专题03 图形的平移和旋转（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

专题03 图形的平移和旋转（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 图形的平移与中心对称图形的识别 题型02 利用平移的性质求解 题型03 点在平面直角坐标系中的平移 题型04 求关于原点的对称点的坐标 题型05 找旋转中心、旋转角 题型06 求某点旋转后的坐标 题型07 坐标与旋转规律问题 题型08 平面直角坐标系中平移和旋转作图 题型09 几何图形中的平移综合问题 题型10 几何图形中的旋转综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 图形的平移 1. 理解平移的定义，掌握平移的两要素（方向、距离）；2. 能根据条件画出平移后的图形，会用坐标表示平移；3. 掌握平移的性质：对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 基础必考点，选择、填空、作图题均有涉及；2. 坐标平移是高频考点，易与平面直角坐标系结合考查。 图形的旋转 1. 理解旋转的定义，掌握旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）；2. 能根据条件画出旋转后的图形，会确定旋转中心和旋转角；3. 掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 中考核心考点，常与全等三角形、特殊四边形结合考查；2. 旋转作图和性质应用是解答题高频题型，易出现在几何综合题中。 中心对称与中心对称图形 1. 区分中心对称和中心对称图形的概念；2. 掌握中心对称的性质：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分；3. 能识别常见的中心对称图形（如平行四边形、圆）。 1. 高频易错点，选择题常考查概念辨析；2. 常与轴对称图形对比考查，易混淆两者性质。 平移与旋转的综合应用 1. 能综合运用平移、旋转的性质解决几何证明与计算问题；2. 能利用图形变换进行图案设计，解决最短路径等实际问题；3. 体会图形变换的转化思想，提升几何直观能力 1. 压轴题常考点，多与三角形、四边形综合考查；2. 侧重考查逻辑推理和空间想象能力，是区分度较高的题型。 知识点01 图形的平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移。 2. 两要素：平移方向、平移距离。 3. 性质 - 平移前后图形的形状、大小不变，位置改变。 - 对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 - 对应角相等。 - 对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等。 示例：将△ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△A'B'C'，则 AA'∥BB'，且 AA'=BB'=3个单位水平距离。 易错点：把“对应点连线”当成“对应线段”，混淆长度。 - 平移时方向或距离数错格子，作图不准。 - 认为平移会改变图形大小或角度。 知识点02 平移与平面直角坐标系 点的平移坐标变化规律： - 左右平移：横坐标变，纵坐标不变 右加左减 - 上下平移：纵坐标变，横坐标不变 上加下减 示例：点A(2,3) 向右平移4个单位 → A'(6,3) 点 A(2,3) 向下平移5个单位 → A'(2,-2) 易错点：左右平移动纵坐标、上下平移动横坐标。 - 符号搞反：向左/向下记成加。 知识点03 图形的旋转 1. 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，叫做旋转。 2. 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 3. 性质 - 旋转前后图形形状、大小不变。 - 对应点到旋转中心的距离相等。 - 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 示例：将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，则 OA=OA'，∠AOA'=90°。 易错点：旋转方向（顺/逆）看错。 - 旋转角找错：把图形夹角当成旋转角。 - 忘记“对应点到旋转中心距离相等”，作图不准。 知识点04 中心对称 1. 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，称这两个图形关于这点成中心对称。 2. 性质 - 对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 - 对应线段平行（或共线）且相等。 示例：点A(x,y) 关于原点对称的点 A'(-x,-y)。 易错点：与轴对称混淆：中心对称是旋转180°，轴对称是翻折。 - 求中心对称点坐标时符号漏变。 知识点05 中心对称图形 1. 定义：一个图形绕自身某一点旋转180°后能与自身重合，叫中心对称图形。 2. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段等。 示例：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 易错点：把等边三角形、等腰梯形当成中心对称图形。 - 与轴对称图形概念混淆。 知识点06 轴对称与中心对称的对比 轴对称：沿一条直线对折重合。 中心对称：绕一点旋转180°重合。 示例：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 易错点：判断图形对称性时漏一种。 - 概念混用，描述不规范。 知识点07 平移、旋转的作图 1. 平移作图：找关键点→按方向距离平移→顺次连接。 2. 旋转作图：找关键点→连旋转中心→按角度旋转→顺次连接。 示例：将线段AB绕点O逆时针旋转60°，先连OA、OB，再分别作60°角，截取等长得到对应点。 易错点：关键点找不全，图形变形。 - 旋转角度量错，方向画反。 - 作图痕迹不保留，被扣分。 知识点08 平移与旋转的综合应用 利用平移、旋转将分散的线段、角集中，构造全等三角形、特殊三角形，解决长度、角度、面积问题。 示例：正方形中旋转三角形，可证明线段相等或求夹角。 易错点：不会构造辅助旋转，找不到全等关系。 - 旋转后对应边、对应角找错。 - 忽略旋转带来的等腰、等边结构。 知识点09 图案设计与欣赏 利用平移、旋转、轴对称进行简单图案设计，识别变换方式。 示例：地砖花纹可看作基本图形平移得到。 易错点：分不清图案是平移、旋转还是轴对称得到。 - 描述变换过程不完整。 题型一 图形的平移与中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 平移看方向、距离不变，形状大小全等，对应点连线平行且相等；中心对称绕点旋转180°重合，找对应点连线过对称中心且被平分，灵活利用对称性简化图形分析。 1．（25-26九年级上·广东中山·期末）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．B．C． D． 2．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，下列四个选项中，可以通过南宁马拉松吉祥物“邕宝”图案平移得到的是（  ） A．B． C． D． 4．（24-25九年级上·云南迪庆·期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 题型二 利用平移的性质求解 解｜题｜技｜巧 平移前后对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；常将分散条件通过平移集中到同一图形中，构造平行四边形或全等三角形，利用等量代换建立关系求解。 5．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 6．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 题型三 点在平面直角坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 左右平移横坐标加减，上下平移纵坐标加减，平移方向与坐标变化一致；可结合图形逆向平移，或将点与图形整体平移后求新坐标，注意已知平移前后坐标求平移量。 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为____________． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是_____． 11．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到的对应点的坐标是________． 12．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 题型四 求关于原点的对称点的坐标 解｜题｜技｜巧 关于原点对称，横纵坐标均取相反数，即点(x,y)对称后为(-x,-y)；可先分别求关于x轴、y轴对称再组合，或利用中心对称性质，注意与关于坐标轴对称的区别。 13．（25-26九年级上·陕西延安·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 14．（25-26九年级上·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 15．（24-25九年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为______． 16．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 题型五 找旋转中心、旋转角 解｜题｜技｜巧 找两组对应点，作它们连线的中垂线，交点即为旋转中心；旋转角为对应点与中心连线夹角；可利用全等或特殊角（如90°、60°）快速判断，注意旋转方向与角度范围。 17．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 18．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 19．（25-26九年级上·天津·月考）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______，旋转角为______度． 20．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是____． 题型六 求某点旋转后的坐标 解｜题｜技｜巧 常将旋转转化为全等或利用直角三角形，构造“K型”全等求坐标；绕原点旋转90°可用坐标互换并定符号，一般情况可设参数列方程，或借助复数与三角函数，但初中多用几何构造法。 21．（25-26九年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是__________． 22．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 24．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 题型七 坐标与旋转规律问题 解｜题｜技｜巧 先确定旋转中心、方向和角度，观察坐标变化规律，如绕原点每次90°可归纳周期变化；一般情况可作辅助线构造全等三角形，用线段相等与垂直关系列方程求坐标。 25．（25-26九年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 26．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为_______． 27．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 28．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 题型八 平面直角坐标系中平移和旋转作图 解｜题｜技｜巧 平移按方向距离移动各点再连线；旋转先找旋转中心与方向，作关键点与中心的连线，按角度旋转后取等长线段得对应点，最后顺次连接，注意保留作图痕迹与字母标注。 29．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 30．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 31．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 32．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ． (2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ． 题型九 几何图形中的平移综合问题 解｜题｜技｜巧 利用平移前后对应线段平行且相等，将分散条件集中，构造平行四边形或全等三角形；常通过平移一条边或对角线，将问题转化为三角形问题，结合勾股定理或面积法求解。 33．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 34．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 35．（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 36．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 题型十 几何图形中的旋转综合问题 解｜题｜技｜巧 旋转带来全等，将分散边角集中；常构造共顶点旋转，出现等腰或等边三角形；利用旋转角相等、对应边相等，结合“手拉手”模型，通过全等与勾股定理建立等量关系。 37．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 38．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 39．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 40．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 4．（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知点关于原点的对称点是______． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积___．（结果化成最简形式） 6．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 7．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)将先向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)将绕原点顺时针旋转，画出旋转后的． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，，将绕着顶点A顺时针旋转，得到．点F，G分别在上，且，连接并延长交线段于点H． (1)求证：； (2)求的大小． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知点关于原点对称的点为，则的值为________． 5．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 6．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为___________． 7．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的面积． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点，． (1)点，的坐标分别为 ， ； (2)求证：点，，在一条直线上． 9．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． (1)填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 10．（25-26八年级上·上海普陀·期末）等腰中，，将绕点旋转一定角度后得到，点、分别是射线、上的点，且，连接、、，我们把、所在直线的夹角叫做和的底联角．如图1，就是和的底联角； (1)如图1，当点在内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； (2)当点在内部时，如果，那么___________； (3)如图2，当点在外部时，如果，求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的平移和旋转（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 图形的平移与中心对称图形的识别 题型02 利用平移的性质求解 题型03 点在平面直角坐标系中的平移 题型04 求关于原点的对称点的坐标 题型05 找旋转中心、旋转角 题型06 求某点旋转后的坐标 题型07 坐标与旋转规律问题 题型08 平面直角坐标系中平移和旋转作图 题型09 几何图形中的平移综合问题 题型10 几何图形中的旋转综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 图形的平移 1. 理解平移的定义，掌握平移的两要素（方向、距离）；2. 能根据条件画出平移后的图形，会用坐标表示平移；3. 掌握平移的性质：对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 基础必考点，选择、填空、作图题均有涉及；2. 坐标平移是高频考点，易与平面直角坐标系结合考查。 图形的旋转 1. 理解旋转的定义，掌握旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）；2. 能根据条件画出旋转后的图形，会确定旋转中心和旋转角；3. 掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 中考核心考点，常与全等三角形、特殊四边形结合考查；2. 旋转作图和性质应用是解答题高频题型，易出现在几何综合题中。 中心对称与中心对称图形 1. 区分中心对称和中心对称图形的概念；2. 掌握中心对称的性质：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分；3. 能识别常见的中心对称图形（如平行四边形、圆）。 1. 高频易错点，选择题常考查概念辨析；2. 常与轴对称图形对比考查，易混淆两者性质。 平移与旋转的综合应用 1. 能综合运用平移、旋转的性质解决几何证明与计算问题；2. 能利用图形变换进行图案设计，解决最短路径等实际问题；3. 体会图形变换的转化思想，提升几何直观能力 1. 压轴题常考点，多与三角形、四边形综合考查；2. 侧重考查逻辑推理和空间想象能力，是区分度较高的题型。 知识点01 图形的平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移。 2. 两要素：平移方向、平移距离。 3. 性质 - 平移前后图形的形状、大小不变，位置改变。 - 对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 - 对应角相等。 - 对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等。 示例：将△ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△A'B'C'，则 AA'∥BB'，且 AA'=BB'=3个单位水平距离。 易错点：把“对应点连线”当成“对应线段”，混淆长度。 - 平移时方向或距离数错格子，作图不准。 - 认为平移会改变图形大小或角度。 知识点02 平移与平面直角坐标系 点的平移坐标变化规律： - 左右平移：横坐标变，纵坐标不变 右加左减 - 上下平移：纵坐标变，横坐标不变 上加下减 示例：点A(2,3) 向右平移4个单位 → A'(6,3) 点 A(2,3) 向下平移5个单位 → A'(2,-2) 易错点：左右平移动纵坐标、上下平移动横坐标。 - 符号搞反：向左/向下记成加。 知识点03 图形的旋转 1. 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，叫做旋转。 2. 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 3. 性质 - 旋转前后图形形状、大小不变。 - 对应点到旋转中心的距离相等。 - 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 示例：将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，则 OA=OA'，∠AOA'=90°。 易错点：旋转方向（顺/逆）看错。 - 旋转角找错：把图形夹角当成旋转角。 - 忘记“对应点到旋转中心距离相等”，作图不准。 知识点04 中心对称 1. 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，称这两个图形关于这点成中心对称。 2. 性质 - 对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 - 对应线段平行（或共线）且相等。 示例：点A(x,y) 关于原点对称的点 A'(-x,-y)。 易错点：与轴对称混淆：中心对称是旋转180°，轴对称是翻折。 - 求中心对称点坐标时符号漏变。 知识点05 中心对称图形 1. 定义：一个图形绕自身某一点旋转180°后能与自身重合，叫中心对称图形。 2. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段等。 示例：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 易错点：把等边三角形、等腰梯形当成中心对称图形。 - 与轴对称图形概念混淆。 知识点06 轴对称与中心对称的对比 轴对称：沿一条直线对折重合。 中心对称：绕一点旋转180°重合。 示例：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 易错点：判断图形对称性时漏一种。 - 概念混用，描述不规范。 知识点07 平移、旋转的作图 1. 平移作图：找关键点→按方向距离平移→顺次连接。 2. 旋转作图：找关键点→连旋转中心→按角度旋转→顺次连接。 示例：将线段AB绕点O逆时针旋转60°，先连OA、OB，再分别作60°角，截取等长得到对应点。 易错点：关键点找不全，图形变形。 - 旋转角度量错，方向画反。 - 作图痕迹不保留，被扣分。 知识点08 平移与旋转的综合应用 利用平移、旋转将分散的线段、角集中，构造全等三角形、特殊三角形，解决长度、角度、面积问题。 示例：正方形中旋转三角形，可证明线段相等或求夹角。 易错点：不会构造辅助旋转，找不到全等关系。 - 旋转后对应边、对应角找错。 - 忽略旋转带来的等腰、等边结构。 知识点09 图案设计与欣赏 利用平移、旋转、轴对称进行简单图案设计，识别变换方式。 示例：地砖花纹可看作基本图形平移得到。 易错点：分不清图案是平移、旋转还是轴对称得到。 - 描述变换过程不完整。 题型一 图形的平移与中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 平移看方向、距离不变，形状大小全等，对应点连线平行且相等；中心对称绕点旋转180°重合，找对应点连线过对称中心且被平分，灵活利用对称性简化图形分析。 1．（25-26九年级上·广东中山·期末）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意； ．既是中心对称图形，又是轴对称图形，该选项符合题意． 2．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，下列四个选项中，可以通过南宁马拉松吉祥物“邕宝”图案平移得到的是（  ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义与性质，即可得到答案． 本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握图形平移前后的大小，形状都不变化，只是位置变化是解题的关键． 【详解】解：图中所示的“邕宝”图案经过平移后得到的是C选项， 故选：C 4．（24-25九年级上·云南迪庆·期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个图形绕一点旋转度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，选项中，B选项图形绕某点旋转，旋转后的图形与原来的图形完全重合， A、C、D、这三个选项图形绕某点旋转，旋转后的图形不与原来的图形完全重合， 故B选项是中心对称图形． 题型二 利用平移的性质求解 解｜题｜技｜巧 平移前后对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；常将分散条件通过平移集中到同一图形中，构造平行四边形或全等三角形，利用等量代换建立关系求解。 5．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【答案】 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 6．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平移的性质等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 如图，此时B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，，，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值，再利用勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，由题意可得：米， 将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则，， 所以旋梯底部A到顶部B的扶手长度 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值， ∵油罐底面圆半径约为米，高为12米， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴旋梯的扶手长度的最小值为米． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40， ∴中间重叠部分长方形的周长为， 由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长， ∴甲、乙的周长和为， ∵甲和乙的周长相等， ∴甲的周长为， ∴正方形甲的边长为， 故答案为：． 题型三 点在平面直角坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 左右平移横坐标加减，上下平移纵坐标加减，平移方向与坐标变化一致；可结合图形逆向平移，或将点与图形整体平移后求新坐标，注意已知平移前后坐标求平移量。 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加． 【详解】解：点向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移5个单位长度，纵坐标变为； 故点的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，关于轴对称的点的坐标特征． 点A向右平移3个单位长度，得到点，其横坐标增加3，纵坐标不变；点关于x轴对称，得到点，其横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，得到点，横坐标变为，纵坐标不变，即； 作点关于轴的对称点，得到点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据点的平移规则：向左平移减坐标，向下平移减坐标，依次计算点平移后的坐标． 【详解】解：点向下平移个单位，坐标减少，得到点， 再向左平移个单位，坐标减少，得到点． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 (1)1 (2) 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 题型四 求关于原点的对称点的坐标 解｜题｜技｜巧 关于原点对称，横纵坐标均取相反数，即点(x,y)对称后为(-x,-y)；可先分别求关于x轴、y轴对称再组合，或利用中心对称性质，注意与关于坐标轴对称的区别。 13．（25-26九年级上·陕西延安·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称为求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 14．（25-26九年级上·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为. 【详解】解：由题意知，，， . 15．（24-25九年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为______． 【答案】36 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：36． 16．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 题型五 找旋转中心、旋转角 解｜题｜技｜巧 找两组对应点，作它们连线的中垂线，交点即为旋转中心；旋转角为对应点与中心连线夹角；可利用全等或特殊角（如90°、60°）快速判断，注意旋转方向与角度范围。 17．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转角相等，解答即可． 【详解】解：根据旋转角相等，得， 故旋转中心可能是点B， 故答案为：B． 18．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 19．（25-26九年级上·天津·月考）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______，旋转角为______度． 【答案】 90 【分析】本题主要考查了旋转中心和旋转角的确定， 先确定对应点，再作对应点连线的垂直平分线，交点即为答案，然后确定旋转角即可. 【详解】解：将绕某点旋转得到， ∴点A的对应点是点D，点B的对应点是点E. 如图，连接，作的垂直平分线，交于点，将绕点P顺时针旋转得到. 可知旋转中心是，旋转角为. 故答案为：，90. 20．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是____． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．先证明≌，确定，则可以看作线段绕一点旋转得到线段，作和的垂直平分线交点为作和的垂直平分线交点为，可得结论． 【详解】解：延长交于，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， 即， 可以看作线段绕一点旋转得到线段， 如图，作和的垂直平分线交点为，得， 如图，作和的垂直平分线交点为，得 故答案为：或． 题型六 求某点旋转后的坐标 解｜题｜技｜巧 常将旋转转化为全等或利用直角三角形，构造“K型”全等求坐标；绕原点旋转90°可用坐标互换并定符号，一般情况可设参数列方程，或借助复数与三角函数，但初中多用几何构造法。 21．（25-26九年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，再利用旋转的性质得到条件证明，即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，求旋转后点的坐标． 过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据A点坐标得到，根据旋转的性质得到，证明，得到，根据点在第一象限即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵A点坐标为， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 【答案】 【分析】先设出点的坐标，利用一次函数表达式表示其纵坐标，再根据点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为得到点的坐标，最后将代入一次函数解析式，解方程求出参数，进而得到点的坐标． 【详解】解：因为点在一次函数的图像上， 设点的坐标为， 则点旋转后的对应点的坐标为， 因为点在一次函数的图像上， 所以，解得 将代入点的纵坐标表达式，得， 故点的坐标为． 24．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 题型七 坐标与旋转规律问题 解｜题｜技｜巧 先确定旋转中心、方向和角度，观察坐标变化规律，如绕原点每次90°可归纳周期变化；一般情况可作辅助线构造全等三角形，用线段相等与垂直关系列方程求坐标。 25．（25-26九年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键． 利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果． 【详解】解：如图，过点B作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈， ， ， ∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了， 由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时， 故答案为： ． 26．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换、勾股定理，通过分析几次旋转得到旋转规律是解题的关键． 过点作轴于点，根据勾股定理列式求出，利用等积法求出，根据勾股定理列式求出，得出，可得坐标，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，根据商为，余数为，可知第个三角形的直角顶点为第个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组后第二个三角形的直角顶点， ∵一个循环组横坐标前进的长度为：， ∴， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为：． 27．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 28．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 题型八 平面直角坐标系中平移和旋转作图 解｜题｜技｜巧 平移按方向距离移动各点再连线；旋转先找旋转中心与方向，作关键点与中心的连线，按角度旋转后取等长线段得对应点，最后顺次连接，注意保留作图痕迹与字母标注。 29．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析，这个变化过程中扫过的面积为 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、图形的旋转变换、图形的平移变换以及平移过程中扫过面积的计算，熟练掌握中心对称、旋转、平移的坐标变化规律和平行四边形的面积计算方法是解题的关键。 （1）根据中心对称的性质，分别找出点、、关于原点的对称点、、，再顺次连接即可得到。 （2）根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，直接求出点的坐标。 （3）根据平移的性质画出，再通过计算线段平移形成的平行四边形面积，求出扫过的面积。 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求，； （3）解：如图，，这个变化过程中扫过的面积． 30．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，从图中直接读出的坐标； （3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：画出关于坐标原点成中心对称的如图所示： （2）解：画出绕点顺时针旋转后得到的如图所示： 得到的坐标为； 故答案为：； （3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示： 旋转中心的坐标为． 故答案为： 31．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平移和中心对称的性质． （1）分别将点向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可； （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时为最小值，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值， 由勾股定理得， ∴这个最小值为． 32．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ． (2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；是等腰直角三角形 (2)且 (3)或 【分析】（1）利用绕原点顺时针旋转的点的坐标写出的坐标，从而得到； （2）利用点平移的坐标特征写出的坐标，从而得到； （3）设,则，利用三角形的面积公式求出x的值，即得点P的坐标． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转90°得到， 点A、B、C旋转后的对应点分别为， 点的坐标是； 的形状是等腰直角三角形． ；等腰直角三角形． （2）解：将经过平移后得到， 点A、B、C平移后的对应点分别为， 则线段和的关系是且． 故答案为：且． （3）解：∵P为x轴上一点， ∴设， 则， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， ， 当时， ， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 题型九 几何图形中的平移综合问题 解｜题｜技｜巧 利用平移前后对应线段平行且相等，将分散条件集中，构造平行四边形或全等三角形；常通过平移一条边或对角线，将问题转化为三角形问题，结合勾股定理或面积法求解。 33．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平移的性质及线段垂直平分线的判定与性质． （1）由等边三角形性质得出，再由E是的中点，根据等边三角形三线合一得出平分，从而求得结果； （2）由，结合得出的度数，再利用平移性质得到平行关系，紧接着证明，结合得垂直平分，从而求出的度数，最后证明的三个角均为，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由平移性质可得：， ∴，， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 34．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理． （1）由平移的性质可得：，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）由三角形的外角性质，得，由已知求得，推出，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 由三角形的外角性质，得， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分． 35．（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． （3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． 【详解】（1）解:由平移的性质可得， 故答案为； （2），理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 36．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 【答案】(1) (2)①；②当点落在上时，；当点落在上时， 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）①利用长方形的性质、勾股定理及三角形面积公式求解；②依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值即可； 【详解】（1）解：∵长方形， ∴； 在中，， 由勾股定理得：； （2）解：①∵，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：； ∵对称， ∴垂直平分， 设与交于点，则， ∵，即：， ∴， ∴； ②设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， ∵， ∴， 为等腰三角形， ， ，即． 题型十 几何图形中的旋转综合问题 解｜题｜技｜巧 旋转带来全等，将分散边角集中；常构造共顶点旋转，出现等腰或等边三角形；利用旋转角相等、对应边相等，结合“手拉手”模型，通过全等与勾股定理建立等量关系。 37．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质．先利用旋转的性质得到对应边和旋转角；结合已知推导出，得到；再以为依据证明和全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，； ∵， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴． 38．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 39．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 40．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键． （1）利用旋转的性质，通过证明全等即可找到线段关系； （2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； （3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 如图，延长，与交于点H，过点E作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G， 同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、可以找到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知点关于原点的对称点是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标规律． 点关于原点的对称点坐标是原坐标的相反数． 【详解】解：点关于原点的对称点是， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积___．（结果化成最简形式） 【答案】/ 【分析】此题考查了平移的性质，首先得到，，求出，然后得到． 【详解】解：由平移得，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转以及解含有特殊角的直角三角形，正确作图分析是解题的关键．先通过已知条件求出点B的坐标，再由旋转的定义，作图找到第2次旋转后点B的位置，求出该点坐标即可． 【详解】解：如图1，过B作轴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转， 设旋转两次后，B点的对应点为， 如图2，点在x轴负半轴，， ∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)将先向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)将绕原点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平移作图和旋转作图； （1）根据平移的性质作出对应点，再连接即可； （2）根据旋转的性质作出对应点，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，，将绕着顶点A顺时针旋转，得到．点F，G分别在上，且，连接并延长交线段于点H． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)60° 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）求出，得到，由旋转的性质得到，据此可证明结论； （2）由旋转的性质可得，，证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，即． （2）解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】掌握平移时点的坐标变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，即可计算求解． 【详解】解：将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为，即． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 3．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知点关于原点对称的点为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数，求出a和b的值，再计算，最后根据有理数的乘方运算求解，即可作答． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴， ∴， 故答案为： 5．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据垂直得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据旋转的性质得出对应边相等和对应角相等，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，从而求出点为． 【详解】解：∵点，，，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵余2， ∴在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【答案】2 【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转的性质，得到旋转角的度数，再求出，，用面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，，将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点，． (1)点，的坐标分别为 ， ； (2)求证：点，，在一条直线上． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了点坐标的平移变换、求一次函数的解析式，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． （1）根据点坐标的平移变换规律求解即可得； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线经过点，由此即可得证． 【详解】（1）解：∵将点，分别向下平移3个单位长度得到点，， ∴，， 即，， 故答案为：，． （2）证明：设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴直线经过点， ∴点，，在一条直线上． 9．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． (1)填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的综合、一次函数与几何综合和等腰直角三角形的判定和性质，学会分类讨论是解决本题的关键． （1）过点E作于F，过点C作于点G，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）根据题意分为三种情况：当点没有过y轴时；当点过y轴时没有过y轴时；当点过直线时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点E作于F，过点C作于点G，如图， ∵和均为等腰直角三角形，且，， ∴，， 由题意得，点，，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵是边上的中线， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵是向右平移个单位得到的， ∴顶点为、、， 当点没有过y轴时，如图，此时， ∴，且， 由平移得，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ； 当点过y轴时没有过y轴时，如图，此时， 同理可得，为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ； 设直线的解析式为， 将点B和点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 设该点为K，则其坐标为， ∴， ∴当时，点和点K重合，点和点O重合， ∴当点过直线时，如图，此时， ∴， ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 综上所述，． 10．（25-26八年级上·上海普陀·期末）等腰中，，将绕点旋转一定角度后得到，点、分别是射线、上的点，且，连接、、，我们把、所在直线的夹角叫做和的底联角．如图1，就是和的底联角； (1)如图1，当点在内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； (2)当点在内部时，如果，那么___________； (3)如图2，当点在外部时，如果，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由判定，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由（1）得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）连接、交于点，由判定，结合全等三角形的性质得 ，由勾股定理得，， ，，即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转得， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， 故两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； （2）解：如图， 由（1）得， ， ， 故答案为； （3）解：如图，连接、交于点， ， ， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $