河北唐山市遵化市高级中学2025-2026学年第二学期学业水平测试高一数学试题

2025-2026学年度第二学期学业水平测试高一数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每个5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1-4．CADD 5-8．BBAB 二、多项选择题：本题共3小题，每个6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．CD 10．ABC 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 解：（1），， ，2分 ， ，解得，4分 ．5分 （2），，7分 ，即，9分 所以，，11分 设向量与夹角为， ．13分 16．（本小题15分） 解：（1），3分 ，6分 ．7分 （2）由（1）得：，9分 即，11分 ，13分 解得，．15分 17．（本小题15分） 解：（1）因为底面三角形的边长分别为，，， 由勾股定理逆定理可知： 底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，1分 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以，3分 设圆柱底面圆的半径为，则，5分 圆柱体积，7分 所以剩下的几何体的体积．9分 （2）由（1）可得直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体，11分 它的外接球的球半径满足，即，13分 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为．15分 18．（本小题17分） 解：（1），，2分 由正弦定理得，4分 是三角形内角，， ，，6分 是三角形内角，．8分 （2）由余弦定理得：，9分 又，，， 所以，12分 解得，14分 则的面积．17分 19．（本小题17分） 解：（1）由已知可得，2分 由余弦定理有，得到，4分 在中，有 ，6分 ．8分 （2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），10分 连接交于点，此时取得最小值，最小值即长，12分 在中，，，， 故，故，即，14分 又易知，故， 由余弦定理得，所以，16分 故的最小值为．17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期学业水平测试 高 一 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（ ） A． B． C． D． 2．若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ） A．平行于轴且大小为 B．平行于轴且大小为 C．与轴成且大小为 D．与轴成且大小为 3．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．在四边形中，若，且，则这个四边形是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 5．已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（ ） A．1∶1 B．2∶1 C． D． 6．碌碡（碾子）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具．如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动，若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（ ） A．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．2∶3 7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，正方形中，是的中点，若，则（ ） A． B． C． D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（ ） A．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B．如果直线，满足，，则 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 10．设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．正余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系．如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则该球的表面积是________． 13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则________． 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 向量，． （1）若，求； （2）若，求与所成夹角的余弦值． 16．（本小题15分） 已知复数 （1）求的共轭复数； （2）若，求实数，的值． 17．（本小题15分） 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，． （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积． 18．（本小题17分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且． （1）求角； （2）若，，求的面积． 19．（本小题17分） 如图，直三棱柱中，，，，为线段上的动点． （1）当为线段上的中点时，求三棱锥的体积； （2）当在线段上移动时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $