专题4 课时作业17 空间中线、面的位置关系-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 课时作业17 空间中线、面的位置关系 (分值：100分) 基础巩固 1.(5分)(2025·黑龙江齐齐哈尔三模)已知空间中 不过同一点的三条直线a,b,c,则“a,b,c共面”的 一个充分不必要条件是 ( A.平面PAB⊥平面PBE A.a⊥b,且c⊥b B.a∥b,且c∥b B.平面PAE⊥平面PBE C.a∥b,且c⊥b D.a,b,c两两相交 C.平面PAB⊥平面ABCE 2.(5分)(2025·天津和平区二模)已知a,b是空间两 D.平面PAE⊥平面ABCE 条不同的直线，α，B,y为三个不同的平面，则下列 6.(5分)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩 命题正确的为 形，PA⊥平面ABCD,则下列结论正确的是 A.若a∥3，aCa,bc3,则a∥b ( B.若a∥a,a⊥B,则a⊥B A.平面PAB⊥平面PBC C.若a∩B=a,y∩B=b,a∥b,则a∥y B.△PDC为钝角三角形 D.若a⊥B,aCa,则a⊥B C.平面PBC⊥平面PCD 3.(5分)如图，已知P为△ABC D.BD⊥PC 所在平面外一点，平面a∥平 7.(6分，多选)已知一条直线m和两个平面a3,则 面ABC,且a分别交线段PA, 下列命题中正确的有 () PB,PC于点A',B',C,若 A.若a∥B,m⊥a,则m⊥B PA′：AA′=2：3，则S△ABC: B.若a⊥B,m⊥&，则m∥B S△ABC= ( C.若m∥B,m⊥a,则a⊥3 A.2:3 B.2:5 D.若m∥a,m∥B,则a∥B 8.(6分，多选)如图所示，AB是半 C.4:9 D.4:25 圆O的直径，VA垂直于半圆O所 4.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 在的平面，点C是圆周上不同于M外 分别为棱A1A,B1C1的中点.下列结论正确的是 A,B的任意一点，M,N分别为 0 () VA,VC的中点，则下列结论正确 的是 A.OC⊥平面VAC B.MN∥平面ABC C.MN与BC所成的角为90° D.平面VAC⊥平面VBC 9.(5分)如图，在正方体 A.A1F∥平面BC1EB.B1C⊥平面BC1E ABCD-A1B1C1D1中，E,F分 C.A,F∥平面BCED.B1C⊥平面BCE 别是面对角线A1D,B1D1的中 5.(5分)如图，在矩形ABCD中，AB=2AD,E是CD 点，则正方体六个面中与直线 的中点，沿AE将△ADE折起，使点D到达点P EF平行的面有 个. D 的位置，并满足PA⊥PB,则下列结论错误的是 得分 红对勾讲与练 198 高三二轮数学 班级： 姓名： 10.(5分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1, 13.(5分)如图，在正方体ABCD- D 当底面△A,B,C1满足条件 时，有 A1B1C1D1中，点E,F分别 4. AB,⊥BC1.(填上你认为正确的一种条件即可) 为棱AB,BC的中点，平面 得分 DEC1交棱BB,于点G,则下 11.(18分)(2025·湖北黄石二模)如图所示，在底面 列结论中正确的是() 是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 A.直线A1F与直线C1E异面 ABCD,E,F分别是PC,PD的中点，PA=AB= B.直线A1F⊥平面DEC 1,BC=2. 得分 C.平面AB,D1∥平面DEC D.截面DEGC1是直角梯形 (1)求B,F两点间的距离； (2)求证：EF∥平面PAB; 14.(20分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2, (3)求证：平面PAD⊥平面PDC 点E为线段PD的中点. 得分 (1)求证：PB∥平面AEC; (2)求证：AE⊥平面PCD; (3)求三棱锥E-PAC的体积. 创新拓展 12.(5分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，点D,E分 B 别在棱AA1,CC1上，AB= D AC=AD=AD=3,CE= 2C1E=4,点F满足BF A λBD(0<A<1),若B1E∥ B 平面ACF,则入的值为 . Cy 0. 1 (横线下方不可作答)199] 专题四立体几何与空间向量 ■0,1).点P到平面ABC的距离h= AP·n =4.则三棱锥P-ABC的体 n 积V= 1 ×6×4=8.故选C. 3 6.D如图，延长EC 至，点G,使得EG FD,连接BG,DG,由 B 条件可知EF⊥FD, EF⊥FA,EF⊥EC, EF⊥EB,文FD, FA为平面AFD内 两条相交直线，EC, EB为平面EBG内两条相交直线，所 以EF⊥平面AFD,EF⊥平面EBG. 又BE=6,EG=3,EF=2√3，平面 ABEF⊥平面ECDF,平面ABEF∩ 平面ECDF=EF,BE二平面ABEF, BE⊥EF,所以BE⊥平面ECDF.文 EGC平面ECDF,可得BE⊥EG,所 1 以直棱柱AFD-BEG的体积为 6×3×2√5=18√5.因为EG∥FD, EG=FD,可得DG∥EF,DG=EF, 又CG=1,所以三棱锥D-BCG的体 1 积为3× K2×1×6X23=23,所 以六面体ABCDFE的体积为18√3 2√3=16√3.故选D. 7.D 因为AA,⊥底面ABC,AA,C平 面ACC1A1,所以平面ACC1A1⊥底 面ABC,所以∠C1CA即为CC1与底 面ABC所成的角，为45°.因为 AC1=AA1=1,所以AC=1+1= AC 2.根据棱台的概念，可知 Ac AB,且AB=反，所以AB1= √2 A 2 因为AB⊥AC,所以△A,B,C,为直 1 角三角形，所以S △A1B1C1=2X1X 2 4 .所以VA 1=VA1B1C1= 12 故选D 8.D 作出圆锥PO 的轴截面△PAB, 用此截面截挖去 的圆柱 得圆柱的 轴截 面 矩形 CDEF. 如图，矩 形CDEF 是正三 角形PAB的内接 矩形，圆柱底面圆 直径CF在圆锥底面圆直径AB上，依 题意，截面是边长为4的正三角形，所 以OB=2,OP=2√3.因为O是PO 的中点，所以CD=号P0= 2 OC=20B=1,圆维母线PB=4,圆 柱OO'的侧面积S,=2π·OC·CD 2√3π，圆锥PO的表面积S2=π· OB2+π·OB·PB=4π+8π=12x, 所以剩余几何体的表面积是S1十S2= 12r+2√3π.故选D. 360红因讲与练·高三二轮数学 9.ABD设该圆锥的母线长为l,如图 所示 B 因为轴截面SAB是面积为1的直角三 角形，即∠ASB为直角，所以21= 1,解得1=√2，A正确：设该圆锥的底 面圆心为O,在△SAB中，SA=SB= √2，所以AB=2,则圆锥的高SO=1, 所以该圆锥的体积V= 3πX1X1= 3元，侧面积S制=xX1X√厄=√2， B正确，C错误；设该圆锥的侧面展开 图的圆心角为a,则V2a=2πX1,所以 &=√2π，D正确.故选ABD. 10.ACD记平行六面体ABCD A1BC1D1的体积V=6,对于A,由 平行六面体的性质，A1B∥平面 D1DCC1,故点P到平面D1DCC1的 距离等于，点B到平面D,DCC1的距 离，故VpejeD=VBejeD=3 ?y三1，故A正确：对于B,因为 Vr-B D D=2 VB,B贴，底面面积回 定，点P在线段AB上位置不同，高 不同，故体积不为定值，故B错误；对 于C,因为A1B∥CD1,A1B庄平面 D1B,C,D1CC平面DBC,故 A1B∥平面D1B,C,点P到平面 D1B,C的距离等于，点B到平面 D1B1C的距离，故VpD,B,c= 1 Vaove=VaB色3X义=1 故C正确；对于D,因为A1B∥CD1, A,B丈平面D1AC,DCC平面 D1AC,故AB∥平面D1AC,点P 到平面D1AC的距离等于点B到平面 D1AC的距离，故VpD,AC= V,=V,m=x=1, 故D正确.故选ACD. 11.BCD对于A,因为截面与圆柱体的 轴所成角为45°，且圆柱体底面半径为 2cm,故截面椭圆长轴长为2a= sin45=45(cm),短轴长为26= 4cm,故c=√a2一b2=2cm,故 2 e= c √2 ,故A错误；对于 2√2 2 B,因为上、下截面间的距离为√瓦cm, √2 所以AB= sin 45 =2(cm),故B正 确：对于C,将该几何体沿点A平行于 圆柱底面切割补到沿点B平行于圆 柱底面的位置，则正好是底面半径为 2cm,高为2cm的圆柱，则体积V= πX2X2=8π(cm),故C正确；对于 D,同样以选项C的方法割补，侧面积 即为底面半径为2cm,高为2cm的圆 柱的侧面，则侧面积S=2π×2X2= 8π(cm),故D正确.故选BCD. 12.60 解析：如图，设 正四棱锥的底 面边长为a,高 为h,斜高为 h',由题意可得 48= 2h→ 3 1 X62·h=48→h=4,所以斜高 3 =√+(3)=6+9= 5,所以该四棱锥的侧面积为4X】× 6×5=60. 13.2403 解析：因为AD,BC与平面AA1B,B 所成的角均为3，且AB∥DC,所以 四边形ABCD为等腰梯形.因为 AB=4米，DC=8米，所以等腰梯形 的高h=2√3米，故S稀ABCD 1 1 (AB+DC)·h= 2 ×(4+8)× 2√3=12√3（平方米），所以直四棱柱 的体积V支四检柱AB(D-A1BC1D1 S稀ABCD·AA1=240V5立方米. 14. 2 3 解析：设三棱锥O-ABC、三棱锥 O-DEF的体积分别为V1,V:,表面 积分别为S1,S,高分别为h1,h2,因 AB h 为 。,所以 3S△ABC DE 2 S△DEF S△oAB S△OBC S△oAC SAODE S △OEF S△ODF hi 则 S△ABC h2 停- S△DE 27 8 ,则 三棱锥O-ABC与三棱锥O-DEF的 SiV2 相对积之比为SV 9 8 2 4 「X27 3 课时作业17 空间中线 、 面的位置关系 1.D 对于A,aLb,且c⊥b,三条直线 可能在不同的平面；对于B,a∥b,且 c∥b,三条直线可能在不同的平面：对 于C,a∥b,且c⊥b,c垂直于b但可能 不在a与b确定的平面内；对于D,两两 相交且不过同一点的三条直线必然共 面.故选D 2.B对于A,若a∥B,aCa,b二B,则 a∥b或a,b异面，故A错误：对于B, 若a ∥a,则存在直线cCa,使得a∥ c,由于 B,则c⊥B,可得a⊥B,故 B正确；对 C,若a =a,Y∩B= b,a∥b,则a∥Y或a,Y相交，故C错 误；对于D,若a⊥B,a二a,设a∩B= l,只有当a⊥l时，才能得到a⊥B,故 D错误.故选B. 3.D,平面a∥平面ABC,平面 PAB∩平面a=A'B',平面PAB∩ 平面ABC=AB,A'B′∥AB,同理 可得A'C'∥AC,B'C'∥BC, SAA'BC SAABC =A'B2 AB2= PA2:PA2,又PA':AA'=2: 3,∴.PA':PA=2t5,.S△A S△ABc=4:25.故选D. 4.A如图，设BC1∩B,C=O,连接 OF,OE,因为F是B,C1的中点，O是 BC1的中，点， B 所以OF∥BB,OF=号BB,又 A,E∥BB1A,E=2BB,所以 OF∥A1E,OF=A1E,所以四边形 A1FOE是平行四边形，所以A1F∥ OE,又A1F庄平面BC1E,OEC平面 BC1E,所以A1F∥平面BC1E,故A 正确；由A选项的分析可知A,F∥ OE,而OE∩平面BCE=E,所以 AF与平面BCE相交，故C错误；因为 B,C与BC的夹角为T,所以B1C与 平面BCE不垂直，故D错误；设正方体 的棱长为2，则OE=A1F=√5，OC= √2，CE=3,不满足勾股定理，所以 B,C与OE不垂直，而OE二平面 BCE,所以B,C与平面BC1E不垂 直，故B错误.故选A, 5.C由题意可得PA⊥PB,PA⊥PE, 因为PB∩PE=P,PB,PEC平面 PBE,所以PA⊥平面PBE,又因为 PAC平面PAB,PAC平面PAE,所 以平面PAB⊥平面PBE,平面 PAE⊥平面PBE,A,B正确；如图1， 取AB的中点F,连接DF,交AE于点 G,则△ADE和△ADF均为等腰直角 三角形，所以∠DAE=∠ADF= 45°，所以∠AGD=90°，即DF⊥AE, 如图2，连接PF,因为PG⊥AE, FG⊥AE,所以∠PGF即为二面角 P-AE-B的平面角， A F B 图1 图2 设AD=2,则DG=GF=√2，在 Rt△PAB中，AB=2AD=4,F为AB 的中点，所以PF=上 AB =2,所以 PG2+GF2=(2)+(√2)2=4= PF2,所以∠PGF=90°，所以平面 PAE⊥平面ABCE,D正确；易得 PG⊥平面ABCE,因为PG与平面 PAB相交，所以平面PAB与平面 ABCE不垂直，C错误.故选C 6.A对于A,因为四边形ABCD为矩 形，所以BC⊥AB,又PA⊥平面 ABCD,BCC平面ABCD,所以PA ⊥ BC,又AB∩PA=A,AB,PAC平 面PAB,所以BC⊥平面PAB,又 BCC平面PBC,所以平面PBCL平 面PAB,故A正确；对于B,同理可得 CD⊥平面PAD,又PDC平面PAD, 所以CD⊥PD,所以△PDC为直角三 角形，故B错误；对于C,假设平面 PBC⊥平面PCD,过点B作BE⊥ PC,如图，由平面PBC∩平面PCD= PC,BEC平面PBC,可得BE⊥平面 PCD,因为CD二平面PCD,所以 BE⊥CD,又CD⊥BC,且BE∩ BC=B,所以CD⊥平面PBC,又 PCC平面PBC,所以CD⊥PC,这与 CD⊥PD矛盾，所以平面PBC与平面 PCD不垂直，故C错误；对于D,因为 PA⊥平面ABCD,BDC 平面 ABCD,所以PA⊥BD,若BD⊥PC, PA∩PC=P,PA,PCC平面PAC, 所以BD⊥平面PAC,又AC二平面 PAC,所以AC⊥BD,因为四边形 ABCD为矩形，所以AC⊥BD不一定 成立，故BD⊥PC不一定成立，故D错 误.故选A. A B 7.AC对于A,若a∥B,m⊥a,则m B,故A正确；对于B,若a⊥B,m⊥a 则m∥B或mCB,故B错误；对于C, 若m∥B,则存在直线nCB,使得∥ n,又m⊥a,所以n⊥a,又n二B,所以 a⊥B,故C正确；对于D,若m∥a, m∥B,则a,B平行或相交，故D错误. 故选AC. 8.BCD对于A,如 图，连接OC,因为 AB是半圆O的直 径，所以AC⊥BC, 所以OC与AC不 垂直，因为ACC 平面VAC,所以OC 与平面VAC不可 能垂直，故A错误；对于B,因为M,N 分别为VA,VC的中，点，所以MN∥ AC,因为MN亡平面ABC,ACC平 面ABC,所以MN∥平面ABC,故B 正确；对于C,由选项B可知MN∥ AC,所以∠ACB为MN与BC所成的 角，因为AC⊥BC,所以MN与BC所 成的角为90°，故C正确；对于D,因为 VA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所 以VA⊥BC,因为AC⊥BC,VA∩ AC=A,VA,ACC平面VAC,所以 BC⊥平面VAC,因为BC二平面 VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,故 D正确.故选BCD. 2 解析：如图，连接DC1,AC1,D1A, AB.因为F为B:D1的中点，所以F 为A1C1的中点，又E为A1D的中点 所以EF∥DC·又EF史平面 CC1D1D,DC1C平面CC1D1D,所以 EF∥平面CCD1D.同理可证EF∥ 平面A1ABB1·故正方体六个面中与直 线EF平行的面有2个. B B 0,A,C1⊥B1C1(答案不唯一) 解析：如图所示，连 接B1C,由BC 三 CC1,可 得BC1⊥A B B1C,因 此，要证 AB,⊥BC1,则只 要证明 BC1⊥平 面AB,C,即只要 A 证AC BC1即 可，由直三棱柱可知，只要证ACI BC即可.因为A,C1∥AC,B,C1∥ BC,故只要证A1C1LB1C1即可， (或者能推出A,C1⊥B,C1的条件， 如∠A C1B1=90°等). 11.解：(1)由题可 知，PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, 以A为原点，B AB所在直线为 x轴，AD所在直线为y轴，AP所在 直线为之轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0), D(0,2,0),P(0,0,1), 所以（分1…2）(o1,2) 亦=(-11）.1=，即 B,F两点间的距离为？ (2)证明：由(1)知， =(-300)A店=1,0.0. 所以=一号A店，即E京∥A店， 即EF∥AB. 又ABC平面PAB,EF史平面 PAB,所以EF∥平面PAB. (3)证明：AP=(0,0,1),AD=(0. 2,0),DC=(1,0,0), 所以AP,DC=(0,0,1)·(1,0,0)= 0,AD·D元=(0,2,0)·(1,0， 0)=0, 则AP D元，A市⊥D元，即AP⊥ DC,AD⊥DC.又AP∩AD=A, 且AP,ADC平面PAD,所以DC⊥ 平面PAD,又DCC平面PDC,所以 平面PAD⊥平面PDC. 12.A在BB1上取一点G,使得B1G = 2BG,连接CG,AG,AG与BD交于一 ,点F,即为所求（如图所示）. A B B 证明如下：CE= 2C1E=4, .CC1=BB1=6,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，B1G∥CE,且 B1G=CE=4,.四边形B1GCE为 平行四边形，BE∥CG.B1E中 平面ACG,CGC平面 ACG, .B1E∥平面ACG,即B1E∥平面 ACF,又△BFGO△DFA,: BF DE 参考答案 361 BG 2 B=2B,即入的值为 DA 2 故选A 5 13.B假设G是BB,的中点，由于E是 AB的中点，则EG∥AB,,AB,∥ DC1,故DC1∥EG,因此E,G,D,C 在同一平面内，故G是BB1的中点. 对于A,如图，连接EF,AC,AC1,则 EF∥AC,AC∥AC1,故EF∥ A1C1,故直线A1F与直线C,E共面， A错误；对于B,建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 D(0,0,0),E(2,1,0),F(1,2,0), G(2,2,1),C1(0,2,2),A1(2,0,2), 故A1下=(-1,2，-2)，DE=(2,1, 0),DC1=(0,2,2),由于A1F DE=-2+2+0=0,A1F·DC = 0+4-4=0,故A1F⊥DC1,A1F DE,DC1∩DE=D,DC1DEC平 面DEC1,故直线A1F⊥平面DEC1, B正确；对于C,连接BC1,BD,由于 AD,∥BC1,AD,寸平面BCD, BC1C平面BC1D,故AD ∥平面 BC1D,文BD∥B:D1,B,D 士平面 BC1D,BDC平面BC1D,故B1D1∥ 平面BCD,又BD1∩ AD=D, B1D1,AD1C平面 AB1D1,故平面 AB,D1∥平面BC1D,但由于平面 BC1D与平面DEC1相交，故平面 DEC1与平面AB,D1不可能平行，C 错误；对于D,由于DE·DC1=(2,1, 0)·(0,2,2)=2≠0，GC1=(-2,0, 1),GC1·DC1=(-2,0,1)·(0,2, 2)=2≠0，故DC1,DE不垂直，且 DC1,GC1不垂直，又DC1∥EG,故 四边形DEGC,不是直角梯形，D错 误.故选B 14.解：(1)证明：如图，连接BD交AC于 点O,连接EO,由底面ABCD是正方 形，得O为BD的中点， 又点E为线段PD的中点，故 OE∥PB. 又OEC平面AEC,PB丈平面 AEC,故PB∥平面AEC. (2)证明：由点E为线段PD的中点， PA=AD,故AE⊥PD. 由PA⊥平面ABCD,CDC平面 ABCD,故PA⊥CD. 又底面ABCD是正方形， 故AD⊥CD. 又AD,PAC平面PAD,AD∩ PA=A,故CD⊥平面PAD, 362闪讲与练·高三二轮数学 又AEC平面PAD,故CD⊥AE 又CD,PDC平面PCD,CD∩ PD=D,故AE⊥平面PCD (3)由点E为线段PD的中点，故点P 与点D到平面AEC的距离相等， 故VE-PAC=VP-ACE=Vn-ACE 2= 2 3 课时作业18空间角 1.解：(1)证明：ABC-A1B,C1是直三 棱柱，.AB∥A1B1,AB=A1B1, 又点E,F分别为棱AB,A,B1的中 点，.AE∥BF,AE=BF, .四边形AEB,F是平行四边 形，.AF∥B1E. 又AF庄平面B,CE,B1E二平面 B1CE,故AF∥平面BCE. (2)在直三棱柱ABC-A,B,C,中， AB I AC. 如图，以A为原点，AB,AC,AA,所在 直线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间 直角坐标系， z↑A C B E℃ 不妨设AB=AC=AA1=2,则A(0,0, 0),C1(0,2,2),E(1,0,0),F(10,2), 于是C1E=(1,-2,-2),AF=(1,0. 2),设直线C1E与直线AF所成角为日， cos 0=cos(C E,AF)= C龙.1=-3」=5，则直线 IC E AFI 3X5 5 C,E与直线AF所成角的余弦值 为 2.解：(1)证明：因为AB∥CD,CD亡平 面ABQP,ABC平面ABQP, 所以CD∥平面ABQP 又因为CDC平面CDPQ,平面 CDPQ∩平面ABQP=PQ,所以 CD∥PQ. (2)如图，在平面ABCD内过点O作 OE∥AB交BC于点E >B 因为AB⊥平面PAD,所以OE⊥平 面PAD. 因为OPC平面PAD,ODC平面 PAD,所以OE⊥OP,OE⊥OD. 又因为PO⊥AD, 所以OD,OE,OP两两互相垂直 以O为原点，OD,OE,OP所在直线分 别为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标 系，则O(0,0,0),A(一1,0,0)，D(4,0, 0),C(4,2,0),B(-1,4,0),P(0,0,2), BC=(5,-2,0),AP=(1,0,2), 由题意，得C=D币=(-4,0,2)， 设平面QBC的法向量为m=(x,y, m·CQ=0, 之)，则 m.BC =0, 即 -4x+2≈ =0, 5x-2y=0, 令x=2,则y 三 5,x=4,于是m= (2,5,4),所以cosm, AP〉 m·AP 2+8 2 Im AP √5X√5 3 故直线PA与平面QBC所成角的正弦 2 值为 3 3.解：(1)证明：如图，设F为PD的中点， 连接AF,EF, 因为E为PC的中点，所以EF∥CD, 1 EF=。CD. 2 又AB∥CD,AB=CD,所以EF∥ AB.EF AB,所以AF与BE必 2 相交 因为PA=AD,所以AF⊥PD 又PD⊥BE,且AF与BE相交，AF, BEC平面ABEF, 所以PD⊥平面ABEF.又因为ABC 平面ABEF,所以PD⊥AB. 又AD⊥AB,PD∩AD= D.PD. ADC平面PAD,所以AB⊥平 面PAD. 又AB二平面ABCD,所以平面 PAD⊥平面ABCD. (2)如图，设O,G分别为AD,BC的中 点，连接PO,OG,因为PA=AD = PD,所以PO⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面 PAD∩平面ABCD=AD,POC平 面PAD, 所以PO⊥平面ABCD.又OA,OGC 平面ABCD, 所以PO⊥OA,PO⊥OG. 又OA⊥OG,所以以O为坐标原点， OA,OG,OP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立空间直角坐标系. 由(1)知AB⊥平面PAD,所以 ∠APB即为直线PB与平面PAD所成 的角， AB 所以tan∠APB= =2,设AP = AP 2,则AB=4, 所以A(1,0,0),B(1,4,0),C(-1,4, 0)D(-1,0,0),P(0,0,3). 因为PD⊥平面ABEF,所以平面 ABE的一个法向量为m=PD=(-1, 0,-√3). 设平面PBC的法向量为n=(x, y）, 又BC =(-2,0,0),PB (1, 4,-3), n·BC= 一2x=0, 所以 n.PB =x+4y-√5之=0， 取n=(0,3,4),