专题4 课时作业16 空间几何体的表面积和体积-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 专题四 立体几何与空间向量 课时作业16 空间几何体的表面积和体积 (分值：80分) 1.(5分)(2025·四川自贡二模)已知圆锥的母线长6.(5分)(2025·陕西安康三模)如图，在直角梯形 是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的 ABCD中，BC∥AD,AB⊥AD,BC=8,AD=9, 比值为 AB=2√5，E为线段BC上的一点，BE=6,过点E 作AB的平行线交AD于点F,将矩形ABEF翻折 至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDFE,则 c D.2 六面体ABCDFE的体积为 () 2.(5分)(2025·浙江金华三模)将一个棱长为6cm 的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥 体零件，则该圆锥体零件的高约为（π取3）( A.8 cm B.12 cm C.16 cm D.24 cm A.153 B.8√3 2 3.(5分)(2025·山东济南一模)已知圆台的侧面展 C.15√3 D.16√3 开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面 7.(5分)(2025·黑龙江伊春二模)如图，在三棱台 面积之差的绝对值为 ( ) ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,AB⊥AC, A.元 B.2π CC1与底面ABC所成的角为45°，AB=2, C.4π D.8π A1C1=AA1=1,则三棱锥A1-B1BC1的体积为 4.(5分)(2025·广东深圳二模)已知正四棱锥的底 () 面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四 棱锥的体积为 ( ) A.365 B.36√6 C.1085 D.108√6 5.(5分)(2025·江苏盐城三模)三棱锥P-ABC中， A. 2 4 AB=(4,-1,0),AC=(0,3,0),AP=(3,1,4),则 三棱锥P-ABC的体积为 C② 6 12 A.5 B.6 8.(5分)(2025·吉林长春二模)如图，圆锥PO的轴 C.8 D.9 截面为边长为4的正三角形，过PO的中点O'作平 红对勾讲与练 196 高三二轮数学 班级： 姓名： 行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则 趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结 余下几何体的表面积为 论，其中正确的是 D A A.11π+√3元 B.11π+2√3元 A,截口曲线的离心率为 C.12π+√5π D.12π+2√5π B.AB=2 cm 9.(8分，多选)(2025·山西晋城二模)已知圆锥的顶 C.该几何体的体积为8πcm 点为S,AB为底面直径，△SAB是面积为1的直 D.该几何体的侧面积为8πcm 角三角形，则 ( 12.(5分)(2025·陕西西安二模)已知正四棱锥 A.该圆锥的母线长为√2 P-ABCD的底面边长为6，体积为48，则该四棱 且该圆锥的体积为了 锥的侧面积为 得分 13.(5分)(2025·北京东城区二模)《九章算术》是我 C.该圆锥的侧面积为π 国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等 D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为√2π 建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱 10.(8分，多选)(2025·江西南昌一模)如图，平行六 柱ABCD-A1B1C1D1的“堑”型沟渠的土方作业 面体ABCD-A1B,C1D1的体积为6，点P为线段 (如图)，其中AD,BC与平面AA,B,B所成的角 A1B上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有 均为写AB∥DC,AB=4米，DC=8米，AA1 20米，则需要挖土 立方米. 得分 D A.三棱锥P-C1CD B.三棱锥P-B1D1D 14.(6分)(2025·河南焦作三模)我们把几何体的表 C.三棱锥P-D1B1C D.三棱锥P-D1AC 面积与体积之比称为“相对积”.已知三棱锥 11.(8分，多选)(2025·浙江台州二模)如图是由两 O-ABC中，AB=3,D,E,F分别在棱OA,OB, OC上，且截面DEF与底面ABC平行，DE=2,则 个平行平面截底面半径为2cm且足够高的圆柱 体所得的几何体，截面与圆柱体的轴所成角为 三棱锥O-ABC与三棱锥O-DEF的相对积之比 为 得分 45°，上、下截面间的距离为√2cm.某高中数学兴 (横线下方不可作答) 197 专题四立体几何与空间向量(2)由(1)得a。=2n-1, An .bm=(-1)”· (2n-1)(2n+1) -1(0+n十） 1 ∴工.=-(+)+（传+） (传+号）+…+-·( 0）=-1 (一1)” 2n+1 3.解：(1){am}是等差数列，∴S 3a± =15,∴.a2=5.又 a2a3 45,.a3=9. ∴.等差数列{an}的公差d :a3 a2=4,.am=a2十(n-2)d=4n-3. (2)证明：2b。一bw+1一 15 0,.bm+1-15=2(bm-15). 又b1-15=1, .bm+1-15 bm-15 =2为常数，∴数列{b。一 15}是首项为1，公比为2的等比数列 (3)由(2)得b,-15=2"-1, a n+2 记c,= ana+1(bn+1-15) 4n+5 (4n-3)(4n+1)2 1 1 (4n-3)2”- (4n+1)2” .Tm=c1十c2十c3十… 十C (2)+（ gX)+(2-X2) _(4n-3)2m-1 (4n+1)2」 1 1 (4n+1)2" 4.解：(1)证明：已知对于任意的n∈ N',都有am+Sm+1=2n+Sn①. 将n换为n十1，可得a+1十Sn+2= 2(n+1)+Sw+H②. ②-①，得(am+1十Sm+e)一(am十S+1)= L2(n+ +Sw+1]-(2n+Sn),即 a+1十 S+2 -a-S+=2n 十 2+S+1-2n-Sw, an+1 (Sw+ -S) 一 (S-S,)=2. 因为S+e一Sm+1=aw+2,S+1一Sm= am1,所以aw+一am=2. 根据准等差数列的定义，可知数列 {am}是公差为2的准等差数列. (2)由am十Sm+1=2n+Sn可得a+ Qx+1 三 2n. 当n=1时，a1十a2=2,又a1=a,所 以a2=2-a. 当m为奇数时，a,=a1+”,1×2 a+n-1. 当n为偶数时，a,=a+”一2 ×2 2 2-a+n-2=n-a. a十n一1，n为奇数， 所以am=n一a,n为偶数 Sn=(a1+a3十…+am-1)+(a2十 a4十…十agm）, 对于奇数项a1,ag,…,a2w-1,是以 a1=a为首项，2为公差的等差数列， 根据等差数列前n项和公式可得其前 n项和为S等=na十 n(n-1 ×2= 2 na+n(n-1）=n2+(a-1)n. 对于偶数项a2,a:…,an,是以a2 2一a为首项，2为公差的等差数列，其 前n项和为S辆=n(2一a）十 n(n-1) ×2=n(2-a)+n(n-1)= 2 n2+(1-a)n. 所以S知=S奇十S偶=n2十(a 1)n+n2+(1-a)n=2n2. 创新练3数列 1.解：(1)f(x)=x=elm,f'(x) e (In z +1), 令f'(x)>0,解得x>1,令 f(x)<0,解得0<x ,所以 x)的单调递增区间为（日，+）】， 单调递减区间为(0，日） (2)①由题意可知，aw+1=ai+2aw, 则a+ 1+1=a+2am+1=(am+1), 两边同时取对数可得ln(a+1十1)= 2ln(am+1), 所以{ln(a。+1)}是以ln2为首项，2为 公比的等比数列， 所以ln(a.+1)=2"-1n2=ln2 所以4n+1=22,所以4=22-1. ②证明：设函数h(x)=lnx一x+1, h'(x)= 1-1=1 当x>1时，h'(x)<0,当0<x<1 时，h'(x)>0, 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在 (1,十∞)上单调递减， 则h(x)h(1)=0,即lnxx一1 在(0，十∞)上恒成立， g(n)-In f(n)=n2-nln n n2- n(n-1)=n, 所以∑[g(i)-lnf(i)]≥1+2+ ；= 3+…+=m,+,即2g) 2 = lnf(i)]≥”+n 2.解：(1)6的所有3部划分为(4,1,1)， (3,2,1),(2,2,2); 5的所有2部划分为(4,1)，(3,2). 所以p3(6)=3,p2(5)=2. (2)证明：设（入1，入2，…，入）是n的 个k部划分.分以下两种情形讨论. ①若入：=1，则（入1入2…，入-1）为 n一1的一个(k一1)部划分. 故满足入。=1的n的所有及部划分有 p-1(n-1)个. ②若入k>1,则（入1-1，入 一1，… A。一1)为n一k的一个k部划分. 故满足入。>1的n的所有k部划分有 综上可知，p,()=(m-1) p6(n-k)(k≥2). (3)证明：由(2)可知， pe(n)=p-1(n-1)+ps(n-k), pk-1(n-1)=p-2(n-2)+pk-1(n- k）,,p2(n一k+2)=p1(n-k十 1)+p2(n-k), 上述各式左右对应相加可得 p(n)=pe(n一k）+pg-1(n k)十…十p2(n一k)十p1(n一k+1). 又因为p1(n一k十1)=p1(n一k）= 1,所以饣s(n)= ∑p:(n-k). 专题四 立体几何 与空间向量 课时作业16空间几何体的 表面积和体积 1.B 设圆锥底面圆的半径为r,则母线 长为2r,S= 1 ×2r= 2πr2,S 2r2十r2=3r2, S州 2 故选B. S表 3 2.D 由题意可知，正方体的体积为 63=216(cm3).设圆锥的高为hcm, 1 则国维的体积为3×3X3h= 9h(cm3),则9h=216,解得h=24,则 该圆锥体零件的高约为24cm.故 选D. 3.B如图，设展开 图小圆半径和大 圆半径分别为r, R,则圆台侧面 R 积S= (R2 r)=4π，即R2一r2=8,圆台上底面 xr 半径r1= 2π ?,园台下底面半径 R= πR R ，圆台上、下底面面积之 2π 2 差的绝对值为|xR:一πr号|= xR2 4 -（代-） 2π.故选B. 4.A如图，在正 四棱锥P-ABCD 中，PO为四棱 锥的高，PE为 侧面的 高，因为 正四棱锥的底 面边长为6，且 其侧面积是底 面积的2倍，所以5=4X号× 6PE=2S意=72，解得PE=6,PO = √PE-OE=3V3,所以VP-ABCD P0=号×36X3,5=365. 1 3 故选A. 5.C因为AB =(4,-1,0),AC=(0, 3,0),所以AB,AC=4×0+(-1)× 3+0×0=-3.又 IAB √+(-1)2+02=√17，AC1= /02+32+02=3,所以c0s(AB, 、 AC) AB.A元 -3 |AB1IAC13√17 后所以，花， 的面积S△ABC= =6.设平面ABC的法向量为 √7 n·AB n=(xy,之)，则 二0，即 n·AC=0, 二y=0,令之三1，解得n=(0 3y=0, 参考答案 359 0,1).点P到平面ABC的距离h= AP·n =4.则三棱锥P-ABC的体 n 积V= 1 ×6×4=8.故选C. 3 6.D如图，延长EC 至，点G,使得EG FD,连接BG,DG,由 B 条件可知EF⊥FD, EF⊥FA,EF⊥EC, EF⊥EB,文FD, FA为平面AFD内 两条相交直线，EC, EB为平面EBG内两条相交直线，所 以EF⊥平面AFD,EF⊥平面EBG. 又BE=6,EG=3,EF=2√3，平面 ABEF⊥平面ECDF,平面ABEF∩ 平面ECDF=EF,BE二平面ABEF, BE⊥EF,所以BE⊥平面ECDF.文 EGC平面ECDF,可得BE⊥EG,所 1 以直棱柱AFD-BEG的体积为 6×3×2√5=18√5.因为EG∥FD, EG=FD,可得DG∥EF,DG=EF, 又CG=1,所以三棱锥D-BCG的体 1 积为3× K2×1×6X23=23,所 以六面体ABCDFE的体积为18√3 2√3=16√3.故选D. 7.D 因为AA,⊥底面ABC,AA,C平 面ACC1A1,所以平面ACC1A1⊥底 面ABC,所以∠C1CA即为CC1与底 面ABC所成的角，为45°.因为 AC1=AA1=1,所以AC=1+1= AC 2.根据棱台的概念，可知 Ac AB,且AB=反，所以AB1= √2 A 2 因为AB⊥AC,所以△A,B,C,为直 1 角三角形，所以S △A1B1C1=2X1X 2 4 .所以VA 1=VA1B1C1= 12 故选D 8.D 作出圆锥PO 的轴截面△PAB, 用此截面截挖去 的圆柱 得圆柱的 轴截 面 矩形 CDEF. 如图，矩 形CDEF 是正三 角形PAB的内接 矩形，圆柱底面圆 直径CF在圆锥底面圆直径AB上，依 题意，截面是边长为4的正三角形，所 以OB=2,OP=2√3.因为O是PO 的中点，所以CD=号P0= 2 OC=20B=1,圆维母线PB=4,圆 柱OO'的侧面积S,=2π·OC·CD 2√3π，圆锥PO的表面积S2=π· OB2+π·OB·PB=4π+8π=12x, 所以剩余几何体的表面积是S1十S2= 12r+2√3π.故选D. 360红因讲与练·高三二轮数学 9.ABD设该圆锥的母线长为l,如图 所示 B 因为轴截面SAB是面积为1的直角三 角形，即∠ASB为直角，所以21= 1,解得1=√2，A正确：设该圆锥的底 面圆心为O,在△SAB中，SA=SB= √2，所以AB=2,则圆锥的高SO=1, 所以该圆锥的体积V= 3πX1X1= 3元，侧面积S制=xX1X√厄=√2， B正确，C错误；设该圆锥的侧面展开 图的圆心角为a,则V2a=2πX1,所以 &=√2π，D正确.故选ABD. 10.ACD记平行六面体ABCD A1BC1D1的体积V=6,对于A,由 平行六面体的性质，A1B∥平面 D1DCC1,故点P到平面D1DCC1的 距离等于，点B到平面D,DCC1的距 离，故VpejeD=VBejeD=3 ?y三1，故A正确：对于B,因为 Vr-B D D=2 VB,B贴，底面面积回 定，点P在线段AB上位置不同，高 不同，故体积不为定值，故B错误；对 于C,因为A1B∥CD1,A1B庄平面 D1B,C,D1CC平面DBC,故 A1B∥平面D1B,C,点P到平面 D1B,C的距离等于，点B到平面 D1B1C的距离，故VpD,B,c= 1 Vaove=VaB色3X义=1 故C正确；对于D,因为A1B∥CD1, A,B丈平面D1AC,DCC平面 D1AC,故AB∥平面D1AC,点P 到平面D1AC的距离等于点B到平面 D1AC的距离，故VpD,AC= V,=V,m=x=1, 故D正确.故选ACD. 11.BCD对于A,因为截面与圆柱体的 轴所成角为45°，且圆柱体底面半径为 2cm,故截面椭圆长轴长为2a= sin45=45(cm),短轴长为26= 4cm,故c=√a2一b2=2cm,故 2 e= c √2 ,故A错误；对于 2√2 2 B,因为上、下截面间的距离为√瓦cm, √2 所以AB= sin 45 =2(cm),故B正 确：对于C,将该几何体沿点A平行于 圆柱底面切割补到沿点B平行于圆 柱底面的位置，则正好是底面半径为 2cm,高为2cm的圆柱，则体积V= πX2X2=8π(cm),故C正确；对于 D,同样以选项C的方法割补，侧面积 即为底面半径为2cm,高为2cm的圆 柱的侧面，则侧面积S=2π×2X2= 8π(cm),故D正确.故选BCD. 12.60 解析：如图，设 正四棱锥的底 面边长为a,高 为h,斜高为 h',由题意可得 48= 2h→ 3 1 X62·h=48→h=4,所以斜高 3 =√+(3)=6+9= 5,所以该四棱锥的侧面积为4X】× 6×5=60. 13.2403 解析：因为AD,BC与平面AA1B,B 所成的角均为3，且AB∥DC,所以 四边形ABCD为等腰梯形.因为 AB=4米，DC=8米，所以等腰梯形 的高h=2√3米，故S稀ABCD 1 1 (AB+DC)·h= 2 ×(4+8)× 2√3=12√3（平方米），所以直四棱柱 的体积V支四检柱AB(D-A1BC1D1 S稀ABCD·AA1=240V5立方米. 14. 2 3 解析：设三棱锥O-ABC、三棱锥 O-DEF的体积分别为V1,V:,表面 积分别为S1,S,高分别为h1,h2,因 AB h 为 。,所以 3S△ABC DE 2 S△DEF S△oAB S△OBC S△oAC SAODE S △OEF S△ODF hi 则 S△ABC h2 停- S△DE 27 8 ,则 三棱锥O-ABC与三棱锥O-DEF的 SiV2 相对积之比为SV 9 8 2 4 「X27 3 课时作业17 空间中线 、 面的位置关系 1.D 对于A,aLb,且c⊥b,三条直线 可能在不同的平面；对于B,a∥b,且 c∥b,三条直线可能在不同的平面：对 于C,a∥b,且c⊥b,c垂直于b但可能 不在a与b确定的平面内；对于D,两两 相交且不过同一点的三条直线必然共 面.故选D 2.B对于A,若a∥B,aCa,b二B,则 a∥b或a,b异面，故A错误：对于B, 若a ∥a,则存在直线cCa,使得a∥ c,由于 B,则c⊥B,可得a⊥B,故 B正确；对 C,若a =a,Y∩B= b,a∥b,则a∥Y或a,Y相交，故C错 误；对于D,若a⊥B,a二a,设a∩B= l,只有当a⊥l时，才能得到a⊥B,故 D错误.故选B. 3.D,平面a∥平面ABC,平面 PAB∩平面a=A'B',平面PAB∩ 平面ABC=AB,A'B′∥AB,同理 可得A'C'∥AC,B'C'∥BC, SAA'BC SAABC =A'B2 AB2= PA2:PA2,又PA':AA'=2: 3,∴.PA':PA=2t5,.S△A S△ABc=4:25.故选D.