21.2.1平行四边形及其性质（第1课时）教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该教案聚焦平行四边形的概念及性质，通过回顾三角形“从一般到特殊”的研究路径，迁移至四边形，动态图示展示从一般四边形到平行四边形的演化，构建知识脉络。 以“观察—度量—猜想—证明”为主线，学生画图度量猜想性质，连接对角线证三角形全等培养推理能力，结合伸缩门等实例与动态演示发展几何直观和应用意识，助力学生掌握图形研究方法，提升教师教学效率。

21.2.1　平行四边形及其性质（第1课时） 教学目标 1．经历对四边形的边特殊化，得到平行四边形的过程，掌握平行四边形的概念． 2．经历平行四边形性质的探索过程，感受研究图形性质的一般方法：先通过观察、度量发现规律、形成猜想，再通过逻辑推理证明猜想、获得结论． 3．能证明平行四边形的性质定理，并熟练运用性质定理解决问题．发展几何直观和推理能力． 教学重点 平行四边形性质定理的证明和应用． 教学难点 平行四边形性质定理的证明． 教学过程 新课导入 【引导语】研究几何图形时，我们经常在一般图形的基础上研究特殊图形．例如，学习了一般三角形后，我们对边和角分别特殊化，得到了等腰三角形和直角三角形．对于四边形，如果对组成它的四条边的位置关系进行特殊化，能得到哪些特殊的四边形？ 【师生活动】学生思考交流，师生共同明确：对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形．教师出示动态图示，清晰呈现从一般四边形到平行四边形和梯形的演化过程，帮助学生建立知识间的联系． 【引导语】平行四边形和梯形都是重要的四边形，本节课我们重点学习平行四边形． 【设计意图】通过回顾三角形的学习路径，将“从一般到特殊”的研究方法迁移到四边形的学习中，体会研究几何图形的常用思路． 新知探究 【问题1】平行四边形是常见的几何图形．学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？ 【师生活动】学生在教师的组织下分享身边的平行四边形实例，教师利用课件演示从实物中抽象出平行四边形的过程． 【追问】说一说，什么样的图形叫作平行四边形？你能结合符号和图形表示平行四边形吗？ 【师生活动】学生发言，教师补充完善，并给出平行四边形的定义，介绍平行四边形的表示方法，同时说明定义既可以作为平行四边形的性质，又可以作为平行四边形的判定依据．学生在学习任务单上进行记录． 【新知】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”． 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． 【设计意图】结合图形给出平行四边形的定义和表示方法，强调定义的作用． 【过渡语】通过前面的学习，我们知道，研究几何图形的性质，经常沿用“发现规律—形成猜想—证明猜想—应用性质”的学习路径．下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，看一看它们之间有哪些特殊的数量关系和位置关系．我们先看平行四边形的边和角． 【问题2】请你根据定义画一个平行四边形并进行观察，想一想，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？量一量，和你的猜想一致吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上画出平行四边形，猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．并通过画图、观察、度量等实际操作，发现：AB＝CD，AD＝BC；∠B＝∠D，∠A＝∠C，初步验证猜想． 【追问1】你能证明你的猜想吗？ 【师生活动】教师引导学生分析：①上述猜想涉及线段相等、角相等，证明线段（角）相等的常用方法是证明两个三角形全等；②图形中没有三角形，只有四边形，连接对角线是把四边形问题转化为三角形问题的常用方法．师生共同得出证明思路：连接平行四边形的一条对角线（如AC），证明两个三角形全等．学生在学习任务单上进行证明． 【答案】如图，连接▱ABCD的对角线AC． ∵ AD∥BC，AB∥CD， 　　∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 　　又 AC是△ABC和△CDA的公共边， 　　∴ △ABC≌△CDA（ASA）． 　　∴ AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D． 【追问2】请你继续证明∠BAD＝∠BCD． 【师生活动】学生独立思考后在学习任务单上作答，教师巡查纠错后集中讲解． 【答案】∵ ∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴ ∠1＋∠4＝∠2＋∠3， 即∠BAD＝∠BCD． 【追问3】对于▱ABCD，不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢？ 【师生活动】教师引导学生进一步思考，根据“两直线平行，同旁内角互补”“同一个角的补角相等”即可证明．学生在学习任务单上完成证明． 　　【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， 　　∴ AD∥BC，AB∥CD． 　　∴ ∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°． 　　∴ ∠B＋∠C＝∠C＋∠D， 　　∴ ∠B＝∠D． 　　同理可得∠A＝∠C． 【新知】平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等． 【过渡语】接下来研究平行四边形的对角线． 【问题3】如图，在▱ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ 【师生活动】学生通过观察和测量，容易发现OA＝OC，OB＝OD．教师利用信息技术进行直观演示，让学生在平行四边形形状动态变化的过程中观察对角线长度的特点．师生共同提出猜想：平行四边形的对角线互相平分． 学生在学习任务单上写出已知、求证，独立完成证明，并在小组内交流证明方法．学生代表展示证明过程，师生共同评价． 　　已知：如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O． 求证：OA＝OC，OB＝OD． 　　证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， 　　∴ AB∥CD，AB＝CD． 　　∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 　　∴ △AOB≌△COD（ASA）． 　　∴ OA＝OC，OB＝OD． 【新知】平行四边形的对角线互相平分． 【设计意图】通过探索并证明平行四边形的性质，引导学生经历“观察—度量—猜想—证明”的完整研究过程，体会将四边形问题转化为三角形问题的化归思想，发展几何直观和推理能力． 例题精讲 【例】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积． 【师生活动】教师引导学生对问题进行分析，学生思考用平行四边形的性质解决问题，并写出解题过程，教师及时补充完善． 　　【答案】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， 　　∴ BC＝AD＝8，CD＝AB＝10． 　　∵ AC⊥BC， 　　∴ △ABC是直角三角形． 　　∴ AC＝＝＝6． 　　∴ OA＝OC＝AC＝3， 　　 S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48． 　　【归纳】用S表示面积时，常在它的右下脚标注所求图形，例如S▱ABCD表示▱ABCD的面积． 【设计意图】通过例题，帮助学生巩固对平行四边形性质的理解，体会联系前后知识解决相关问题的思路和方法． 课堂练习 1．在▱ABCD中， （1）已知AB＝5，BC＝3，求另外两边的长； （2）已知∠A＝38°，求其余各内角的度数． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ CD＝AB＝5，AD＝BC＝3， ∴ ▱ABCD的另外两边的长分别是5，3； （2）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠C＝∠A，AD∥BC，AB∥CD， ∴ ∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D=180°. ∵ ∠A＝38°， ∴ ∠C＝38°， ∴ ∠D＝∠B＝180°－38°＝142°． 2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝10，AC＝8，BD＝14．△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？ 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC＝10，OA＝OC＝4，OD＝OB＝7， ∴ △AOD的周长为AD＋OA＋OD＝10＋4＋7＝21， △ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB＋10＋8＝AB＋18， △DBC的周长为BD＋BC＋CD＝14＋10＋CD＝24＋CD＝24＋AB， ∵ 24＋AB＞AB＋18，且24＋AB－（AB＋18）＝24＋AB－AB－18＝6， ∴ △DBC的周长比△ABC的周长长，长6． 3．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ 【答案】解：AD＝BC． ∵ 两张纸条的两组对边都互相平行， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 由平行四边形的对边相等，得AD＝BC． 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生进一步巩固平行四边形的性质，提升学生的综合运算、逻辑推理与实践应用能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1.什么是平行四边形？平行四边形的性质有哪些？ 2.研究几何图形的一般方法是什么？ 3.对于平行四边形，你觉得还需要进一步研究什么？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第65页习题21.2第1，2，3，4题． 学科网（北京）股份有限公司 $