精品解析：2026年浙江省台州市天台县中考二模考试数学试题

2026年初中毕业生学业考试调研测试卷 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共6页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在“答题卷”上先填写姓名和准考证号． 3．请用2B铅笔将选择题的答案填涂在答题卷上相应位置，用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题卷上相应的答题区内．写在试题卷、草稿纸上均无效． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 与和为的数是（ ） A. 2026 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可． 【详解】解：的相反数为， 根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 2. “方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意．一铜胎画珐琅山水图方胜盖盒如图放置，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视方向判断几何体的前后位置关系，左边的盒体在前，右边的盒体在后，结合三视图的画法（看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线）进行判断即可． 【详解】解：∵该几何体由两个菱形盒体压角相叠而成，且从主视方向看，左边的盒体在前方，右边的盒体在后方 ∴主视图的轮廓为三个并排的矩形 ∵中间重叠区域有两条棱，靠左的棱是后方盒体的左边缘，被前方盒体遮挡 ∴靠左的分界线应画为虚线 ∵靠右的棱是前方盒体的右边缘，未被遮挡 ∴靠右的分界线应画为实线观察选项，只有C选项符合左虚右实的特征． 3. 灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵亿， ∴亿． 4. 测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时．出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项B，∵一共有5个各不相同的数据，将数据从小到大排序后，中位数是排序后第3个数据， 本次修改只改变了最小数据的大小，修改后原最低数据仍然是排序后最靠前的数，不改变中间第3位数据的大小和位置， ∴中位数不受影响，故选项B符合题意； 选项A，C，D，∵平均数的计算与所有数据有关，方差和标准差的计算都依赖平均数， ∴修改数据后，平均数、方差、标准差都会发生改变，故选项A，C，D均不符合题意． 5. 数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】D 【解析】 【分析】根据两人作图结合等角对等边及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断即可． 【详解】解：甲：如图甲， 由作图可知， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形； 可知甲作图正确； 乙：如图乙， 由作图可知为中点， ∵， ∴， 即、是等腰三角形， 可知乙作图正确． 6. 古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，一匹7尺绫布和一匹9尺罗布价格相等，可得方程；每尺罗布比绫布便宜36文，可得方程，即可解答． 【详解】解： 由“绫七尺，罗九尺，共价适等”得， 由“罗每尺价比绫每尺少钱三十六文”得， 故方程组为． 7. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 8. 化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知与满足的关系式是（ ） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，通过观察和的增加个数，从而可得到与满足的关系式． 【详解】根据题意，绘制如下表格： 碳原子个数 氢原子个数 根据表格，可知每增加1，增加2，则 ，所以与满足的关系式为， 故选． 9. 如图，切于点，交于点，交于点，连接，设，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，利用平行线的性质得出，再根据圆周角定理求出，最后在中利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， 切于点， ，即， ， ， 是弧所对的圆心角， 是弧所对的圆周角， ， 在中，． 10. 如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】C 【解析】 【分析】由图象最低点可知当为中点时面积最小，据此求出的边长及的值；由图象最高点为分段点，分析可知此时点与点重合，据此求出和的值；当时，，点在上，点在上， 作于， 再求出，然后说明，求出，最后求出，验证即可． 【详解】解：当为中点时，，此时最短 ， 的中垂线，， ∴且与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形，面积最小， 对应图象最低点 ， 解得． 为等腰直角三角形，为中点， ，， ，故B错； 由图象可知为分段点，此时点从边运动到边，即与重合， 垂直平分，在上， ， ，故A错误； 此时在上，与重合，四边形即四边形， ，， ， ． ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，故C正确； 当时，，点在上，点在上， 过作于，则，， 则 ， 根据题意可知，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得． ∵， ∴， 根据勾股定理，得，即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以点不在该函数图象上． 则D不正确． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_________． 【答案】6 【解析】 【详解】解：原式． 12. 分式方程的解___． 【答案】 【解析】 【分析】按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：原方程去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得： 系数化为得： 检验：将代入最简公分母得 故原方程的解为 13. 如图为花式九球的标准球组排列（号球共颗，按菱形摆放），其中1号和号球位置固定，剩余颗球位置随机摆放，则号球与号和号都相邻的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件的概率，通过图形判断能同时和号和号都相邻的位置有个，总共有个位置，号和号是固定位置，即可算出号球与号和号都相邻的概率． 【详解】解：总共有个位置，号和号是固定位置，还剩余个位置，通过图形判断能同时和号和号都相邻的位置有个，所以号球与号和号都相邻的概率为． 故答案为． 14. 如图，一卫星运行到地球表面P点的正上方A点时，可观测到地球表面一个最远的点Q．已知地球半径约为6400 km，在中，测得，则卫星到地面高度约为_________km． 【答案】1600 【解析】 【分析】由题可知，可得，再由求解． 【详解】解：， ， ． 15. 【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达：． 【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数） 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，取该级数的前4项进行估算， 则， ． 16. 如图，在矩形中，，E为中点，以为半径，在矩形外作半圆，连接，并延长交半圆于点F，连接，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意表示出的长度，在中利用勾股定理求出，由圆的性质得，过点作于点，证明 ，求出的长，进而求出，再过点作交的延长线于点，构造矩形，求出的长，最后在中利用正切定义求解 【详解】解：四边形是矩形 ∴ 设 为中点 在中，由勾股定理得 以为半径作半圆，在圆上 过点作于点 又 即 过点作交的延长线于点 四边形是矩形 在中， 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式得到，再解不等式得到，进而求出不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， ， ； 解②得： ， ， ； 综上所述，不等式组的解集为． 19. 课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 【答案】小丽，证明见解析 【解析】 【详解】解：支持小丽的观点，证明如下： ∵，，， ∴ ∴． 20. 为了解校数学节数学知识竞赛笔试情况，调查小组随机抽查了部分参赛同学的成绩，频数表和频数直方图尚未完工，正在整理与制作中． 组别（分） 频数 频率 30 10% 90 30% 60 a b c 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）小明发现表中剩余三个数据无需统计，可直接计算得出，请你填出这三个数据：__________，__________，__________． （2）请继续完成频数直方图． （3）如果全校有3000人，请估计分数不低于80分的人数． 【答案】（1），120， （2）见解析 （3）估计分数不低于80分的人数为1800人 【解析】 【分析】（1）先由的频数和频率计算出抽查的总人数，即可求解； （2）根据（1）的结论即可完成直方图； （3）根据分数不低于80分的人数占比即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， ∴，（人），． 【小问2详解】 解：完成的频数直方图如图． 【小问3详解】 解： （人）． ∴估计分数不低于80分的人数为1800人． 21. 丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． （1）上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． （2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，为正有理数即可求解； （2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为，令，取，再通过解方程求出的值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， 不是正有理数，不符合要求，故舍去； 【小问2详解】 解：设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． 22. 如图，四边形内接于以对角线为直径的圆，，过点与平行的直线交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，相似的判定和性质，能够熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据圆周角定理可推得，再根据等腰三角形三线合一，得，由得，即可得证； （2）过点作交于点，根据勾股定理可推得，，,根据等弧对等角推得，则即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为直径的圆， ∴， ∵， ∴，， 即，， ∵， ∴， 则， ∴， 即； 【小问2详解】 解：过点作交于点， 由（1）可知，，，， ∵为直径， ∴为圆心， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设半径为，则，， 在中，，解得， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 23. 已知抛物线． （1）求该抛物线与x轴的交点． （2）点和分别在抛物线和上． ①当时，两抛物线有交点，且时，A，B两点间距离最大为2，求a的值． ②若恒成立，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）该抛物线与x轴的交点为和， （2）；② 【解析】 【分析】（1）令，然后解方程即可得抛物线与x轴交点坐标； （2）①先求得，，再根据两点横坐标相同，得到两点距离为纵坐标差的绝对值，联立抛物线得到交点横坐标，根据二次函数性质得到最大值的位置，列方程求解结合即可解答；② 将恒成立问题整理化简，分类讨论一次项系数的情况，即可得到a的取值范围． 【小问1详解】 解：令，代入得  提取公因式得， ∵， ∴或， ∴抛物线与x轴交点为和． 【小问2详解】 解：① ∵点和分别在抛物线和上， ∴， ，且点A、B的横坐标相同， ∴， 联立两抛物线方程得 整理得 ，解得或， ∴交点的横坐标为 当时，A、B两点间距离： ， ∵， ∴，即抛物线开口向下，对称轴为： ∴A，B两点间距离的最大值在对称轴处取得，且最大值为 2， ∴ ，解得：或（舍弃） ② ∵恒成立， ∴，即 ①当，即时， 恒成立，符合题意； ②当，即 时， 函数是一次函数，且y随t的增大而增大，当 t 足够大时，值会大于 0，不满足恒成立． ③当，即 时， 函数是一次函数，且y随t的增大而减小，最大值在处，即时的值为． 要使时，恒小于 0，需时，，解得：， ∴． 综上，a的取值范围是的取值范围是． 24. 如图1，在菱形中，对角线，，P是射线上一点，连接，与关于对称． （1）求的长． （2）当时，求证：． （3）如图2，当直线与相交时，记交点为E． ①当点P在边上，且时，求的长． ②连接，当取得最小值时，求的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）①；②当取得最小值时，的长为或 【解析】 【分析】（1）如图，连接交于，证明，，，是等边三角形，可得，进一步可得答案. （2）如图，记与的交点为，证明，结合对折可得：，可得，从而可得结论； （3）①记与的交点为，与的交点为，当点P在边上，且时，证明，可得，设，则，，再进一步求解即可； ②如图，作关于的对称点，连接，证明，可得，的对称点在上，，当时，最小，最小，进一步可求解，如图，当在的上方时，作关于的对称点，连接，同理可得：此时时最小，过作于，设，进一步同法可得答案. 【小问1详解】 解：如图，连接交于， ∵在菱形中，对角线，， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴. 【小问2详解】 证明：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ， ∴， 由对折可得：， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：①记与的交点为，与的交点为， 当点P在边上，且时， ∴， 由对折可得：，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②如图，作关于的对称点，连接， 结合①同理可得：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，的对称点在上，， ∴当时，最小，最小， 此时， 过作于，设，而， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍去），或， ∴； 如图，当在的上方时，作关于的对称点，连接， 同理可得：此时时最小，过作于，设， 同理可得：， 此时， 综上：当取得最小值时，的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生学业考试调研测试卷 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共6页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在“答题卷”上先填写姓名和准考证号． 3．请用2B铅笔将选择题的答案填涂在答题卷上相应位置，用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题卷上相应的答题区内．写在试题卷、草稿纸上均无效． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 与和为的数是（ ） A. 2026 B. 0 C. D. 2. “方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意．一铜胎画珐琅山水图方胜盖盒如图放置，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时．出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 5. 数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 6. 古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知与满足的关系式是（ ） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 9. 如图，切于点，交于点，交于点，连接，设，则的度数为（） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_________． 12. 分式方程的解___． 13. 如图为花式九球的标准球组排列（号球共颗，按菱形摆放），其中1号和号球位置固定，剩余颗球位置随机摆放，则号球与号和号都相邻的概率是_________． 14. 如图，一卫星运行到地球表面P点的正上方A点时，可观测到地球表面一个最远的点Q．已知地球半径约为6400 km，在中，测得，则卫星到地面高度约为_________km． 15. 【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达：． 【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数） 16. 如图，在矩形中，，E为中点，以为半径，在矩形外作半圆，连接，并延长交半圆于点F，连接，，，则_________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解不等式组：． 19. 课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 20. 为了解校数学节数学知识竞赛笔试情况，调查小组随机抽查了部分参赛同学的成绩，频数表和频数直方图尚未完工，正在整理与制作中． 组别（分） 频数 频率 30 10% 90 30% 60 a b c 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）小明发现表中剩余三个数据无需统计，可直接计算得出，请你填出这三个数据：__________，__________，__________． （2）请继续完成频数直方图． （3）如果全校有3000人，请估计分数不低于80分的人数． 21. 丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． （1）上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． （2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 22. 如图，四边形内接于以对角线为直径的圆，，过点与平行的直线交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 23. 已知抛物线． （1）求该抛物线与x轴的交点． （2）点和分别在抛物线和上． ①当时，两抛物线有交点，且时，A，B两点间距离最大为2，求a的值． ②若恒成立，请直接写出a的取值范围． 24. 如图1，在菱形中，对角线，，P是射线上一点，连接，与关于对称． （1）求的长． （2）当时，求证：． （3）如图2，当直线与相交时，记交点为E． ①当点P在边上，且时，求的长． ②连接，当取得最小值时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $