专题6 课时作业26 直线与圆锥曲线-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

课时作业26 (分值 基础巩固 1.(5分)(2025·湖北荆州二模)若直线1：y= x0>0与双前线C:号-号 =1有两个不同的 3 交点，则k的取值范围是 ) Ab】 co.2） n.5+) 2.(5分)(2025·北京通州区一模)已知点F为抛物 线y2=4x的焦点，过点F且倾斜角为的直线与 抛物线交于A,B两点，则|AB= ( A.16 B.6 c号 D.4 3.(5分)已知倾斜角为产的直线1与椭圆C:+ y2=1交于A,B两点，O为坐标原点，P为AB的 中点（不与点O重合），则直线OP的斜率为() A.-1 c-5 D.- 4.(5分)(2025·江苏苏州三模)在平面直角坐标系 xOy中，过点P(2,2)的直线1与抛物线y2=4x交 于A,B两点，若直线OA,OP,OB的斜率依此成 等比数列，则1的斜率为 () C.2 D.3 5.(5分)(2025·江西南昌一模)已知双曲线C:x2 =1的左、右焦点分别为F1,F,P为双曲线C y 第一象限上一点，∠F1PF2的平分线所在直线为 1,过原点O作PF2的平行线，分别与PF1,l交于 M,N两点，若MN=号PF:,则△PF,F:的 面积为 A.20 B.12 C.24 D.10 (横线下方不可作答)2 班级： 姓名： 直线与圆锥曲线 100分) 6.(5分)(2025·浙江金华三模)已知过抛物线y2 2px(p>O)焦点F的直线与该抛物线交于A,B 两点，若|AF+4|BF=9,则p的最大值为 () A.2 B.3 C.4 D.6 7.(6分，多选)(2025·陕西西安二模)已知双曲线C: 4一6=16>0)的右焦点为F,直线1：x十y 0是C的一条渐近线，P是1上一点，则下列说法中 正确的是 () A.C的虚轴长为2√2 B.C的离心率为√6 C.IPF|的最小值为√② D.过点(2,2)能作4条直线与C仅有一个交点 8(6分，多选)已知椭圆C行大 -=1的左、右焦点 4 分别为F1,F2,点P是C上的动点，点M(√3,1)， 则下列结论正确的是 () A.椭圆C的离心率为5 B.|PF1+|PM|的最大值为10 C.|PF1|+|PMI的最小值为5 D,被点M平分的弦所在直线的斜率为一 4 9.(5分)(2025·重庆涪陵区二模)抛物线y2=2x的 一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方 程是 得分 10.(5分)(2025·陕西西安三模)已知抛物线C:y2= 4x,其中AC,BD是过抛物线焦点F的两条互相 垂直的弦，直线AC的倾斜角为a,当a=45°时， 如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）的面积为 得分■ 21☐ 专题六 平面解析几何 1.18分)(2025·浙江金华三模)双曲线C, 13.(6分，多选)已知双曲线C:x2-y2=2,点M为 a2 双曲线右支上的一个动点，过点M且与双曲线相 y' =1(a>0,b>0)的离心率为3，过左焦点F 切的直线11分别与两条渐近线交于A,B两点， 过点M且与直线l1垂直的垂线12分别与两坐标 的直线1与双曲线的左支、右支分别交于点A, 轴交于E,F两点.下列结论正确的是() B,当直线1与y轴垂直时，|AB|=2√3. A.OM中点的轨迹是抛物线 得分 B.△OAB的面积是定值 (1)求双曲线C的方程； C.I MA |MBI (2)点C(12,0)满足CB∥OA,其中O是坐标原 D.四边形EBFA为正方形 点，求四边形OABC的面积. 14.(19分)(2025·浙江温州三模)抛物线C1:x2= 2p1y与C2:y2=2p2x的焦点分别为F1,F2, A(4,m)(m>0)为C1,C2的一个交点，且 1AF21=5. 得分 (1)求p1,p2,m的值； (2)P,Q是C1上的两点，若四边形F1PFQ(按 逆时针排列)为平行四边形，求此四边形的面积. 创新拓展 12.(5分)(2025·浙江绍兴三模)已知点F1,F2分别 为双曲线C:x2一少 =1的左、右焦点，过双曲线 2 C上一点A(√3，yo)作∠F1AF2的平分线交x轴 于点B,记△F1AB,△F2AB的面积分别 为S,S:,内切圆半径分别为r1r,则S-S ri r2 A.2+23 3 B.2+3 3 C.1+2③ 3 D.1+ 3 红对勾讲与练 222] 高三二轮数学 ■课时作业26 直线与圆锥曲线 1.B :双曲线C:一=1的渐近线方 程为y=±，直线1y=z(小 Q)与双曲线C:3 =1有两个不 5 同的交点，又直线过原点，则k> 到质的取位龙周是（停十一）.故 选B. 2.C由题意可得，抛物线的焦，点F(1, 0),由直线的倾斜角为三，可知直线 AB的斜率为√3，∴.直线AB的方程为 y=√3(x-1).设A(x1y1),B(x, y2),联立方程 {y=(x-1),可得 y2=4x 3x一10x十3=0，由抛物线的定义可 知，AB1=十：+2=号+2 16 ,故选C 3 3.D iA(z,),B(z2,2),P (zo, y0),则kAB= y1一y2 =1,x0= x1一x2 x1+x2 2 y= y1十y2,所以koP= 2 yo To yI十y,所以kAkP x1十xg yi-xi x ，将A,B两点坐标代入椭圆 一x 4 +yi =1, 方程可得 两式作差可 +y2 =1. 得 xi-zi y-y =0,所以 4 1 kABkop yi-yi 三一 则 4 m=一故选D 4 4.A设1的方程为x=t(y-2)十2， A(件)B(y）,将直线方程 代入抛物线方程得y2一4ty一8(1 t)=0,△=(-4t)+4×8(1-t)= 162二1)+16之0，所以y+y 4t,y1y2=8(t-1).因为p kok0B,所以4.生=1，所以81 yI y2 1 1)=16,所以t=3.故1的斜率为 故选A. 5.C如图，记1与x轴交于点K, M K 由双曲线的定义，得|PF1一|PF:|= 2a=2,|OF1|=|OF,|=5,因为 MN∥PF2,O为F,Fe的中点，所以 OM为△PF,F,的中位线，|OM|= 号PF:,1ON1=MN 1oM1=子1PF:-1PF:1 6PF:I·易知△OKN∽△F2KP OK 故KF:T IONI =P=6,故 KF KF2 =3,由∠F,PF:的平分线 4 所在直线为（和角平分线的性质得， IPF IKF 4 PF: KF2 =3所以 PF=8,PF2=6,FF2= 10,故△PF1F2为直角三角形，面积为 。×6×8=24.故选C. 6.A由抛物线y2=2px(力>0)，得焦 点F(20),设A(1),B(:, 小易知AF1+4BF=x+号+ 4(:+号)=x+4红：+警=9，当 直线AB的斜率不存在时，直线方程为 x=台，则x=x:=名，即AF十 41BF1=号+4×号+号0=9，解 5 得p=号：当直线AB的斜率存在且 不为0时，可设直线方程为y= k(x-公）k≠0，代入y=2px,整 k22 理可得k2x2一p(k2+2)x十1 4 0,4=b(62+2)-4·6.6p 4 4p+46p>0x1x:=2 ，则 5 AF +41BF224ziz:+, 当且仅当x1=4x:时，等号成立，即 9≥2p十号p,解得b<2.综上所迷， p的最大值为2.故选A. x'y 7.ACD双曲线C:车一方=1的渐近 线方程为bx士2y=0,依题意 1 -方=一2，解得6=5，所以双曲 c-苦 =1,C的虚轴长2b= 2W2,A正确；C的离心率e=C +6-6 B错误：点F(W6,0) 到直线1：x十V2y=0的距离为 √6 :=√2，即|PF的最小 √/12+（√2）2 值为√2，C正确；过，点(2,2)且垂直于x 轴的直线为x=2,此直线与双曲线C: 千-苦-1相初，特合是意·量t点 (2,2)且斜率存在的直线为y一2= k(x一2)，联立方程组 y-2=k(x-2), =1, 得(1-2k2)x2+ 4 2 8k(k-1)x-8k2+16k-12=0,当 1-2k=0,即为=士 时，直线平行 2 于渐近线，与双曲线只有一个交点，符 合题意，当1一2k2≠0时，△= 64k2(k-1)2-4(1-2k2)(-8k2+ 3 16k一12)=0，解得k= ,此时直线 与双曲线相切，故过，点P(2,2)能作4 条直线与C仅有一个交点，D正确.故 选ACD. 8.ABD由5)+二<1可知，点M在 16 4 椭圆内部，如图.由题意得口=4，b= 2,c=√16一4=2√3，故椭圆C的离 心牵e== 2,A正确，由A得 F1(-23,0),F2(23,0),.|MFg|= /(2√3-√3)2+(0-1)2=2.由椭 圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a= 8,.|PF,I+|PM|=8-|PF2|+ IPMI=8+(PM-PF2 ) 8+MF, |=8十2=10，B正确. I PF+PM 8-PF: I PM=8-(PF2-PM)> 8一|MF,|=8一2=6，C错误.设被点 M平分的弦所在的直线与椭圆相交于 点A(x1y1),B(x2y2） i+ =16, 两式相减，得 x+4y=16, (x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+ y2)=0.,弦AB被点M平分，.x1+ =2 √3，y1 =2, y2 2√3 ,即直线 x1一T2 4×2 AB的斜率为一E D正确，故选ABD. 9.x-2y=0 解析：设弦的两个端点为M(x1,y1), N(xy2),分别代入抛物线方程，得 =2②0-@得y-y= yi=2x1① 2(x1-x2),即y1-y 2 x1一xg y1+y2 因为MN被，点A(4,2)平分，所以y1十 =4,则业=名=，即弦 4 MN所在的直线的斜率k=1, ,所以这 2 条弦所在的直线方程是y一2= 1 (x-4),即x-2y=0. 10.8 解析：由题意知F(1,0),直线AC的 倾斜角a=45°，则直线AC的方程为 y=x-1,联立y2=4x,消去y可得 x2-6.x+1=0,解得x=3±2√2， 参考答案 373 即xA=3+22,xc=3-2√2，由抛 物线的定义可得|AF|=xA十1= 4+2W2,|CF|=xc+1=4-22 根据抛物线的对称性结合AC,BD是 过抛物线焦，点F的两条互相垂直的 弦，可知|DF|=|AF|=4+2W2 |BF|=|CFI=4一2W2,故 Sam=专1AF1BF1=2X (4十2√2)×(4一2√2)=4，故“蝴蝶 形图案”（阴影区域）的面积为2X4=8. 11.解：(1)由直线1与y轴垂直时， |AB|=2√3，故2a=2√3，故 a=√3. 又离心率为3，所以c=√3a=3,所 以b2=c2一a2=6, 所以双曲线C的方程为号 y 6 =1. (2)设直线1的方程为x=ty一3， A(x1y1),B(x2y2. 由，，26得ar-w 12ty+12=0, 12t 12 所以y+=2x=y:-2x-1 因为CB∥0，所以 =5,不妨令A,B均 3 在x轴上方，如图，则y2=5y1. 所以6y=22- 12t 12 5yi=2-1 消去得行 t2 3(21)解得 t2=3, 它满足2t2-1≠0,4>0. IABI=1+-y:= 2√(y1+y2)-4y1y:= 144t° 48 2√2r-1)2-1 8√3 t2+116√3 √(212-1)= 51 故O到直线AB的距离d= 3 3 1 所以SAAOB=2|AB|d=司 16√3 .3 12W3 = 5 因为 5 FB FC IFO =5,所 以S△AOF 15.00 3w3 5 72√3 S四边形0ABC=24S△AOF= 5 B 12D由双曲线Cx2-苦=1可知。 a=1,b=√2，c=5,所以F1(-√3 374红网勾讲与练·高三二轮数学 0),F(3,0),令x=V3,则3-号 = 1,解得y=士2，如图，不妨设A(√3， 2),所以|AF11=√/(23)2+22= 4,1AF:|=2.因为AB平分 ∠F1AF2,所以由角平分线的性质可 FBI IFAI 得，FB IF:AI 所以 IFBI 4 FB=2 =2.又因为|FF:|= 2c=2√3，所以|BF,|= 2W3 3 1B即，=点，所以B停小所 以1AB1=5-9）+2 4 3.因为AF,⊥FF,所以 △F1AB,△F2AB的高h=2,所 以S,=子1BP,h= 3S, 合1BP:A= 3.又因为S (IAF +I BF,AB D. 3 2√3 2√3 得r1= ,同理r2= 3+2V3 3+33 43 所以 S2 3 2√3 3+2√3 23 3 23 =1土之.故遂D 3+3√3 13.BCD如图，设M(xoyo)(xo>√2)， OM的中点为G(zy),则x=2: y=受因为x-=2,所以x y=(>号》放A错联.双南 线C的渐近线方程为y=士x,所以 OA⊥OB.因为直线I,过点M且与 双曲线相切，所以设直线1的方程为 xx0一yy0=2.联立 x2,y。=2,得xB= 2 y=x, To-yo 联立20-y=2, y=一x, 得= 一，所以SR△OAB= 310A10B=E1 反1xg1=-8 4 =2,故B正确 2 因为xW一xA=xM一x。十y0 2 x0+y =x。-(x0-y0）=y, 2 且xB一xM= 一M= x0一yo 2 一x0=x0十y0一x0=y0, To-yo 所以|MA|=|MB|,故C正确.顺次 连接E,B,F,A四点，因为直线l1: z。y=2,所以k,=.又直线 1,与直线1垂直，所以：= -1= 少，所以直线12y=-(x x)十y,即y=-少x十2y,得到 To E(0,2yo),F(2.x。,0),所以M是EF 的中点，又IMA|=|MB|,所以 EF,AB相互平分.在Rt△OAB中， IAB=2 |OMI,在Rt△OEF中， |EF|=2IOMI,所以IABI= |EF|.又AB⊥EF,所以四边形 EBFA为正方形，故D正确.故 选BCD. 14,解：(1)抛物线C2:y2=2p2x,准线 方程为x=一：， 21 1AP:1=4+号=5，所以：=2，所 以y2=4x. 因为点A(4,m)在抛物线C:上，所以 m2=4×4=16. 又m>0,所以m=4, 将A(4,4)代入抛物线C1:x2= 2p1y,可得p1=2, 故p1=2,p2=2,m=4. (2)由(1)可知F1(0,1),F2(1,0),如 图，设F,F的中点为M(分·) 因为四边形FPFQ为平行四边形， 所以M为PQ的中点， 设P(x1y1),Q(x2y2),所以x1十 x2=1,y1+y2=1. 因为P,Q在抛物线C1上，所以 x=y'则x-x=4(y1一y:), =4y· 即(x1-x2)(x1十x2)=4(y1一y:), 所以二头=子，所以0=子 且直线PQ过点（分，2）， 所以18w-号=(-号），即 2x-8y+3=0, 联立 2x-8y+3=0, z2=4y →2.x2-2x 3=0, 所以x1心=- 2， 所以|PQ|=√1+kQ1x1一x2|= √/1+k@ √(x1+x2)-4.x1x2 i+ X+6= /119 4 点F,到直线PQ的距离d 1-8+3 5 /4+64 2√17 所以四边形F1PFQ 的面积 S= |PQ|·d= /119 、 5 5√7 4 217 8 课时作业27 最值与范围问题 1.解：(1)由题意知c=1,故a2一b2=1, 把P(1,号)代入椭圆方程中得到 人9 469 =1,解得a2=4,b2=3,所 以C的标准方程为2+ =1. (2)由题意知M(2,0),|PM = -1-2+(g-0 3W5 ,直 2 线PM的方程为y=- 2x+1, 设与直线PM平行的直线m的方程为 y=1 x十t, 如图，当直线m与椭圆相切时，切点到 直线PM的距离取得最大值，即当Q 为切点时，△PQM的面积最大， M 把y=一之x十：代入圆方程中得 1 4x2-4tx+4t2-12=0, 当直线m与椭圆相切时，距离最大， 故有△=0，即△=16t2一16(4t 12)=0, 所以t2=4,即t=士2，当t=一2时， 1 y= 2x-2与y=- 2x+1之间 的距离即为椭圆上点到直线PM距离 的最大值， 最大距离d=」 -2-11 6W5 +王 5 所以△PQM面积的最大值为 3PM·t 2 X 35 2 X 6√5 9 5 21 2.解：(1)，渐近线方程为y=士 2 ∴.a2=2b2. 又a2+b2=c2=3,a=√2，b= 1小双前线C的方程为写-y=1 (2)如图，：直线1与双曲线C交于不 同的两点P,Q, 由2y=1得1-2k)x y=kx十t, 4kt.x-2t2-2=0, .△=16k2t2-4(1-2k2)(-2t2 2)>0,且1-2k2≠0，.t2+1>2k2, 且k≠士2 设P(x1y1),Q(x2y2),则x1十 Akt -2t2-2 4=1-2212:=1-26， +y:=kz +t+kz:+t= 4k't 2t 12欢+24=1-2 ∴.线段PQ的中点坐标为 t （20、 ∴.线段PQ的垂直平分线的方程为 t 2kt y 1-2k2 友（x-126),即 3t y=-+12 又在由点P,Q与M(0,1)构成的三角 形中，∠MPQ=∠MQP, ∴.点M不在直线PQ上，而是在线段 PQ的垂直平分线上， 1-261-2k2=3. 3t .1≠t,1= 又+1>2，k≠士 31<1且 +31>0,解得t<-3或0<t<3 ∴.实数t的取值范围是（一©∞，一3）U 3.解：(1)证明：因为抛物线C的焦点为 F(0,1),所以力=2，即C的方程为 x2=4y,如图所示. 设点A(x1,y1),B(x2y:), 由题意可知直线！的斜率一定存在，设 1:y=kx+1, 联立何=1，得-他 4=0, 所以工1十x:=4k,x1x:=一4. 1 由x=,得y=有w= 22,所 以1y-1=号x-.即y 令y=0,得x=2,即D(传，0 同理1w=号-，且E(号0) 所以1DE1=号1x, = 2+)-4 2√k2+1. 2 4 由 得 = y 2k 即 =一1， 4 M(2k, 1),所以1 MF= √4k2+4=2/k2+1. 故|DE|=|MFI. (2)设点P(xoyo),结合(1)知11：y y1= (x-x1),即l1:2x1x-4y 2 xi=0, 因为x=4y1,x号=4y0,所以d1= 2x1x0-4y。-xi √/4.x+16 2x12o-x6-zil (x1-x) √/4x+16 2vzi+4 同理可得d2= (E2-2o)2 2√+4 所以dd2= (x1-x)(x-x)月 2W/xi+42√+4 [x1x:-xo(x1十x2)十x] 4Wxx+4(x+x)+16 (-4-4kx0+x8) 32√k2+1 又d= 1kx0-y+1 √R+1 kx一4 +1 |4k.x0-x8+41 √k+1 4√k2+1 did 所以 = (-4-4kx0+x8) d 32√k2+1 16(k+1) (4kx。-x8+4) ,≥ 2 当且仅当k=0时，等号成立， 即当直线1的斜率为0时，日 取最小 值 2 4,解：1)由椭圆E:三+ 6=1(a> b>0)的离心率为 5 ，且以椭圆E的 四个顶点为顶点的四边形的面积为4√5， 5 5 可得 1 X2aX2b=45,解得 a2=b2+c2, {a=5·所以椭圆E方程为 b=2, 4 =1. 参考答案 375