第六章变量之间的关系综合练习（二）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦变量关系，以注水、行程等生活情境及几何动态问题为载体，覆盖函数概念、图象分析等核心知识，适配初中数学第六章单元复习，强化数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择|10|函数定义、图象分析、定性数据|以摩天轮高度、驾车行程为情境，考查函数概念与图象解读| |填空|6|自变量因变量、函数关系式|结合“冰冻三尺”谚语、圆形涟漪，强化变量关系理解| |解答|7|分段函数、动点几何、实际应用|设计电费计费（分段函数）、动点三角形（几何与函数综合），体现问题层次性|

第六章变量之间的关系综合练习（二） 一．选择题（共10小题） 1．下列表示y与x关系的图象中，y不是x的函数是（　　） A．B．C． D． 2．如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度h是注水时间t的函数．下列函数图象中，能反映h随t变化规律的是（　　） A．B．C． D． 3．下列关系式：①y；②y＝x2；③|y|＝x；④y+1＝x；⑤y2＝x+3，y不是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　） A． B． C． D． 5．甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（　　） A．乙出发140秒后与甲第一次相遇 B．图中b＝400 C．乙比甲晚100秒出发 D．乙休息前的跑步速度为2.5米/秒 6．下列数据是定性数据的是（　　） A．七年级学生的立定跳远成绩 B．七年级学生的肺活量 C．七年级学生到校所用的时间 D．七年级学生到校所用的交通方式 7．如图1中的摩天轮可抽象成一个圆．圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（ min）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（　　） A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是6min C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m 8．某人驾车从甲地驶往乙地，他以100km/h的速度行驶一段时间后休息1h，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是（　　） A．80km/h B．90km/h C．100km/h D．120km/h 9．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②乙出发4h后追上甲； ③甲比乙晚到；④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；②乙车行驶的速度是90km/h；③A、B两地相距450km；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为　 　 ．（填“冰的厚度”或“时间”） 12．向平静的水面投入一个石子会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径r从3cm变成6cm时，圆形的面积S从9πcm2变成36πcm2，这一变化过程中，　 　 是自变量，　 　 是因变量．（填写字母即可） 13．已知正方形的边长为5，当边长增加x时，其面积增加y，那么y与x之间的函数关系式是　 　 ． 14．在一次问卷调查中，要求被调查者写出个人的性别、年龄、学历、收入、工作时长，其中定性数据有 　 　 个． 15．为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用200元钱去买单价为5元的某种笔记本，他买完这种笔记本之后剩余的钱数y（元）与购买的数量x（本）之间的关系式是 　 　 ． 16．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为12cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，当△ABC向右运动时（点A与点N重合时停止运动），重叠部分的面积发生了变化．在这个运动过程中，常量是　 　 ，变量是　 　 ；重叠部分的面积y（cm2）与MA的长x（cm）之间的关系可以表示为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是 　 　 ，函数是 　 　 ；小明家到文华公园的路程为 　 　 km； （2）小明在书城停留的时间为 　 　 h，小明从家出发到达文化公园的平均速度为 　 　 km/h； （3）请你说一说图中的B点表示什么意思？（言之有理即可） 18．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW•h） 单价/[元/（kW•h）] 第一档 0＜x≤170 0.5 第二档 170＜x≤260 0.6 第三档 x＞260 0.8 （1）当170＜x≤260时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）小明家10月用电量是180kW•h，求小明家10月的电费； （3）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 19．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（min）之间的关系（其中0≤x≤30）如下表： 提出概念所用时间x（min） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力y 47 53 56 57 59 60 59 58 55 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用的时间是10min时，学生对概念的接受能力是多少？ （3）根据表中的数据，你认为提出概念所用的时间是多少时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当提出概念所用的时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ 20．一辆油箱装满油的汽车，在速度不变的情况下，汽车油箱中的余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系式为Q＝kt+b．已知车速为40km/h，当t＝0时，油箱中的余油量为60L；汽车行驶了8h后，油箱中的余油量为20L． （1）写出余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系式； （2）当驾驶员发现油箱中的余油量为15L时，求汽车已行驶的路程； （3）若汽车开出后必须返回出发地，且在沿途不能加油，则该汽车最多能行驶多远？ 21．如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请用含x的代数式表示y． （3）当小正方形的边长由1cm变化到2.5cm时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 22．小明和小白两人从同一地方出发，分别自驾前往240km外的景点游玩，小明与小白在服务区均休息了一次，每人每次休息30分钟．行驶过程中，两人的速度始终保持不变，具体时间与路程信息如图所示． （1）求两人的行驶速度． （2）求小白休息后的（AB段）行驶路程y关于时间x的函数． （3）求小明追上小白时的时间． 23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 第六章变量之间的关系综合练习（二） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， 综上所述，只有选项C不满足条件，y不是x的函数，符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：∵鱼缸的上下部分直径较小，中间的直接大， ∴均匀地向一个鱼缸内注水直至注满时，鱼缸中水面的高度h随注水时间t的增大的变化为由快变慢再变快，即选项D的图象符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：①②④中的关系式，y是x的函数， ③⑤中的关系式，在x的取值范围内，一个x的值对应两个y值，因此y不是x的函数． ∴y不是x的函数的有2个． 故选：B． 4．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 5．【解答】解：由图象可得，乙比甲晚100秒出发，C正确； 直线OD为甲图象，甲的速度为：900÷600＝1.5（米/秒）， 由图象可得，根据甲的速度和时间得，a＝500×1.5＝750， 由题意知直线AB为乙运动图象，则c＝750﹣150＝600， 那么b＝600÷1.5＝400，B正确； 乙刚开始的速度为：750÷（400﹣100）＝750÷300＝2.5（米/秒）， D正确； 设乙出发a秒后与甲第一次相遇， 1.5（a+100）＝2.5a，解得a＝150， 即乙出发150秒后与甲第一次相遇，A不正确； 故选：A． 6．【解答】解：∵七年级学生的立定跳远成绩是用具体的数值来表示，属于定量数据， ∴选项A不符合题意； ∵七年级学生的肺活量是用具体的数值来表示，属于定量数据， ∴选项B不符合题意； ∵七年级学生到校所用的时间是用具体的数值来表示，属于定量数据， ∴选项C不符合题意； ∵七年级学生到校所用的交通方式不能用具体的数值来表示，只能用文字来表述，属于定性数据， ∴选项D符合题意， 故选：D． 7．【解答】解：由题意可得： A．变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意； B．摩天轮转一周所用的时间是，说法正确，故本选项不合题意； C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m，说法正确，故本选项不合题意； D．摩天轮的半径是：（70﹣5）÷2＝32.5（米），原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 8．【解答】解：由题知， 此人前两个小时所行驶的路程为：2×100＝200（km）， 则7﹣2﹣1＝4（h），520﹣200＝320（km）， 所以休息后他驾车行驶的速度是：320÷4＝80（km/h）． 故选：A． 9．【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是60÷1＝60km/h， ∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲， ∴3（v乙﹣60）＝60， ∴v乙＝80km/h， 即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确； ②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲， ∴乙出发3h后追上甲，故②错误； ③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km， ∴甲比乙晚到，故③正确； ④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则60t+80＝80（t﹣1）， 解得t＝8； 当乙车到达B地后时，60t+80＝640， 解得， ∴甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km，故④正确； 综上所述，①③④正确． 故选：C． 10．【解答】解：∵甲车的速度为60km/h， ∴甲车先出发1h， ∵甲出发3h后，乙追上甲， ∴甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车，故①正确； 乙车的速度为：，故②正确； 根据图可知，乙出发后6﹣1＝5（h），到达B点， ∴A，B两地相距90×5＝450（km），故③正确； 根据图可知，乙车到达B地时，甲车距离B地还有90km， ∴甲车比乙车晚到的时间为：，故④正确； 所以正确的有4个， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是时间， 故答案为：时间． 12．【解答】解：这一变化过程中半径r是自变量，面积S是半径的函数．故答案为：r，S． 13．【解答】解：根据题意得y＝（x+5）2﹣52＝x2+10x+25﹣25＝x2+10x， 故答案为：x2+10x． 14．【解答】解：在性别、年龄、学历、收入、工作时长的项目中，性别和学历属于定性数据，年龄、收入和工作时长是定量数据， ∴定性数据有2个． 故答案为：2． 15．【解答】解：根据题意，得y＝200﹣5x， ∴剩余的钱数y（元）与购买的数量x（本）之间的关系式是y＝200﹣5x． 故答案为：y＝200﹣5x． 16．【解答】解：常量是等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为12cm；变量是重叠部分的面积与MA的长度． 重叠部分的面积y（cm2）与MA的长度x（cm）之间的关系式为yx2，其中0≤x≤12． 故答案为：等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为12cm；重叠部分的面积与MA的长度；yx2． 三．解答题（共7小题） 17．【解答】解：（1）由图象可得自变量是小明离开家的时间，函数是离家的路程，小明家到达文华公园的路程为30km； 故答案为：小明离开家的时间，离家的路程，30； （2）小明在书城停留的时间为2.5﹣0.8＝1.7（h）， 小明从家出发到达文化公园的平均速度为30÷4＝7.5（km/h）， 故答案为：1.7，7.5； （3）由图象可得，B点坐标为（3.5，30），表示爸爸出发3.5﹣2.5＝1（小时）后到达文华公园（答案不唯一）． 18．【解答】解：（1）由题意得，当170＜x≤260时，y＝0.5×170+0.6（x﹣170）＝0.6x﹣17， （2）把x＝180，代入y＝0.6x﹣17＝0.6×180﹣17＝91（元）， 答：小明家10月用电量是180kW•h，其应交电费91元； （3）∵170×0.5+0.6×（260﹣170）＝85+54＝139＞127， ∴170＜x≤260， 设用电量为x kW•h，由题意得， 170×0.5+0.6×（x﹣170）＝127， 解得x＝240， 答：某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW•h． 19．【解答】解：（1）提出概念所用的时间和对概念接受能力y两个变量； （2）当时间是10分钟时，学生的接受能力是57； （3）当提出概念13分钟时，学生的接受能力最强60； （4）当2≤x≤13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强； 当13≤x≤20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 20．【解答】解：（1）依题意得， 解得：k＝﹣5，b＝60， ∴Q＝﹣5t+60； （2）若Q＝15， 则15＝﹣5t+60， ∴t＝9， 而汽车以每小时40千米的速度行驶， ∴汽车行驶路程为：9×40＝360千米； （3）若Q＝0， 则0＝﹣5t+60， ∴t＝12， 而汽车以每小时40千米的速度行驶， ∴汽车行驶路程为12×40＝480， 480÷2＝240千米， ∴汽车开出后必须返回出发地，且在沿途不能加油的情况下，该汽车最多能行驶240千米就必须返回． 21．【解答】解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积由大变小， ∴在这一变化构成中，小正方形的边长是自变量，图中阴影部分的面积是因变量； （2）∵大正方形的边长为10cm，小正方形的边长为xcm， 又∵图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4×小正方形的面积， ∴图中阴影部分的面积为y＝（100﹣4x2）cm2， （3）当x＝1cm时，y＝100﹣4x2＝100﹣4×12＝96（cm2）， 当x＝2.5cm时，y＝100﹣4x2＝100﹣4×2.52＝75（cm2）， ∴当小正方形的边长由1cm变化到2.5cm时，阴影部分的面积由96cm2减小到75cm2． 22．【解答】解：（1）依题意小明的行驶速度为； 小白的行驶速度为； （2）依题意1+0.5＝1.5，即A（1.5，80）， 由（1）得小白的行驶速度为80km/h， ∴设小白休息后的（AB段）行驶路程y关于时间x的函数解析式为y＝80x+b， 由条件可得80＝80×1.5+b， ∴b＝﹣40， ∴y＝80x﹣40； （3）由（1）得小白的行驶速度为100km/h， 设小白休息后的行驶路程y关于时间x的函数为y＝100x+m， 由条件可得120＝100×2.2+m， ∴m＝﹣100， ∴y＝100x﹣100， 依题意80x﹣40＝100x﹣100， 解得x＝3， 即小明追上小白时的时间a＝3． 23．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/25 16:31:22；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $