第一章 集合与常用逻辑用语、不等式综合测试卷-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语、不等式三大模块，以基础概念为起点，通过多题型综合考查逻辑推理与运算能力，体现数学思维的系统性与数学语言的精确性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|3题（选择1/填空12/解答16）|集合关系判断、参数求解|以集合概念为基础，通过交并补运算建立与逻辑用语的关联| |常用逻辑用语|3题（选择2/3/9）|命题否定、充要条件判断|连接集合与不等式，强化条件与结论的逻辑推理| |不等式|13题（选择4-8/10-11/填空13-14/解答15/17-19）|求解、证明、最值、实际应用|以基本不等式为核心，结合函数与方程思想，构建从概念到应用的完整逻辑链|

2027年一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 高三数学综合测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 2．（2026·陕西咸阳·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定， 故“”的否定为：. 3．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【详解】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 5．（2025·广西·模拟预测）不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 6．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 7．（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 8．（2026高三·全国·专题练习）早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 【答案】C 【分析】应用特殊值及不等式的性质判断A，将目标式展开并应用基本不等式求最小值判断B，应用“1”的代换及基本不等式判断C，应用换元法，结合已知和基本不等式求最小值判断D. 【详解】A，若，，则，错误； B，，，则，， ， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，错误； C，，则，，又， ， 当且仅当，即时取等号，正确； D，令，，则， ， 当且仅当时取等号，即的最小值是，错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论 【详解】A选项，若，则， 若，则，若，则，所以，充分性成立， 若，不妨设，但不满足，必要性不成立，A正确； B选项，若，不妨设，此时，充分性不成立，B错误； C选项，若，则，充分性成立， 当时，无意义，必要性不成立，C正确； D选项，若，则，当时，， 故为成立的充分必要条件，D错误. 10．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 11．（2026·河北保定·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 的最小值为 D．若，则 的最大值为2 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，根据基本不等式求最值后判断CD. 【详解】对于A，因为，由不等式的性质可得，故A错误； 对于B，， 因为，故，故， 故，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 对于D，， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2，故D成立. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 13．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 14．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数. (1)若有实数根，求实数的范围； (2)若恒成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解即可； （2）按照和分类讨论，进而利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】（1）有实数根，即方程有解， 当即时，方程，得，符合题意； 当即时，由题意，即， 解得 ，且； 综上，实数的范围； （2）当即时，不等式化为，此式显然不恒成立，不符合题意； 当即时，由题意得， 即，解得， 综上，实数的范围是. 16．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）（1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）先求出真命题，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分和两种情况讨论，分别求出对应的的范围，然后取并集即可. 【详解】（1）因为“，使得”是假命题， 所以其否定为“，使得”是真命题， 所以，解得， （2）若，当时，有，解得; 当时，如图， 或 有或， 解得或， 综上可得，或. 17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；解集为. (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式. （2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围. 【详解】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 18．（25-26高三上·安徽铜陵·阶段检测）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 19．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 高三数学综合测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 2．（2026·陕西咸阳·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西·模拟预测）不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 7．（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．（2026·河北保定·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 的最小值为 D．若，则 的最大值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 13．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 14．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数. (1)若有实数根，求实数的范围； (2)若恒成立，求实数的范围. 16．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）（1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18．（25-26高三上·安徽铜陵·阶段检测）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 19．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $