解析几何：直线与圆锥曲线的位置关系（最值与范围、定值和定点问题）专项练-2026届高考数学二轮复习

解析几何--直线与圆锥曲线的位置关系（最值与范围、定值和定点问题） 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考 1．已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求的范围. 2．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得. (1)求双曲线的离心率； (2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围. 3．已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且. (1)求的方程； (2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值. 4．已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 6．如图，已知椭圆C：的离心率为，直线恒过右焦点F，交椭圆于，两点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)求的最小值． 7．已知直线与双曲线交于，两点，为坐标原点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为，试问是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 8．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 9．已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 10．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 11．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点. (1)当直线的倾斜角为时，求； (2)设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 12．已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当时，求面积的最大值； （Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点. 13．已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值； (3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由． 14．已知圆有以下性质：①过圆上一点的圆的切线方程是．②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为；③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段． (1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程（不要求证明）； (2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程； (3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与两点，求证:为定值，且平分线段． 15．已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 16．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 17．已知抛物线：上的点到焦点的距离为. (1)求点的坐标及抛物线的方程； (2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 18．平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由． 19．已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 参考答案 1．(1)； (2) （1）由题意，设出点Q的坐标，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出直线的方程和A，B两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点D，G的坐标，即可求出的表达式，再进行求解即可． （1）不妨设， 因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 则抛物线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率必存在，， 不妨设直线AB的方程为，， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得， 易知直线OA的方程为， 因为轴，所以，即， 所以， 因为DF⊥AE，所以， 则直线AE的方程为， 因为，所以， 此时， 因为， 所以， 由题意知，则， 所以． 故的取值范围为． 【点评】易错点点睛：本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．容易出错的地方在于计算，并且计算基本都是相关字母参数的运算，因此要求十分细心才可以. 2．(1)2； (2). （1）设，代入双曲线方程得，再利用二倍角正切公式有，结合即可得到方程，解出即可. （2）代入得到双曲线具体方程，再设，根据正弦定理得，再作差结合三角恒等变换和三角函数值域即可求出其范围. （1）设，由对称性不妨设，由， 有，可得， 又由， 有 又由，有， 有， 又由，有， 又由，有，可得， 故双曲线的离心率为2. （2）由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标， 有，可得， 设，由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质， 可得， 又由，在中，由正弦定理，有， 有， 有 ， 由，有，有， 可得的取值范围为． 3．(1) (2) （1）首先由条件求得点的横坐标，再根据焦半径公式，即可求解； （2）首先联立直线与抛物线方程，利用，结合坐标运算，求得点的坐标，再表示直线的斜率，即可求解. （1）由抛物线的定义可知. 因为，所以. 因为，所以，解得，故的方程为. （2）由题意知AB斜率不为0，设， 联立方程得，， 则 因为以为直径的圆过点，所以，则， 即， 解得，所以. 又，所以 当时，， 当时，. 故直线斜率的最大值为. 4．(1) (2) （1）设，，由题的周长为，据此可得答案； （2）先讨论两直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线，的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到的关于的关系式，由此得解. （1）设，，由椭圆的定义可知的周长为， 所以，所以离心率. （2）由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为. ①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 四边形的面积； ②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，． 所以，． 所以． 设的方程为，同理可得． 所以四边形的面积 ， 因为，当且仅当时取等号． 所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为. 5．(1)证明见解析 (2) （1）设，设切线，联立方程组利用判别式可求得，进而求得，可证到两边距离相等，可证结论； （2）由（1）可知的方程为，联立方程线求得的纵坐标，进而可求得面积的最大值. （1） 设，则满足，又可设切线， 则联立化简得. 由，解得， 所以直线，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. （2）由（1）可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 6．(1)； (2). （1）根据直线过定点求得F，结合离心率求标准方程即可； （2）先联立直线与椭圆方程得出M，N横坐标，再计算焦半径求得 ，利用换元法求导判定其单调性求最值即可. （1）因为直线l：恒过即为右焦点F， ∴， 又因为离心率为，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）联立有， 则有， 易知 同理，所以， 将带入有， 令，则有， 所以在是增函数，是减函数，则有， 所以，当时，取最小值. 7．(1)且； (2)没有最小值，理由见解析. （1）联立直线与双曲线，利用且，求范围； （2）由（1）所得方程，应用韦达定理及弦长公式、点线距离公式得、到直线的距离，再由三角形面积公式得，令有，法一：由时判断结果；法二：构造并利用导数研究区间单调性求最值，即可判断是否有最小值. （1）将代入，整理得， 由直线与双曲线有两个交点，则且， 所以且，，则且. （2）由（1）知：，， 所以， 又到直线的距离， 所以，令，则， 法一：显然时，， 即无限接近于时趋向于0，故不存在最小值； 法二：令，则， 当时，，即在上递减； 当时，，即在上递增； 当时，，即在上递减； 所以，在上有极小值为，此时； 在上，，此时； 综上，的面积没有最小值. 8．(1) (2)证明见解析. （1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. （1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 9．(1) (2)证明见详解 （1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. （1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 10．(1) (2)证明见解析 （1）由题意设，因为，不妨设．表示出的坐标，由三角形的面积求解即可； （2）设，，，由，则，求出的方程为，联立求得，从而证得直线所过的定点即可. （1）已知当时，，，关于轴对称且． 设，因为，不妨设． 由斜率公式，即，解得，所以，． 面积，解得，抛物线方程为． （2）    证明：设，，， 则，． 因为，则，所以， 则，， 所以直线的方程为，整理得． 把代入直线方程，得， 所以直线过定点． 11．(1) (2)证明见解析，定点坐标为和. （1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，再利用弦长公式求解； （2）设直线，与抛物线方程联立，由，得到，同理得到，设圆上任意一点为，由，结合韦达定理得到圆的方程求解. （1）解：设直线的方程为， 联立，可得， 设，，则， 所以. （2）证明：设直线， 联立，得， 所以，， 又，， 所以， 同理可得， 设圆上任意一点为， 则由可得，圆的方程为， 整理得， 令，可得或， 所以为直径的圆过定点，定点坐标为和. 12．（I）；（II）；（III）. 试题分析：(I)根据已知椭圆上的一个点和离心率，列方程组，可求得的值.（II）当直线斜率不存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，求出两点坐标，代入，可求得直线方程，进而求得三角形的面积.当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程 ，写出韦达定理，利用弦长公式和点到直线的距离公式计算得面积的表达式，并利用二次函数求最值的方法求得最大值.（III）设出直线方程和外接圆的方程，分别联立直线的方程与圆、椭圆的方程，化简后的两个方程同解，通过对比系数可求得圆方程的表达式并求出定点坐标. 试题解析： 解：（Ⅰ）由题意知：且， 可得：， 椭圆的标准方程为. （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设，与联立得： . 由于，得，解得或（舍去）. 此时，的面积为. 当直线的斜率存在时，设，与联立得： . 由，得； 且，. 由于， 得：. 代入式得：， 即或（此时直线过点，舍去）. ， 点到直线的距离为：. 的面积为，将代入得： 的面积为. 面积的最大值为. （Ⅲ）设直线的方程为，联立方程得： ①. 设的外接圆方程为：联立直线的方程的： ②. 方程①②为同解方程，所以：. 又由于外接圆过点，则. 从而可得到关于的三元一次方程组： ，解得：. 代入圆的方程为：. 整理得：； 所以，解得或（舍去）. 的外接圆恒过一个异于点的定点. 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 13．(1) (2)证明见解析； (3)过定点，坐标为 （1）根据离心率和双曲线方程可得，可求出双曲线E的方程； （2）分别表示出，再由化简可得斜率乘积为定值2； （3）求出三角形MNB的外接圆圆心坐标为，写出圆的标准方程并令可解得符合题意，即可得外接圆过定点. （1）由离心率为可得， 又易知，所以， 可得双曲线E的方程为； （2）易知，如下图所示： 易知的斜率均存在，且满足，可得， 又易知， 所以， 因此直线与直线的斜率乘积为定值2； （3）由（2）可知直线的方程为， 直线的方程为； 因此可得， 所以三角形MNB的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即； 线段的中点坐标为， 易知线段的垂直平分线为， 联立两直线方程可得圆心坐标为， 所以外接圆半径为， 圆的标准方程为， 令可得， 解得（舍）或 因此可得三角形MNB的外接圆过x轴上除B点之外的定点，该定点坐标为. 关键点点睛：求解三角形MNB的外接圆过定点时，关键是写出外接圆的标准方程，再令纵坐标即可求得定点坐标为. 14．(1) (2) (3)证明见解析 （1）类比可得过椭圆上一点的切线方程为； （2）由两切线都过，过两点确定一条直线可得，过的直线方程为； （3）由（2）所得过的直线方程，可得，则，将代入椭圆方程，作差可得，设的中点为，可得，则过的中点，即平分线段． （1）过椭圆上一点的切线方程为． （2）过椭圆外一点作两直线， 与椭圆相切于两点，设， 由（1）的结论可得处的切线方程为，处的切线方程为， 又两切线都过，可得， 由过两点确定一条直线可得，过的直线方程为． （3）由（2）可得过的直线方程为， 可得，则； 由都在椭圆上， 可得， 相减可得， 设的中点为，可得， 则，又， 则得， 则过的中点，即平分线段． 15．(1) (2) （1）由题意，先求出点B的纵坐标，再代入三角形面积公式中求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出P，N，Q的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算进行求证即可. （1）抛物线方程的准线方程为， 因为，所以点A在线段OF的中垂线上， 所以，，此时， 即，解得. 因为三角形OFB的面积为， 所以，解得， 则抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，，因为M为线段PQ的中点， 所以 ， 则当时，为定值，与k的取值无关， 故在轴上存在点，使得为定值，定值为.    16．(1) (2)证明见解析 （1）根据即可确定的值，设出点坐标表示出，根据即可求出，从而求出双曲线方程； （2）设出点,点坐标，表示出直线方程，联立后利用直线与双曲线联立所得韦达定理表示出点横坐标，可发现点在定直线上. （1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）由（1）得，， 如图，设，，    联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则， 所以点Q的横坐标始终为1． 故点Q在定直线上． 17．(1)点的坐标为或，抛物线的标准方程为； (2)点在定直线上，证明见解析. （1）由条件结合抛物线的定义可求，由此可得抛物线方程，由点在抛物线上求，可得点的坐标； （2）由条件设直线方程为，联立直线与抛物线方程，由设而不求法可得，利用导数的几何意义求切线的方程，求交点的坐标，由此证明结论. （1）抛物线的准线方程为， 因为点到抛物线的焦点的距离为， 由抛物线定义可得，点到准线的距离为， 所以，故， 所以抛物线的标准方程为， 由已知，所以， 所以点的坐标为或； （2）因为过点， 由题可知直线的斜率存在，所以设直线l方程为， 与抛物线联立得， 方程的判别式， 设，，则，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线的方程为， 抛物线在点处的切线的方程为， 联立的方程得， 即点坐标为. 又，， 所以点在定直线上.    知识点点睛：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，同时考查运算求解的能力，属于较难题. 18．(1) (2)点Q在定直线上，定直线方程为 （1）设点的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得，结合正方形面积得的方程； （2）设，的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得，化简得，代入直线方程即可，从而求出定直线方程. （1）设， 由，得， 所以， 因为正方形ABCD的面积为，即， 所以，整理可得， 因此C的轨迹方程为． （2）依题意，直线l存在斜率，设l：，即， 设点，，， 由，消y得， 即， 由 ， 可以得到， 所以， 可得，， 由，得， 所以， 可得 ， 所以， 因为， 所以点Q在定直线上，定直线方程为．        19．(1) (2)证明见解析 （1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得； （2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明. （1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $