专题1 微专题5 曲线的切线与公切线-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

微专题5曲线的切线与公切线 >考情分析 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值 综合考查，难度较大 主干整合》核心提炼 1.导数的几何意义 (3)切点既在切线上，又在曲线上： (1)函数y=f(x)在x=x。处的导数即曲线在 2.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义， 点(xo,f(xo)处的切线的斜率. 通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要 (2)曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线 考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及 不同. 数学运算核心素养」 热点分类》考向探究 考向1曲线的切线 跟踪训练①(1)(2025·广东湛江二模)已知函数 例1(1)(2025·湖南郴州三模)已知函数 f(x)=e十2x,则曲线y=f(x)在点(0， f(x)=x2+2alnx,若函数f(.x)在区间(1,2) f(0))处的切线方程为 () 的图象上存在两条斜率之积为一4的切线，则 A.y=2x+1 实数a的取值范围为 B.y=3.x+1 A.(-2,1) B.(-2,-1) C.y=2x C.(-2,0) D.(-3,-2) D.y=3x (2)已知过点A(a,0)作曲线y=(1-x)e'的 (2)若曲线y=(x十a)e有两条过坐标原点的 切线有且仅有1条，则a的值为 ( 切线，则a的取值范围是 () A.-3 B.3 A.(-4,0)》 C.-3或1 D.3或1 B.(-∞，-4)U(0,+∞) C.(0,4) 听课记录 D.(-∞，0)U(4,+∞) 考向2曲线的公切线 角度1求两曲线的公切线 [例2(2025·黑龙江牡丹江模拟)已知函数 f(x)=e2+1,g(x)=lnx+3,直线l既与曲 线∫(x)相切又与曲线g(x)相切，则直线1的 方程是 () 反思感悟， A.y=x十1 求过某点的切线方程时（不论这个点在不在曲 B.y=-x+2 线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标， C.y=ex+1或y=x+2 再根据切点的“一拖三”（切点的横坐标与斜率相关、 切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程. D.y=1x+2或y=x+1 014 2对勾讲与练·高三二轮数学 。听课记录 4反思感悟 1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲 线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰， 一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线 与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与 抛物线相切可用判别式法. 2.根据曲线的公切线求参数，要利用导数的几 何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率飞的 角度2根据公切线求参数的取值范围 函数，转化成函数的零点问题或两函数图象的交点 [例3若曲线C,=x2与曲线C2y=C(a>0) 问题，利用函数的性质或图象求解. 存在公切线，则实数a的取值范围为 跟踪训练②(1)已知直线y=kx+b是曲线y= A.(0,1) B.》 e的切线，也是曲线y=一e的切线，则k十 b= () c n层+ A.e B.1 心听课记录 C.e D.1+e (2)已知f(x)=e-1,g(x)=lnx十1，则曲 线f(x)与曲线g(x)的公切线有 () A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 真题演练》重温高考 1.(2024·全国甲卷理)设函数f(x)= 2.(2025·全国一卷)若直线y=2x十5是曲线y= e+2sinx,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 e”十x十a的一条切线，则a= 1+x2 3.(2024·新课标I卷)若曲线y=e十x在点 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的 切线，则a= A.6 .3 4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=lnx|过坐标 原点的两条切线的方程为 c D. 盒髻提示》请完成课时作业⑤ 第一部分专题一函数、导数 015(0,1)上单调递减，∴.f(x)<f(0)= 0,.ln(1+x)-/1+2x+1<0,故 ln(1+0.02)<√/1+2×0.02-1，即 ln1.02<1.04-1,故b<c②；令 g（x)=2ln(1+x)-1+4x 1(0<x<2),g'(x)=,2 1 1+x 2 2X+4z-x-1 ,:当0<x<2 (1+x)√/1+4x 时，1+4x-(x+1)2=-x2+2x= x(2-x)>0,∴.1+4x >x十 1,∴g'(x)>0,g(x)在(0,2)上单 调递增，.g(0.01)>g(0)=0,即 2ln(1+0.01)-√/1+4×0.01+1 0,即a>c③.结合①②③得a>c> b.故选B. 微专题5曲线的切线与公切线 》热点分类·考向探究《 例1(1)D 由f(x)=x2+2alnx→ f'(x)=2x+2(x>0,不妨设这两 条切线的切点分别为(x1,f(x1)), (x2,f(x),且f'(x1)·f'(x2)= 一4，若a≥0，则f'(x)>0恒成立，不 符合题意，所以a<0,此时y=f'(x) 在(0，十○)上单调递增，依题意需使 /f'(1)=2+2a<0, f'(2)= +a>0, f'(1)f(2)=(2+2a)(4+a)<-4, 解得a∈（一3，一2）.故选D. (2)C设切，点为(x。,(1一x。)e0),由 已知得y'=一xe,则切线斜率及= -xe0,切线方程为 y-(1 =-xoe (x一x。),直线过点 A(a,0),则一(1-x。)e0=一x。· 0 e(a-x),化简得x-(a+1)x。十 1=0,切线有且仅有1条，即△=(a十 1)2-4=0,化简得a2+2a-3=0,即 (a十3)(a一1)=0，解得a=一3或 a=1.故选C. 跟踪训练1(1)B由f(x)=e+2x, 得f'(x)=e十2，则f(0)=1, f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程为y=3x十1. 故选B. (2)B 设切点为A(x0,y。),由已知可 得y'=e(x十a十1).根据导数的几 何意义可知，切线的斜率为=y'= eo (Zzo ,十a十1)，所以切线方程为y一 (x0+a)e0=e0(x0+a+1)(x x。).又切线经过原，点，所以有0 (.x。+a)e0=e0(x。+a+1)(0 x),整理可得x十ax。一a=0.因为 曲线y=(x十a)e有两条过坐标原，点 的切线，所以方程有两个不相等的实 数解，即有△=a2十4a>0,解得 a<-4或a>0.故选B. 例2C设直线l与曲线f(x)相切于点 A(xo,e0+1),f(x)=e,则切线的 斜率为e,切线方程为y一(e。+ 1)=e0(x-xo),即y=e0x 268 2刻闪讲与练·高三二轮数学 ex。十e0+1,设直线l与曲线g(x) 相切于点B(x1,nx1十3)，g'(x)= 上，则切线的斜率为工，切线方程为 TI y-nx1+3)=1(x-x1),即y= t2+lnx,+2, 1 -e,+e+1=lnx1+2, x0=1, 解得 1或二0则直线1的 x1= e {x1=1, 方程为y=ex十1或y=x十2.故 选C. 例3D由y=x得y'=2x,曲线y= x2在点(m,m2)处的切线斜率为2m, 由y=二(a>0)得)=后，线 e y=号(a>0)在点(，2c）处的切 线外率为，如果两条曲线存在公 1 切线，那么2m= e”(m≠0).又由斜 m2- 率公式可得2m= a 一，由此得 m-n 1 到m=2m-2,则4n-4=后c有解， 所以直线y=4x一4与函数y= 的图象有交点即可.当直线y=4x一4 与画数)=】。的图象相切时，设切 点为(，期e=4,且1=45 4 一e,得s=2,t=4,即有切点（2， ),此时a=三，故实数a的取值范国 4 为[学十四)收造n 跟踪训练2(1)C设直线y=x+b 与曲线y=e的切点为(x1,e1),与 曲线y=一e的切点为(r2,一e), 对函数y=e求导得y=(e)'=e, 对函数y=一e求导得y'= (-e)y=e,则曲线y=e在x= 工1处的切线方程为y一e1=e(z x1),即y=e1x十e1-x1e1,曲线 y=一e在x=x2处的切线方程为 y+e=e(x-x2),即y= ex-xe:-e,所以 e1=e2, 1-c=(-1-,)e,解得 x1=1,故k=e1=c,b=1一 x2=-1, 1)e=0,所以k+b=e.故选C. (2)C根据题意，设直线1与曲线 f(x)=e-1相切于点(m,e"-1),与 曲线g(x)相切于点(n,lnn十1)，对于 f(x)=e-1,有f(x)=e,则直线 1的斜率k=e”,则直线1的方程为y十 1-em e"(x-m),y e"x +(1- m)em-1,对于g(x)=lnx+1,有 g()=1,则直线1的斜率6=1 则直线1的方程为y一(lnn+1)= (z-),即y=+nn,则 1 n 可得(1 (1-m)e In n +1, m)(em一1)=0，即m=0或m=1,则 切线方程为y=ex一1或y=x,故曲 线f(x)与曲线g(x)的公切线有2条. 故选C 》真题演练·重温高考《 1.Af'(x)= (e*2cos x)(1+x2)-(e'+2sin x),2x (1+x2)2 所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在 点(0,1)处的切线方程为y一1= 3(x一0)，即3x一y+1=0,切线与两 坐标轴的交点分别为(0,1)， (子0），所以切线与两生标轴所国 成的三角形的面积为弓X1×号 日放遂A 2.4 解析：对于y=e+x十a,其导数为 y'=e+1,由直线y=2x+5是曲线 y=e十x十a的切线，直线的斜率为 2,令y'=e' 十1=2，即e=1,解得 x=0,将x=0代入切线方程y= 2x十5，可得y=2×0十5=5，所以切 点的坐标为(0,5).因为切点(0,5)在 曲线y=e+x十a上，所以5=e°十 0十a,即5=1十a,解得a=4. 3.ln2 解析：由题意，令f(x)=e十x,则 f'(x)=e+1,所以f'(0)=2,所以 曲线y=e+x在，点(0,1)处的切线方 程为y=2x十1.令g(x)=ln(x十 1)+a,则g'(x)=1 设直线y 2x十1与曲线y=g(x)相切于点(x0, y),则 1 x0+1 =2,得x 2则 y0=2x。十1=0，所以0= n(号+1+a,所以a=ln2. 4.y=xy=-1z 解析：先求当x>0时，曲线y=nx 过原，点的切线方程，设切点为(x。, y),则由y=1,得切线斜率为1， 又切线的斜率为，所以1=，解 to 得y。=1,代入y=lnx,得x。=e,所 以切线斜率为】，切线方程为y 同理可求得当x<0时的切线方 程为y=一上，综上可知，两条切线 e 1 方程为y=二x y--1