江苏苏州高新区实验初级中学2025-2026学年度第二学期九年级数学模拟卷(2026.05)

**基本信息** 2025~2026学年九年级数学二模卷，以《哪吒之魔童闹海》票房、苏州马拉松等时代素材创设情境，通过基础题（如无理数判断）、中档题（如几何证明）、综合题（如二次函数面积最值探究）构建能力梯度，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数、图形对称、科学记数法等|结合剪纸艺术考查中心对称与轴对称（第2题）| |填空题|8/24|因式分解、概率、圆的性质等|以飞镖游戏板（第12题）考查几何概率，体现数据意识| |解答题|11/72|函数综合、几何证明、统计与概率等|二次函数变式探究（第25题）融合教材母题与实际应用，培养模型观念；圆的切线证明（第26题）考查推理能力|

2025~2026 学年度第二学期九年级数学模拟卷(2026.05) (时间: 120 分钟 分值: 130 分) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.在 , 3.14, , 这四个数中，其中属于无理数的是( ) A. B. C. 3.14 D. 2.剪纸是我国最古老的民间艺术之一.下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 3. 至2025年 4月 14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破 156.36亿元，创造了国产电影的票房最高纪录.156.36亿用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 5.某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是( ) A. 21, 21 B. 21, 21.5 C. 21, 22 D. 22, 22 6. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图.已知AB∥CD, AC∥BF, ∠BED=53°, ∠FBE=126°,则∠BAC=( ) A. 83° B. 73° C. 63° D. 53° 7.如图,平面直角坐标系中,点B在第一象限, ∠AOB=∠B=30°, OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点 B'的坐标是( ) A. B. C. (- , 2+ ) D. (-1, 2+ 8. 二次函数 的图象过点A (-1, y₁), B (2, y₂), C (6, y₃).若y₁y₂y₃<0,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置) 9. 分解因式： 10. 平面直角坐标系中，点P (-4，3)关于x轴的对称点的坐标是 11. 设a是方程 的一个实数根，则 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的.则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 . 13. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且 则∠DAB= °. 14.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点B 顺时针旋转得到△A′BC′,且点A′落在边BC上,连结CC′.若 CC'=CA',则 '的长度是 15. 如图,在平行四边形ABCD中, AG平分∠BAD分别交BD, BC, DC延长线于点F,G, E,记△ADF与△CEG的面积分别为S₁, S₂, 若AB: AD=2: 3,则 的值是 . 16. 如图,在 Rt△ABC中,若∠C=90°, D是BC边上的一点,且∠BAD=2∠CAD, AB=2BD,则 cosB 的值为 . 三、解答题：本题共 11 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分5分)计算： 18. (本题满分5分)解不等式组： 19. (本题满分6分)先化简： 再从-1≤a≤2的范围中选择一个合适的整数代入求值. 20.(本题满分6分)如图,点C在线段AD上,AB=AD, ∠B=∠D,BC=DE. (1) 求证: △ABC≌△ADE; (2) 若∠BAC=60°, 求∠ACE的度数. 21. (本题满分6分)某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级部分学生进行调查(每人必选且只能选一类课程)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中m的值为 ，“木工”对应的扇形圆心角大小是 ； (3)若该校七年级共有800名学生，估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数. 22. (本题满分 8分)2025苏州马拉松活动于3月 2日燃情而至，来自国内外 25000余名跑者齐聚苏州，用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风.此次马拉松比赛分为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目. (1)甲参加“全程马拉松”的概率是 ； (2)求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率. 学科网（北京）股份有限公司 23. (本题满分 8分)某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚.如图所示，遮阳篷AB长为1.56米，与墙面AD的夹角∠BAD=67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=0.2米. (1)如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离； (2)如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF的长.(参考数据： 24. (本题满分8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A (-2，0)，与反比例函数 交于点B (1, m). (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数.y=2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； 25. (本题满分10分)张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第 8页练习 3 (3)进行变式探究：如图，用长为60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中 且墙长为30m. (1)设AB=x(m),，矩形花圃ABCD的面积为 .则y关于x的函数关系式为 ，x的取值范围为 ； (2)求矩形花圃ABCD 面积的最大值； (3)在(2)的情况下，若将矩形ABFE 和矩形 EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花.甲种鲜切花的年收入 (单位：元)与种植面积 的函数关系式为 乙种鲜切花的年收入 (单位：元)与种植面积. 的函数关系式为 若两种鲜切花的年收入之和达到 28800元，求CF的长. 26. (本题满分 10分)如图, ⊙O过 的顶点A, B,交 BC于点D,点 E为BD的中点,连接AE交BD于点F,AC=CF. (1)求证: AC是⊙O 的切线. (2)连接AD,若2AB=3AD,BD=10. (I)求AC的长. (Ⅱ)若AF=BF,则⊙O的半径为 27.(本题满分 10分)抛物线 (b、c为常数) 图象交x轴于点A(1, 0)和点B, 交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧， 轴，交直线BC于点M， 轴，交抛物线的对称轴于点 N. ①如图1,连接MN,若 求点 P 的横坐标； ②如图2，过点A作直线l∥BC，MQ⊥y轴，交抛物线的对称轴于点 Q.若四边形PMQN在直线BC与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为 . 2025-2026学年度第二学期九年级数学参考答案 一、选择题： 1-8 BCDD CBAA 二、填空题： 9. x(x+1)(x-1) 10. (-4,-3) 11. 2027 12. 13. 68° 14. π 三、解答题：(请老师批阅时统一评分标准) 17.解:原式 18.解: 解不等式①得: x<1, 解不等式②得: x>-2, ∴原不等式组的解集为-2<x<1， 19.解: ∵a+1≠0, a≠0, a-1≠0, ∴a≠-1且a≠0且a≠1, 又∵-1≤a≤2, ∴当a=2时,原式 20.【解答】(1)证明:在△ABC与△ADE中, 所以△ABC≌△ADE (SAS); (2)解:因为△ABC≌△ADE, ∠BAC=60°,所以AC=AE (全等三角形对应边相等), ∠CAE=∠BAC=60°(全等三角形对应角相等),所以△ACE是等边三角形.所以∠ACE=60°. 17.计算: 【解答】解： =3. 18.解不等式组： 【解答】解： 解不等式①,得x<1, 解不等式②,得x>-2, ∴原不等式组的解集为-2<x<1. 19.先化简： 再从-1≤a≤2的范围中选择一个合适的整数代入求值. 【解答】解：原式 ∵a+1≠0, a≠0, a-1≠0, ∴a≠-1且a≠0且a≠1, 又∵-1≤a≤2, ∴当a=2时,原式 20.如图,点C在线段AD上, AB=AD, ∠B=∠D, BC=DE. (1)求证: △ABC≌△ADE; (2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数. 【解答】(1)证明:在△ABC与△ADE中, 所以△ABC≌△ADE (SAS); (2)解:因为△ABC≌△ADE, ∠BAC=60°, 所以AC=AE(全等三角形对应边相等), ∠CAE=∠BAC=60°(全等三角形对应角相等), 所以△ACE是等边三角形. 所以∠ACE=60°. 21.某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级部分学生进行调查(每人必选且只能选一类课程)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 60 ，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中m的值为 25 ，“木工”对应的扇形圆心角大小是 36° ； (3)若该校七年级共有800名学生，估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数. 【解答】解：(1)由条形统计图与扇形统计图的数据关联可得18÷30%=60(人)， 故答案为：60； ∴60-15-18-12-6=9(人), 抽取部分学生选择结果的频数分布直方图 (2)由(1)知抽查了60人, ∴厨艺占比为 则扇形统计图中m的值为25； ∴圆心角大小是 故答案为: 25, 36°; (3)估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数为： (人), 答：该校七年级800名学生中选择“编织”劳动课程的大约有160人. 22.2025苏州马拉松活动于 3月 2 日燃情而至，来自国内外25000余名跑者齐聚苏州，用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风.此次马拉松比赛分为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目. (1)甲参加“全程马拉松”的概率是 ; (2)求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率. 【解答】解：(1)由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是 故答案为： (2)将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B，画树状图如下： 甲 乙 丙 ∴共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的结果有1种， ∴概率为 23.某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚.如图所示，遮阳篷AB长为1.56米，与墙面AD的夹角∠BAD=67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=0.2米. (1)如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离； (2)如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF的长.(参考数据： 【解答】解: (1)如图,过点 B作 BK⊥AD于点 K, ∵AB=1.56米, ∴BK=1.44. 答：遮阳棚上的 B 点到墙面AD 的距离为1.44米； (2)如上图,过点C作CH⊥DG于点 H, (米), ∴DK=AD-AK=2.4-0.6=1.8(米), ∴BH=DK=1.8(m), ∵BC=0.2m, ∴CH=1.8-0.2=1.6(m), ∵∠CFH=53°, ∴FH=1.2, ∴BK=1.44米, ∴DH=BK=1.44米, ∴DF=DH-FH=1.44-1.2≈0.24(米), ∴阴影 DF的长约为0.24米. 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数 交于点B(1, m). (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y=2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； 【解答】解：(1)一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A (-2，0)，与反比例函数 交于点B(1,m).将点A的坐标代入y=2x+b,得: 0=2×(-2), +b, 解得: b=4, ∴一次函数的解析式为y=2x+4，将点B的坐标代入得：m=2+4=6， ∴B (1, 6), 将点B的坐标式入反比例函数 得： 解得: k=6, ∴反比例函数的表达式为 (2)设点M坐标为(m, 6m),则点 N坐标为(m, 2m+4),如图1,过点 B 作 BH⊥MN于点 H, ∵BN=BM, ∴NH=MH, 由(1)可知B (1, 6), 解得：m=3或1(经检验，都是分式方程的解，但m=1不合题意，舍去)， 25. 张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第 8页练习 3 (3)进行变式探究：如图，用长为 60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中EF∥AB，且墙长为30m. (1)设AB=x(m),矩形花圃ABCD的面积为y(m²). 则y关于x的函数关系式为 x的取值范围为 10≤x<20 ; (2)求矩形花圃ABCD 面积的最大值； (3)在(2)的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花.甲种鲜切花的年收入W(单₁位：元)与种植面积S₁(m²)的函数关系式为 ；乙种鲜切花的年收入W₂(单位：元)与种植面积S₂(m²)的函数关系式为 若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求CF的长. 【解答】解: (1)由已知得: BC= (60-3x)m, ∵墙长30m, ∴0<60-3x≤30, 解得: 10≤x<20 (m), ∴x的取值范围是10≤x<20; 故答案为： ∴抛物线对称轴为直线x=10， ∵a=-3<0,在对称轴右侧, y随x的增大而减小, ∴x=10时, y取最大值,最大值是300, ∴矩形ABCD面积的最大值是300m²; (3)由(2)得: x=10时, y取最大值,最大值是300,∴BC=60-3x=30m, 设BF= tm,则CF= (30-t) m, ∴矩形 ABFE 的面积为10tm²,矩形 EFCD的面积为10 (30-t) m², ∴W₁=30×10t=300t, W₂=-100 (30-t) ²+320×10 (30-t), 根据题意得： 解得: t₁=19, t₂=12, ∴CF=11m或18m. 26.如图, ⊙O过△ABC的顶点A, B,交BC于点D,点E为BD的中点,连接AE交BD于点F, AC=CF. (1)求证: AC是⊙O的切线. (2)连接AD,若2AB=3AD, BD=10. (I)求AC的长. (Ⅱ)若AF=BF,则⊙O的半径为 【解答】(1)证明:连接OA, OE, ∵OA=OE, ∴∠OAE=∠OEA, ∵点E为BD的中点， ∴OE⊥BD, ∵AC=CF, ∴∠CAF=∠CFA, ∵∠CFA=∠EFB, ∴∠CAF=∠EFB, ∴∠CAF+∠OAF=90°, ∴∠OAC=90°, ∵OA 是⊙O的半径, ∴AC是⊙O的切线. (2)解: (Ⅰ)如图,延长AO交⊙O于 G,连接DG, ∴∠B=∠G, ∠ADG=90°, ∴∠G+∠GAD=∠B+∠GAD=∠CAD+∠GAD=90°, ∴∠B=∠CAD, ∵∠C=∠C, ∴△ABC∽△DAC, ∵2AB=3AD, ∴设AC=2x, BC=3x, ∵BC-CD=BD, ∴x=6, ∴AC=2x=12; (Ⅱ)解:连接OE 交BD 于 H, 由(Ⅰ)知, OE⊥BD, CF=AC=12, CD=8, ∴FH=1, ∵AF=BF, ∴∠B=∠BAE, ∴BD=AE, ∴EF=DF=4, 连接OB, ∴⊙O的半径为 故答案为： 27.抛物线 (b、c为常数) 图象交x轴于点A(1, 0)和点B, 交y轴于点C(0, 3). (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，PM⊥x轴，交直线BC于点M，PN⊥y轴，交抛物线的对称轴于点 N. ①如图1,连接MN,若 求点 P 的横坐标； ②如图2，过点A作直线l∥BC，MQ⊥y轴，交抛物线的对称轴于点 Q.若四边形 PMQN在直线BC与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点 P 的横坐标为 或 【解答】解：(1)抛物线 (b、c为常数)图象交x轴于点A(1,0)和点B,交y轴于点C(0,3).将点A，点C的坐标分别代入得： 解得： ∴抛物线表达式为 ∴抛物线的对称轴为直线 (2)①∵抛物线对称轴为直线x=-1,且抛物线交x轴于点A(1,0)和点B,∴B(-3, 0), 设直线BC的解析式为y=mx+n，将点B，点C的坐标分别代入得： 解得： ∴直线BC的解析式为y=x+3, 设 ∵PM⊥x轴，交直线BC于点M，PN⊥y轴，交抛物线的对称轴于点N， 则 当 时， 解得： 或 (经检验，都是分式方程的解，此解不合题意，舍去)； 当 时， 解得：p=-2或p=1(经检验，都是分式方程的解，此解不合题意，舍去)， 综上所述，点P 的横坐标为-2或 ②由题意得, ∠NPM=∠PNQ=∠MQN=90°, ∴四边形 PMQN是矩形, 如图2,连接 MN,当MN落在BC上时, 此时四边形 PMQN在直线BC与l之间的部分是△MNO，符合题意， 将点 代入y=x+3,得： 解得： 或 (不合题意，舍去)； 当矩形PMQN的对角线的中点落在直线l上，中点记为点T，如图3， ∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， ∴此时四边形PMQN在直线BC与l之间的部分的面积是它的面积的一半， ∴设直线l：y=x+t,，将点A的坐标代入得： 1+t=0, 解得：t=-1, ∴直线l:y=x-1, 即 将点 代入y=x-1,得: 解得： 或 (不合题意，舍去)， 综上所述，点P的横坐标为 或 故答案为： 或 学科网（北京）股份有限公司 $