9.2 二项式定理（3大考点+10大题型）（讲义+精练）-2027届新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦二项式定理核心考点，涵盖展开式特定项、系数最值、系数和、三项式及多项式乘积等高考高频题型，按“基础概念-核心题型-综合应用”逻辑架构知识点，通过主干知识梳理、题型方法指导、真题模拟训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 讲义采用“问题驱动-方法归纳-素养提升”教学模式，如在最值问题中用待定系数法构建不等式组培养数学思维，在系数和问题中通过赋值法强化数学语言表达，设置分层练习与即时反馈，确保高效突破考点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

9.2 二项式定理 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 3 知识点2、二项式展开式中的最值问题 4 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 4 03 探究核心题型 6 题型一：二项展开式参数求解 6 题型二：二项展开式有理项求解 7 题型三：求三项式问题 9 题型四：多项式和积展开式指定项系数求解 12 题型五：二项式系数最值问题 13 题型六：展开式项的系数最值问题 15 题型七：二项式系数和与各项系数和计算 17 题型八：整除余数相关应用问题 20 题型九：二项式定理结合数列求和 22 题型十：杨辉三角相关性质应用 27 04 课时精练 30 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 知识点2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 题型一：二项展开式参数求解 【典例1-1】（2026·安徽·模拟预测）已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为80，且最大值在第与项取得，则n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由题可知第项与项的系数相等且最大，即，化简得， 即，化简得， 取，得，各项系数为，不满足条件，舍去； 取，得，不是整数，舍去； 取，得，各项系数为 ，符合条件， 当时，，例如当时，展开式系数的最大值为，不符合题意，当更大时，最大系数值也更大. 所以. 【典例1-2】（2026·重庆·模拟预测）在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】A 【解析】展开式通项 ，令 得. 所以常数项为，解得. 【方法技巧与总结】 在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则． 【变式1-1】（2026·吉林长春·二模）的展开式中的系数为160，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】D 【解析】二项式展开式的通项公式为， 令，则可得展开式中的系数为，所以，解得. 【变式1-2】（2026·高三·重庆渝中·阶段检测）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 【答案】A 【解析】展开式的通项公式为， 令，则， 当时，，， 当时，，，所以， 令，则，所以. 【变式1-3】（2026·陕西榆林·一模）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】的展开式的通项为， 令，解得，所以，即，， 又，故． 题型二：二项展开式有理项求解 【典例2-1】（2026·高三·山西晋城·阶段检测）在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 【典例2-2】在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】D 【解析】展开式的第项为 ， 若第项为有理项，则能被4整除，这样的有13个． 故选：D. 【方法技巧与总结】 先写出通项，再根据数的整除性确定有理项． 【变式2-1】一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】“0，2，4，5，6，8”，这组数据共有6个数，所以， 所以这组数据的上四分位数为第5个数，即6. 二项式展开式的通项为：. 当分别取时，是整数，为有理项，所以共有4项. 它们分别是： 故选：B. 【变式2-2】已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（    ） A．43 B． C．27 D． 【答案】D 【解析】展开式的第7项为， 由题意可得，，，解得，， 则展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的有理项的系数和为. 故选：D. 【变式2-3】（2026·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 题型三：求三项式问题 【典例3-1】（2026·山东烟台·二模）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将看成， 根据二项式定理，其展开式的通项为， 含有的项为， 的展开式的通项为， 含有的项为， 所以的项的系数． 【典例3-2】（2026·四川南充·二模）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【解析】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 【方法技巧与总结】 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 【变式3-1】（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 【答案】C 【解析】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 【变式3-2】的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【解析】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 【变式3-3】（2026·高三·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解析】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 题型四：多项式和积展开式指定项系数求解 【典例4-1】（2026·湖南岳阳·三模）已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】已知展开式中项的系数为35，利用二项式定理，则项的系数为：． 即． 【典例4-2】（2026·重庆·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 【答案】D 【解析】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 【方法技巧与总结】 分配系数法 【变式4-1】（2026·湖北武汉·二模）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 【答案】D 【解析】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 【变式4-2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知的展开式中的系数为0，且正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】展开式的通项公式为， 令，解得，令，解得， 所以展开式中含的项的系数为， 解得，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 【变式4-3】（2026·陕西榆林·三模）的展开式中，的系数为（    ） A．26 B．14 C．-26 D．-14 【答案】D 【解析】展开式的通项公式为. ，. 的系数为. 题型五：二项式系数最值问题 【典例5-1】（2026·高三·吉林长春·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以二项式的展开式共7项，即，得. 【典例5-2】（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【解析】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 【方法技巧与总结】 利用二项式系数性质中的最大值求解即可． 【变式5-1】（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 【变式5-2】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 【变式5-3】（2026·高三·云南昆明·月考）已知二项式的展开式中，二项式系数的和为，则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 【答案】C 【解析】因为的展开式中，二项式系数的和为64，所以，解得；所以该二项式的展开式共7项，所以二项式系数最大的项为第4项. 故选：C． 题型六：展开式项的系数最值问题 【典例6-1】（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【答案】 【解析】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 【典例6-2】在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 【答案】3和4 【解析】展开式的通项公式为， 则前3项的系数分别为，，， 由题意可得，即，解得或（舍去），所以， 设展开式中系数最大项为第项， 由，解得，又因为， 所以或，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项. 【方法技巧与总结】 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 【变式6-1】（2026·高三·江西·阶段检测）的二项展开式中，系数最大的项为__________. 【答案】 【解析】的二项展开式的通项公式为：， 各项的系数即为各项的二项式系数， 因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数， 所以系数最大的项为第项. 【变式6-2】的二项展开式中系数最大的项是__________. 【答案】或 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 设展开式第项的系数最大， 则，即，解得， 又，或，展开式中系数最大的项为或. 故答案为：或. 【变式6-3】（2026·高三·浙江绍兴·阶段检测）写出在的展开式中系数最大的项________． 【答案】 【解析】二项式的通项为：， 展开式的系数为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 展开式中系数最大的项出现在中， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 当时系数最大，即． 故答案为：． 题型七：二项式系数和与各项系数和计算 【典例7-1】（多选题）（2026·山西临汾·二模）若，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B． C． D．被16除的余数是15 【答案】ABC 【解析】展开式中二项式系数最大为第1014项，故选项A正确， 所以 又因为 所以令则故选项B正确. 对函数左右两边求导得： 令，则 又，所以，故选项C正确. ， 令，则， 除第一项外，其余项均可以被16整除， 所以被16除的余数是1，故选项D错误. 【典例7-2】（多选题）（2026·山东德州·模拟预测）已知，且的展开式中所有项的二项式系数之和为，则（    ） A． B． C． D．为奇数 【答案】BCD 【解析】因为展开式中所有项的二项式系数之和为，所以，A错误； 令，得，B正确； 令，得， 所以，C正确； 令，得， 所以， 因为为偶数，所以为奇数，D正确． 【方法技巧与总结】 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 【变式7-1】（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 【变式7-2】（多选题）（2026·高三·江西景德镇·月考）若（≠0），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，A错误； 对于B：因为，B正确； 对于C：在中， 令，得， 令，得，C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，D错误. 【变式7-3】（多选题）已知 则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含项的系数为 C． D． 【答案】AC 【解析】已知，令， 则，即，选项A正确； 展开式的通项公式为，（其中）， 要求的系数，令，解得， 当时，， 所以展开式中含项的系数为，选项B错误； 令，可得， 即①， 令，可得， 即②． ①＋②得：， 则，选项C正确； 对两边求导， 可得， 令，则， 即，又因为，所以 ，选项D错误. 题型八：整除余数相关应用问题 【典例8-1】（2026·重庆万州·模拟预测）已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 【答案】 【解析】因 ， 因是整数，恰能被13整除， 则，故的最大负整数取值为. 【典例8-2】设，且，若能被13整除，则等于______． 【答案】12 【解析】∵，且， ∴， ∵能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴． 故答案为：12． 【变式8-1】若是正整数，则除以8的余数是___________． 【答案】7 【解析】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 【变式8-2】已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 【答案】5 【解析】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 故答案为：. 【变式8-3】被9除的余数是___________. 【答案】7 【解析】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 题型九：二项式定理结合数列求和 【典例9-1】（多选题）（2026·四川德阳·二模）设函数，且记，则（       ） A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【答案】BD 【解析】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 【典例9-2】（多选题）（2026·高三·江西上饶·阶段检测）设函数，且记，则（    ） A．数列的首项为1 B．数列的前8项和为1 C．数列的前8项和为-2187 D．数列的前8项和为0 【答案】BD 【解析】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错误； 数列的前8项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前8项和等于， 令，则，而， 则数列的前8项和为2187，故C错误； 数列的前8项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 故选：BD 【变式9-1】（多选题）（2026·浙江绍兴·三模）已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则数列为等比数列 C．若，则数列为常数列 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A：当，则，又， 所以，故A正确； 对于B：当，则， 又，所以， 则，不为常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C：当，则， 则，， ， 所以数列不是常数列，故C错误； 对于D：首先证明， 考虑多项式中的系数， 一方面：代数式中，的系数为； 另一方面：代数式中， 的系数为； 因为，所以； 所以. 当时， ，故D正确. 故选：AD. 【变式9-2】（多选题）已知正项数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．! B．! C． D． 【答案】BD 【解析】 ，， 当时，， 当时，符合上式，故!，B选项正确，A选项错误； ， ，C选项错误； 由组合公式数得 ， ，且， ， ，D选项正确. 故选：BD. 【变式9-3】（多选题）（2026·高三·湖北·期中）已知函数，令，，则下列正确的选项为（    ） A．数列的通项公式为， B． C．若数列为等差数列，则 D． 【答案】ACD 【解析】由已知得，则，即， 所以，所以数列时以为首项，为公比的等比数列，所以，即，，故A选项正确； 当时，，故B选项错误； 由数列为等差数列，得， 所以，同理，所以，故C选项正确； 由，若证，即证，即证， 由基本不等式得，故， 设数列， 由， ， 逐项比较，前两项相同，，，， 且还多出最后一项， 所以，即数列单调递增， 且， 所以， 即，D选项正确； 故选：ACD. 题型十：杨辉三角相关性质应用 【典例10-1】（2026·山东泰安·模拟预测）将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    【答案】240 【解析】次二项式系数对应杨辉三角形的第行， 例如，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行， 令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前项和为， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则， 可得当，去除两端的“1”可得， 则此数列前21项的和为． 【典例10-2】“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 【答案】/ 【解析】在杨辉三角中，第行的第个数（从第行开始计数）为， ， 所以， 所以, 故答案为：. 【变式10-1】如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则________，________. 【答案】 26 325 【解析】对于第一空， 因为 所以被675除所得的余数为26； 对于第二空，由图可得第行，第个数为展开式的第项二项式系数. 则. 故答案为：；. 【变式10-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为____. 【答案】559 【解析】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，第五行的第三位数字，…， 第十五行的第三位数字是， 则所求为 . 故答案为：559 【变式10-3】“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    【答案】 【解析】由题意，根据二项展开式的性质，可得， 则. 故答案为：. 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（    ） A．−10 B．0 C．10 D．20 【答案】B 【解析】对原等式两边求导得： ， 再令代入上式：， 又中一次项的系数为：， 所以. 2．（2026·浙江金华·三模）的二项展开式中系数最大的项为（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 【答案】A 【解析】的二项展开式的通项为. 由，得， 由①得，； 由②得，. 又，所以，所以的二项展开式中系数最大的项为第3项. 3．（2026·北京·模拟预测）已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【解析】，故， 令，则， . 4．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在二项式展开式中，若某一项含有不能化为有理数的根式（即字母指数不全为整数，或化简后仍含无限不循环小数形式的根式），则该项称为无理项．在的展开式中（    ） A．一定有常数项，没有无理项 B．一定有常数项，可能有无理项 C．一定没有无理项，没有常数项 D．一定没有无理项，可能有常数项 【答案】A 【解析】的通项公式. 由于都是整数，因此的指数必为整数. 原式展开为，所有项的指数要么是，要么是， 且所有项的系数都是整数，因此一定没有无理项. 若常数项来自乘的项，令，当为偶数时，是整数，存在该项，因此有常数项； 若常数项来自乘的项：令，当为奇数时，是整数， 且满足，存在该项，因此也有常数项. 对任意正整数，要么为奇数要么为偶数，总有常数项存在，因此一定有常数项. 综上，一定有常数项，没有无理项. 5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由二项式展开的通项公式， 令，得，含有项的系数为. 6．（2026·陕西渭南·模拟预测）在的展开式中，的系数是（    ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【解析】由题意得， 令，解得，故的系数是. 7．（25-26高三下·陕西·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 故的展开式中的系数为． 8．（2026·山东临沂·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 令，得； 令，得； 故． 9．（多选题）（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知的展开式的各项系数和为16，则（    ） A．或 B．二项式展开式的常数项为54 C．二项式展开式的常数项为6 D．二项式展开式的常数项为6或54 【答案】AD 【解析】选项A：由题意，令代入原式，得，解得即或，A正确； 选项B：二项式的展开式通项为， 令，得，则常数项为，当时，常数项为6， 当时，常数项为54，所以常数项不唯一，B错误； 选项C：由上述计算，常数项也可能为54，C错误； 选项D：结合a的两个取值，常数项为6或54，D正确. 故选；AD 10．（多选题）（2026·江苏苏州·模拟预测）已知二项式，则下列说法正确的有（   ） A．展开式中系数大于的项共有项 B．展开式中所有项的二项式系数之和为 C．展开式中的常数项为 D．展开式中所有项的系数的绝对值之和为 【答案】BCD 【解析】二项式的展开式通项为，其中． 对于A，系数大于0时需满足，即为偶数，可取，共项，A错误； 对于B：展开式所有项的二项式系数之和为，B正确； 对于C：令，解得，代入得常数项为，C正确； 对于D：展开式所有项系数的绝对值之和等价于的所有项系数和，令，得，D正确． 11．（多选题）（2026·山东济宁·二模）的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（    ） A．展开式共项 B．展开式中常数项为 C．展开式中所有项的二项式系数之和为 D．展开式中所有项的系数之和为 【答案】ACD 【解析】因为的展开式中，第项与第项的二项式系数相等， 所以，即，得. 所以二项式展开式的项数为，故A正确； 对于B，由通项公式. 令，得，所以常数项为 ，故B错误. 所以二项式展开式中所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，则展开式中所有项的系数之和为 ，故D正确； 12．（多选题）（2026·广西桂林·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是15 B．第2026行的第1014个数最大 C． D．记第行的第个数为，则 【答案】BCD 【解析】对A：第6行从左到右的第4个数为，故A错误； 对B：第2026行一共有2027个数，即， 由二项式系数的性质可知：中间的第个数最大，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：因为， 所以，故D正确． 13．（2026高三·全国·专题练习）化简的值为________． 【答案】 【解析】由二项式定理可得， 令，则， 令，则， 故， 故. 14．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）的展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 令得，故展开式中项的系数为. 15．（2026·四川广安·模拟预测）若，则______． 【答案】 【解析】令可得：， 令可得：； 将(1)式与(2)式相减可得：， 故． 16．（2026·天津武清·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 【答案】60 【解析】因为的展开式的二项式系数和为64， 所以，解得， 二项式的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2 二项式定理 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 3 知识点2、二项式展开式中的最值问题 4 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 4 03 探究核心题型 6 题型一：二项展开式参数求解 6 题型二：二项展开式有理项求解 6 题型三：求三项式问题 7 题型四：多项式和积展开式指定项系数求解 8 题型五：二项式系数最值问题 8 题型六：展开式项的系数最值问题 9 题型七：二项式系数和与各项系数和计算 10 题型八：整除余数相关应用问题 11 题型九：二项式定理结合数列求和 11 题型十：杨辉三角相关性质应用 12 04 课时精练 14 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 知识点2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 题型一：二项展开式参数求解 【典例1-1】（2026·安徽·模拟预测）已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为80，且最大值在第与项取得，则n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例1-2】（2026·重庆·模拟预测）在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 【方法技巧与总结】 在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则． 【变式1-1】（2026·吉林长春·二模）的展开式中的系数为160，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【变式1-2】（2026·高三·重庆渝中·阶段检测）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 【变式1-3】（2026·陕西榆林·一模）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 题型二：二项展开式有理项求解 【典例2-1】（2026·高三·山西晋城·阶段检测）在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例2-2】在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【方法技巧与总结】 先写出通项，再根据数的整除性确定有理项． 【变式2-1】一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（    ） A．43 B． C．27 D． 【变式2-3】（2026·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型三：求三项式问题 【典例3-1】（2026·山东烟台·二模）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·四川南充·二模）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【方法技巧与总结】 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 【变式3-1】（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 【变式3-2】的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【变式3-3】（2026·高三·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 题型四：多项式和积展开式指定项系数求解 【典例4-1】（2026·湖南岳阳·三模）已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【典例4-2】（2026·重庆·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 【方法技巧与总结】 分配系数法 【变式4-1】（2026·湖北武汉·二模）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 【变式4-2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知的展开式中的系数为0，且正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-3】（2026·陕西榆林·三模）的展开式中，的系数为（    ） A．26 B．14 C．-26 D．-14 题型五：二项式系数最值问题 【典例5-1】（2026·高三·吉林长春·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例5-2】（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【方法技巧与总结】 利用二项式系数性质中的最大值求解即可． 【变式5-1】（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【变式5-2】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式5-3】（2026·高三·云南昆明·月考）已知二项式的展开式中，二项式系数的和为，则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 题型六：展开式项的系数最值问题 【典例6-1】（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【典例6-2】在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 【方法技巧与总结】 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 【变式6-1】（2026·高三·江西·阶段检测）的二项展开式中，系数最大的项为__________. 【变式6-2】的二项展开式中系数最大的项是__________. 【变式6-3】（2026·高三·浙江绍兴·阶段检测）写出在的展开式中系数最大的项________． 题型七：二项式系数和与各项系数和计算 【典例7-1】（多选题）（2026·山西临汾·二模）若，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B． C． D．被16除的余数是15 【典例7-2】（多选题）（2026·山东德州·模拟预测）已知，且的展开式中所有项的二项式系数之和为，则（    ） A． B． C． D．为奇数 【方法技巧与总结】 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 【变式7-1】（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选题）（2026·高三·江西景德镇·月考）若（≠0），则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选题）已知 则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含项的系数为 C． D． 题型八：整除余数相关应用问题 【典例8-1】（2026·重庆万州·模拟预测）已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 【典例8-2】设，且，若能被13整除，则等于______． 【变式8-1】若是正整数，则除以8的余数是___________． 【变式8-2】已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 【变式8-3】被9除的余数是___________. 题型九：二项式定理结合数列求和 【典例9-1】（多选题）（2026·四川德阳·二模）设函数，且记，则（       ） A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【典例9-2】（多选题）（2026·高三·江西上饶·阶段检测）设函数，且记，则（    ） A．数列的首项为1 B．数列的前8项和为1 C．数列的前8项和为-2187 D．数列的前8项和为0 【变式9-1】（多选题）（2026·浙江绍兴·三模）已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则数列为等比数列 C．若，则数列为常数列 D．若，则 【变式9-2】（多选题）已知正项数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．! B．! C． D． 【变式9-3】（多选题）（2026·高三·湖北·期中）已知函数，令，，则下列正确的选项为（    ） A．数列的通项公式为， B． C．若数列为等差数列，则 D． 题型十：杨辉三角相关性质应用 【典例10-1】（2026·山东泰安·模拟预测）将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    【典例10-2】“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 【变式10-1】如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则________，________. 【变式10-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为____. 【变式10-3】“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（    ） A．−10 B．0 C．10 D．20 2．（2026·浙江金华·三模）的二项展开式中系数最大的项为（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 3．（2026·北京·模拟预测）已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 4．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在二项式展开式中，若某一项含有不能化为有理数的根式（即字母指数不全为整数，或化简后仍含无限不循环小数形式的根式），则该项称为无理项．在的展开式中（    ） A．一定有常数项，没有无理项 B．一定有常数项，可能有无理项 C．一定没有无理项，没有常数项 D．一定没有无理项，可能有常数项 5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西渭南·模拟预测）在的展开式中，的系数是（    ） A．15 B． C．30 D． 7．（25-26高三下·陕西·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知的展开式的各项系数和为16，则（    ） A．或 B．二项式展开式的常数项为54 C．二项式展开式的常数项为6 D．二项式展开式的常数项为6或54 10．（多选题）（2026·江苏苏州·模拟预测）已知二项式，则下列说法正确的有（   ） A．展开式中系数大于的项共有项 B．展开式中所有项的二项式系数之和为 C．展开式中的常数项为 D．展开式中所有项的系数的绝对值之和为 11．（多选题）（2026·山东济宁·二模）的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（    ） A．展开式共项 B．展开式中常数项为 C．展开式中所有项的二项式系数之和为 D．展开式中所有项的系数之和为 12．（多选题）（2026·广西桂林·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是15 B．第2026行的第1014个数最大 C． D．记第行的第个数为，则 13．（2026高三·全国·专题练习）化简的值为________． 14．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）的展开式中，项的系数为______. 15．（2026·四川广安·模拟预测）若，则______． 16．（2026·天津武清·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $