6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

该高中数学课件聚焦数学建模，通过淋雨问题、蜂房结构等实际情境导入，引导学生从现实问题中抽象出数学模型概念，结合万有引力发现、马尔萨斯人口模型、哥尼斯堡七桥问题等实例，构建从具体到抽象的建模学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动，如哥尼斯堡七桥问题将陆地与桥抽象为点线图，培养用数学眼光观察现实的抽象能力，马尔萨斯模型通过微分方程建模发展数学思维的逻辑推理，用公式、图等数学语言表达模型。学生提升建模应用能力，教师可依托结构化案例优化教学。

走进异彩纷呈的数学建模世界 1 1 数学模型 数学模型 是架于数学与实际问题之间的桥梁. 数学方法与计算机 实际 问题 1 淋雨问题 在雨中行走的时候，人们通常会选择以尽可能快的速度行走，以减少淋雨的时间 思考：对于同一段路程，在雨中行走速度越快（淋雨时间越少），淋雨量（人在雨中行走时全身所接受到的雨的体积）一定越少么？ 1 问题梳理： （1）要解决的问题是什么？——走的越快，淋雨量越小么？ （2）数学目标是什么？——给定降雨量条件下，人在雨中行走总的淋雨量最小。 （3）相关因素是什么？——淋雨量与哪些因素有关？（雨的大小和方向，行走速度和行走方向，行人与雨的接触面积，行人在雨中行走的时间等） ——看问题不能表面化，行走速度看似越快，淋雨面积越小，实则未必，需要通过严格的数学建模过程和数据来解决问题。 1 蜂房问题 人们注意到，蜜蜂在构筑巢穴时，蜂房结构为六角柱体，它的开口端是正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成，底端菱形的所有锐角均为70°32′，所有钝角均为109°28′。你能从数学的角度解释蜜蜂采用上述几何体作为巢穴的原因么？ 1 蜂房问题 （1）要解决的问题是什么？——为什么采用该几何体作为巢穴？ （2）数学目标是什么？——如何建巢穴用料最少，容积最大？ （3）相关因素是什么？——二面角的夹角，线段长度等。 ——解决这个问题，我们也需要通过数学建模，通过一定的几何知识，这样设计下的蜂房容积最大，材料最省。 1 利用数学建模，人们不仅可以认识自然，有时还会从中受到启发来改造自然，以蜂房构造为例，当认识到蜂房结构具有容积最大，材料最省等一系列优点后，人们将蜂房构造原理借鉴到人力的生产生活实际中。 例如，在移动通信系统的设计中， 通常把移动电话的服务区按照正六边形区域分成若干个区域，每个区域设一个基站，形成了形状酷似 “蜂窝”的结构，从而达到节省资源的目的。这种移动通信方式称为蜂窝移动通信方式。 1 历史建模故事——万有引力定律的发现 万有引力是英国伟大的物理学家、数学家和天文学家牛顿提出来的，它是指：任意两个指点通过连心线方向上的引力相互吸引。 该引力大小与他们的质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，而与两物体的化学组成和其间介质种类无关。其数学表达式为： F表示两个物体间的引力，G为万有引力常数， 和 表示两个物体的质量，r表示两个物体间的距离。 1 万有引力定律的发现经历了较为漫长的数学建模与求解过程。经历长达20年的思考，牛顿才利用开普勒第三定律以及牛顿第二定律，从离心力定律和自己独自发明的微积分方法，最终建立了万有引力定律模型。 我们发现——公式是一种数学模型 1 数学建模实例——马尔萨斯人口模型 人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题。英国经济学家、人口学家马尔萨斯最先研究了这个问题，他发现人口的自然增长率在一定的时间内是一个常数。人口的变化率和当前的人口数目成正比。 根据马尔萨斯的观点，我们来建立一个可用来描述人口数量随时间变化的数学模型。 1 数学建模实例——马尔萨斯人口模型 思考这样几个问题： （1）现实问题是什么？——刻画人口变化规律 （2）数学目标是什么？——建立可以描述人口数量随时间变化的数学模型 （3）相关影响因素有哪些？——人口增长率，当前人口数等 1 数学建模实例——马尔萨斯人口模型 ——从现实中抽象出数学问题，进行一些假设，进行建模，最后根据数据，求解模型的参数（增长率r），最终确定模型，以刻画人口增长规律，这就是一个完整的数学建模过程。 1 数学建模实例——马尔萨斯人口模型 马尔萨斯人口增长模型是一个指数型函数，因此又被称为指数增长模型。大量数据表明，在自然状态下，上述模型既可以用来描述某种生长过程，如人口等生物种群的数量变化，某人在银行存款数量的变化等，也可以用来描述某种传播过程，例如疾病传染，信息的传播等。 马尔萨斯模型在一个种群的发展初期是合理的，其结论对人类的发展具有启示作用，它提醒人们要防止人口的过快增长，注意人口与生活资源比例协调。但发展到一定时期后，其缺陷便会凸显出来。由于没有考虑自然条件与生存环境对人口的制约，人口可以无限制增长，用该模型来预测是不合理的，需要进一步修改。 1 数学建模实例——哥尼斯堡七桥问题 在一条河上有7座桥连接两岸与河心的两个孤岛。划分区域为ABCD个部分。能否从某个岸边或岛上出发，通过每座桥恰好一次，回到原地？ ——哥尼斯堡七桥问题。 1 数学建模实例——哥尼斯堡七桥问题 （1）现实问题是什么 是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点？ （2）数学目标是什么？ 答：欧拉就把陆地和岛都抽象成“点”，把连接陆地的桥抽象成“点之间的连线”。这时由河流分割的四块陆地抽象为四个点，连接四块陆地七座桥抽象为连接这四个点的七条线。实际问题中的陆地、河流和桥梁的景观都不见了。剩下的是纯数学的，只有点和线相互连接的“图”。 欧拉就是利用这幅简单的“图”问题转化为：是否可以笔尖不离开纸面，一笔（不重复经过任何一条路线）画出下图的图形。 （3）相关因素是什么？——岛和桥，将岛抽象成点，将桥抽象成线。 ——图也是一种数学模型 1 解析：由图，每个点都是某些曲线的端点，欧拉将连接点的曲线为偶（奇）数条时命名为偶（奇）顶点。容易看出，除去起点和终点外，对于其余的每一个点，如果笔沿某条线进入该点的话，则它必须沿着另一条线出来，从而该顶点一定是偶顶点。从而得到 “一笔画”的充分必要条件为：奇顶点个数为0或2.其中奇顶点个数为0，意味着任意一点都可以作为起点、终点以及中间点，而奇顶点个数为2时，其中一个奇顶点为起点（即只有出线），另一个奇顶点为终点（即只有入线）。 ——七桥问题对应的图形中有4个奇顶点，不满足 “一笔画”的要求，不重复路线根本不存在。 1 归纳总结，明确要求 观察案例，我们发现，数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构，而数学建模过程，则是应用数学方法，通过建立数学模型来解决实际问题的过程。而数学模型可以是公式、也可以是图等。 1 提出问题，课后作业 测量学校某建筑物的高度 谢谢观看 Thank you $