专题2 课时作业12 平面向量-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 课时作业12 平面向量 (分值：80分) 1.(5分)(2025·陕西西安二模)已知AB=(1,4), 5.(5分)(2025·浙江嘉兴三模)在△OBC所在平面 BC=(m,2),且A,B,C三点共线，则m= 内，点C满足AB=3BC,记OA=a,OB=b,则OC= () .2 B.1 1 1 A.3a+ B 3a+3b C.2 D.4 1.4 4 1 C.- 3a+ D.3a-3b 2.(5分)(2025·浙江杭州二模)已知向量a=(1, -2),b=(-3,2),=(1,1),则(a+b)·c= () 6.(5分)(2025·吉林长春二模)在△ABC中，AD A.2 B.0 AC点E在BD上若A正-B所+C.则= C.-2 D.-7 () 3.(5分)(2025·湖南岳阳二模)已知非零向量a,b, C.-5 n-9 若|a=√2|b,且(a十b)⊥(a-2b),则a与 b的夹角为 () A至 c D. 7.(5分)(2025·江西上饶一模)在平行四边形 ABCD中，AB=4,AD=2,∠DAB=60°，DM= 3MC,则AM.BM= () 3 A.1 B. 4.(5分)(2025·河南安阳一模)已知平行四边形 C.2 D.3 ABCD的对角线的交点为P,则PA十2PB+ 2PC+PD= ( ) A.AD B.DA C.AB D.BA 8.(5分)(2025·福建漳州模拟)在平面直角坐标系 xOy中，向量OA=a=(x1y1),OB=b=(x2, y2),若a,b不共线，则以OA,OB为邻边的平行四 (横线下方不可作答) 185 专题二三角函数与平面向量 边形的面积S(a,b)=|x1y2-x2y1l.已知OM B.P是△ABC所在平面内的一动点，且AP m,ON=n,OP=p=am+un(入，4∈R,a2+ x(A店+BC)a≥0)，则点P的轨迹一定 42≠0)，则Smp）+S(np)_ ( S(m,n) 通过△ABC的重心 A.|入+4 B.入u C.已知O为△ABC的外心，边AB,AC的长为定 值，则AO·BC为定值 C.|λ+l41 I入4l D.a+ D.若△ABC内一点O满足A0,A店_Ad.AC 1ABI CO.CA CO.CB ,则点O是△ABC的垂心 ICA ICB 9.(8分，多选)(2025·四川自贡二模)已知向量a= (2,1),b=(1,x),则 () A当a∥b时x=司 12.(5分)(2025·黑龙江黑河二模)在△ABC中，已 知DC=3BD,P为线段AD的中点，若BP= B.当|a+2b=5时，x=1 C.当x=1时，a在b上的投影向量为多b AB+BC,则{+L 得分 D.当a与b的夹角为锐角时，x>一2 13.(5分)莱洛三角形，也称圆弧三 角形，是一种特殊三角形，在建 10.(8分，多选)(2025·重庆涪陵区二糢)已知O为 筑、工业上应用广泛.如图所示， △ABC内部的一点，满足OA+OB+OC=0, 分别以正三角形ABC的顶点为B 1OC|=21OB1=2,OB.OC=0,则() 圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成 A.1OA|=√5 的曲边三角形即为莱洛三角形，已知正三角形 B.cos∠AOB=5 ABC的边长为1，点P为AB的中点，则PC· (PA+PB)的值为 得分 C.|AB1=22 nAd-A店+}AC 14.(6分)已知O是△ABC的外心，AB=6,AC= 10,若A0=xA方+yAC且2x+10y=5,则 △ABC的面积为 得分 11.(8分，多选)下列说法正确的是 () A.已知a,b均为单位向量，若|a-b=1,则a在 B上的投影向量为力 红对勾讲与练 186 高三二轮数学 ■■√3sinB=√3sin(A+C)=√3sinA· cosC+√3 cos Asin C, 所以sin Csin A=√3 cos Asin C. 因为sinC>0,cosA= sin A 5 所以tanA=√5，又A∈(0，π)，所以 A= T 3 (2)设R是三角形ABC外接圆的 半径， 由c=3,asin B=2W5,得asin B 2Rsin Asin B-bsin A 2√3，解得b=4, 由余弦定理可得a= b2+c2-2bccos A /4+3-2×4×3×2 =13. 3 l2.C.'tan∠ABC=tan0。= 4 AC=42厘米，，∴.BC=56厘米.又 BD=50厘米，.CD=6厘米，根据 勾股定理可得AD=30√2厘米.在 △ABD中，根据正弦定理可得 BD AD ,即 sin∠BAD sin∠ABD 50 30√2 sin(0-00) ,解得sin(0 3 √ 0)= 2故选C 13.6 解析：由|a一b|=√c2-6,得c2= a2+b2-2ab+6.由C=60°，得c2= a2十b2一ab.两式相减得ab=6,所 以SAABC= 2a6snc=号 1 ×6× 3 2 3,所以SAC= 0Bsin120°+)0B.0Csin120°+ 2 0A.0Csin120°= 33 ,所以OA· 2 2 OB+OB·OC+OC·OA=6. 14.解：(1)依题意，得PA-PB=1.5× 8=12(km), PC-PB=1.5×20=30(km), 所以PB=(x一12)km, PC=(.x+18)km. 在△PAB中，AB=20km, cOS∠PAB= PA+AB2-PB2 2PA·AB x2+202-(x-12)2 3.x+32 2.x·20 5x 同理，在△PAC中，cos∠PAC 72-x 3x 因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以 3x+32 132 5x 72一，解得x=12 3c (2)如图，作PD⊥a,垂足为D,在 Rt△PDA中， PD=PA·cOs∠APD=PA· 3541对勾讲与练·高三二轮数学 cos∠PAB=x.3x+32-132 X 3X132 7 +32 5X132 ≈17.71(km). 7 所以静止日标P到海防警戒线a的距 离约为17.71km. a 课时作业12平面向量 1.A因为A,B,C三点共线，所以 AB∥BC,因为AB=(1,4),BC= (m,2),所以1×2-4m=0,解得m 2故选A 2.C因为a=(1,-2),b=(-3,2),所 以a+b=(-2,0).又c=(1,1),所以 (a十b)·c=-2.故选C. 3.D由(a+b)⊥(a-2b)可得(a+ b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=0, 故2|b12-√2|b1|b|cos(a,b) 2|b12=0→cos(a,b〉=0，由于〈a, b)∈[0，]，所以a,b)=受故选D 4.C在□ABCD中，PA+2PB+2P元+ PD =PA+2PB-2PA-PB =PB- PA=AB.故选C. 5.C由向量的线性运算可知O心 OA+AC =OA +AB +BC =0A+ 专0-0i）=-吉：+含.故 选C. 6.C因为A市=名A衣，所以A亡= 市，剥症=x厨+吉C r(-A)+号心-A商)=}AC (红+)店=号×号ò (+）A脑 =2 AD (e十专)A殖，周为B,E,D三点共 线，所以-(+)=1，解得 x=一 5 ,故选C. 7.D如图， D 以{AB,AD}为基底，则AB2=16, AD2=4,ABAD=4X2c0s60°=4， 且成=市+D成=子弦+市， B成-B武+C成=+A市，所以 成Bi=(A店+A)(-1A AD) 16 A+AA市+ AD i6×16+号×4+4=3.故 选D. 8.C依题意设OM=m=（x3,y3), ON=n=(x4y),则OP=p= λm十n=(入x3+x4,入y3十 uy),S(m,n)=x3y,-zys,S(m, p)=|x8 y3 uy -(λx3十 ux)y3= x3y-xy.S(n, p)=|xa(ay3+y:）-(入x3+ x)y|=|入|xy4-x4y3,则 S(m,p)+S(n,p S(m :n) 2=|入+|“.故 选C 9.AC对于A,由a∥b,得2.x-1=0, 2,故A正确；对于B,:a十 1 解得x= 2b=(2,1)+2(1,x)=(4,1+2x), |a+2b|=5,.√16+(1+2x)2= 5,解得x=1或x=一2，故B错误；对 于C,当x=1时，b=(1,1),.a在b 上的投影向量为 ·b 正确；对于D,当a与b的夹角为锐角 时，a·b>0,且a与b不共线， :2+x之0，解得x>-2且x卡 ”2x一1≠0， ,故D错误，故选AC. 2 10.ACD 由0A+0i+0元=0，得 OA=-OB-OC,又1OC|= 2OB 1=2,Oi.0元=0，所以 OA1=1-0B-0元1= √/-OB-0元)2= √/10店12+10元12+20B.00 √1+4=√5，故A正确；由O心2 (-OA-OB)2=OB 12+1OA12+ 2OA.OB=1+5+2OA11OB1: c0s∠AOB=4,得cos∠AOB ,故B错误：1A方1=O成 0A1=√0B-0A)2= √/0A12+1oB12-20A.0店 √/5+1-21 DA IOB1cos∠AOB 6-2×5x1×(←） √6十2=2√2，故C正确； }A花=}(O成-Oi)+ 1 (o元 3 0元-2 A 3 3 3 成+0心)-2= (-OA) 3 3 3 2O=-O=A，故D正确.故 选ACD. 11.ABC 对于A,|a-b12=a12 2a·b+b2=1,因为a,b为单位向 量，所以ab=号，所以a在b上的 投影向量为a·b b=b,故A正 确；对于B,设BC中点为D,则AB 十 2BC)a≥0)，所以A,PD三点 共线，且点P为射线AD上的动点，则 点P的轨迹一定通过△ABC的重心， 故B正确；对于C,A可.BC=AO (AC-AB)=Aò.AC-Aò.AB= 专花-号店，目为边AB. AC的长为定值，所以Aò.BC为定 值，故C正确；对于D, Aò.AB AB Aò.AC 表示点O在∠BAC的平分 AC 线上，同理可得点O在∠ACB的平分 线上，即点O是△ABC的内心，故D 错误.故选ABC 12.10 解析：如图，在△ABC中，D元=3BD, 则B市=1BC,由于P为线段AD的 4 中点，则B驴=B市+D市=B市 B -BD)= B币=BA+BC,BA,BC不共线，故 g=日所以+=2 1 8= 10. B D 13.2-√3 解析：根据题 意，以C为坐标 原点，BC所在 的直线为x轴， 过点 且垂直 于BC 的直线 为y ,建立平 B 面直 角坐标 系，如图所示，因为正△ABC的边长 为1，且点P为AB的中点，所以 ∠PCB=30°，点P在以C为圆心， BC为半径的圆上，则C(0,0),B(一1， 0A(）P(-,）所 以P=(-）,P 停--脑-( 1.-）,则i+店=(g- -1）,所以P心.(P+P 誓×版-）×（停-） 2-5. 14.202或24 解析：O为△ABC的外心，AB= 6,AC=10,A0.A店=2A 18.Ad.A花=}AC=50.Ad. 2 AB=(xAB+AC).ABAB?+ yAB.AC =36.x+60ycosBAC 18,即6x+10ycos∠BAC=3①： AO·AC=(.xAB+yAC)·AC= cAB.AC+yAC2=60x cos/BAC+ 100y=50,即6.xcos∠BAC+10y= 5②.由2x+10y=5得10y=5 2x③，把③分别代入①②得 6r十(5-2x)cos∠BAC=3·解得 6xcos/BAC+5-2x=5, x= 41 x=0, 1或 os∠BAC=5: 3 cos∠BAC= 又∠BAC∈(0，π)，当cos∠BAC= 时，n∠BAC=2Y2,SAe- 3 3 AB·ACsn∠BAC=号X6XI0X 22=202;当cos∠BAC=5 3 时， 3 4 sin∠BAC= G,Sc=2AB· ACsin☑BAC2X6X10X=24 教考衔接练3三角形中的 特征线问题 1.解：(1)由余弦定理a2=b2十c2 2bccos A,49=b2+c2-bc, 联立2c-b=2,解得c=一3（舍）或 c=5, 由正弦定理待sAnC·得 sn60一sinC,解得sinC=5v3. 7 5 14 (2)由题得△ABC的面积S△Am= 2ah=2×7x12,5=65. 1 1 7 ·2 -besin∠BAC=5& 4bc=6V3, ∴.bc=24 由余弦定理得49=b2+c2 bc,.b2+c2=73, ∴.(b+c)2=73+48=121,.b+c 11,.△ABC的周长为a+b+c=18. 2.解：a)因为bsin C=sin(B十 2）+1. 所以36 esin C =cos B+1. 由正弦定理可得3sinB×sinC sin C cos B+1, 化简得√3sinB=cosB十1. 则V3sinB-cosB=1, 即2（停nB-asB）=1, 即2sin(B-）=1,所以sin(B- )= 2 因为0<B<π，所以一 6 <B- < ,则B-石= 5 合解得 T B= 3 (2)已知△ABC的面积为 ∠ABC=了，根据三角形的面积公 式S△ABC 1 2 acsin∠ABC, 可得 acsin时 √3 2 ,解得ac=2. 由余弦定理b2=a2十c2-2 ac cos∠ABC, 可得2=a2+2-2X2×c0s号，即 4=a2+c2-2,解得a2十c2=6. 设AC中点为D,则BD =1 (BA B心).两边平方可得B心=(B耐十 BC:+2BA .BC), 可得筋=c+。2+2ac: ∠ABC)=}×(6+2X2X c0s5）=4×(6+2)=2 所以BD|=√2，即AC边上的中线长 为√2. 3.解：(1)证明：在△ABC中，∠BAC= π 31 =4, 由余弦定理得b2+c一 2 bc cos∠BAC=a2,即b2+c2-bc= 16①. 又S△ABC = 2·B℃'1D 0= 1 2 1 bc sin∠BAC,即2×4×23 1 = 2 2 2,故c=16@. 由①②得(b-c)2+bc=16,即 (b-c)2=0,故b=c=4=a. 所以△ABC为等边三角形. (2)在△ABC中， 由S△AC=S△ABM+S△ACM' 得 2 besin∠BAC=] 2AM·c· 1 sin∠BAM+2AM·b·sin∠CAM, 2 又AM平分∠BAC, 所以∠BAM ∠CAM ∠BAC= 1 所以 1 bc x 1 26 2 2 1 26 b 1 × 即 bc 2 3 2 2W2 (b +c)③， 3 参考答案 355