教材回归3 三角函数、三角恒等变换与解三角形-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

6.A如图，船从，点O 北 出发，沿OC方向行 驶才能使船垂直到 达对岸，依题意， OA⊥OB,1OAI= 10 km/h,|OB I= 10√3km/h,则1OC I= √Oi1+o= 20km/h,则 cos∠BOC= 3 2 因为 OC ∠BOC为锐角，故∠BOC=30°，故船 以大小为20km/h的速度，沿北偏西 30°的方向行驶，才能垂直到达对岸.故 选A. 教材回归3 三角函数、 三角恒等变换与解三角形 知识回归 1.{B|B=a+·360°，k∈Z} 2.(1){a|a=k·360°，k∈Z} (2){a|a=180°+k·360°，k∈Z (3){a|a=k·180°，k∈Z} (4){a|a=90°+k·180°，k∈Z} (5){a|a=k·90°，k∈Z} 4.2(10) 5a)1a1r(2)1e1r 8.-sin a sin a sin a cos a cos a cos a 一COSa sin a sin a tan a -tan a tana 9.R R x=kπ，k∈Zx=kπ，k∈Z 2r2π 奇 偶奇 [-π+2kx,2kπ](k∈Z) 2 +kπ)(k∈Z) 3π 2 十2k ,之+2kx(∈z) x= 2 十kπ(k∈Z)x=kπ( Z) (kπ，0)(k∈Z》 (受+x,0）k∈z) (经0)k∈ 11.(1)cos a cos B-sin a sin B cos a cos B+sin a sin B sin acos B+cos asin B sin acos B-cos a sin B (2)2sin acos a cos'a-sina 2sin'a 13.62+c2-2bccos A a2+c2-2ac, cos B a2+b2-2ab cos C 1 2absin C 14.2acsin B 对点训练 1.D 因为角a的终边经过，点P(一1,2)， -1 5 所以c0sa= √/(-1)+2 5, 则cos 2a =2c0sa-1 =2X ）-1=-3 故选D. 4 sin a cos a一cosa 2.A 由条件得 cos a 3 2,解得sina=÷,又a为锐角，所以 d cosa=√1-sina= 4 ,tan 2a sin 2a= cos 2a 2 sin acos a=-37.故 cos'a-sin'a 选A. 3C已知。为锐角，sin。=白，根据 sin2a+cos2a=1,可算出cosa= √一（停）-5为e,8为机 角，所以-受<a-日<受又sina 2 B)= 10,所以c0s(a-月)= √/10 √1-( -30 ,sin(2a- 110 10 B)=sin a cos(a-B)+cos a sin(a- )=5×3+5×四 5 10 5 10 √2 2.cos(2a-B)=cos acos(a-B) sin asin(a-B)=2w5×3V而 5 10 5 102 ,所以tan(2a一B)= cos(2a-月=1，故选C sin(2a -B) 4.D由正弦定理可得a b 1 sin B= a 2由于 B∈(0，若)故B=子或B=故 4 AB错误：若B=至，剔C=一A- B=x一 asin C Jsin 12 π sin A 1 =1十3<3，若 B=经则C=-A-B=R-合 4 行=音此时C为三角彩中装小的内 角，故c<a=√2，故C错误，D正确. 故选D. 5.C由余弦定理BC2=AB+AC- 2AB·AC·cosA,得号AC+AC- 2X3V2 ACcos45°=10，解得AC月 2,则AB=3√2.故△ABC的面 RS△A=7AB·AC·snA三7 2×3巨×号=3.故选C 6.AD由题图得函数f(x)的最小正周 期为2，所以。=1上9十音=受十 2 2张xk∈乙.解得甲=音+2k6∈Z, 不坊取9=若，所以fu) 2sin(x+）ga)=2sin(e-8)） 8()=-2,g()=1故A正 确，C错误：令x一开=kπ，k∈乙，解 6 得工=否十x,∈乙，所以画数g（红) 的图象的对称中心为点（行十kx,0）, k∈Z,故B错误；函数g(x)的单调递 培区间为（号+2x,经+2）小· k∈Z,故D正确.故选AD. 7,BcD当x∈（牙受）时，2x-∈ (年，3)，由于函数y= sint在 (）) 上不单调，因此函数f(x)在 区间（天，受）上不单调，故A错误： f(g）=2sin(-）-2sm -2,故直线x=-7是函数f(x)的图 8 象的一条对称轴，故B正确；令 f)=1期m(2红-)=名，当 x∈（-，）时，2z 7x 6 或 = 2x-之 合，解得x 11x 或x= 24 5x 24 ,故C正确；将f(x)的图象向左平 移年个单位长度后，可得y f(e+）=2sim(2z+-开）= 2c0s(2x-）的图象，故D正确.故 选BCD. 教材回归4数列 知识回归 1.a1+(n-1)da1g"(g≠0)na1+ n(n-Dd na 2 2.(1)am十am=ab十ag (n-m）am· am=,·aq N一初 对点训练 1.B由等差数列前n项和的性质， 得S3S:一S,S一S,S12一S成等 差数列，故S。一S:=2(S: Sg)-S3=36,则S12-S4= 2(Sg一S:)一(S6一S3)=48.故选B. 2.C 由题意可知，an=a4·2=1. 2 2"-‘=2”-i,an>0且公比q=2>1, {am}为递增数列，故A正确；b,= a+2·a=2-3·2"-=28>0, 22w-6 2场 =4>1,则{bn}为递增数 列，故B正确；当n=1时，b取得最小 值b1=2$,故C错误；bn-a。= 22w-2”-i=2”-5(2”-3一1)，当n≤3 时，bn一a≤0，当n>3时，bn一am> 0,故(n-3)·(bm-am）≥0，故D正 确.故选C. 参考答案 335教材回归3 三角函数、 知识》回归 1.终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 成一个集合S= ,即任一与角α终边相同的角，都可以表 示成角α与整数个周角的和， 2.几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合： (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合： (3)终边在x轴上的角的集合： (4)终边在y轴上的角的集合： (5)终边在坐标轴上的角的集合： 3.1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度单位用符号rad表示. 4.角度制与弧度制的换算 (1)1°=180rad. (2)1rad= 5.扇形的弧长和面积 在半径为r的圆中，弧长为1的弧所对的圆心角 为aad,那么1a=月 相关公式：(1)弧长1= (2)扇形的面积S=2r= 1 6.任意角的三角函数的定义 (1)设a是一个任意角，a∈R,它的终边OP与 单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 sina,即y=sina; ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作 coSa,即x=cOSa; ③把点P的纵坐标与横坐标的比值之叫做α的 1462对闪讲与练·高三二轮数学 三角恒等变换与解三角形 正切，记作tan&,即义=tana(x≠0). (2)设a是一个任意角，点P(x,y)为a终边上 异于原点O的任意一点，|OP|=√x十y,则 sin a-Opcos y 0) 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1→sina= 士/1-cos2a. (2)商数关系：m。=ama(e≠kx十： cos a k∈Z. 8.三角函数的诱导公式 公式 四 五 六 2kπ+a 角 π+a 一Q (k∈Z) 3 ,十a 正弦 sin a 余弦 cos a 正切 tan a 函数名改变， 口诀 函数名不变，符号看象限 符号看象限 9.三种三角函数的图象和性质 三角 正弦函数 余弦函数 正切函数 函数 y-sin z y cos x y tan x 图象 /月 定义域 [-1,1] [-1,1] 值域 (有界性) (有界性) 零点 k∈Z 最小 正周期 奇偶性 函数 函数 函数 续表 三角 正弦函数 余弦函数 正切函数 函数 y=sin z y=cos y tan 单调 L2+2kx, 递增 单区间 +2] (k∈Z) 单调 [2kx,π十 递减 2kπ](k∈Z) 区间 对 称 对称 中心 l0.函数y=Asin(wx十p)(w>0,A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设=0r十9，令2=0，分，7,2x求出相 应的x的值与y的值，描点、连线可得， (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利 用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换 向左(9>0)或向右(9<0) y=sinx的图象 平移|9|个单位长度 y=sin(x+9)的图象 横坐标变为原来的上(。>0)倍 纵坐标不变 →y=sin(wx+p) 纵坐标变为原来的 的图象AA>0倍，愤坐标不变y=Asin(or十 p)的图象. 11.三角恒等变换 (1)和角公式、差角公式 cos(a +B)= cos(a-β)= sin(a+8)= sin(a-B)= tan(a十3)= tana+tanβ 1-tan atanB tan a-tan B tan(a-β)= 1+tan a tan B' (2)二倍角公式 sin 2a- cos 2a =2c0s2a-1= ； tan 2a 2tan a 1-tan'a (3)降幂公式 sin'a=1-cos 2a 2 cos'a=1+cos 2a 2 (4)辅助角公式 asin x+bcos x=√a2+bsin(x+o),其中 b tanp=2,ab≠0. a 12.正弦定理及其变形 sin A sin B=sinC=2R(2R为△ABC外 a b 接圆的直径). 变形：a=2 Rsin A,b=2 R sin B,c=2 Rsin C. 2R'sin B= sin A=a 2R'sin C=2R a:b:c=sin A sin B sin C. 13.余弦定理及其推论、变形 a2= b2= c2= b2+c2-a2 推论：cosA= - 2bc cos B=a'+c262 -,cos C=a2+6:-c2 2ac 2ab 变形：b2+c2-a2=2 bccos A,a2+c2-b2= 2ac cos B,a2+62-c2=2abcos C. 14.三角形的面积公式 1 S△Ac=2 besin A= 对点》训练 1.已知角a的终边经过点P(-1,2),则cos2a的 值为 () 4 A.6 B.- 4 c D.、3 5 2.已知锐角&满足2sin2a-cos& s+a =2,则 tan 2a () A.-3√7B.-3√5C.3√7 D.35 第二部分教材回归 147 3已知a8为锐角，sina=5, in(a-B)=10 01 则tan(2a一B)的值为 () B.√2 C.1 D.-7 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c,已知A=看a=2,6=2,则下列结论一定正 确的是 () AB<哥 B.B>受 C.c>2 D.c<3 5.在△ABC中，A=45°，BC=√/10，AB= 32AC,则△ABC的面积是 2 A是 C.3 D.12 6.(多选)已知函数f(x)=2sin(wx+p)(w>0) 的部分图象如图所示，将函数∫(x)的图象向右 平移号个单位长度，得到函数g)的图象，则 教材回归 知识》回归 1.牢记概念与公式 等差数列、等比数列（其中n∈N) 项目 等差数列 等比数列 通项公式am= an= 若q≠1，Sm= 前n项 S,= n(a+an) a1-g）= 2 1-9 和公式 a1一anq 1-9 若q=1,Sw= 148 2对勾讲与练·高三二轮数学 A.g3）=-2 B.gx)的图象的对称中心为点（否十2x,0), k∈Z Cg(5)=0 Dg()的单调递增区间为(-弩+2kx,经十 2k元)，k∈Z 7.(多选)已知函数f(x)=2sin(2x-),则下 列说法正确的是 () A.函数f(x)在区间（任，）上单调 B直线x-是函数x)的图象的一条对 称轴 C.直线y=1与函数f(x)的图象在区间 (受，)上有2个公共点 D.函数fr)的图象向左平移T个单位长度 后，得到的图象所对应的函数解析式为 y=2cos(2x-i) 4 数列 2.活用定理与结论 (1)等差、等比数列{an}的常用性质 项目 等差数列 等比数列 若m,n,s,t∈N, 若m,n,p,q∈N,且 且m+n=s+t, m n=p q, 则 则 ； 性质 am=am· aw=am十 ·d; SmS2m-SmS3m SS2m SmS3m Sm,…仍成等比数 Sm,…仍成等差数列 列(Sm≠0)