不在区间内，故f(x)在区间(0，)上有2个零点；令f(x)=±2，即 22x2，所以m2引1m2x1，满足2x+, 32 k∈Z→x=正+，ke乙：所以在0，)内，取k=0得x=亚；取k=1得 122 12 =合*子沿取k=2得=后*空，放四在又同@网上有2个授值点， 12 综上，f(x)在区间(O,)上有2个零点和2个极值点，故D正确，故选ABD 10.因为f(x)=x3+3x+a,所以f'(x)=3x2+3,设过点P的直线与f(x)的图象切于点 QP+31+a,则切线斜率k=f'0=f@-也，即3+3=+3+a-b 去分母整理 t-a t-a 得2r-3at2-4a+b=0,切线有3条，设g(t)=2t3-3at2-4a+b,则gt)有3个零点， g'(t)=6r2-6at,令g'(t)=0,得t=0或t=a,所以g(0)g(a)=(-4a+b)(-a3-4a+b)<0, 对于A,取a=-1,得g(0)g(a)=(b+4)b+5)<0,满足g(0)g(a)<0,A正确：对于B, 取a>0,则g(0)8(a)=(-4a)(-a3-4a)>0,不满足，B错误；对于C,令b=3a,a>0, 则g(0)g(a)=(-a)(-a3-a)=a(a3+a)>0,不满足，C错误；对于D,令b=4a2，,a>2, 则g(0)=4a(a-1)>0,g(a)=-a(a-2)2<0,满足g(0)g(a)<0,D正确，故选AD. 11·对于A选项，设Px)，则PF=(←1--y),PE=(1-x-)所以 P℉·PE=(←1-x)1-x)+y2=x2-1+y2=1,整理得x2+y2=2.又因为P在椭圆 Q号+号-1山联v阳兰2-13486护-124数不在木特合条 件的点，故A错误；对于B选项，由椭圆定义得PF+PF=4，所以 |PF+2 PRIPE+PE=16,由余弦定理知|EE=PF+PF-2PEPF: cos∠EPE，所4=PF+|PF-PEIIPE,因此，IPFI-IPE=4,所以 SPF小PmP所方4店，放B正确：对于C造项，由格圆的定 2 义|PF+|PEl=4,则IPQ|+PE=|PQ+4-|PEl=4+PQ-|PFD≤4+|F2I =4+√，故C正确；对于D选项，设过F,的直线方程为x=y+1,A(x,y)B(,2), 数学评分细则·第3页（共10页） ■■口■口口▣口 同时设y>0,y2<0,联立 毛消去x可得++6砂90， x=y+1 △=3602+363r2+4)>0,+为= 4=M-G-+ -6t o+1-+了=VP+1y,同理B5=-P+1y,所以+三 1 AF BF+1y 1 1 -V02+}-4y2= 1 -P+1y2 √P+14y2 N+1 yy2 P+1 -6t2 -4× -9 32+4 3t2+4) -9 3,故D正确，故选BCD. 3t2+4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 50 2 3、2 4 3"可 【解析】 12.不考虑首位限制，共有A 6! A123!1×2×6 720=60排列方式，其中首位为0的情况有 A 51=120=10,所以符合要求的排法共有：60-10=50.故答案为：50， A3A323I2×6 13.如图1，连接AB,在直三棱柱ABC-AB,C中，B,C∥BC，,所 以异面直线AC与BC所成角为∠ACB.设AC=4=1,则 B AB=AC=V2,所cos∠ACB=AC+BC3-AB 2AC·BC 1巨故答案为： 2√54 4 图1 14.小于等于2"的正整数有1、2、…、2”，与2"不互质的数是2的倍数，即2、4、…、2”， 共2-个，所以与2”互质的数有2”-2-=2个，即2”)=2”-1；由于4“=22m,小于 等于22m的正整数有1、2、…、22”，与22m不互质的数是2的倍数，即2、4、…、22m, 共221个，所以与22n互质的数有22n-22-1=22-1个，即p(4“)=22m1；小于等于3”的正 数学评分细则·第4页（共10页） ■■口■口口▣口 整数有1、2、…、3”，与3”不互质的数是3的倍数，即3、6、…、3”，共3”-1个，所 以与3”互质的数有3”-3-1=2.31个，即m(3")=2.3-1；由于6”=2”·3”，且2”与3”互质， 故6)=o2m3)=(2-223-3==2.2.3=23叫，所以4= 22-1 p6)2".3▣ ·令a.= ,所以 2-3 ,且a=1,故数列 p4") 是以1为 3 a 0(6”) 1- 2 首项， 2为公比的等比数列， 则Sn= - 2 2 枚答案为：3 3-1 1- 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由√3sinA+cosA=2, 可得3 .1 S1nA+万COsA=1， …(2分) 即sinA+=1.…(3分) 6 由于A∈0，)→A+e红，7π 66'6 …(4分) 。2,解得A 故A+亚=π 3 …（6分) (2)由题设条件和正弦定理√3 bsinC=csim2B-√3 sin BsinC=2 sin Csin Bcos B, …(7分) 又B,C∈(0，D,则sin Bsin C≠0，进而cosB= 3 得到B= 6 …(9分) 于是C=π-A-B= 兀 …(10分) 由正弦定理可得， Isin A sin B sinc,即3 a b C 0 …（11分) sin sin 6 sin元 解得b=1,c=2, …（12分) 数学评分细则·第5页（共10页） ■■口■口口口口 故△ABC的周长为3+√5.… …(13分) 16.(本小题满分15分) (1)证明：因为AB=AD,O为BD的中点， 所以AO⊥BD. …(2分) 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平面ABD, 所以AO⊥平面BCD 又CDC平面BCD,所以AO⊥CD. …(6分) (2)解：取OD的中点F,因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD 过O作OM∥CF与BC交于点M,则OM⊥OD, 所以OM,OD,OA两两垂直， 如图2，以点O为坐标原点，分别以OM,OD,OA所在直 线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 令OA=OC=CD=OD=2, 图2 则00,0,0)，B(0,-2,0,C(N3,1,0),D0,2,0),A(0,0,2): …(8分) 因为点E在棱AD上，设DE=DA,所以E0,2-2入2)， 因为OA⊥平面BCD,故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,2).…(9分) 设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),BC=(W3,3,0),BE=(0,4-2元2)， 所以 n.BC=0∫N3x+3y=0 nBE=0' 得 (4-22)y+2z=0 令x=5,则y=-=2-1, 2 (12分) 因为二面角E-BC-D的大小为孕， eos(, i·OA 4-2 4 数学评分细则·第6页（共10页） ■■口■口口▣口 化简得： (=4，解得： 2 因为点E在棱AD上，所以2=2 即E为棱AD上靠近点A的三分点。 ………………………(15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)设x为样本数据的平均数，则： x=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.01 ×10=72.5,故该组数据的平均值为72.5.……(4分) (2)根据频率分布直方图，参与该竞赛活动的学生为“滇超达人”的概率p=0.3; 由题意知，XB3, 3 所以X可能取值为0,1,2,3， …(6分) PX=0)=( 湖 3 441 1000 )m) 189 1000 x-3-cm m 27 (8分) 1000 X的分布列为 X 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 所以E(X)=3×0.3=0.9 …(10分) (3)设事件A表示“抽到的学生为滇超达人”，B,B,B分别表示“甲、乙、丙学校的 参赛学生” 由已知P(B)=0.25,P(B2)=0.35,P(B2)=0.4, P(A|B)=0.2,P(AB2)=0.3,P(AB)=0.5, …(12分) 由全概率公式得 P(A)=∑P(B)P(AB)=0.25×0.2+0.35×0.3+0.4×0.5=0.355.…(15分) 数学评分细则·第7页（共10页） ■■口■口口▣口 18.(本小题满分17分) (1)解：抛物线C:x2=2p四的准线方程为y=-2 由题意，-卫=-2，解得p=4, 2 所以抛物线的标准方程为C:x2=8y· ………(3分） (2)证明：由(1)知，焦点F(0,2),设直线1斜率为k,则1：y=kx+2,P(x,y),Q(x,2), [y=kx+2 由x=8y ,得x2-8x-16=0, 则韦达定理：x+x=8k,xx2=-16. …(5分) 由r8y,得出y=答，所以y=子切线的斜率为k,一子 4 所以在点P处的切线方程为xx=4(y+y). …(7分) 同理，在点Q处的切线方程为xx=4(y+y2), 设T(x7,y),则T满足：x=4(yr+),x7=4(+2), 所以G-片=4y2h而y-为=。三-凸-+x) 8 8 代入得：化-无)x=4.伍+5=+5=4 …(9分) 8 2 所以x·4k=4(y7+y)→y7=kx-y,同理yr=2-y2; 两式相加得：2y,=k(x+x2)-(y+2) 整理得2y,=k(x+x)-(y+y2)=kG+)- +)-+25， 8 将韦达定理代入得：2y,=k.8k-(8k2+4)=8k2-8k2-4=-4→y,=-2. 因此，T(4k,-2),即点T在定直线y=-2上.…(12分) (3)解：由(2)知T(4k,-2),直线1：x-y+2=0, 点T到直线1的距离为d=k.4址--2)+2=42+4.4+=4+ Vk2+1 √k2+1√2+ 弦长|PQ上1+2x-,上V1+VG+-4xx=+k. √8k)2-4×(-16=8k2+1), 数学评分细则·第8页（共10页） ■■口■口口▣口 所以△P0的面积为S-PO1d-x8产+小x41-I6+n …(15分) 由于k2≥0，所以k+)≥1，当且仅当k=0时取等号， 因此，△PT2的面积最小值为16， 此时直线I的方程为y=2, …(17分) 19.(本小题满分17分) (I)解：正实数xy满足立x=立，可得+r=x+y,即+少} i=1 2(x+y)2 …(4分) (2)证明：依题意可得n-血 ,即x=lny y Inx 由对称性不妨假设x>y>0,令1=>1， y 则有nx= tlnt (6分) 1-t 1-t 则有inr+lny=I+rlnt 1-t 设0=1m-2-,1>,N0=4== >0,…(7分) t+1 t(t+1)2tt+1)2 所以h(t)在(L,+o)上单调递增，则有h()>h)=0, 所以nr>2-D,即《+I'<-2,即1m+1my<-2, t+1 1-t 即y<e2, …(9分) 综上，y<e2. (3)解：已知对任意的正实数”，均有立-立9学m空y-立小 不妨设z是x,yz中的最小值，则令x=z+a,y=z+b,其中a≥0，b≥0 将x=z+a,y=z+b代入不等式并化简可得2z(a2-ab+b2)+a3+b3-ab≥mab(b-a). …(10分) 若a=0或b=0,则不等式对任意实数m均成立. 数学评分细则·第9页（共10页） ■■口■口口▣口 b2.3b2 因为a2-ab+b2=a- >0,乙>0，所以要使不等式成立， ”24 即a3+b3-ab2≥mab(b-a). …（11分) 若a=b,则不等式对任意实数m均成立： 若a≠b,设r=b>0,t≠) a 当1>1时，不等式a+b-b≥mabb-a可整理为-+1≥m t(t-1) 设80仁>，对英进行变形可得g0=1+0 1 …(12分) t(t-1) 0-,令a)=g'o),4a)=26-3+ 对80求导，80=1-21-1， [(t-1)t3 因为3-1=0-广0，所以0>0：即0在n上单网腾带 令m=0,审产0 =0,化简可得4-23+t2-2t+1=0, 令v=1+则v2-2y-1=0,解得v=1+5(1-2舍去)，即t+-1+2 则疼在食小且+片1+万 所以g)在(1，t)上单调递减，在(。，+o)上单调递增. 1 所以g0m=g=-因周为632，所以G-0<2y 4 则1 ,所以g,)=+ 1 ->2 …(15分) t(6-1)2 o(t。-1 又因为+片1+，所以后-6=-1则8)=+6+成- 1 因%侵小所以反1万1所以+ 1 1 <3, 所以2<g(t)<3,所以m≤2 当0<1<1时，不等式a+B-ab≥mabb-@可整理为m≥+ t(t-1)’ -+<0,所以m=2时，不等式恒成立.（17分） 此时t-) 数学评分细则·第10页（共10页）数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1若集合A=女22<8， B={x|x-2≤2}，则AnB= A.{x-1<x≤4 B.{x-1≤x≤4 C.{x.0<x<3} D.{x0≤x<3} 2.设复数2=1-i(i为虚数单位)，2的共轭复数是，则2i-22 A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 3.“0<a<1”是“函数f(x)=x+b在(0，+∞)上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若平面中不共线的三个向量d,,c两两的夹角相等，且|a|=||=1,|c|=2,则 la+B-cl= A.3 B.4 C.3或0 D.4或1 5.已知函数f(x)= 则图象上关于原点对称的点有 -x2+4x,x<0, A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 6.已知直线l:(2m2+m+1)x+(m2-m-3)y=3m2-2(其中meR)与圆C:x2+y2-4x=0, 则直线l与圆C的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.与m的取值有关系 7已知方程--1=0有两个根为a和8(a>8).若数列1a,满足a,=a8 a-8,则ao= A.34 B.55 C.42 D.64 数学·第1页（共4页） 8.已知m>0,n>0且m+e"=e,n+4”=e,则nlgm与mlgn的大小关系是 A.nlgm>mlgn B.nlgm<mlgn C.nlgm=mlgn D.nlgm≤mlgn 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项 中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分) 9.已知函数f(x)=23cos2x+sin2x-√5，则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为m B.代x)的图象关于直线x=5对称 C.fx)在区间0，引上单调递增 D.f(x)在区间(0，π)上有2个零点和2个极值点 10.已知函数f(x)=x3+3x+a,则满足过点P(a,b)可作出3条直线与f(x)图象相切的充 分条件是 A.a=-1,-5<b<-4 B.b=0 C.点P在直线y=3x(x>0)上 D.点P在曲线y=4x2(x>2)上 山.已知椭圆C:+?1,左、右焦点分别为P,P,点P为椭圆上异于长轴端点的动一 点，Q(2,1),则下列说法正确的是 A.若PF·PF,=1,则符合条件的点P有2个 B.若LF,PF,=牙，则△PFR,的面积为5 C.|PQ+|PF的最大值为W2+4 D.过F,的直线与椭圆交于两点A,B,则，B丽，3 1.14 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) B 12.用一个0，两个2，三个6排成一个六位数，则不同的排法种数 为 ·（用数字作答) 13.如图1所示，在直三棱柱ABC-AB,C,中，底面ABC为等边三 角形，AC=AA,则异面直线A,C,B,C,所成角的余弦值是 图1 14.若正整数m、n的公约数只有1，则称m、n互质.对于正整数n,p(n)是小于或等 于n的正整数中与n互质的数的个数.函数p(n)以其首名研究者欧拉的名字命名， 称为欧拉函数，例如：p(1)=1,p(3)=2,p(4)=2,p(5)=4,p(6)=2.当m, n互质时，p(mn)=p(m)p(m.若数列g(}的前n项和为S,则S,=一， 1p(6")J」 数学·第2页（共4页) 四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知W3sinA+cosA=2. (1)求A. (2)若a=√5，√3 bsinC=csin2B,求△ABC的周长. 16.（本小题满分15分) 如图2，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=D,O为BD的中点. (1)证明：OA⊥CD; (2)若OM=OC=CD=0D,点E在棱AD上，若二面角E-BC-D的大小为牙，判断E 点的位置 图2 17.（本小题满分15分) 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中 随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分)，并绘制成如图3所示的频率 分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表)； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加 该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数， 求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占 40%,三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2：3：5.从参与该竞赛的学生中 随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率 频率 组距 0.030H 0.020 0.015 0.010--- 0.005 0V405060708090100成绩/分 图3 数学·第3页（共4页) 18.（本小题满分17分) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为y=-2,过点F的直线l与抛 物线C交于P,Q两点（异于原点O),抛物线在P,Q两点处的切线交于点T, (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2)的结论下，求此时△PTQ的面积最小值，并求此时直线！的方程 19.（本小题满分17分) 若二元代数式f(a,b)满足f(a,b)=f(b,a),则称代数式f(a,b)为二元轮换式， 记a=a+b;若三元代数式f(a,b,c)满足f(a,b,c)=f(b,c,a),则称代数式 f八a,6,c)为三元轮换式，记2a=a+bt+c,2ab2=ab2+bc+a2 （D）若正实数，y满足，且县-宫积，求，的值： 2 2(x+y) (2)若代数式f,y)=(x≠)为二元轮换式，求证：y<。”; (3)若对任意的正实数x,y,z均有名2-含y≥m(店y2-含y),求整数m的最 大值 口口口▣ 数学·第4页（共4页)