专题6 微专题27 最值与范围问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

即k1十k2= y1-1 y-1 X1 k.x1+1 k.x2+1 2k+十x2 Ti TIX2 4k 2k2 2k 3=3 ,则k=1, 3 所以直线方程为y=x十2，x1十 16 12 x2= 放1BC1= √/1+k√(x1+x2)2-4x1x2= 中√9)-4xg- 51 且点A(0,1)到直线y=x十2的距离 10-1+2=2 √2 1 所以S△ABC =21BC1d= × 4√2 2 5 5 》真题演练·重温高考《 1.C由题意，F1(一√2,0)，F2(√2,0)， △F1AB面积是△F,AB面积的2倍， 所以点F,到直线AB的距离是点F。 到直线AB的距离的2倍，即 厄十m2×E十m,解得 √2 m 或m=一3√2（此时直线与 3 椭圆C不相交，舍去).故选C 2.D设A(x1y1),B(x2,y2),AB的中 点为M(ro,yo),由点A,B在双曲线 x yi =1, 上，得 9 2 两式作差，得 x =1, 9 2 xi-x2 2,即(x1-x2)(x1十 9 (y1一2)y十y),化简得 9 (y1-y2)(y1+y2) =9,即二y. (x1-x2)(x1十x2) x1一x2 y1+y2 2 x1+x2 y0=9,因此kAB=9· kAB 2 .由双曲线方程可得渐近线方程为 yo y=士3x,如图，由图易得选项中四个 点都在双曲线外， 2 2 4 3262勾讲与练·高三二轮数学 对于A,因为kB=9X=9>3,所 以直线AB与双曲线无交点，不符合题 意；对于B,因为kAB=9X 一1 2 9 2<-3,所以直线AB与双曲线无 交点，不符合题意；对于C,AB=9X 3=3,此时直线AB与渐近线y=3z 平行，与双曲线不可能有两个交点，不 符合题意；对于D,因为kAB=9X -1 9 44 3,所以直线AB与双曲线 有两个交点，满足题意.故选D. 3.ABD易知1：x=一1，故1与⊙A相 切，故A正确：A(0,4),⊙A的半径r= 1,当P,A,B三点共线时，P(4,4), 所以PA|=4,|PQ|= PA-r=√4-1=5， 故B正确；当PB=2时，P(1,2), B(-1,2)或P(1,-2),B(-1,-2), 易知PA与AB不垂直，故C错误；记抛 物线C的焦点为F,连接AF,PF(图 略)，易知F(1,0),由抛物线的定义可 知PF=PB|,因为PA= |PB,所以|PA|=|PF,所以点 P在线段AF的中垂线上，线段AF的 中垂线方程为y=子十授中工 1 15 4y-2,代入y=4红可得y2-16y+ 30=0,解得y=8士√/34，易知满足条 件的点P有且仅有2个，故D正确.故 选ABD. 42或-名（写出-个即可） 解析：由题意，知该双曲线的渐近线方 程为y=士2x,直线y=k(x3)过 定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内， 所以要使过该点的直线与双曲线只有 一个公共点，则该直线与双曲线的渐 近线平行，所以k=士之 1 微专题27最值与范围问题 》热点分类·考向探究《 例1解：(1)因为动点M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和点M到定直线l:x= 4的距离的比是常数 2,可得 √(x-1)2+y2 4-x1 ?,化简整理得 3x2+4y2=12,即曲线C的方程为 3 2)联立方程组4十？二人 整理 kx一y-k=0, 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 设A(x1,y),B(x2y2),可得△= 64k-4(4k2+3)(4k2-12)= 144k2+144>0,且x1十x2= 8k2 4k2-12 4h2+321x:=4h2+31 由弦长公式，可得「AB|= /1+k2|x1-x2= √+[)-4 4k°-127 4k2+3 即|AB|= 12(k2+1) 4k2+3 301+6+ 因为3<31+十3)≤4，所以 1AB的取值范围为(3,4]. 跟踪训练1解：(1)设M(x,y),P(xa, yo),则x十y后=4，过P作x轴的垂 线，垂足为Q,则Q(x0,0), 因为Md=pd,所以(，-， 2 -= 2(0.-y) 2√5 则(y 2yo'整理得 yo= 3y, =x0· x。=x, 代入x6+y8=4中得x2+号y Γ3y2=4, 整理得罗+公=1，所以曲线C的方 3 人 =1. (2)如图，依题意得直线AB不垂直于 y轴， 则设其方程为x=my十3， x my+3, 由 y =1 消去x并整理得 4 3 (3m2+4)y2+18my+15=0, B N △=(18m)2-60(3m2+4) 48(3m2-5)>0,解得m2> 5 3 设A(x1y1),B(x2y2),则y1十 18m 15 y2= 3m2+4y1y= 3m2+41 则S△AOB= 210N11y1-y21= 含y+)4% 6√3/3m2-5 3m2+4 令t=/3m2-5,则t>0,且3m2= t2十5，S△A0B 6√3t 6√3 t2+9 9 6√3 =√5， 当且仅当1=9，即1=3时取等号，所 以△AOB面积的最大值为3. 例2解：(1)抛物线C:y2=2p.x(p>0) 的焦点F(20),准线方程为x 2 由题意，该抛物线焦点到准线的距离 为号-（2）=p=2 所以该抛物线的方程为y2=4x. (2)方法一（轨迹方程十基本不等式法）》 设Q(x,y),则P0=9Q求=(9 9x,-9y),所以P(10x-9,10y), 由点P在抛物线上可得(10y)2= 4(10x-9),即x= 25y2+9 10 据此整理可得点Q的轨迹方程为y2 2 9 5- 25 所以直线OQ的斜率koQ y 10y 25y2+9 25y2+91 10 当y=0时，koa=0: 10 当y≠0时，koa= 25y+ 9 y 当y>0时，因为25y+9 2 25y·9 =30, 此时0<ko≤子，当且仅当25y 号即y= 时，等号成立； 当y<0时，ko0<0. 综上，直线OQ斜率的最大值为 3 方法二（轨迹方程十换元求最值法》 同方法一得点Q的轨迹方程为y2 5x-25 设直线OQ 的斜率为k,则k2= () 2 9 5.x 25.x2 =(0<t≤9)，则= 9 9 2+2t,已知f()=— 25 2十 2 图象的对称轴为直线1 。,所以 0≤k2≤ ，<≤故直线 OQ斜率的最大值为3 方法三（参数十基本不等式法） 由题可设P(4t2,4t),Q(x,y). 因为F(1,0),PQ=9QF,所以(x 4t2,y-4t)=9(1-x,-y). 于是 -42=91-x), ly-4t=-9y, 所以 110x=4t2+9, 110y=4t, 则直线OQ的斜率为义 ，当 4t2+9 1≤0时，兰≤0，当1>0时， 4 4 1 9 3 当且仅当红=号，即1= 9 时等号成 立，所以直线OQ斜率的最大值为 跟踪训练2解：(1)由题意得，F1(一c, 0),F2(c,0),直线l的方程为y= b（x-c),即b.x-av-bc=0. a 设△PF,F2的内切圆O'与△PF,F 三边的切点分别为A(x。,0),B,C,连 接AO',如图所示， F .0/ /F B C PF-PF2 =I PC CF- PB+BF2)=AF-AF2= (x0+c)-(c-xo)=2x0=2a, 即x。=a,又AO⊥x轴，圆O的半 径为，则0r(-名) 所以点O到直线（的距离为 6 b-a…（3）-c /a2+b2 3,整理 得|4a-3c|=c. 又c>a,所以c=2a. 又因为|F1F2=2c=4,所以c=2, a=1,b2=c2-a2=3,所以双曲线E 的方程为x2一 3 =1. (2)①证明：设G(x1y),H(xy), y=kx+m, 联立 r2-y2 则(3一k2)x2 =1, 3 2kmx-m2-3=0, 所以△=4k2m2+4(3-k2)(m2+ 3)>0,即m2+3>k2,且x1+x2= 3-k2x1x2=-m+3 2km 3-k2, 则y1十y2=kx1十m十kx2十m= 6m k(x1+x2）+2m=3-k' 设GH的中点为D,则D(1十x」 2 )博D() 2 因为线段GH的中垂线过点K(0,4), 3m 4 所以 3-k2 ·k=一1，整理得m= km 0 3-k9 3-k2 ②如图，由①知，m=3-k2, 则x1十x=2kx1x=-m+3 777 y1十y2=6,D(k,3),则k>0,所以 m<0,又m2+3>k2=3-m,所以 m<-1. 因为GH|=√k2十1· W(x1十x2)2-4x1x2=Vk+1· √4h2+4.m+3 =k2+1. m /4(3-m)+4.m+3 2e+1·3+,所以1GD1= m 21GH=V顶+1·3+ 由K,D的坐标得|KD|=√k+1, 则tan∠GKD= GD KD 3+3 ∈(0，√3). 又∠GKD为锐角， 所以∠GKD∈(o,). 又∠GKH=2∠GKD,所以∠GKH 的取值范围为(0，）· K 》真题演练·重温高考《 1.解：(1)由题可知，A(0,-b),B(a,0), √a2+b=√10， 所以e=C= 2√2 3 =a -b2, a 三 9, 解得 {b2 =1,故椭圆C的标准方程为 =8, x2 +y2 =1. (2)①方法一 设R(xo,yo),由题意 知A(0,-1),P(m,n),m≠0， 所以D=”十，kR= y。+1 n 故y十1 n+ ,且m.x0>0. 因为|AP川AR=3, 所以W/m2+(n十1)2X √x6+(yo+1)7=3, 即m2+(n+1) x0=3, m 解得x0= 3m m2+(n+1)7 所以y。= n十2-m2-n2 m2+(n+1)2 所以点R的坐标为 +） 3m 方法二设AR=λAP,入>0， 由题意知AP=(m,n十1)， 则|AP|AR|=3→ λ[m2十(n+1)2]=3, 3 所以入= m2+(n+1)2 所以AR=λAP=λ(m,n+1)= 3m 3(n+1) m2+(n+1)2'm2+(n+1) 故点R的坐标为 +w2） 3m n+2-m2-n2 m2+(n十1)2 ②因为koR= 3m m2+(n+1)2 参考答案 327 n+2-m2-n 3m ,k0p= ”,k=3kop m 所以 n n十2-m2-n m 3m 化简得m2十n2+81-2=0,即m2+ (n+4)2=18(m≠0)， 所以点P在以N(0,一4)为圆心，3√2 为半径的圆上（除去y轴上的两个点）， |PQ|max为Q到圆心N的距离加上 半径. 方法一设Q(3cos0,sin0), QN2=(3cos 0)2+(sin 0+ 4)2=9cos20+sin0+8sin0+16 8cos20+1+8sin0+16=8(1 sin0)+8sin 0+17=-8sin08sin 0+ 25=-8(sm0-号）+27≤27.当 且仅当sin0= 时取等号，所以 2 |PQ|mx=√/27+3W2=33+3√2. 方法二 设Qrag).则号 =1 所以|QN12=xa+(ya+4)2=9- 9y8+y0+8yo+16=-8y8+8ya+ 25=-8(a-2)+27≤27，当且 1 仅当yQ= 时取等号， 故PQ max=√27+3√2=3√5+ 3√2. 2.解：(1)设A(xA,yA),B(xByB), 由 x-2y十1=0可得y2一4py十 =2p.x 2p=0,所以yA+yB=4p, yAyB =2p, 所以|ABI= √(xA-xB)十(yA-yB)P= 5A-= 5X√(yA+yB)- 4yAy8 =4V15 即2p2一p一6=0，因为p>0,解得 p=2. (2)由(1)知F(1,0),显然直线MV的 斜率不可能为零， 设直线MN:x=my十n,M(x1,y1), N(x2,y2), 由=4红， x =my+n 可得y2-4my-4n 0,△=16m2+16n>0→m2+n>0. 所以y1十y2=4my1y2=一4n. 因为FM.FN=0,所以(x1-1)(x2一 1)+y1y2=0, 即(my1+n-1)(my2+n-1)+ y1y2=0, 亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+ y2)十(n-1)2=0,将y1十y2=4m, y1y2=-4n代入得4m2=n2-6n+ 1,4(m2+n)=(n-1)2>0, 所以n≠1，且n2-6n+1≥0，解得 n≥3+2√2或n≤3-2√2. 设点F到直线MN的距离为d, 则d=m-1,1MN1= /1+m (x1-x2)2十(y1-y2) √/1+m2y1-y:= √1+m2√16m2+16m /1+m2√/4(n2-6n+1)+16m 21+m2|n-1|, 3282随勾讲与练·高三二轮数学 所以△MFN的面积S=2 1MNXd=名× √1+m 2/1+m2|n-1=(n-1)2, 而n≥3十2√2或n≤3-2W2, 所以，当n=3-22时，△MFN面积 的最小值为(2-2√2)2=12-82. 微专题28定点、定值问题 》热点分类·考向探究《 例1证明：①当AB斜率不存在时，设 AB的方程为x=m, 则A(m,n),B(m,-n),PA (m-1a-）,P店=(m-1, 因为PA⊥PB,所以PA·PB=(m 2-(。-）=0 因为m2n2 4+3 =1, 所以n2=3-3 所以r-2m十子=0，解得m= 1 4 或m=1(舍去). ②当AB斜率存在时，设AB的方程为 y=kx+t, x2,y2 联立+3=1·消去y得(4+ y=kx十t, 3)x2+8ktx+412-12=0, △=64k212-16(4k2+3)(12-3), 即4k-t+3>0, 设A(x1y1),B(x2y2),则x1十 8kt 42-12 T2=- 4h°十312：=6+3 6t y1+y2=4h2+31y:= 3t2-12k2 4k2+3 因为PA⊥PB,所以PA·PB=(x1 D-D+(-)(6-2）=0 即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2 9 8+g+号 =0, 代入化简得282+4k2+32kt一36t 9=0, 即(2k+2t-3)(2k+14t+3)=0, 3 当2k+2t-3=0时4=之-k,此时 AB的方程为y=k-1D十号，直线 AB过定点(1，）合去： 当2k+14t+3=0时，t=- 品此时AB的方程为y一(： 号)-直线B过定点（分一）》： 综上，直线AB过定点（行-）： 跟踪训练1解：(1)由题知￡=√5，即 a2+b2 =5, =2①， a2 a 当BC⊥x轴时，不妨设直线BC:x=m, 联立 2 =1今1y= x=m /m -a. 又因为AB=BC1=|CA1=4T 11 所以|BC|=2|y|=4√m2-a= 411 11 又因为A在BC的中垂线上，故 A(0,0), 所以m=|AB|sin60°= 2√33 11 ③ 将③代入①②知a=1,b=2. 即W的方程为x2一义=1. 4 (2)证明：由题意知，直线BC的斜率存 在，如图，不妨设BC:y=kx十n (k≠0)， 设A(0,yA),B(x1,y1),C(x2,y2), D(0,n), A C M D y=kx十n, 联立 x-少= →(4-k2)x2 4 2k.x-n2-4=0,需满足△>0， 2nk 所以x1十=4->01： -n2- 4-k 4>0 取BC的中点P(xPyp),则易知 AP⊥BC, 1十x2 IP= = nk 2 4-k7= y+y:= k(x1+x2)+2n 2 2 An 4-k2 又因为kC·kAP=一1， 所以直线AP的方程为y= (-")+ nk An 1 5n k+ 4-k2 5n 所以yA= 4-k2 因为△ABC为等边三角形，所以 I AP √3 1= IBC. 所以+·，”= n 4-k2 2 √1+k. √/(x1十x2)2-4x1x2台11n2-12k2+ 48=0,微专题27 最值与范围问题 》考情分析 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，最值、范围问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴 出现，难度较大。 热点分类》考向探究 考向1与长度、周长、面积相关的最值（范围）问题 反思感悟， 求解最值、范围问题的常见方法 例1动点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和点 1.利用判别式来构造不等关系求解. 1 M到定直线1：x=4的距离的比是常数？，记点 2.利用已知参数的范围，在两个参数之间建立 函数关系求解。 M的轨迹为曲线C. 3.利用隐含或已知的不等关系建立不等式 (1)求曲线C的方程； 求解 (2)若直线m:k.x一y一k=0与曲线C交于A, 4.利用基本不等式求解 B两点，求|AB|的取值范围. 跟踪训练①(2025·黑龙江绥化二模)在平面直 ⑦听课记录 角坐标系xOy中，设P是圆O:x2+y2=4上的 动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q,点M满足 Md-号P及.动点M的轨渣为曲线C, (1)求曲线C的方程； (2)过点N(3,0)的动直线1交C于A,B两点， 求△AOB面积的最大值. 第一部分专题六平面解析几何 131 考向2与角度、斜率相关的最值（范围）问题 跟踪训练2(2025·湖北随州二模)已知双曲线 [例2(2025·重庆沙坪坝区二模)已知抛物线C: x2 y2 y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. E:一。=10>0b>0)的左，右焦点分别 (1)求C的方程： 为F1,F2,过点F,作斜率为2的直线1，直线1 (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值. 与双曲线E交于点P,且△PF,F2的内切圆半 听课记录 轻恰为号F,R= (1)求双曲线E的方程， (2)设直线I1:y=kx十m交双曲线E的右支于 G,H两点，线段GH的中垂线过点K(0,4). ①求证：m=3-k2; ②求∠GKH的取值范围， 4反思感悟， 1.方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的 轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于点Q的纵坐标的表 达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值. 2.方法二同方法一求得Q的轨迹方程，得到直 线OQ的斜率k的平方关于x的表达式，利用换元方 法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ斜 率的最大值. 3.方法三利用参数法，由题可设P(4t2,4t), Q(x,y),求得x,y关于t的参数表达式，得到直线 OQ的斜率关于t的表达式，然后利用分类讨论，结合 基本不等式求得直线OQ斜率的最大值. 132 2对勾讲与练·高三二轮数学 真题演练》重温高考 L,(2025·全国一卷)已知椭圆C:+y 2.(2023·全国甲卷理)已知直线x-2y十1=0与 抛物线C:y2=2x(p>0)交于A,B两点， 1(a≥b≥0)的离心率为2，下顶点为A,右 |AB|=4√15， (1)求； 顶点为B,|AB=√10. (2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，且 (1)求C的方程. FM.FN=0,求△MFN面积的最小值. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP 上，且满足|AP川AR=3. ①设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； ②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR 的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的 最大值 髻提示》请完成课时作业27 微专题28 定点、定值问题 》考情分析 以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查定点、定值问题，运算量较大，难度较大. 热点分类》考向探究 考问1定点问题 「例1(2025·安徽马鞍山一模)椭圆C的标准方 +号-1，点P1,2),若A,B为椭圆C 程为父 上的两点，且满足AP⊥BP,求证：直线AB过 定点。 心听课记录 第一部分专题六平面解析几何 133