专题1 教考衔接练2 导数中的切割线放缩&创新练1 函数与导数-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 教考衔接练2 导数中的切割线放缩 (分值：60分) 1.(15分)(2025·湖北武汉一模)已知函数f(x)= 2.(15分)(2025·重庆江北区二模)已知函数f(x)= e+2x2-3.x. 得分 e+(a-1)x-1,其中a∈R. 得分 (1)求函数f'(x)在区间[0,1]上的零点个数（其 (1)讨论函数f(x)的单调性： 中f'(x)为f(x)的导数)； (2)当a=2时，求证：f(x)>xlnx-cosx. 《2)若关于x的不等式fx)≥+a-30江+ 1在[1，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围. (横线下方不可作答)177专题一函数、导数 3.(15分)已知函数f(x)=e-1-a(x+1)(x≥1)， 4.(15分)已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a.x2+x. g(x)=(x-1)In x. 得分 得分 (1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； (1)当x>-1时，f(x)≤g(x),求实数a的取值 (2)若a取(1)中的最大值，求证：f(x)≥g(x). 范围； 1 1 (2)已知n∈N*,求证：sin- imn+1十sinn+2十…十 ∠1n2. sin 2n 红对勾讲与练178] 高三二轮数学 ■ 班级： 姓名： 创新练1函数与导数 (分值：40分) 1.(20分)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的 2.(20分)给出以下三个材料：①若函数f(x)可导， 用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数 我们通常把导函数f'(x)的导数叫做f(x)的二 学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处 阶导数，记作”(x).类似地，二阶导数的导数叫做 的[m,n]阶帕德近似定义为R(x)= 三阶导数，记作”(x),三阶导数的导数叫做四阶 1+6x+…+b,且满足f(0)=R(0, ao+a1x十…十amxm 导数…一般地，n一1阶导数的导数叫做n阶导 数，记作fm(x)=[fm-1D(x)门'，n≥4.②若n∈ f'(0)=R'(0),f②(0)=R2(0),…,fm+(0)= N*,定义n！=nX(n-1)×(n-2)X…X3× Rmm)(0).其中f)(x)=[f'(x]',f8(x)= 2×1.③若函数f(x)在包含x。的某个开区间(a, [f2)(x)]′，…，fm+(x)=[fm+m-1D(x)]了.已知 b)上具有n阶的导数，则对于任意x∈(a,b)有 f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似 8x)=f(x)+f'(x) (x 1！ (x-)+(o) 21 为R(x)= 1++ 得分 x2+f"(x-)+…+fx 3！ n！ xo)”,我们将g(x)称为函数f(x)在点x=x。处 (1)求实数a,b的值； 的n阶泰勒展开式.例如，y=e在点x=0处的n (2)设h(x)=f(x)-R(x),求证：xh(x)≥0； 2x2+…+1 1 《3)已刻x1,是方程1nx=A(-）的三 阶泰勒展开式为1+x+ 12”.根据 以上三段材料，完成下面的题目： 得分 个不等实根，求实数入的取值范围，并证明 (1)求出f1(x)=sinx在点x=0处的3阶泰勒展 x1+x?+>1 3 1 开式g1(x),并直接写出f2(x)=cosx在点x=0 处的3阶泰勒展开式g(x); (2)比较(1)中f1(x)与g1(x)的大小： (3)求证：e+sinx+cosx≥2+2x. (横线下方不可作答)179]专题一函数、导数 ■13.-3 解析：由题意得f(0)=1,f'(x)= 6x-2az=6x(-子a）≠0 由'(x)=0得x=0或x= a,所 3 1 以函数f(x)在x=0或x= 处 取得极值，欲使函数在(0，十©○)内有 且只有一个零，点，当且仅当 (8)=2(g)-a(g）+1=0, 解得a=3,所以f(x)=2x3-3.x2十 1,f'(x)=6x2-6x,当x∈[-1,0) 时，'(x)>0,f(x)单调递增，当 x∈(0,1]时，f'(x)<0,f(x)单调 递减，又 f(-1)=-4,f(0)=1, f(1)=0,所以当x∈[-1,1]时， f(x)mx=1,f(x)mim=一4，所以 f(x)在[一1,1]上的最大值与最小值 的和为一3. 14.11 解析：方法一f(x)=x3一3x2十 6x+2,则f'(x)=3.x2一6x十6，设 P(m,1),Q(n,f(n),依题意得 f'(m)=f'(n),所以3m2-6m+ 6=3n2-6n十6，则m2-n2=2(m n),显然m≠n,则m十n=2.因为 f(x)=(x-1)3+3(x-1)+6,所以 f(x)的图象关于点(1,6)中心对称， 所以点P与点Q关于点(1,6)对称， 所以 (n)+1 =6,则f(n)=11,所 2 以点Q的纵坐标为11. 方法二f(x)=x3-3x2+6.x+2, 则f'(x)=3.x2一6x+6,因为 f'(x)=3(x-1)2+3>0,所以 f(x)在R上单调递增，令x3一3x2+ 6x十2=1，设其根为xp,则x 3.x+6.xp=一1.因为f(x)在，点P 处的切线与在，点Q处的切线 平行，所 以f =k存在两个不同的实根， 其中一 为 xp,设另一个为xQ,即 3.x2-6z 十6=k的两个根为xp,xQ, 则xP 十xQ=2,则x。=2-xp,所 以f(xa) ,-3x。+6z +2= (2-xp)3 -3(2-x 6(2 ZP)+2=-zp+6xP-12zp+8- 3x第+12xp-12+12-6xp+2= -(x-3.x+6.xp)+10=11,所以 点Q的纵坐标为11. 教考衔接练2导数中的 切割线放缩 1.解：(1)函数f(x)=e+2x2-3.x的 导数f'(x)=e+4x一3， 则f'(x)=e十4x一3在区间(0,1)》 上单调递增， 又f'(0)=1-3=-2<0,f'(1) e+4-3=e+1>0, 则函数(x)在区间[0,1]上只有 个零点. (2)关于x的不等式f(x)≥ (a一3)x+1在[1，+o)上恒成立，即 -在[1，十∞)上恒 成立， 设g(x)= 名- [1,+o), 则g'(x)= e(x-1)1,1 2 e(x-1)+11 21 由y=e-x-1,得y‘=e一1，可得 当x>0时，y'>0,函数y=e-x 1单调递增，当x<0时，y<0,函数 y=e一x一1单调递减， 则e-x-1≥0，即e≥x十1， 当x≥1时， e(x-1)+1-1> x 2 (x+1)(x-1)+11 = 2 2>0, 则g(x)= x 上单调递增， 可得g(x）mm=g(1)=e- 3 2 ,则a 3 e-2' 2.解：(1).f(x)=e+(a-1)x-1, .f'(x）=e+a-1, 当a≥1时，f'(x)=e+a-1>0, 函数f(x)在R上单调递增； 当a<1时，由f'(x)=e+a-1> 0,得x>ln(1-a), 函数f(x)在区间(ln(1一a),+oo)上 单调递增， 由f'(x)=e十a-1<0,得x< ln(1一a),函数f(x)在区间（一o∞， ln(1一a))上单调递减. 综上，当a≥1时，f(x)在R上单调递 增；当a<1时，f(x)在(ln(1一 a),十o∞)上单调递增，在（一co,ln(1一 a))上单调递减. (2)证明：当a=2时，f(x)=e十x一1， .要证f(x)>xlnx一cosx,即证 e'+x cos x-1-xIn x >0,E (0,十©∞). 当0<x≤1时，.e十x十cosx 1>0,xlnx≤0， ..e +x cos z-1-zIn >0; 当x>1时，令g(x)=e十x十 cos x -1-zIn x, 则g'(x)=e2-sinx-lnx, 设h(x)=g'(x),则h'(x)=e cos x 1 x>1,.e>e>2,-1<- 0,-1-cosx≤1，.h'(x)>0, .h(x)在(1，+∞)上单调递 增，∴.h(x)>h(1)=e-sin1-0> 0,即g'(x)>0, ∴·g(x)在(1，十∞)上单调递 增，g(x)>g(1)=e十cos1>0,即 e'+2 cos x-1-xIn >0. 综上，当a=2时，f(x)>xlnx一cosx. 3.解：(1)方法一 由题意，f(x)≥ et-1 09el-a(x+1)≥0a≤x+1 设h(x)=e +1（x≥1)，则h'(x)= cer-l Cx+1)>0, 所以h(x)在[1，十∞)上单调递增，从 而h(x)-h(1)=1 因为a≤h(x)恒成立，所以a≤？， 故实数a的取值范围是(0,2]， 方法二 由题意，f(x)≥0台e-1 e a(x+1)≥0台a≤ x+11 易证e≥x+1,所以e-1≥x,当且 仅当x=1时取等号， 从而当x≥1时，+ ≥+1 x+1-1 1 1 x+1 =1-x+1≥1- 1+1 ?,当且仅当x=1时取等号， 所以的最小值为子 x+1 因为a x+1 恒成立，所以a≤子 故实数a的取值范围是（©，] (②)证明：由题意知a=子fx)= e-1_x+1 2 所以f(x)≥g(x)台c-+] 2 (x -1)In z, 易证lnx≤x一1，所以当x≥1时， (x-1)lnx(x-1)2. 要证f(x)≥g（x),只需证e-1 +1≥(x-1), 2 只需证e-l≥ 2x-3.x+3 2 即 2-3x+3 2e+-1 么1 设9(x)= 2x2-3x+3(x≥1)， 2e"-l 则p'(x)=- (2x-3)(x-2) 2e-1 令gx)>0,得<x<2. 令g'(x)<0,得1≤r<号或x>2. 从而g)在[1,2）上单调递减，在 (,2）上单调递增，在(2，十∞)上单 调递减， 5 又p(1)=1,9(2)= <1, 2e 所以9(x)≤1，即当x≥1时， 2x2-3x+3 ≤1， 2e-1 故f(x)≥g(x)成立 4.解：(1)令h(x)=ln(x+1)-x (x>-1), 1 则h'(x)= -1=一x+1 x+1 当-1<x<0时，h'(x)>0,则函数 h(x)在（一1,0）上单调递增， 当x>0时，h'(x)<0,则函数h(x) 在(0，+∞)上单调递减， 所以h(x)mx=h(0)=0,即ln(x+ 1)x. 所以当a≥0时，ln(x十1)≤x≤ 参考答案349 a.x2十x,即f(x)g(x),满足题意； 当a<0时，取x。=- 1 >0，因为 n(1+xo)>ln1=0, azi +ro =a…(2)）-2=0,所 以ln(xo+1)>ax&+xo, 故f(x。)>g(x。),不满足题意. 综上所述，a≥0， (2)证明：由(1)可得ln(x+1)≤x,则 lnx≤x-1, 可得n上≤上-1，即-1nx≤】 1,即lnx≥1-1( >0), 则当x>1时，lnx≥1-1， 令}=1-2：>10，则x -1 所以ln 即lnt-ln(t-1)≥， 所以1 ≤ln(n+k)-lnn+k一 n +k 1),k∈{1,2，…，n}, 令t(x）=x一sinx(x>0),则 t'(x)=1-cosx≥0，且t'(x)不恒 为零， 所以函数t(x)在(0，+∞)上单调递 增，故t(x)>t(0)=0,则sinx x(x>0), 1 所以sin <1 n+kn十k ≤ln(n十k) ln(n+k-1),k∈{1,2，…，n}, 所以sin 、1 +sin 1 n+1 n+2 十…十 sin 2n <[In(n+1)-In n]+[In(n+ 2)-ln(n+1)]+…+[n(2n) 2n ln(2n-1)]=ln(2n)-nn=ln2”= In 2. 创新练1 函数与导数 1.解：(1)依题意可知，f(0)=0,R(0)= a,因为f(0)=R(0),所以a=0, 此时，R(x)= 6b.x+3x2 6+6x+x2 因为f'(x)= ,R'(x) = 1+x (18-6b)x2+36x+36b (x2+6.x+6)9 所以f'(0)=1,R'(0)=b.又因为 f'(0)=R'(0),所以b=1. (2)证明：依题意，h(x)=f(x) R(x)=ln(1+x)- 3.x2+6x x2+6.x+6 12(x2+3.x+3) h'(x)= 1+x (x2+6x+6) (1+x)(x2+6.x+6) F≥0， 故h(x)在（一1，十o)上单调递增. 由h(0)=0,故x∈（一1,0）， h(x)0,Hx∈(0，十o),h(x)>0, 综上，x>-1,xh(x)≥0. (3)证明：不妨设x1<x<x, 令(2)=lnx-x(e-) 350 2树闪讲与练·高三二轮数学 rx)=是-(1+) x -入z2+x-入(x>0), 当A≤0时，t'(x)>0,此时t(x)单调 递增，t(x)=0不存在三个不等实根. 当A>0时，令s(x）=一Ax2十x一A, 其判别式△=1一4λ2， 1 若△=1-4以≤0，即入≥2sx)≤ 0恒成立，即t'(x)≤0， 此时t(x)单调递减，t(.x)=0不存在 三个不等实根； 若4=1-4以>0，即0<入<7， t'(x)=0存在两个不等正实根r1, r2(r1<r2), 当x∈(0，r1)时，t'(x)<0,t(x)单 调递减， 当x∈(r1r2)时，t'(x)>0,t(x)单 调递增， 当x∈(r,+∞)时，t'(x)<0,t(x) 单调递减， 又因为t(1)=0,且t'(1)=1-2λ> 0,故t(r1)<0,t(r2)>0, 因为nx<x一1(x≠1)，所以 m2< 2 :-1,即lnx>2- √xWx Vx 所以：a)=h-(-)> -是-+是=-+ 是（日-2）> 又=是-(+) (只-)-A<… 所以存在x1∈（入，r1),满足t(x1)=0, 又为()=血-（号 )=-n+(-)=- 放存在，=子满足1，)=0 故当且仅当0<入<号时，n2 A(一士）存在三个不等实根， 且满足x<x:=1<x,且x1=】 由(2)可知，当x>0时，ln(1+ x)> 3x2+6.x x2+6.x+6 3x2-3 因此nx>+4红十>1》. 故n=(x,-）> 3x-3 x+4x3+1 化简可得3<++1=，十 入 4+ =x1十x2十x3十3， 因此十十红>子-1，命题 1 3 得证. 2.解：(1)f1(x)=cosx,f1(x)= -sinx,f1(x）=-cosx, .f1(0)=1,f1(0)=0,fm(0)= 一1， 0* G- 0)+3u 0)，即 g1(x)=x- 同理可得g(x)=1-. (2)由(1)知f1(x)=sinx,g1(x)= 1 x一 6 令h(x)=f1(x)-g1(x)=sinx一 了x十女x,则h(x)=Ce cos 1 1+ '.h"(z)=-sin z+x:h"(z)=1- c0sx≥0， h"(x)在R上单调递增，又h"(0)=0, .当x∈（∞，0）时，h"(x)<0, h'(x)单调递减，当x∈(0，十∞)时， h"(x)>0,h'(x)单调递增， ∴.[h'(x)]mm=h'(0)=1-1+0= 0,.h'(x)≥0， ∴.h(x)在R上单调递增. 又h(0)=0, .当x∈(-∞，0)时，h(x)<0:当 x∈(0，+∞)时，h(x)>0. 综上所述，当x<0时，f1(x)< g1(x)；当x=0时，f1(x)=g1(x): 当x>0时，f1（x)>g1(x). (3)证明：令9(x)=f2(x) 2(z)=cosx-1+之x2,由(2)得 9(x)≥9(0)=0，即cosx≥ 1-1 y=e在点x=0处的3阶泰勒展开 式为1+++ 1 6 同理2)可证得。≥1+x+子十 x3,当且仅当x=0时取等号. 6 ①当x≥0时，由(2)可知，sinx≥ 2- 石，当且仅当x=0时取等 1 号.e+simx+cosx≥(1+x+ 2x+日）+(x-6x）十 (1-22）=2+2x. ②当x<0时，设F(x)=e+ sin x +cos z-2-2x,F(0)=0, F(x)=e +cos x-sin z-2=e+ Ecos(x+于)-2，F"(x)=e sin a-cos 当x∈(-1,0)，由(2)可知sinx< 13 )=e-sinx-cosx>1十 +2 61 3-x-cos= 1-c0s工+x2(3+2x)>0,即有 6 F'(x)<F'(0)=0: 当x∈（一∞，一1]时，F'(x)=e+ Eos(红+)-2<+反-2< +2-2 <0. 2 x<0时，F(x)单调递减，从而 F(z)>F(0)=0,e sin z+ cos 2+2x. 综上所述，e+sinx十cosx≥2+2.x. 专题二三角函数 与平面向量 课时作业9三角恒等变换 1B由cos+im(。-）= ,得 4 cosa+ 1 2 sin a- C08a= 2 2 sin a+ 2cosa=sin(e+）= 1 所以 cos(2a+3）=1-2sim(e+F）= 1-2× 2.Asin2200°=sin(6×360°+40°)= sin40°=c0s50°= cos225°-sin225 1-tan225° cos225°+sin225 1+tan225° 1-p 1+b.故选A 3.D 由题意可得 tan 则 2 cos 0-3sin 1-3tan 三 sin 0+2cos tan 0+2 3 1- 2 1 .故选D 5 +2 2 4.D cos80°=c0s(20°+60°)=1 c0s20°- 3 in20°，所以原式= 2 cos20°-cos20°+√3sin20 c0s(90°+20°) √3sin20° sin20° =一√3.故选D. 5.C 由题意可得 tan a tan B=4, tan a·tan3=-3, 则tan(a+B)= tan a +tan B 4 1-tana·tanB 1-(-3)=1.因 为。∈(0，)9∈（受），所以 号<e+<要故a+日=平k选C 4 6.B(1+√3tan80)(1-√3tan20)= √3tan80°-√3tan20°-3tan80°tan20°+ 1=√3tan(80°-20°)(1+tan80°· tan20°)-3tan80°tan20°+1=3+ 3tan80°tan20°-3tan80°tan20°+1= 4.故选B. 7.D 因为cos2a-sina= 1 7.cOs a十 4 sin2a=1,所以cos2a= 7,sin'a 号国为a∈(。），所以asa 万，sin a ,所以tana= √7 3sin B=sin(2a+8),3sin [(a+B)- a]=sin [(a+B)+a],3sin(a+ B)cos a-3cos(a+B)sin a sin(a+ B)cosa+cos(a+B)sina,所以sin(a+ B)cosa=2cos(a+B)sina,所以 tan(a+B)=2tana=√3.又0<a+ B<受，所以a十B=子，故选D. 8.A将sinx十cosx=2sima两边平方得 1+2 sin xcos z=4sina,结合sinx· cosx=simB可得1+2sinB=4sina,即 1+2sinB-4sin'a =0,p 2cos 2a- cos23=0,即2cos2a=cos23,故C,D 错误；4cos22a-c0s23=(2c0s2a cos23)·(2cos2a十cos23)=0,故A 正确，B错误.故选A. 9.ABC 对于A,sna十)+sin(a-B) 2cos B 2 sin aco且=sina,故A正确：对于B, 2cos B 4sin 4 cos 4cos 2-2sin 2 cos 2tan 2 sina,故B正确：对于C, 1+iam号 a sin 2 2X cos 2 2sin 2 cos2 = 2 cos+sin号 2 1+ cos?a 2 sina,故C正确；对于D,1一cos2a sin 2a 1-(1-2sina) 2sin'a 2sin acos a 2sin acos a tana≠sina,故D错误.故选ABC」 10.AD由已知可得 |siny=sina-sinB,所以1= cos y cos B-cos a, sin'y+cos'y =(sin a-sin B)2+ (cos B-cos a)2=2-2(cos Bcos a+ sin Bsin a）=2-2cos(B一a),所以 cos(g-a)=2因为ag,y∈ (0,)所以-受<P-a<受因 为siny=sina-sinB>0,函数y= sinx在(0，)上单调递增，所以 。>8,则-至<日-a<0,故月-a 一T.故选AD. 3 11.AD对于A,由已知可得sin2B+ 1 cosB+2 sin Beos=25,因此 24故A正 sin28=2 sin eos=一25 确；对于B,因为sin Bcos B<0,且 日∈0，x),所以B∈（受x),因此 sinB-cos3>0,又因为(sinB 4 cos B)2=1-2sin Bcos B= 25,因此 im月-cosB=5,故B储误：对于C cos 28=cos'B-sinB (cos B- sin B)(cos B+sin B)- ，故C 5 错误；对于D,由方程组 sin B+cos8= 1 5 7 sin B-cos= 5 4 sin B=5 解得 于是tanB= 3 cos B ；=一 3,故D正确，故选AD 4 3 12.- 5 解析：因为sin acos(a十B)一cosa· sima+月=smla-(a+B]=是， 即sin(-B)=-sinB=。,所以 3 1 13.2cos 2 解析：原式= (4cosx-4cos°x+1） 2 2 (2cos'z -1) 4sin(任-x）os(牙-x） cos 2x -cos 2. 2sim(5-2z） 2cos 2x 2π 14.3 解析：由a3∈(0，），得号∈ o,)-号∈( ,0） 号e(÷)又(。-号) 2 ,所以。-号=或。- 2 6 2 名.由ap∈(o,）,得g∈ (o.i),-8E(- 2 -B∈ ()又sm(?-)= 所以-日=一当- B 时 2 6 。-）-(受-) B 2 子，则a+B=至当a-号 2 6 时， 6-号》（货-）= +B =0 2 则a十B=0.又a十B∈(0，π)，故a+ 2π B= 3 参考答案 351