专题1 培优课1 抽象函数与嵌套函数-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

恒成立，可知h(x)在 (0方)上单调递增，且(0)=2- 6<0,h(5)=2>0, 所以A(x)在(0，)）上存在唯一的零 点n,当x∈(0，n)时，h(x)<0,且 x>0,1-x2>0, b3x+2-b2)<0, 即当x∈(0，n)三(0,1)时，f'(x)< 0,则f(.x)在(0，n)上单调递减， 结合偶函数的对称性可知f(x)在 (一n,0)上单调递增，所以x=0是 f(x)的极大值点，符合题意. 综上所述，b2>2,即a2>2,解得a> √2或a<一√2，故a的取值范围为 (-∞，-√2)U(2,+∞). 跟踪训练2解：(1)函数f(x)=e asin z-1(a>0),求导得f'(x）= e-acos x, 当0<a≤1时，由x∈(0，x),得 acos z<1,e>1,f'(x)>0, 函数f(x)在(0，π)上单调递增，没有 极值点，不符合题意； 当a>1时，令h(x)=f'(x),求导得 h'(x)=e十asin z,而sinx>0,则 h'(x)>0, 函数f'(x)在(0，π)上单调递增，又 f'(0)=1-a<0,f(5）=e2>0, 所以函数'(x)在(0，π)上有唯一零点 x1且x∈(0,2)，则当x∈(0x) 时f(x)<0:当x∈(z1,)时， f'(x)>0.因此f(x)在(0，π)上有唯 一极值点，符合题意. 综上，实数a的取值范围是(1，+c∞). (2)由(1)知，当a>1时，存在x1∈ (0,）,函数f()在(0x)上单调 递减， 当x∈(0，x1)时，f(x)<f(0)=0, 不符合题意； 当0<a≤1时，易得当x>0时， sinx<x,则asin x<ax≤x, 于是当x>0时，e-asin x-1>e x一1，令函数p(x)=e一x1,x>0, 求导得9(x)=e一1>0，函数p(x)》 在(0，十∞)上单调递增，p(x)> p(0)=0, 此时e-asin z一1>0对x>0恒成 立，符合题意 综上，实数a的取值范围是(0,1] 培优课1抽象函数与嵌套函数 》热点分类·考向探究《 例1ABD对于A,令x=1,y=0,则 f(f(1))=f(1)+f(0),因为f(1)= 1,所以f(1)=f(1)十f(0),解得 f(0)=0,故A正确；对于B,令y= 一x,则f(f(x-x))=f(x) 十 f(-x),得f(f(0)= f (z) 十 f(一x),由A可知f(0)=0,所以 f(0)=f(x)+f(-x)=0,即 f(一x)=一f(x),又f(x)的定义城 为R,所以f(x)是奇函数，所以f(x) 的图象关于点(0,0)对称，故B正确； 对于C,令y=1一x,则f(f(x+1 x)=f(x）+f(1 x)= f(f(1)=f(1)=1,即f(x)+ f(1一x)=1,假设f(x)的图象关于 直线x=2对称，则有f(x)=f1- x）=2,与f(1)=1矛盾，所以假设 不成立，f(x)的图象不关于直线x= 1 对称，故C错误；对于D,由f(x)十 2 f(1一x)=1且f(-x)=-f(x),得 f(x)-f(x-1)=1,即f(x) f(x-1)+1,所以f(2)=f(1)+1=2, f(3)=f(2)+1=3,…,f(2025)= 2025,故D正确.故选ABD. 例2C由题意，定义在R上的函数 f(x)满足f(一x)=f(x),则f(x) 为R上的偶函数，且在[0，十o)上单 调递减，在（一©○，0]上单调递增.又函 数g(x)满足g(1一x)=g(1十x), ∴.函数g(x)的图象关于直线x=1 对称，且在[1，十○)上单调递减，在 (一∞，1]上单调递增.F(x)= 2fx)十g(x)+|f(x)g(z)门户 f(x),f(z)≥gx),作出函数 g(x),f(x)<g(x), F(x)的大致图象如图， =x)/个 y=g(x) 2.- x=l :1十x2与1一x2关于直线x=1对 称，且1-x2≤1十x2,.结合函数图 象可得F(1一x)≥F(1十x2).故 选C. 例3ABC因为f(x)与f(x+1)-2均 为奇函数，所以f(0)=0,f(一x）= -f(x),f(-x+1)-2=-[f(x+ 1)-2],即f(x+1)+f(1-x)=4, 令x=0,有2f(1)=4→f(1)=2,由 f(x+1)+f(1-x)=4→f(x+2)+ f(-x)=4→f(x+2)-f(x)=4, 所以f(2025)=f(2025)-f(2023)]+ Lf(2023)-f(2021)]+·+f(5) f(3)]+[f(3)-f(1)]+f(1)=4× 1012十2=4050，故A正确；对f(x+ 1)+f(1-x)=4求导有f'(x+1) f'(1-x)=0→f'(1+x)=f'(1 x),即f'(x)的图象关于直线x=1 对称，故B正确：由f(1十x)=f(1一 x)→f(x+2)='(-x),对 f(-x)=-f(x)求导有-f(-x) -f'(x)→f'(-x)=f'(x),即 f'(x)为偶函数，即得f'(x十2)= f'(一x)=f'(x),所以f'(x)的一个 周期为2，所以f'(x十2026)= f'(x+2×1013)=f'(x),故C正确； 因为f'(x)的一个周期为2，所以 f(2i-1)=f”(1)=2,所以 ∑f(2i-1)=4050,故D错误.故 选ABC. 跟踪训练1(1)C因为定义在(0， +∞)上的函数f(x),满足f(xy）十 1=f(x)+f(y),所以令x=y=1, 得f(1)+1=f(1)+f(1),所以 f1)=1,令y=?,得f(5)+1= f(x)+f(2),因为f(2)=0,所 以f(x)=f(2)+1,所以f2)= f(2)+1=f(2“)+2=…=f(2)+ 9=f(1)+10=11.故选C. (2)D因为f(x十2)为奇函数，所以 f(-x+2)=-f(x+2),用x+2代 替x得f(-x)=-f(x+4),又f(x) 为定义在R上的奇函数，所以 f(-x)=一 (x)=-f x十4)，所 以f(x)=f(x+4),f(x)是以4为周 期的周期函数，因为f(1)=2,所以 f(2027)=f(4×507-1)=f(-1) = -f(1)=-2.故选D. (3)ABD对于A,因为f(x)是定义 城为R的偶函数，所以f(一x)= f(x),由f(1一x)=f(1十x)可知， f(x)图象的一条对称轴为直线x= 1,且f(-x)=f(x+2),即得f(x+ 2)=f(x),则f(x)的一个周期为2， 故A正确：对于Bf()=f(?) 3(8)=f(3） (3)=子，因为(3)>(3)， 所以f()>f(),故B正确： 对于C,根据题意，可以作出函数f(x》 的图象如下， =) -2 2 4 由上分析知，函数f(x)的最小正周期 为2，当0≤x≤1时，f(x)=x,则由 fx)>名可得号<x≤1，而当1< x≤2时，f(x)=2-x,则由f(x)> 2可得1<x<3 ,综上可得0 2 1 x≤2时，由f(x)> 可得2 <I 三，战对子x∈R,则f(x)>2 的解 案为（号+2 号+2）∈么，战C 错误；对于D,由图知对于k∈Z,必有 f(2k)=0,故D正确.故选ABD 例4C函数y=[f(x)]-3f(x)+ 2=[f(x)-1][f(x)-2]的零点， 即方程f(x)=1和f(x)=2的根，函 |lg(-x)|+1,x<0, 教f(x)= {(2)广+1x≥0 的图象如图所示， 参考答案 275 由图可得方程f(x)=1和f(x)=2 的根共有4个，即函数y=[f(x)]一 3f(x)+2有4个零点.故选C. 跟监训练2[合·) 解析：因为函数y=e在R上为增函 1 数，函数y=一在(0，十c∞)上为减函 数，所以当x0时，1<e十12，当 x>0时，1>0，于是函数f(x)的值 域为(0，十©∞)，又函数f(x)在（一©∞， 0]上单调递增，在(0，+∞)上单调递 减，函数图象如图所示， 设t=f(x)十1，由f(x)>0可得t 1,则f)=子.候题意，可得) f(f(x)+1)一k有两个零点，即得 f(t)-及=0，也即一=k,于是t= 是>1，对=x)+1= 1,由题意 可知，需使方程∫(x)= 1 k --1有两个 不等实数根，结合图象可得 >1, 解得 << 1< -1<2 综上所述，k的取值范围是 [3) 》培优专训·难点突破《 1.D由y=g(x)的图象关于直线x 2对称，可得g(2十x)=g(2一x).在 f(x)+g(2-x)=5中，用一x替换 x,可得f(一x)十g(2十x)=5,可得 f(-x)=f(x).g(x)-f(z- 4)=7中，用2一x替换x,得g(2 x）= f(-x一2)+7，代入f(x)+ g(2-x)=5中，得f(x)+f(-x 2)=-2,可得f(x)+f(x+2)= 一2，所以 f(x+2)+f(x+4)=-2, 所以f(x 十4)=f(x),所以函数 f(x)是以4为周期的周期函数.由 f(x)+g(2一x)=5可得f(0)+ g(2)=5,又g(2)=4,所以可得 f(0)= ,又f(x) f(x+2)=-2, 所以f( +f(2)= -2,f(-1)+ f(1)= -2,得f(2)=-3,f(1) f(-1)=-1,又f(3)=f(- -1,f(4)=f(0)=1, 所以 2 ∑f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+ 5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5× (-1)+5×1=-24.故选D. 2.C,f(x+1)在R上为偶函数， ∴.f(x+1)=f(-x+1),.f(x)的 图象关于直线x=1对称.f(x十2) 在R上为奇函数，.f(x十2)十 f(-x+2)=0,∴f(x)的图象关于 点(2,0)对称，且f(2)=0.:f(x+ 1)=f(-x+1),.f(x)=f(-x+ 2)①.又f(x+2)+f(-x+2)= 276红因勾讲与练·高三二轮数学 0,∴.f(-x+2)=一f(x+2)②，由 ①②得f(x)=一f(x+2)③，由③ 得f(x+2)=一f(x+4)④，由③④ 得f(x)=f(x十4)，.f(x)的一个 周期为4，且f(0)=0,f(x)的图象关 于点(0,0)对称.又对任意的x1,x:∈ [0,1],且x1≠x,都有(x1 x2)[f(x1)一f(x2)]>0,.f(x)在 [0,1]上单调递增，∴f(x)在一个周 期内的图象如图所示 23: f()=f(子+4 ()=f(2-8)=(3) 得)=（传-）=() 图可得()<（行） ().即（得）<()< f(号).故选C. 3.B令t=f(x),则方程[f(x)] (a+2)f(x)+2a=0可转化为t (a+2)t+2a=0.对t一(a+2)t+ 2a=0进行因式分解可得(t一2)(t a)=0,则t1=2,t2=a,所以f(x)= 2或f(x)=a.当x0时，f(x)= e十2，因为指数函数y=e在（一∞， 0]上单调递增，所以f(x)=e+2在 (一∞，0]上单调递增，且f(x)∈(2， 1 3].当x>0时，f(x)=x+一，对其 求导，f(x)=1- (x+1)(x-1) .令f'(x)=0,即 x (x+1)(x-1) =0,解得x=1(x> 0).当0<x<1时，f'(x)<0,f(x) 单调递减；当x>1时，f'(x)>0, f(x)单调递增，所以f(x)在x=1处 取得极小值，也是最小值，f(1)=1十 =2.对于f(x)=2,当x>0时， 1 ,=2,即x2-2x十1=0， (x一1)2=0，解得x=1,有1个根. 因为[f(x)]-(a+2)f(x)+2a=0 有4个互不相同的根，f(x)=2已经 有1个根，所以f(x)=a需要有3个 不同的根.结合f(x)的图象（如图）可 知，当2<a≤3时，y=f(x)的图象 与直线y=a有3个交点，即f(x)= a有3个不同的根，则a的取值范围为 (2,3].故选B. y=f(x) )= 3 0 4.ABC取x=y=0,则f(0)=0+ 0=0,故A正确；取x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0, 故B正确；取x=y=一1，则f(1)= f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,取 y=-1,则f(-x)=f(x)十x2f(-1), 所以f(一x)=f(x),所以函数f(x) 为偶函数，故C正确；由于f(0)=0,且 函数f(x)为偶函数，所以函数f(x) 的图象关于y轴对称，所以x=0可能 为函数∫(x)的极小值点，也可能为函 数f(x)的极大值点，也可能不是函数 f(x)的极值，点，故D不正确。故 选ABC. 5.BC 因为（号-2x)g2+x)均为 偶函数，所以f(号-2x）=(号十 2x),即f(2-x）=f(号+x) g(2十x)=g(2-x),所以f(3一x)= f(x),g(4-x)=g(x),则f(-1) = f(4),故C正确；函数f(x),g(x)的 图象分别关于直线x=号，x=2对 称，又g(x)=(x),所以g(含)= 0,g(3-x)=一g(x),所以g(4 x）=g(x)=一g(3-x),所以g(x十 4)=一g(x十3)，所以g(x十2)= -g(x+1),所以g(x+1)=-g(x), 所以g(x十2)=g(x),所以 g(2）=g(2)=0,g(-1) g(1)=一g(2),故B正确，D错误；若 函数∫(x)满足题设条件，则函数 f(x)十C(C为常数)也满足题设条 件，所以无法确定f(0)的函数值，故A 错误.故选BC. 培优课2导函数的隐零点 》热点分类·考向探究《 例1证明：f(x)=2x+2lnx+1, 欲证f(x)≤xe+lnx,只需证2x十 2lnx+1≤xer+lnx, 即证xe-2x-lnx-1≥0， h(z)=ze-2x-In z-1(x >0), 则h'(x)=ex+2xe2:-2-1= 2x+1(e-), 又x>0,则2x+1>0, 设K(z)=e-1,则K'(x) 2e+二>0，则K(x)在(0，+o)上 单调递增， 又K()=E-4<0.KI)=e- 1>0, 所以3x。∈(，1），使得K(z)= 0,即e0-1=0,即2x=-lnx ℃o 所以当x∈(0，x。)时，K(x)<0,即 h'(x)<0, 当x∈(x0,十∞)时，K(x)>0,即 h'(x)>0, 所以h(x)在(0，x。)上单调递减，在 (x。,十∞)上单调递增，(2)若f(x)>0在(0，+∞)上恒成立，求实数 a的取值范围. 4反思感悟… 1.当0<b≤2时，利用sinx<x,x∈(0,1)， 换元放缩. 2.当b2≥2时，利用x-x2<sinx,x∈(0， 1),换元放缩. 跟踪训练②已知函数f(x)=e一asin x 1(a>0). (1)若f(x)在区间(0，π)内有唯一极值点x1, 求实数a的取值范围； 温髻提示》请完成教考衔接练② 培优课1抽象函数与嵌套函数 》考情分析 1.以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用，难度中档偏上 2.以选择题、填空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等，难度中档或偏上， 热点分类》考向探究 考向1抽象函数 角度2数形结合研究抽象函数 角度1赋值法研究抽象函数 例2(2025·重庆江北区质检)已知定义在R上 [例1（多选）(2025·广东深圳三模)已知函数 的函数f(x),g(x),其中f(x)满足f(一x)= f(x)的定义域为R,f(f(x+y)=f(x)+ f(x)且在[0，十∞)上单调递减，函数g(x)满 f(y),f(1)=1,则 足g(1-x)=g(1+x)且在[1，+∞)上单调 A.f(0)=0 递减，设函数F(x)= 2fx)+ge)十 B.f(x)的图象关于点(0,0)对称 |f(x)-g(x)门，则对任意x∈R,均有 Cf)的图象关于直线x=号对称 () D.f(2025)=2025 A.F(1-x)≥F(1+x) B.F(1-x)≤F(1+x) 听课记录 C.F(1-x2)≥F(1+x2) D.F(1-x2)≤F(1+x2) 心听课记录 第一部分专题一 函数、导数 027 (3)(多选)已知定义域为R的偶函数f(x),满 足f(1-x)=f(1十x),当0≤x≤1时， f(x)=x,则 () A.f(.x)的一个周期为2 角度3利用函数性质间的关系推理论证 例3（多选）(2025·安徽安庆模拟)已知函数 B)>(》 f(x)与f'(x)的定义域均为R,且f(.x)与 C.f(x)>2的解集为(- f(x十1)-2均为奇函数，(1)=2，则下列结 论正确的是 ( 2k)(k∈Z) A.f(2025)=4050 D.f(2k)=0(k∈Z) B.f'(x)的图象关于直线x=1对称 考向2嵌套函数 C.f'(x+2026)=f'(x) [例4(2025·湖北恩施模拟)已知函数f(x)= D.芝/(2i-1)=2025 |lg(-x)|+1,x<0, 分)+1x≥0. 则函数y=[f(x门] 听课记录 3f(x)十2的零点个数是 ( A.6 B.5 C.4 D.3 心听课记录 4反思感悟------------------ 1.求函数在特定点的函数值、最值以及解析式， 或判断函数的单调性、奇偶性及周期性，往往在条件 等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的 条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用. 4反思感悟， 2.数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根 1.破解此类问题的主要步骤 据奇偶性、周期性等性质画出示意图，摘取有效信 第一步：换元解套，将嵌套函数的零点问题通过 息，结合图象解题 换元转化为函数t=g(x)与y=f(t)的零点间题】 第二步：依次求解，令f(t)=0求t,代入t 跟踪训练①(1)已知定义在(0，+∞)上的函数 g(x)求出x的值或判断图象交点个数. f(x),满足f(xy)+1=f(x)+f(y),且 2.含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取 值“动起来”，结合性质、图象抓临界位置，确定参数 f分)-0，则f2) ( 取值范围. A.1 B.10 C.11 D.1024 e2+1,x≤0， (2)(2025·江西景德镇模拟)已知f(x)为定 跟踪训练2已知函数f(x) 若 义在R上的奇函数，且f(x十2)也为奇函数， xx>0, 若f(1)=2,则f(2027)的值是 方程f(f(x)+1)一k=0有两个不相等实数 A.1 B.-1 C.2 D.-2 根，则k的取值范围是 028 2对勾讲与练·高三二轮数学 培优专训》难点突破 1.(2022·全国乙卷理)已知函数f(x),g(x)的 3.(2025·安徽池州二模)已知函数f(x)= 定义域均为R,且f(x)十g(2-x)=5,g(x) ex+2,x0, f(x一4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x= x>0, [f(x)]-(a+2)f(x)+ 2对称，g02)=4,则2/0)= 2a=0有4个互不相同的根，则a的取值范围为 A.-21 B.-22 () A.(2,3) B.(2,3] C.-23 D.-24 C.(3,十∞) D.[3,+∞) 2.已知函数f(x)满足：①定义域为R;②f(x十 4.(多选)(2023·新课标I卷)已知函数f(x)的 1)为偶函数；③f(x十2)为奇函数；④对任意 定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 的x1,x2∈[0,1]，且x1≠x2,都有(x1 () x[f)-fx)]>0.则f(）f(号）. A.f(0)=0 B.f(1)=0 (得)的大小关系是 C.f(x)是偶函数 D.x=0为(x)的极小值点 A()<)<得》 5.(多选)(2022·新高考I卷)已知函数f(x)及 其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)= ()<f得<) fx.若f(号-2z)g2+x)均为偶函数则 c得)<)<（得 () A.f(0)=0 D得<()<f() Bg2)=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 培优课2 导函数的隐零点 》考情分析 导函数的隐零点在高考试题无法单独考查，而是作为一种方法在不等式证明、恒成立等问题中加以应用， 这类问题一般作为解答题出现，难度较大 热点分类》考向探究 考向1不含参函数的隐零点问题 例1已知函数f(x)=2x+2lnx十1，求证： f(x)≤xe2x+lnx. ⑦听课记录 第一部分专题一函数、导数 029