专题4 课时作业19 空间的距离-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 课时作业19 空间的距离 (分值：80分) 1.(5分)已知空间中向量AB=(0,1,0),向量AC的 B 单位向量为一 55 33’ ,则点B到直线AC 的距离为 D B 公6 3 4 C.2 D.115 3 3 c号 号 2.(5分)已知点A(2,1,1)在平面a内，点B(9,8,5) 6.(5分)(2025·重庆九龙坡区二模)如图，在棱长为 在平面&外，且平面&的一个法向量为a=(1,1, 2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为棱 1),则点B到平面a的距离为 A,D1,AA,的中点，则点F到直线BE的距离为 A.6√3 B.62 () C.3√6 D.35 D E 3.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D A 中，点C1到平面AB1C的距离为 ( D A.√5 B.23 3 A.6 B.4 c号 n号 C.2 D.1 4.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则 7.(5分)(2025·黑龙江牡丹江二模)用六个完全相 棱BB1到面AA,C1C的距离为 同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正 六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则平面 A.3 B.a AB1D1与平面BC1D间的距离为 () C® a D.2a A.3 5.(5分)如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D C43 D.25 3 中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC,BD= 8.(5分)正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面 1 DC=1,点E在棱AA1上，且AE= 4AA1=2,则 ABCD内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO= 点B到平面EDC1的距离为 OD=√2，则异面直线PC与BD的距离为( 红对勾讲与练 202 高三二轮数学 ■ 班级： 姓名： A.10 11.(8分，多选)在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD 10 是边长为4的正方形，OA⊥底面ABCD,OA= 5 4,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点，以下结 D. 5 论正确的是 () 9.(8分，多选)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， A.直线MN与平面OCD的距离为√5 若AB=BB1=2,则 B.平面MNR与平面OCD的距离为2 C.点M与平面OCD的距离为√5 D.点N与平面OCD的距离为√2 12.(5分)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边 长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到 底面ABCD的距离为 得分 A.三棱锥B,ABC,的体积为2 3 13.(5分)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A 在平面a内，其余顶点均在平面α的同侧，AB= B.三棱锥B1-ABC1的体积为2√3 1,AD=2,AA1=3.若顶点B到平面a的距离为 C.点C到直线AB,的距离为4 2 ,顶点D到子面：的距离为号，则顶点A,到平 1 D.点C到直线AB1的距离为√14 面a的距离为 得分 10.(8分，多选)如图，等边△ABC的边长为1，BC边 上的高为AD,沿AD把△ABC折起来，则 ( 14.(6分)(2025·重庆江北区二模)如图是棱长均为 B 2的柏拉图多面体PABCDQ,已知该多面体为正 八面体，四边形ABCD为正方形，O,E分别为 A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C PQ,CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为 得分 B.三按锥A-DB'C的体积的最大值为 8 C.当∠B'DC=60°时，点A到B'C的距离为 D.当∠B'DC=90°时，点C到平面ADB'的距离 为 (横线下方不可作答) 203 专题四立体几何与空间向量 ■所以平面ABE与平面PBC夹角的余 弦值为1碳ma= 43 2√57 2X19 19 4.解：(1)证明：如图1，取AC的中点O, 连接AO,BO, A B B 图1 因为A1A=AC, 所以A1O⊥AC,OA2+OA=4. 因为AB⊥BC,BA=BC,O为AC的 中点，所以OA=OB=OC,所以 OB2+OA=OA2+OA=4=AB*, 所以AO⊥BO. 因为OA∩OB=O,OAC平面ABC, OB二平面ABC,所以A,O⊥平 面ABC. 因为A,OC平面ACC,A1,所以平面 ABC⊥平面ACC1A1· (2)由(1)可知，A1O⊥平面ABC,所 以A1B与平面ABC所成角即为 ∠A1BO,所以∠A1BO=60°， 因为△A1AO≌△A1BO,所 以 ∠A1BO=∠A1AO=60°，所以 A1O=√3，A0=1 如图2所示，以0为原点，OA,OB. OA1的方向分别为x轴、y轴、之轴的 正方向，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,√3)，C(-1,0,0),B1(-1, 1,W3), 所以A1B1=(-1,1,0),CB1=(0,1, √3) 设平面A,B,C的法向量为n1=(x, y,之)， 则有 n1·A1B=0, 即 /厂x+y=0, =0, y+5x=0. 令之=1，得y=一√3，x=一√5，所以 n1=(-3,-5,1), 易知平面ABC的一个法向量为n2= (0,0,1) 设平面A,B,C与平面ABC的夹角为日， n1·ng 所以cos6=n1n:T万X1 1 7 所以平面A1B1C与平面ABC夹角的 余弦值为 7 A 图2 课时作业19空间的距离 1.B设向量AC的单位向量为e,则e= (99)店=日则 点B到直线AC的距离为 √JAB12-AB·e12= ( .故选B. 3 3 2.A因为AB=(7,7,4),所以点B到 平面。的距离为A店a=18 a1 √3 6√3.故选A. 3.C如图，连接AC1, A D B C A D B ,正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长 为1，∴.△ABC是边长为√2的等边三 1 角形Sa相，e=2X5XE× sin60°=5.设点C,到平面AB,C的 2 距离为h,由Vc,AB,c=VAB,cC,得 1 ×1×1×1,解 得6 3 ,则点C1到平面AB,C的距 离为 .故选C 3 4.C如图，连接 BD1交A1C1于 点O,则AC1⊥A B,D1,又AA1⊥ 平面A1BC1D1 D B:D1C平面 A1B1C1D1,所以A AA1⊥B1D1·又 AA1∩AC1=A1,AA1,AC1C平 面AA,C1C,所以B1D1⊥平面 AA1C1C,所以B1O的长即为棱BB 到平面AA1CC的距离，而B1O 片以所求距高为号能道心 2 5.C建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(1,一1,0)，B(1,0,0), C010.c012.(1,-1,） DC=(0,1,2),DE=（1,-1, ）,D=1.00.设年面EDC,的 法向量为n=(x,y,之)， 1 D应，n=x-y+2=0,令 DC·n=y+2x=0, =1则x=-号y=-2,n (-号-2)点B到平面EDC, 的距离d=n·D店 = 2 5 n 35 故选C A 6.D如图，建立空间直角坐标系，F(2, 0,1),B(2,2,0),E(1,0,2),则BF (0,-2,1),BE=(-1,-2,2),所以 ,点F到直线BE的距离为 √5-()=1.救连n C B B X 7.C由题意知，正六面体ABCD- AB1C1D1是棱长为4的正方 体，：AB1∥C1D,BD1∥BD, AB1∩B1D1=B1,C1D∩BD= D... 平面AB,D1∥平面BC1D.连 接A1C1AC,如图.B1D1⊥ A1C1,B1D1⊥AA1,A1C1∩AA1= A1,∴.B1D1⊥平面ACCA.又 ACC平面AC1CA,.B1D1⊥AC, 同理可证得AD1⊥A1C,又B1D1, AD1C平面ABD1,B1D1∩AD1= D1,.A1C⊥平面AB1D1,.AC⊥ 平面BC1D,设A1C与平面AB1D1 BC1D的交点（即垂足）分别为E,F, 则平面AB1D1与平面BC1D间的距 离为线段EF的长度.正方体的体对 角线长为√4十4十42=4√3.在三 棱锥A1AB,D1中，由等体积法求得 2×4×4×4 AE 专x4wx4x图 45 ,.平面AB1D1与平面BC1D间 3 的距离为45-8E_4 故选C. 3 3 A 参考答案 363 8.B 因为S ABCD为正四 棱锥且O为S 在底面ABCD 内的射影，所 以SO⊥平面 ABCD. 连接 AC交BD于点 B O,则AC⊥ BD.因为OC,BDC平面ABCD,所 以SO⊥OC,SO⊥OD,所以分别以 OC,OD,OS所在直线为x轴、y轴、~ 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为SO=OD=√2，则S(0,0,√2) D(0,√2,0)，C(√2,0,0)，B(0,-√2， 0P(0.号，号》所以励=@， 20)元=(，-) 异面直线BD与PC的公垂线的方向向 n.BD =0 量为n=(x,y,之)，则有 n .PC =0, 22y=0, 即 取n= 23y 2=0， (1,0,2).又因为CD=(-√2，√2,0)， 所以异面直线BD与PC的距离d= c市·n=-2=@ ，所以异 n w/1+4 5 V10 面直线BD与PC的距离为 故选B. 9.AC三棱锥B, Z+ ABC,即三棱锥A1 C C1-ABB,,其体积 B 为××2×2× 1 3 2 √5 2W3 3 ,故A正 A 确，B不正确；取 2 AC的中点O,则 B0⊥AC,B0=3,以0为原点，Oi, OC的方向分别为x轴、y轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,-1,0),B1(√3,0,2)，C(0,1,0). 所以AB=(W3,1,2),CA=(0,-2 0),所以CA在AB,上的投影向量的长度 为 CA .AB I22 ,故点C到直 1ABI 2√2 2 的距离d=√-() W14 ,故C正确，D不正确.故选AC 2 10.ABC对于A,因 为AD⊥DC, AD DB',且 DC∩DB =D, DC.DB 二平面 DB'C,所以AD⊥ 平面DBC,故A B 正确；对于B,己 B 知三棱 锥 A-DB'C的体积V= 3 S△B'DC AD 3 2DC DB' sin∠B'DC·AD= 3 sin∠B'DC,所 48 364 2对闪讲与练·高三二轮数学 以当∠B'DC=90°，即DB'⊥DC 时，三棱锥A-DB'C的体积最大，最大 8故B正确：对于C,当 √ 值为 ∠B'DC=60°时，△DBC是等边三 角形，且△AB'C是以B'C为底的等 腰三角形，设B'C的中点为E,连接 AE,如图，则AE⊥BC,即AE为点 A到BC的距离，AE= ,故C正确；对 4 于D,当∠B'DC=90°时，CD⊥ DB',CD⊥AD,且AD∩DB=D, AD,DB′C平面ADB',故CD⊥平 面ADB',则CD就是点C到平面 ADB'的距离，且CD= 2,故D错 误，故选ABC. 11.BD如图，分别取MR,OD的中，点 E,F,连接AF,因为M,N,R分别是 OA,BC,AD的中点，所以MR∥ OD,NR∥CD.因为MR庄平面 OCD,ODC平面OCD,NR庄平面 OCD,CD二平面OCD,所以MR∥ 平面OCD,VR∥平面OCD,因为 MR∩NR=R,所以平面MNR∥平 面OCD.因为MR∥OD,MR,OD的 中，点分别为E,F,所以AF过点E.因 为OA=AD,所以AF⊥OD,AF⊥ MR.因为OA⊥底面ABCD,CD二 底面ABCD,所以OA⊥CD.又因为 CD⊥AD,OA∩AD=A,所以 CD⊥平面OAD.因为AF二平面 OAD,所以CD⊥AF,因为CD∩ OD=D,所以AF⊥平面OCD.因为 平面MNR∥平面OCD,所以AF⊥ 平面MNR,所以EF是两平面MNR, OCD的公垂线，EF的长是两平面间 的距离.因为OA=AD=4,OAL AD,所以AF=2√2，所以EF=√2， 所以平面MNR与平面OCD的距离 为√2，点N、点M、直线MN与平面 OCD的距离都为√2.故选BD. E R >D A N C 12.3 解析：，正四棱柱ABCD-A1B,C1D1, ∴.平面ABCD∥平面A,BC,D ,ACC平面A1BCD1,∴.AC1∥ 平面ABCD,.A1C1到底面ABCD的 距离为正四棱柱ABCD-A1B,C1D 的高，，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，.BB1=√3. 13.300 4 解析：以A为原 C 点，AB,AD,AA D 所在直线分别为 工轴、y轴、之轴， 建立如图所示的 A 空间直角坐标系， D 则A(0,0,0), 、B☑ B(1,0,0),D(0, 2,0),A1(0,0, la 3),所以AB=(1,0,0),AD=(0,2, 0),AA=(0,0,3),设平面Q的法向 量为n=(x,y,之）， n.AB .2 2 则 nAD 2 √2 n 儿x=巨y·所以顶点A,到 则 1之1=51y1, 平面a的距离为n·AA n 3√10 √x+y+x 4 14.1 解析：如图，连接 AO,AE.由已知 得OE为△PCQ 的中位线，所以 OE=1,EB为正 A 三角形CBQ的中 线，所以EB = 5.又OB=√2， 所以EB2=OB2+OE2,所以△OBE 为直角三角形，所以S△0B=2OE· OB 2 .因为QE=CE,所以E到 平面A0B的距离为2OQ ,设点A到平 2 2 面OEB的距离为d,因为VA-OEB VE-OAB' 1 所以S△OEB ·d 3 1 2 2,所以 2) 2 ,所以d=1. 2 教考衔接练4立体几何中的 翻折问题 1.解：(1)证明：因为平面ABC⊥平面 ACEF,CEC平面ACEF,平面 ABC∩平面ACEF=AC,AC⊥CE, 所以CE⊥平面ABC. 又ABC平面ABC,所以CE⊥AB. 又BC⊥AB,CE∩BC=C,CE, BCC平面BCE, 所以AB⊥平面BCE. (2)如图，过点B 作BO⊥AC于点 O, 因为在 △ABC中，AB= √/AC2-BC2 2√3，所以BO = AB·BC =3, AC 得OC=√BC-BO=1. 以CA,CE所在直线分别为x轴、y轴， 过点C作之轴⊥平面ACEF,建立空间 直角坐标系， 设EF=a,则A(4,0,0),B(1,0W3), E(0,2,0),F(a,2,0), 所以AF=(a-4,2,0),BF=(a-1, 2,-√3)，EF=(a,0,0), 设平面BEF的法向量为n=(x,y, 之)，则