小题限时练8-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习考前增分练

班级： 姓名： 小题限时练8 (分值：73分 时间：50分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每 5.已知等比数列{an}的前n项和为Sm,若a3十S3= 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 2,a6十56=6+S,则a:+a5 () 求的. ag十a11 1.设集合A={xx2-4≤0}，B={x|x+a≤0}. 1 A.9 8.6 若A二B,则实数a的取值范围是 () 1 1 A.(-∞，2) B.(-∞，2] C.21 D.2 C.(-∞，-2) D.(-∞，-2] 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 2.已知复数满足1 +i =ii为虚数单位)，则「之= 6 sin A-sin C a+c sin A-sinB,则C= ( ( ) A.4 B.2 A B 3 C.1 0.2 D. 元 3 3.已知a,b,c均为单位向量，若a=b十c,则b与c夹 角的大小是 () 1E知双面载C号-》=1a≥0b>0创的左能 A B 3 点右顶点分别为P,A,过点F且倾斜角为5的直 、2π 5元 线分别交C的两条渐近线于点M,N.若△AMN C.3 0.6 为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程是 Ay= 32 4.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分 与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是 By=±23 3 ( C.y=士3x A.极差 B.第45百分位数 C.平均数 D.众数 nv生 (横线下方不可作答) 245 小题限时练 8已知函数f代r)a十1ara>1则关于 11.已知函数f(x)满足对任意x,y∈R,xf(y)十 yf(x)-f(xy),且当0<x<1时，f(x)>0. 的不等式f(x2)+f(5.x-6)>1的解集是 下列结论正确的是 () A.(-6,1) B.(2,3) A.f(0)+f(1)=0 C.(-o∞，1) D.(2,十∞) B.f(x)为偶函数 C.当|x>1时，xf(x)<0 D.f(x)在(1，十∞)上单调递减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每 小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若函数f(x)=sinx+acos x的图象关于直线 9.已知cos a cos3= 1 =灭对称，则实数a的值是 A.sin asin-12 x=6 得分 B.cos(a-B)-6 1 1 C.tan atan B=- 3 D.sin 2a sin 28-12 1 13.已知箱圆C号十y°-1的上顶点为A,直线1： y=kx+m交C于M,N两点.若△AMN的重 心为（分0），则实数k的值是 10,在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=,将菱 得分 形ABCD沿对角线BD折成四面体A'BCD,使 得∠ABC=5,则 ( A.直线A'C与直线BD所成角为 14.将9个互不相同的向量a;=(x:y:),xy:∈ B直线A'C与平面BCD所成角的余弦值为 3 {-1,0,1},i=1,2,…,9填入3×3的方格中，使 C.四面体A'BCD的体积为4y2 得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的 3 填法种数是 得分 D.四面体A'BCD外接球的表面积为8π 红对勾讲与练 246 高三二轮数学 ■0,得存在x1∈(1,2)，使得h(x1)= 0,所以当x。>1时，此时f(x。)符号 不定，故C,D可能正确.故选BCD. 11.ABD当非空数集A是{1,2,3,4}子 集中含1个元素的子集时，A|=1, 根据 阶完美集”的定义，{1,2,3,4} 中大于或等于1的数有1,2,3,4，共4 个，所以此时A可以是{1}，{2}，《3}， {4}:当非空数集A是{1,2,3,4}子集 中含2个元素的子集时，|A|=2, {1,2,3,4}中大于或等于2的数有2， 3,4,共3个，所以此时A可以是{2， 3},{2, {3,4};当非空数集A是 {1,2,3, 子集中含3个元素的子集 时，|A1=3,{1,2,3,4}中大于或等 于3的数有3,4，共2个，不满足“n阶 完美集”的定义，所以1,2,3,4}子集 中含3个元素的子集不满足；同理， {1,2,3,4}子集中含4个元素的子集 也不满足.综上，4阶完美集有{1}， {2},{3},{4},{2,3},{2,4},(3,4},所 以a:=7,故A正确.若将n 完美集 A中元素全部加1，A中元素个数不 变，但min(A)加1变大，均不违背 (n十1)阶完美集的定义，所以得到的 新集合是一个(n+1)阶完美集，故B 正确.若n=4,满足条件的集合A的 个数为7，而a:-4=5十6十1-4= 8≠7，故C错误.对于满足(n十2)阶 完美集的所有A,n十2不属于所有 A,可视为退化为(n十1)阶完美集的 情况，总个数为aw+1,又因为|A> 1,所以满足条件的集合A要排除掉 (n+1)阶完美集中只含有1个元素 的情形（排除(n十1）个单元素集合)， 因此满足条件的集合A的个数均为 a+1一(n十1)=am+1一n一1，故D正 确.故选ABD. √5 12. 解析：当x=0时，由3x十2y=6,得 y=3;当y=0时，由3x+2y=6,得 x=2.由题意可得(0,3)，(2,0)为椭 圆m2x2+n2y2=1的顶点，则椭圆的 方程为 1年+=1，所以a=3,b 0= 2,可得c=√a2-b2=√5，所以离 心率e= 3 13.- 9 解析： 依题意，tan atan B sin asin B =2,则sin asin3 cos acos B 2 cos acos,由cos(a-B)=3,得 cos acos B+-sin asin=,解得 cos acosB=g,所以cos(a+B)= cos acos B-sin asin B- -cos acos B=-1 9. 6√13 14. 13 解析：如图，在四棱锥P-ABCD中，延 长PQ交BC于点R,令BR=λBC, 0<x<1,P0=uPR,0<4<1,由 AB=AD=√10，∠BAD=90°，得 BD=2W5.又CB=CD=5,所 以S△BD= BD· /BC2- (BD) ×25× ÷2 25=10,S△ABD= 2×而× 10=5.由PB=4,PC=3,得 PB+PC2=BC2,则PB⊥PC, cos∠CBD= ,sin∠CBD=2 5 5 sin∠ABR = sin(∠CBD+x)） 3√10 2 5 10 2X v10x5x3110 1 S△ABR= 10 A,SADR=10(1-A).设点P到底 2 面ABCD的距离为h,依题意， VRAD-Va-PAD=RVR-PADVPARD 由VQALCD=(I一)VE-ARCD,得(1一μ)· 子156=·3[5-1g8-101 1 2 A0],剩31-)=r1+含）a 手8而成=1-p啦+元，则 6 P求：=16(1-1)2+9x2,PQ= 4p求=36.25x°-321+16，令X十 (A+8)2 8=t∈(8,9)，PQ2=36. 25,-8)2-32(t-8)+16=36· 25t2-432t+1872 3614(-2）+25]当 26,即1=26 时，(P) A=3 ,所以PQ长的最小值为5区 36 13 y D R ● 小题限时练8 1.D由x2-4≤0可得A=[-2,2], 由x十a≤0可得B=(-∞，-a].又 A二B,所以2≤-a,即a≤-2.故选D. 1 1 2B因为十=i,所以：+i= =-i,所以之=-2i,所以11=2. i 故选B. 3.C已知a=b十c,两边平方可得 a2=(b+c)2,所以a2=b2+2b·c+ c2,因为a,b,c均为单位向量，所以 |a|=|b|=|c|=1,根据a= 1a12=1,b2=1b12=1,c2= 1c12=1,将其代入a2=b+2b·c+ c2可得1=1+2b·c+1,则b·e= .设b与c的夹角为0,0≤0≤元， 2 由1b=|c1=1,b·c=- 2,可得 1 2 =1X1Xc0s0,即c0s0=- 2, 解得日=1 故b与c夫角的大小是 2x ,故选C 3 4.B若每个数据都不相同，则极差一定 变化，故A错误；由10×0.45=4.5 5,所以将10个数据从小到大排列，第 45百分位数为第5个数据，从10个原 始评分中 、最高分与一个最低 分，得到 有效评分，8×0.45= 3.6<4,所以第45百分位数为8个数 据从小到大排列后的第4个数据，即为 原来的第5个数据，故B正确；去掉一 个最高分与一个最低分，平均数可能 变化，故C错误；去掉一个最高分与一 个最低分，众数可能变化，故D错误.故 选B. 5.A设{am}的公比为q,因为a3十S3= 2,a6+S6=a3g3+Sg(1+g2)= g3(aa+S3)+S3=2g3+S,=6+Sa, 1 所以g3=3,所以：十0i 1 as+an 9 故选A. b 6.B在△ABC中，由 a +c sin A-sin C sin A-sin B 及正弦定理，得6 = a +c a一S,整理得a2+b2-c2=ab,由余 a-b 弦定理得cosC=a+b一c 2ab 2 又0<C<元，所以C=天，故选B. 3 7.C由题意可得A(a,0),F(一c,0),所 3 以直线MN的方程为y= (z +c). 3 6 不妨令点M在直线y=2x上，由 (x十c), 可得M( b y= (x+c), ,由 可得 √5b-a y= 为等边三角形，所以|AM|=|AN|, *(。a）+( bc 。)+(+。) bc √3b+a 理可得6=3，所以2=5，所以双 曲线C的渐近线方程是y=士√x.故 选C. 8.A 由1-f(-x)=1-aa+ a(x)3=1- 1十a2a 参考答案 389 a”+7ax3=f(x,得1-f(5x 1 6)=f(6一5x).由a>1,得函数y= a“在R上单调递增，易知函数f(x) 在R上单调递减.由f(x2)+f(5.x 6)>1,得f(x2)>1-f(5x-6),即 f(x2)>f(6-5x),可得x2<6 5x,分解因式可得(x+6)(x一1)<0， 解得-6<x<1.故选A. 9.BC cos(a +B)=cos acos B- 1 sin asin月=3，且cos cos月=， 1 得sin asin日=一12故A错误： cos(a-B)=cos acos B+sin asin B= 一2=6，故B正确；由 1 tan atan B sin asin B 2 cos acos B 1 4 -3,故C正确：由sin2asin29= 2 sin acos a·2sin3cos3=4sina· sin eo=4X()×子 1 一12，故D错误.故选BC. 10.ABD如图所示，取BD的中点E,连 接A'E,CE,因为△A'BD和△BDC 为等边三角形，所以A'E⊥BD, CE⊥BD,因为A'E∩CE=E, A'EC平面A'EC,CEC平面A'EC, 所以BD⊥平面A'EC,因为A'CC 平面A'EC,所以BD⊥A'C,故A正 确；因为BD⊥平面A'EC,所以A'在 平面BCD内的投影落在直线EC上， 所以∠A'CE为直线A'C与平面BCD 所成角，因为∠ABC=2,A'B= BC=2,所以A'C=2√2，因为A'E= BC=B,所以cos∠A'CE= √3 3,故B正确：易得△AEC中，边 A'C上的高为1，故SaA=2X 2√2X1=√2，BDL平面A'EC,则 Vrn=吉SaAC·BD=号 3 2×2=2,故C错误：设点01,0： 3 分别为△A'BD和△BDC的外心，过 点O1,O2分别作OO⊥平面A'BD, O,O⊥平面BDC,O1O∩OO=O 则点0为球心，则C0,=25」 3 EO:=EO= 3,在△A'EC中， √3 tan∠AEC 2 =2,故00，= EO:·tan∠A'EC=E 2 3 则0C2=00+C0:= 3 2） =2,则四面体A'BCD外接 390红因勾讲与练·高三二轮数学 球的表面积为4πX2=8π，故D正 确.故选ABD. y OD BE 1.ACD因为xy∈R,xf(y)+ yf(x)=f(zy),x=0,=0, 可得0f(0)+0f(0)=f(0×0),所 以f(0)=0,令x=1,y=1,可得 1f(1)+1f(1)=f(1×1),所以 f(1)=0,所以f(0)+f(1)=0,A 正确；由xf(y)十yf(x)=f(xy), 令y=一1可得，xf(一1)一f(x)= f(-x),再将xf(-1)-f(x)= f(-x)中的x替换为一1，可得 -f(-1)-f(-1)=f(1),所以 f(一1)=0，所以一f(x)= f(一x),所以函数f(x)为奇函数， B错误；当x≠0时，将xf(y)十 yf(x)=f(xy)中的y用二替换， 可得()+)=1)= 0:即xf)=-2f(）当x> 1时，0< 1<1,由已知可得 f(）>0,所以xf)<0, f(x)<0,又函数f(x)为奇函数， 所以当x<一1时，f(x)>0, xf(x)<0,所以当|x|>1时， xf(x)<0,C正确：因为xf(y)+ yf(x)=f(xy),所以若xy≠0，则 f2+fx)=x,任取x, y Ty x2∈(1，+∞)，且x1<x2,则 fx:)_f(x1) 21XI1 f(x1) ) f(x1) f(x)= )因为> x1>1,所以>1,0<4<1，所 以fx-fx<0,所以 fx)<fx,所以函数f》在 (1,十∞)上单调递减，设y=x· ）,当x>1时y=f）+ x x「f],因为f)<0,所以 Cx)<0,因为函数》在 (1,十∞)上单调递减，所以 「fx门'≤0，所以y<0,所以 f(x)在(1，十∞)上单调递减，D正 确.故选ACD. 12.√3 解析：因为函数f(x)=sinx+a· 0sx的园象关于直线工=行对称， 所以f(行+x）=f(日-x),所 以sin(行+x）+acos(+x） sim(行-x）+acos(5-z）,所以 sin( +x）-sim(-x） a cos(-)-cos(+), 所以2cos6sinx=2asin6sinz 因为sinx不恒为0，所以cos合 asin,所以a=5. 3 13. 解析：已知椭圆C:) 十y2=1,上顶 点坐标为A(0,1).设M(x1y1), N(x2,y2),因为△AMN的重心为 (20）,所以 0+x1十x2 = 3 2 1十y1+y2=0.由 0十x1十x2 3 3 1 可得x1十x= 3 由 2 1+y十y2=0可得y1十y2=一1. 3 将直线l:y=kx十m代入椭圆C: 2+y=1,可得2+(kx+m)= 1,展开并整理得(1+2k2)x2十 4kmx十2m”一2=0.根据根与系数 Akm 的关系可知x1十xg=一 1+26.又 因为y1=kx1十m,y2=kx2十m,所 以y1十y2=k(x1十x2)十2m=kX （2)+2m Akm 2m 1+2k2 由 3 Akm x1十x2= 可得一 1+2k2 ①，由y+y: =一1可得 2 2m 1+2k9 =一1②.由②可得m= 1+2k ,将其代入①可得 2 3 ,则2k= 1+2k9 2 ,解得6= .当k= 3 时，代入 2 4 1 ②可得 m=- 6此时直线1：y= 3 4x- 16 与精凰C:?十y=1有两 个交点，符合题意， 14.72 解析：已知a:=(x:y:),x;y∈《一1， 0,1},i=1,2,…,9,那么向量a:的所 有可能情况有（一1，一1），（一1,0）， (-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1), (1,一1)，(1,0)，(1,1)，共9种.设每 行、每列的三个向量的和为s=(m, n),因为xy:∈{-1,0,1}，所以m, n∈{-3，-2，一1,0,1,2,3}.又因为 三行向量和等于三列向量和，且所有 向量和为∑a,所以3s=∑a,而 = ∑a:的x分量和y分量都为0(z, i=】 y:取值一1,0,1且各有3个)，所以 5=(0,0).要使每行、每列的三个向 量和为(0,0)，则每行、每列的三个向 量的x分量和与y分量和都分别为0. 对于x分量，3个数的和为0，有“一1， 0,1”这一种组合情况；对于 y分量，3 个数的和为0，也有“一1,0,1”这一种 组合情况.先确定第一行的填法，第 一行的三个向量的x分量和y分量都 要满足“一1,0,1”的组合，x分量的排 列有A=3!=6(种)，y分量的排 列也有A=3!=6(种)，所以第一 行的填法有6×6=36（种）.当第一行 确定后，第二行第一列的向量x分量 要与第一行第一列和第三行第一列 的x分量和为0,3 分量同理，所以第 二行第一列的向量有2种，当第二行 第一列的向量确定后，剩下所有的向 量都唯一确定，所以不同的填法种数 是36×2=72. 中档大题规范练1 1.解：(1)因为f(x)=x(a+nx),x>0, 所以f'(x)=a+nx+x·L In x +a+1,>0. 由题意f'(e)=4→lne+a+1= 4→a=2. (2)因为f(x)=x(2+lnx),x>0, 所以f'(x)=lnx+3,x>0. 由f'(x)>0→lnx+3>0→x>e3: 由f'(x)<0→lnx十3<0→0<x e3. 所以函数f(x)在(0，e3)上单调递 减，在(e3,十o)上单调递增. 所以当x=e3时，函数取得极小值， 且f(e3)=e3.[2+(-3)]=-1 2.解：(1)证明：如图，连接BD交AC于 点O,连接SO, 因为四棱锥S-ABCD是正四棱锥，所 以SO⊥平面ABCD. 又ACC平面ABCD, 所以SO⊥AC. 在正四棱锥S-ABCD中，四边形 ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 因为AC⊥SO,AC ⊥BD,SO BD=O,SO,BDC平面SBD, 所以AC⊥平面SBD.又SDC平 面SBD,所以AC⊥SD. Z+ (2)因为OS⊥OB,OS⊥O℃，OB⊥OC 所以以O为原点建立如图所示的空间 直角坐标系， 则A(0,一1,0)，S(0,0,3),C(0,1, 0),D(-1,0,0),所以CD=(-1,-1, 0),SA=(0,-1,-3),D5=(1,0, 3), 市-成+D成=C成+店 (-1,-1,0)+（ 所以os(SA,CP)= sAcp反 ISA IICP 28' 因此异面直线SA与CP所成角的余弦 值为识 3.解：(1)证明：设OC=x,OB=y,则 OA =2-,OD =22-y. 在△AOD中，由余弦定理得AD2= (2-x)+(22-y)-2X(2-x)X -x号 在△BOC中，由余弦定理得BC= r+y-2ay×9 因为BC=AD,所以(2一x)2+ (2V2-y)2-2×(2-x)×(2V2 y)X② =x+)2-2zyx 2 化简得y=√瓦，故O为BD的中点. (2)如图， B 过点D作DE∥BC,交AC于点E, 则∠EDO=∠CBO. 〔∠EDO=∠CBO, OD =OB, 由 ∠EOD=∠COB= 4 △OED≌△OCB, 所以BC=DE.又BC=AD,所以 DE=DA,所以A=∠DEA, 所以∠OED=x一A. 又∠OBD=C,B+C=x-牙=3 4 所以A=B十子 由√5sin2A+cosB=√5→5· sim2(B+)+osB=625· cos 2B +cos B =5, 所以W5(2c0s2B-1)+cosB=√5→ 2√5cosB+cosB-25=0. 又-1<cosB<1,所以cosB= 25,所以simB=5 5 5 所以snC=sm(受-B）= sin(B+F）=sin Bcos eBin子-号×5-30在 5 10 OB △OBC中，根据正弦定理，可得 sin C OC √2 OC 2 sin B 3√10 5 →OC= 3 10 5 4.解：(1)A夺冠即为三轮比赛都获胜，所 以A夺冠的既率为()”=品 由题意，B~H七名运动员水平相同， 且八名运动员各自夺冠概率之和为1， 所以B~H七名运动员各自夺冠的概 率均为时×(1-)=品 (2)记事件B=“B获得冠军”，事件 A=“B与A对决过”，事件A:=“B与 A在第i轮对决”，i=1,2,3. 不妨设A在①号位，则B在第1,2,3轮 能与A对决时其位置编号分别为②， ③④，⑤⑥⑦⑧. P(AB)=P((A1+A2+A,)B) = P(AB)+P(A2B)+P(A;B), p(A,B)=子X(1-子)× 21 = 1 2 ,P(A:B)=7 84 1=, 63 2 P(AsB)=- 7 2× 1-) 189 所以P(AB)= 1 1 4 37 84 +63 189 756 (3)记事件C=“B与C对决过” B没有与A对决过且最后获得冠军的 概率P(AB)=P(B)一P(AB)= 19 37 13 189 756 252 P(BC) P((A +A)BC) = P(ABC)+P(ABC)=P(AB)P(C AB)+P(AB)P(C AB). 由题意，C~H六名运动员与B对决过 的概率相同，B夺冠时共与三名运动员 对决. 所以P(CIAB)= AB)= 3 6 37 代入得P(BC)= 2 + 13 756 252 3 191 6 4536 中档大题规范练2 L解：/r)=9 sin or十eos 2U. 2 sin 2 WT 2 因为函数y=f(x)的图象的相邻两 个对称中心间的距离为受，所以号 = 故T=元 因为w>0,所以w= =2, 参考答案 391