专题4 课时作业18 空间角-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

BG 2 B=2B,即入的值为 DA 2 故选A 5 13.B假设G是BB,的中点，由于E是 AB的中点，则EG∥AB,,AB,∥ DC1,故DC1∥EG,因此E,G,D,C 在同一平面内，故G是BB1的中点. 对于A,如图，连接EF,AC,AC1,则 EF∥AC,AC∥AC1,故EF∥ A1C1,故直线A1F与直线C,E共面， A错误；对于B,建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 D(0,0,0),E(2,1,0),F(1,2,0), G(2,2,1),C1(0,2,2),A1(2,0,2), 故A1下=(-1,2，-2)，DE=(2,1, 0),DC1=(0,2,2),由于A1F DE=-2+2+0=0,A1F·DC = 0+4-4=0,故A1F⊥DC1,A1F DE,DC1∩DE=D,DC1DEC平 面DEC1,故直线A1F⊥平面DEC1, B正确；对于C,连接BC1,BD,由于 AD,∥BC1,AD,寸平面BCD, BC1C平面BC1D,故AD ∥平面 BC1D,文BD∥B:D1,B,D 士平面 BC1D,BDC平面BC1D,故B1D1∥ 平面BCD,又BD1∩ AD=D, B1D1,AD1C平面 AB1D1,故平面 AB,D1∥平面BC1D,但由于平面 BC1D与平面DEC1相交，故平面 DEC1与平面AB,D1不可能平行，C 错误；对于D,由于DE·DC1=(2,1, 0)·(0,2,2)=2≠0，GC1=(-2,0, 1),GC1·DC1=(-2,0,1)·(0,2, 2)=2≠0，故DC1,DE不垂直，且 DC1,GC1不垂直，又DC1∥EG,故 四边形DEGC,不是直角梯形，D错 误.故选B 14.解：(1)证明：如图，连接BD交AC于 点O,连接EO,由底面ABCD是正方 形，得O为BD的中点， 又点E为线段PD的中点，故 OE∥PB. 又OEC平面AEC,PB丈平面 AEC,故PB∥平面AEC. (2)证明：由点E为线段PD的中点， PA=AD,故AE⊥PD. 由PA⊥平面ABCD,CDC平面 ABCD,故PA⊥CD. 又底面ABCD是正方形， 故AD⊥CD. 又AD,PAC平面PAD,AD∩ PA=A,故CD⊥平面PAD, 362闪讲与练·高三二轮数学 又AEC平面PAD,故CD⊥AE 又CD,PDC平面PCD,CD∩ PD=D,故AE⊥平面PCD (3)由点E为线段PD的中点，故点P 与点D到平面AEC的距离相等， 故VE-PAC=VP-ACE=Vn-ACE 2= 2 3 课时作业18空间角 1.解：(1)证明：ABC-A1B,C1是直三 棱柱，.AB∥A1B1,AB=A1B1, 又点E,F分别为棱AB,A,B1的中 点，.AE∥BF,AE=BF, .四边形AEB,F是平行四边 形，.AF∥B1E. 又AF庄平面B,CE,B1E二平面 B1CE,故AF∥平面BCE. (2)在直三棱柱ABC-A,B,C,中， AB I AC. 如图，以A为原点，AB,AC,AA,所在 直线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间 直角坐标系， z↑A C B E℃ 不妨设AB=AC=AA1=2,则A(0,0, 0),C1(0,2,2),E(1,0,0),F(10,2), 于是C1E=(1,-2,-2),AF=(1,0. 2),设直线C1E与直线AF所成角为日， cos 0=cos(C E,AF)= C龙.1=-3」=5，则直线 IC E AFI 3X5 5 C,E与直线AF所成角的余弦值 为 2.解：(1)证明：因为AB∥CD,CD亡平 面ABQP,ABC平面ABQP, 所以CD∥平面ABQP 又因为CDC平面CDPQ,平面 CDPQ∩平面ABQP=PQ,所以 CD∥PQ. (2)如图，在平面ABCD内过点O作 OE∥AB交BC于点E >B 因为AB⊥平面PAD,所以OE⊥平 面PAD. 因为OPC平面PAD,ODC平面 PAD,所以OE⊥OP,OE⊥OD. 又因为PO⊥AD, 所以OD,OE,OP两两互相垂直 以O为原点，OD,OE,OP所在直线分 别为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标 系，则O(0,0,0),A(一1,0,0)，D(4,0, 0),C(4,2,0),B(-1,4,0),P(0,0,2), BC=(5,-2,0),AP=(1,0,2), 由题意，得C=D币=(-4,0,2)， 设平面QBC的法向量为m=(x,y, m·CQ=0, 之)，则 m.BC =0, 即 -4x+2≈ =0, 5x-2y=0, 令x=2,则y 三 5,x=4,于是m= (2,5,4),所以cosm, AP〉 m·AP 2+8 2 Im AP √5X√5 3 故直线PA与平面QBC所成角的正弦 2 值为 3 3.解：(1)证明：如图，设F为PD的中点， 连接AF,EF, 因为E为PC的中点，所以EF∥CD, 1 EF=。CD. 2 又AB∥CD,AB=CD,所以EF∥ AB.EF AB,所以AF与BE必 2 相交 因为PA=AD,所以AF⊥PD 又PD⊥BE,且AF与BE相交，AF, BEC平面ABEF, 所以PD⊥平面ABEF.又因为ABC 平面ABEF,所以PD⊥AB. 又AD⊥AB,PD∩AD= D.PD. ADC平面PAD,所以AB⊥平 面PAD. 又AB二平面ABCD,所以平面 PAD⊥平面ABCD. (2)如图，设O,G分别为AD,BC的中 点，连接PO,OG,因为PA=AD = PD,所以PO⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面 PAD∩平面ABCD=AD,POC平 面PAD, 所以PO⊥平面ABCD.又OA,OGC 平面ABCD, 所以PO⊥OA,PO⊥OG. 又OA⊥OG,所以以O为坐标原点， OA,OG,OP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立空间直角坐标系. 由(1)知AB⊥平面PAD,所以 ∠APB即为直线PB与平面PAD所成 的角， AB 所以tan∠APB= =2,设AP = AP 2,则AB=4, 所以A(1,0,0),B(1,4,0),C(-1,4, 0)D(-1,0,0),P(0,0,3). 因为PD⊥平面ABEF,所以平面 ABE的一个法向量为m=PD=(-1, 0,-√3). 设平面PBC的法向量为n=(x, y）, 又BC =(-2,0,0),PB (1, 4,-3), n·BC= 一2x=0, 所以 n.PB =x+4y-√5之=0， 取n=(0,3,4), 所以平面ABE与平面PBC夹角的余 弦值为1碳ma= 43 2√57 2X19 19 4.解：(1)证明：如图1，取AC的中点O, 连接AO,BO, A B B 图1 因为A1A=AC, 所以A1O⊥AC,OA2+OA=4. 因为AB⊥BC,BA=BC,O为AC的 中点，所以OA=OB=OC,所以 OB2+OA=OA2+OA=4=AB*, 所以AO⊥BO. 因为OA∩OB=O,OAC平面ABC, OB二平面ABC,所以A,O⊥平 面ABC. 因为A,OC平面ACC,A1,所以平面 ABC⊥平面ACC1A1· (2)由(1)可知，A1O⊥平面ABC,所 以A1B与平面ABC所成角即为 ∠A1BO,所以∠A1BO=60°， 因为△A1AO≌△A1BO,所 以 ∠A1BO=∠A1AO=60°，所以 A1O=√3，A0=1 如图2所示，以0为原点，OA,OB. OA1的方向分别为x轴、y轴、之轴的 正方向，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,√3)，C(-1,0,0),B1(-1, 1,W3), 所以A1B1=(-1,1,0),CB1=(0,1, √3) 设平面A,B,C的法向量为n1=(x, y,之)， 则有 n1·A1B=0, 即 /厂x+y=0, =0, y+5x=0. 令之=1，得y=一√3，x=一√5，所以 n1=(-3,-5,1), 易知平面ABC的一个法向量为n2= (0,0,1) 设平面A,B,C与平面ABC的夹角为日， n1·ng 所以cos6=n1n:T万X1 1 7 所以平面A1B1C与平面ABC夹角的 余弦值为 7 A 图2 课时作业19空间的距离 1.B设向量AC的单位向量为e,则e= (99)店=日则 点B到直线AC的距离为 √JAB12-AB·e12= ( .故选B. 3 3 2.A因为AB=(7,7,4),所以点B到 平面。的距离为A店a=18 a1 √3 6√3.故选A. 3.C如图，连接AC1, A D B C A D B ,正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长 为1，∴.△ABC是边长为√2的等边三 1 角形Sa相，e=2X5XE× sin60°=5.设点C,到平面AB,C的 2 距离为h,由Vc,AB,c=VAB,cC,得 1 ×1×1×1,解 得6 3 ,则点C1到平面AB,C的距 离为 .故选C 3 4.C如图，连接 BD1交A1C1于 点O,则AC1⊥A B,D1,又AA1⊥ 平面A1BC1D1 D B:D1C平面 A1B1C1D1,所以A AA1⊥B1D1·又 AA1∩AC1=A1,AA1,AC1C平 面AA,C1C,所以B1D1⊥平面 AA1C1C,所以B1O的长即为棱BB 到平面AA1CC的距离，而B1O 片以所求距高为号能道心 2 5.C建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(1,一1,0)，B(1,0,0), C010.c012.(1,-1,） DC=(0,1,2),DE=（1,-1, ）,D=1.00.设年面EDC,的 法向量为n=(x,y,之)， 1 D应，n=x-y+2=0,令 DC·n=y+2x=0, =1则x=-号y=-2,n (-号-2)点B到平面EDC, 的距离d=n·D店 = 2 5 n 35 故选C A 6.D如图，建立空间直角坐标系，F(2, 0,1),B(2,2,0),E(1,0,2),则BF (0,-2,1),BE=(-1,-2,2),所以 ,点F到直线BE的距离为 √5-()=1.救连n C B B X 7.C由题意知，正六面体ABCD- AB1C1D1是棱长为4的正方 体，：AB1∥C1D,BD1∥BD, AB1∩B1D1=B1,C1D∩BD= D... 平面AB,D1∥平面BC1D.连 接A1C1AC,如图.B1D1⊥ A1C1,B1D1⊥AA1,A1C1∩AA1= A1,∴.B1D1⊥平面ACCA.又 ACC平面AC1CA,.B1D1⊥AC, 同理可证得AD1⊥A1C,又B1D1, AD1C平面ABD1,B1D1∩AD1= D1,.A1C⊥平面AB1D1,.AC⊥ 平面BC1D,设A1C与平面AB1D1 BC1D的交点（即垂足）分别为E,F, 则平面AB1D1与平面BC1D间的距 离为线段EF的长度.正方体的体对 角线长为√4十4十42=4√3.在三 棱锥A1AB,D1中，由等体积法求得 2×4×4×4 AE 专x4wx4x图 45 ,.平面AB1D1与平面BC1D间 3 的距离为45-8E_4 故选C. 3 3 A 参考答案 363班级： 姓名： 课时作业18 空间角 (分值：60分) 1.(15分)(2025·湖北荆州二模)如图，在直三棱柱 2.(15分)(2025·北京西城区一模)如图，在多面体 ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=AA1,点 ABCDPQ中，AB⊥平面PAD,平面PDC∩平面 E,F分别为棱AB,A1B1的中点. 得分 PAB=PQ,AB∥CD,PO⊥AD于点O. (1)求证：AF∥平面B1CE; 得分 (2)求直线C1E与直线AF所成角的余弦值， (1)求证：CD∥PQ; A C (2)AB=DO=40A-4,CD-PQ-PO-2, 求直线PA与平面QBC所成角的正弦值. E B D 红对勾讲与练 200 高三二轮数学 班级： 姓名： 3.(15分)(2025·山东济宁二模)如图，在四棱锥 4.(15分)(2025·福建厦门一模)如图，在三棱柱 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PC的中 ABC-A1B1C1中，A1B=A1C=A1A=2,BA⊥ 点，PA=AD,PD⊥BE 得分 BC,BA=BC. 得分☐ (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD; (1)求证：平面ABC⊥平面ACC1A1; (2)若PD=AD,直线PB与平面PAD所成角的 (2)若直线A1B与平面ABC成角为60°，求平面 正切值等于2，求平面ABE与平面PBC夹角的余 A1B,C与平面ABC夹角的余弦值. 弦值 D (横线下方不可作答)201☐ 专题四立体几何与空间向量 ■