平面向量专题突破练习-2026届高三数学二轮复习

平面向量 【核心题·通关练】 一、单项选择题 1.(5分)(2025·唐山模拟)已知向量a=(3,−1),b=(−2,x),若a⊥(a+b),则|b|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.20 2.(5分)(2025·正定模拟)如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段,分别可用向量a,b,c代表.若用向量d代表整条手臂,则(　　) A.|a|+|b|+|c|=|d| B.|a|+|b|=|c|+|d| C.a+c=d−b D.a+b=c−d 3.(5分)已知a=(1,x),b=(,y),c=(,z),则“a2,b2,c2成等差数列”是“x2,y2,z2成等差数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(5分)(2025·合肥模拟)已知向量a=(sin θ,cos θ),b=(,1),若a·b=|b|,则tan θ=(　　) A. B. C. D. 5.(5分)(2025·西安模拟)在△ABC中,点D是线段AC上一点,点P是线段BD上一点,且=,=+λ,则λ=(　　) A. B. C. D. 6.(5分)(2025·重庆模拟)如图,边长为1的正方形ABCD内接于圆O,P是(包括端点)上一点,则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.(5分)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图①是八卦模型图,其平面图形记为图②的正八边形ABCDEFGH,其中OA=2,则·(+)=(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 8.(5分)(2025·石家庄联考)已知点列{Pn}中的所有点都在△ABC内部,△ABPn的面积与△ACPn的面积比值为.在数列{an}中,a1=1,若∀n∈N*且n≥2,=3an+(4an−1+3)恒成立,那么a4=(　　) A.15 B.31 C.63 D.127 9.(6分)(2025·宁波二模)若平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=1,|c|=3且a·c=b·c,则(　　) A.|a+b+c|的最小值为2 B.|a+b+c|的最大值为5 C.|a−b+c|的最小值为2 D.|a−b+c|的最大值为 10.(6分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是(　　) A.·=−1 B.+=0 C.|++|= D.在方向上的投影向量的长度为 11.(6分)如图1,甲同学发现家里的地板是正方形的形状,地板的平面简化图如图2所示,四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,且E为AB的中点,则下列各选项正确的是(　　) A.||=|| B.(+)·()=0 C.向量在向量上的投影向量为 D.向量在向量上的投影向量为 【加练备选】 如图是《易·系辞上》记载的“洛书”,其历来被认为是河洛文化的滥觞,是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD,EFGH,其中O为这两正方形的中心,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若正方形ABCD的边长为2,则下列结论正确的是(　　) A.= B.·(+)=0 C.=−+ D.·=−1 三、填空题 12.(5分)(2025·陕西汉中二模)如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B,在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物,它们所受的重力分别为4 N,4 N,7 N,此时整个系统处于平衡状态,则 cos ∠AOB=__________. 13.(5分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点,CE=3,CB=8,AB=12,则·=________.  【加练备选】 1.如图,在平行四边形ABCD中,O,E分别为AC,BC的中点,F为AE上一点,且FA=FB,AD=2AB=4,则·=________.  2.(2025·镇江调研)大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2:△ABC为正三角形,AD,BE,CF围成的△DEF也为正三角形.若D为BE的中点,△DEF与△ABC的面积比为__________;设=λ+μ,则λ+μ=__________.  【创新题 】 14.(5分)(2025·永州模拟)在△ABC中,∠ACB=120°,||=3,||=4,动点D为△ABC所在平面内一点,若·=0,则|+|的最小值为(　　) A.6−2 B.2−4 C.3−1 D.−2 15.(5分)(2025·武汉统考)如图所示,A,B,C,D是正弦函数y=sin x图象上四个点,且在A,C两点函数值最大,在B,D两点函数值最小,则(+)·(+)=__________.  【加练备选】 (新定义)(2025·成都模拟)如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P,若向量=xe1+ye2,则记P(x,y),d()=|x|+|y|.已知平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2),其中d()=2,则点N的轨迹围成的图形面积为____________;若d()=2d()=2,则的最大值为____________.  学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量 【核心题·通关练】 一、单项选择题 1.(5分)(2025·唐山模拟)已知向量a=(3,−1),b=(−2,x),若a⊥(a+b),则|b|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.20 【解析】选A.a+b=(1,x−1),因为a⊥(a+b),所以3×1−1×(x−1)=0⇒x=4,所以b=(−2,4),所以|b|==2. 2.(5分)(2025·正定模拟)如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段,分别可用向量a,b,c代表.若用向量d代表整条手臂,则(　　) A.|a|+|b|+|c|=|d| B.|a|+|b|=|c|+|d| C.a+c=d−b D.a+b=c−d 【解析】选C.根据题意得a+b+c=d,所以a+c=d−b,a+b=d−c, 所以由于各向量间的夹角未知,故|a|+|b|+|c|=|d|,|a|+|b|=|c|+|d|均不一定成立,故C选项正确,A,B,D选项错误. 3.(5分)已知a=(1,x),b=(,y),c=(,z),则“a2,b2,c2成等差数列”是“x2,y2,z2成等差数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.若a2,b2,c2成等差数列,则a2+c2=2b2,即1+x2+3+z2=2(2+y2),所以x2+z2=2y2,此时x2,y2,z2成等差数列,故充分性成立. 若x2,y2,z2成等差数列,则x2+z2=2y2,即可推得a2+c2=2b2,故必要性成立. 4.(5分)(2025·合肥模拟)已知向量a=(sin θ,cos θ),b=(,1),若a·b=|b|,则tan θ=(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由a·b=|b|得sin θ+cos θ=, 又sin2θ+cos2θ=1, 故sin2θ+(sin θ)2=1, 即3sin2θ−2sin θ+2=0,解得sin θ=, 故cos θ=sin θ==, 故tan θ==×=. 5.(5分)(2025·西安模拟)在△ABC中,点D是线段AC上一点,点P是线段BD上一点,且=,=+λ,则λ=(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.因为=, 所以=,即=2, 又=+λ,所以=+2λ, 因为点P是线段BD上一点, 即B,P,D三点共线,所以+2λ=1,解得λ=. 6.(5分)(2025·重庆模拟)如图,边长为1的正方形ABCD内接于圆O,P是(包括端点)上一点,则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.如图,建立平面直角坐标系,则A(−,−),B(,−), 又圆O半径为r=,设P(cos θ,sin θ), 因为点P在(包括端点)上, 所以θ∈, 所以=(cos θ+,sin θ+),=(1,0), 所以·=cos θ+, 因为θ∈, 所以cos θ∈, 所以·的取值范围是. 【易错提醒】对对应的角度θ范围分析不精准,如错判θ区间,致使cos θ取值范围错误,最终影响·取值范围的推导. 7.(5分)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图①是八卦模型图,其平面图形记为图②的正八边形ABCDEFGH,其中OA=2,则·(+)=(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 【解析】选C.解法一:如图,连接AC,由题知八边形ABCDEFGH为正八边形,则∠AOC=90°,∠OAC=45°,因为OA=2,所以AC=2,所以·(+)=·(+)=·=2·=2||·||·cos ∠OAC=8. 解法二:如图,取OC的中点为H,连接AH,AC.由题知八边形ABCDEFGH为正八边形,则∠AOC=90°,因为OA=2,H为OC的中点,所以OH=1,所以AH==,所以·(+)=·(+)=·=2·=2(+)·(+) =2(+)·() =2(||2−||2)=2×[()2−12]=8. 8.(5分)(2025·石家庄联考)已知点列{Pn}中的所有点都在△ABC内部,△ABPn的面积与△ACPn的面积比值为.在数列{an}中,a1=1,若∀n∈N*且n≥2,=3an+(4an−1+3)恒成立,那么a4=(　　) A.15 B.31 C.63 D.127 【解析】选D.如图,延长APn交BC于点D, 则==. 又△ABPn的面积与△ACPn的面积比值为, 所以=,所以=, 所以点D是边BC上靠近点B的四等分点. =+=+=+()=+, 又=3an+(4an−1+3),∥, 所以=, 所以an=4an−1+3(n≥2). 由a1=1,依次计算得到a2=7,a3=31,a4=4×31+3=127. 二、多项选择题 9.(6分)(2025·宁波二模)若平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=1,|c|=3且a·c=b·c,则(　　) A.|a+b+c|的最小值为2 B.|a+b+c|的最大值为5 C.|a−b+c|的最小值为2 D.|a−b+c|的最大值为 【解析】选BD.解法一:当向量a,b方向相同,与c方向相反时,满足a·c=b·c,此时|a+b+c|有最小值|c|−(|a|+|b|)=1;当向量a,b,c方向相同时,满足a·c=b·c,此时|a+b+c|有最大值|a|+|b|+|c|=5.故A选项错误,B选项正确.由a·c=b·c,得(a−b)·c=0,则|a−b+c|=,当向量a,b方向相同时,|a−b|取得最小值0,则|a−b+c|的最小值为3;当向量a,b方向相反时,|a−b|取得最大值2,则|a−b+c|的最大值为.故C选项错误,D选项正确. 解法二:设c=(3,0),a=(cos θ,sin θ),θ∈R,因为a·c=b·c, 所以c·(a−b)=0,所以b=(cos θ,−sin θ)或b=(cos θ,sin θ), 所以|a+b+c|=|(3+2cos θ,0)|=|3+2cos θ|∈[1,5]或|a+b+c| =|(3+2cos θ,2sin θ)|==∈[1,5],故A选项错误,B选项正确;|a−b+c|=|(3,2sin θ)|=∈[3,]或|a−b+c|=|(3,0)|=3,故C选项错误,D选项正确. 10.(6分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是(　　) A.·=−1 B.+=0 C.|++|= D.在方向上的投影向量的长度为 【解析】选BCD.因为=,△ABC是等边三角形,所以CE⊥AB,所以·=0,A错误; 以E为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示, 所以E(0,0),A(1,0),B(−1,0),C(0,), D(,),设O(0,y),y∈(0,), 则=(1,y),=(−,y−), 又∥,所以y−=−y, 解得y=, 即O是CE的中点,+=0,所以B正确; |++|=|2+|=||=.所以C正确; =(,),=(1,), 在方向上的投影向量的长度为==,所以D正确. 11.(6分)如图1,甲同学发现家里的地板是正方形的形状,地板的平面简化图如图2所示,四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,且E为AB的中点,则下列各选项正确的是(　　) A.||=|| B.(+)·()=0 C.向量在向量上的投影向量为 D.向量在向量上的投影向量为 【解析】选BCD.如图,连接BD,取FG的中点I,取BD的中点O, 则O为AC的中点,易得F,G分别是BC,CD的中点.因为DG=AD=AB,所以AG==AB,即||=||,故A错误;易得=,则+=+=,因为=,⊥,所以(+)·()=·=0,故B正确;过C作CJ⊥AF交AF的延长线于点J,设AB=2,则CF=1,AF=,由等面积法得×2×1=×CJ×,得CJ=,则FJ==,所以AJ=AF,所以向量在向量上的投影向量为,故C正确;易得FG∥BD,CF=CG,所以AC⊥GF,因为△BCD∽△FCG,所以CI=CO=AC,则向量在向量上的投影向量为,故D正确. 【加练备选】 如图是《易·系辞上》记载的“洛书”,其历来被认为是河洛文化的滥觞,是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD,EFGH,其中O为这两正方形的中心,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若正方形ABCD的边长为2,则下列结论正确的是(　　) A.= B.·(+)=0 C.=−+ D.·=−1 【解析】选BCD.对于A.==×2=,错误; 对于B.·(+)=·2=2·=0,B正确; 对于C.=+=+ =(+)+=−+,C正确; 对于D.·=·(−+)=−·+· =−××=−1,D正确. 三、填空题 12.(5分)(2025·陕西汉中二模)如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B,在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物,它们所受的重力分别为4 N,4 N,7 N,此时整个系统处于平衡状态,则 cos ∠AOB=__________. 【解析】依题意,||=||=4,|+|=7,则+2·+=49, 即16+2·+16=49,解得·=, 所以cos ∠AOB==. 答案: 13.(5分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点,CE=3,CB=8,AB=12,则·=________.  【解析】解法一(坐标法):建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(12,0),B(0,0),C(0,8),F(6,0), 易知CF==10, 即CE=FC,FE=FC, 所以=+=(6,0)+×(−6,8)= (,),所以==(12,0)− (,)= (,−), 而=(−,−), 所以·=×(−)+ (−)2=13. 解法二(基底法):由解法一知=, 且CF==10, 故·=(+)·(+)= (+)·() ==×102−×122=13. 解法三(利用极化恒等式):由解法一知||=7, 由极化恒等式知·=||2−||2=49−×144=13. 答案:13 【加练备选】 1.如图,在平行四边形ABCD中,O,E分别为AC,BC的中点,F为AE上一点,且FA=FB,AD=2AB=4,则·=________.  【解析】如图,连接OB,易知B,O,D三点共线,且O为BD的中点,所以=.过点F作FG⊥AB于点G, 设∠FAB=θ,由FA=FB,得AG=AB=1, 则||==.由O,E分别为AC,BC的中点,得=,||=||=2,所以∠AEB=θ, 所以·=·=·(+)=·+·=·· =·2·cos θ−··2·cos θ=1. 答案:1 2.(2025·镇江调研)大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2:△ABC为正三角形,AD,BE,CF围成的△DEF也为正三角形.若D为BE的中点,△DEF与△ABC的面积比为__________;设=λ+μ,则λ+μ=__________.  【解析】如图,连接AE,由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF,且D,E,F分别为BE,CF,AD的中点. 所以S△DEF=S△AEF=S△AFC, S△ABC=S△AFC+S△ABD+S△BCE+S△DEF=7S△DEF, 得=. =+=+=+(+)=+(+), 又=,==, 化简得=+, 所以λ+μ=+=. 答案:　 【创新题 】 14.(5分)(2025·永州模拟)在△ABC中,∠ACB=120°,||=3,||=4,动点D为△ABC所在平面内一点,若·=0,则|+|的最小值为(　　) A.6−2 B.2−4 C.3−1 D.−2 【解析】选A.由题意,以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,过C且垂直于CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(−,),B(4,0).由·=0,可得D在以BC为直径的圆上运动,所以动点D的轨迹方程为(x−2)2+y2=4.取BD的中点M,设M(x,y),D(x0,y0),则所以所以(2x−6)2+(2y)2=4,所以点M的轨迹方程为(x−3)2+y2=1,设其圆心为H,则H(3,0),半径为1.连接AM,因为+=2, 所以|+|=2||, 所以|+|min=2||min, 又||min=|AH|−1=−1=3−1, 所以|+|min=6−2. 15.(5分)(2025·武汉统考)如图所示,A,B,C,D是正弦函数y=sin x图象上四个点,且在A,C两点函数值最大,在B,D两点函数值最小,则(+)·(+)=__________.  【审题破题】(1)抓函数性质定坐标:利用正弦函数y=sin x的最值性质,确定A,B,C,D的坐标. (2)向量坐标运算:根据向量加法法则,计算+与+的坐标. (3)求向量数量积:代入向量数量积公式计算结果,完成求解. 【解析】由题图知,A(,1),B(,−1),C(,1),D(,−1), 所以=(,1),=(,−1),=(,1),=(,−1), 所以+=(2π,0),+=(6π,0), 所以(+)·(+)=2π×6π+0×0=12π2. 答案:12π2 【加练备选】 (新定义)(2025·成都模拟)如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P,若向量=xe1+ye2,则记P(x,y),d()=|x|+|y|.已知平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2),其中d()=2,则点N的轨迹围成的图形面积为____________;若d()=2d()=2,则的最大值为____________.  【审题破题】对x2,y2的符号进行分类讨论,确定点N的轨迹,作出其图形,计算出该图形的面积,即为所求;计算得出=,要求其最大值,令x1y1≤0,由已知得出y1=x1+1,利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【解析】当x2≥0,y2≥0时,d()=x2+y2=2, 此时,点N的轨迹表示以点(2,0),(0,2)为端点的线段; 当x2≤0,y2≤0时,d()=−x2−y2=2, 此时,点N的轨迹表示以点(−2,0),(0,−2)为端点的线段; 当x2≤0,y2≥0时,d()=−x2+y2=2, 此时,点N的轨迹表示以点(−2,0),(0,2)为端点的线段; 当x2≥0,y2≤0时,d()=x2−y2=2, 此时,点N的轨迹表示以点(2,0),(0,−2)为端点的线段, 如图所示: 记点A(2,0),B(0,2),C(−2,0),D(0,−2), 则点N的轨迹为四边形ABCD, 因为||=|2e1|=2,||=|2e2|=2,同理可得||=||=2, 故四边形ABCD为矩形,且∠AOB=60°, 所以点N的轨迹围成的图形面积为4S△AOB=4××22=4; 由平面向量数量积的定义可得e1·e2=|e1|·|e2|cos 60°=, 所以==+2x1y1e1·e2+=+x1y1+, 所以=,要求其最大值,令x1y1≤0, 不妨设x1≤0,y1≥0,于是d()=−x1+y1=1,则y1=x1+1, 所以===≤2, 当且仅当x1=−时,等号成立,故的最大值为2. 答案:4　2 学科网（北京）股份有限公司 $