2026年云南省楚雄彝族自治州楚雄市)初中学业水平考试数学模拟试卷

**基本信息** 2026年初中学业水平考试数学模拟试卷（一模），以稀土矿、北极航道等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，注重抽象能力与推理意识考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|实数（科学记数法）、几何（平行性质）、统计（中位数）|结合古埃及直角三角形等文化素材| |填空题|4/8|因式分解、坐标、三视图|19题通过三视图考查空间观念| |解答题|8/52|行程问题（22题北极航道）、几何证明（25题矩形）、函数（26题抛物线）|27题圆综合题融合切线证明与探究，体现创新意识|

2026年初中学业水平考试 数学模拟试卷 参考答案解析 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. D　【解析】用正负数表示具有相反意义的量时，通常规定 “零上” 为正，则 “零下” 为负，∴零下 97.8 ℃应记作－97.8 ℃. 2. A　3. C 4. C　【解析】如解图，∵若b∥c，∠1=55°，∴∠3=∠1=55°，∴∠2=180°－∠3=180°－55°=125°. 第4题解图 5. D 6. C　【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A a2与a不是同 类项，不能合并 × B a3÷a2=a3－2=a × C a4∙a2=a4＋2=a6 √ D (2a2)3=23a2×3=8a6 × 7. D　【解析】解不等式x－4＜3x，移项得2x＞－4，解得x＞－2. 8. B　【解析】如解图，BC=3，AC=4，AB=5，∴△ABC是直角三角形，∴cos α==. 第8题解图 9. A　【解析】根据符号的规律：第n个单项式中，n为奇数时，单项式的符号为正号，n为偶数时，单项式的符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个单项式对应的系数的绝对值是2n－1.指数的规律：第n个单项式对应的指数是n，∴第8个单项式是－27x8=－128x8. 10. B　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=AC，OD=BD，∵AC=8，BD=10，∴OC=4，OD=5，∵CD=6，∴△COD的周长=OC＋OD＋CD=15. 11. A　【解析】将这10个数据按从小到大(或从大到小)排列，中间两个数据都为0.3，∴中位数为0.3；0.3出现的次数最多，有4次，∴众数为0.3. 12. D　【解析】设篮球场和图书馆的直线距离为a m.当校门口、篮球场和图书馆不共线时，根据三角形三边关系得：650－500＜a＜650＋500，即150＜a＜1 150；当校门口、篮球场和图书馆共线时，a=650－500=150或a=650＋500=1 150，综上，a的取值范围为150≤a≤1 150，故不可能是1 160 m.故选D. 13. B 14. D　【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B＋∠CAB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠B=50°，∴∠D=∠B=50°. 15. B　【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD=3DB，∴=，∴=()2=，∵S△ADE=9，∴S△ABC==16. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分. 16. (2a－1)(2a＋1) 17. (－4，0)　【解析】∵点P在x轴上，∴m＋1=0，∴m=－1，∴2m－2=－4，故点P的坐标为(－4，0). 18. 530　【解析】估计这1 000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为1 000×=530(名). 19. 144　【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥，∴侧面展开图的面积=π×2×5=10π，设这个扇形的圆心角为n°，则=10π，∴n=144. 三、解答题：本题共8小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20. 解：原式=＋1－＋2－1(5分) =2.(7分) 21. 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD.(2分) 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE(SAS)，(4分) ∴∠CED=∠BFD.(6分) 22. 解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，则集装箱货轮走北极航线每天能走1.2x公里，根据题意， 得－=10，(3分) 解得x=1 000，(5分) 经检验，x=1 000是原分式方程的解，且符合题意，(6分) 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1 000公里. (7分) 23. 解：(1)列表如下所示. A B 1 －2 －1 (－1，1) (－1，－2) 2 (2，1) (2，－2) －3 (－3，1) (－3，－2) 点M的所有可能坐标为(－1，1)，(－1，－2)，(2，1)，(2，－2)，(－3，1)，(－3，－2)；(3分) (2)由(1)知点M共有6种等可能的结果，其中事件“落在第三象限”包含(－1，－2)和(－3，－2)两种结果， ∴P(点M落在第三象限)==.(6分) 24. 解：(1)设文学类图书每套的单价为x元，科技类图书每套的单价为y元， 根据题意，得2分 解得 答：文学类图书每套的单价为24元，科技类图书每套的单价为30元；(4分) (2)设学校购进这两类图书所需的总费用为w元，购进文学类图书m套， ∴w=24m＋30(200－m)=－6m＋6 000，(5分) ∵要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍， ∴m≤2(200－m)， 解得m≤=133，(6分) ∵m是正整数， ∴m的最大值为133，(7分) ∵－6＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=133时，w取得最小值，w最小=－6×133＋6 000=5 202. 答：学校购进这两类图书所需的总费用的最小值为5 202元. (8分) 25. (1)证明：根据题意得，AE∥CD，CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形.(1分) ∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，即∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形；(3分) (2)解：由(1)得，四边形ADCE是矩形，AB=AC，AD⊥BC， ∴AE=DC=BD，AE∥BD， ∴∠AEF=∠DBF， ∵∠AFE=∠DFB， ∴△AEF≌△DBF(AAS)， ∴AF=DF， ∴F是AD的中点.(5分) 如解图，过点F作AC的平行线，交BC于点H， ∴H为DC的中点. ∴=， ∵GC∥FH， ∴△BFH∽△BGC， ∴==， ∴=， ∴的值为3.(8分) 第25题解图 26. 解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=-,∴-=-,∴b=1. ∵抛物线经过点(0,-1),∴c=-1, ∴抛物线的函数解析式为y=x2+x-1. (2)∵抛物线与x轴交点的横坐标为t, ∴t2+t-1=0,即t2=1-t, ∴t4=1-2t+t2=1-2t+1-t=2-3t, ∴t8=4-12t+9t2=4-12t+9-9t=13-21t. ∵t2+t-1=0,∴t2-1=-t, ∴t4-2t2+1=t2,∴t4-3t2+1=0, ∴t7-3t5+t3=0, ∴T====t. ∵t2+t-1=0, ∴t=或t=. 当t=时,T=; 当t=时,T<. 27. (1)解:∵四边形ABCP是圆内接四边形, ∴∠PAB+∠PCB=180°. ∵∠PAB=65°,∴∠PCB=115°. (2)证明:∵AC是☉O的直径, ∴∠ABC=90°, ∴∠CBD=∠ABC=90°. ∵BC2=BD·AB, ∴=, ∴△ABC∽△CBD, ∴∠CAB=∠DCB, ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠CAB=90°,∴OC⊥CD. ∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线. (3)解:PA=PB-2PC正确.理由如下: 如图所示,过点C作CH⊥PB于点H. ∵AC是直径, ∴∠ABC=∠APC=90°. ∵AB=2BC, ∴设BC=x,则AB=2x, 由勾股定理得AC=x. ∵∠CPH=∠CAB, ∴cos∠CPH=cos∠CAB, ∴==, ∴PH=PC. ∵∠CBH=∠PAC, ∴cos∠CBH=cos∠PAC, ∴=, ∴BH==, ∴PB=PH+BH=+=, ∴PA=PB-2PC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试 数学模拟试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在标准大气压下，甲醇的沸点是零上64.7 ℃，熔点是零下97.8 ℃.若零上64.7 ℃记作＋64.7 ℃，则零下97.8 ℃记作(　　) A. 97.8 ℃　　B. 64.7 ℃ C. －64.7 ℃　　D. －97.8 ℃ 2. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨.将1 150 000用科学记数法表示为(　　) A. 1.15×106　　B. 1.6×106 C. 1.15×105　　D. 115×104 3. 反比例函数y=的图象一定经过的点是(　　) A. (1，－10) 　　B. (－2，5)　　C. (2，5) 　　D. (2，8) 4. 如图，直线a与直线b，c都相交，若b∥c，∠1=55°，则∠2的度数是(　　) 第4题图 A.35°　　B.55°　　C.125°　　D.145° 5. 如图是一个几何体的主视图，则这个几何体不可能是(　　) 第5题图 A.长方体　　B.正方体　　C.圆柱　　D.三棱锥 6. 下列运算正确的是(　　) A. a2－a=a 　　B. a3÷a2=1 C. a4∙a2=a6　　D. (2a2)3=6a6 7. 不等式x－4＜3x的解集是(　　) A. x＜－2　　B. x＜－1　　C. x＞－1　　D. x＞－2 8. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cos α等于(　　) 第8题图 A.　　B.　　C.　　D. 9. 按一定规律排列的代数式：x，－2x2，4x3，－8x4，16x5，…，第8个单项式是(　　) A.－128x8　　B.128x8　　C.－256x8　　D.256x8 10. 如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，若AC=8，BD=10，CD=6，则△COD的周长为(　　) 第10题图 A.24　　B.15　　C.14　　D.12 11. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况(较上月节水量)统计： 节水量(m3) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数(户) 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是(　　) A. 0.3，0.3　　B. 0.5，0.4 C. 0.3，0.5　　 D. 0.4，0.3 12. 已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是650 m和500 m，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是(　　) A. 150 m 　　 B. 600 m 　　 C. 800 m 　　 D. 1 160 m 13. 如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙(墙足够长)，剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为13 m，要使围成的花坛的面积为30 m2，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是(　　) 第13题图 A.x(13＋x)=30　　B.x(13－x)=30 C.x(x－13)=30　　D.2x＋(13－x)=30 14. 如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠D=(　　) 第14题图 A. 60°　　　　　B. 30°　　 C. 40° 　　D. 50° 15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD=3DB，DE∥BC，若△ADE的面积为9，则△ABC的面积为(　　) 第15题图 A.8　　B.16　　C.27　　D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分. 16. 分解因式：4a2－1=　　　　. 17. 在平面直角坐标系中，若点P(2m－2，m＋1)在x轴上，则点P的坐标为　　　　. 18. 某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展 “青少年家务劳动习惯” 调研.调研小组从该校1 000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长(单位：小时)，现将收集到的数据整理如下： 家务劳动时长 x＜1 1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 x≥5 学生人数 8 16 23 32 16 5 根据以上数据，估计这1 000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为 　　　　名. 19. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形.则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为　　　　°. 第19题图 三、解答题：本题共8小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20. (7分)计算：sin 30°＋(－π)0－2－1＋－|－1|. 21. (6分)如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长AD至点F，使得DE=DF，连接CE，BF，求证：∠CED=∠BFD. 第21题图 22. (7分)北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费.某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12 000公里，走巴拿马运河航线大约20 000公里.北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍.求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 23. (6分)有A，B两个盒子.A盒内有三个球，分别标有数字－1、2、－3.B盒有两个球，分别标有数字1、－2.所有的球除所标数字外，形状大小完全相同.先从A盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为x，再从B盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为y，以此确定点M的一个坐标为(x，y). (1)用列表或画树状图的方法写出点M的所有可能坐标； (2)求点M落在第三象限的概率. 24. (8分)4月23日是“世界读书日”，2025年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，学校计划购买文学类和科技类图书共200套，若购买3套文学类图书和4套科技类图书，一共需要192元，若购买2套文学类图书和2套科技类图书，一共需要108元. (1)求文学类图书和科技类图书每套的单价分别是多少元？ (2)根据学生阅读需求，要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，求学校购进这两类图书所需的总费用的最小值. 25. (8分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，分别过点A，C作BC，AD的平行线交于点E，连接BE，交AD，AC于点F，G. 第25题图 (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)求的值. 26.(8分)已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=-,经过点(0,-1).设该抛物线与x轴交点的横坐标为t. (1)求抛物线的函数解析式; (2)记T=,比较T与的大小. 27.(12分)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,延长AB至点D,使得BC2=BD·AB,P是半圆上一动点(点P在左上半圆,且不与点A,C重合),连接PA,PB,PC,CD. (1)若∠PAB=65°,求∠PCB的度数; (2)求证:CD是☉O的切线; (3)看一看,想一想,证一证:若AB=2BC,以下与线段PA,PB,PC有关的三个结论:PA>PB-2PC,PA=PB-2PC,PA<PB-2PC,你认为哪个正确?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $