12.3证明（教学课件）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学课件聚焦“证明”核心知识点，通过线段长短比较、中心圆大小判断、曲径面积计算等视觉错觉实例，对比观察与度量结果引出证明必要性，衔接命题真假判断，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”发现现实问题，“数学思维”培养逻辑推理，“数学语言”规范证明表达。采用探究式教学，通过五步证明法（审题、画图等）和几何垂直平行、代数乘法规律等实例，帮助学生形成推理习惯，教师可利用清晰结构提升教学效果。

第十二章 定义 命题 证明 12.3 证明 学 习 目 标 1 知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式 新知探究 数学中有各种各样的命题。判断命题的真假是数学的一个基本活动。我们可以用反例说明一个命题为假，那么如何确定一个命题为真？ 新知探究 如图，是静的，还是动的？ 新知探究 讨 论 1. 观察下图，线段AB与CD哪条较长？ 解：通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：AB = CD。 看上去线段AB比线段CD长 But 新知探究 讨 论 2. 观察下图，位于中心位置的两个圆一样大吗？ 解：通过度量两个圆的直径， 可以证实：位于中心位置的两个圆一样大。 看上去线段左边的圆比较大 But 新知探究 讨 论 3. 把图 ( 1 ) 长方形草坪中间1m宽的直道，改成图 ( 2 ) 中处处1m宽的“曲径”，这两条小道的面积相等吗？ 看上去不相等，但实际相等 1m ↔ 1m ↔ 图 ( 1 ) 图 ( 2 ) 新知探究 讨 论 1m ↔ 图 ( 2 ) 如果将图 ( 2 ) 中小道左边的草坪向右平移1m，并将其与右边的草坪拼在一起，可以得到一个长为( a - 1 ) m、宽为b m的长方形， a b 于是，“曲径”的面积 = “原长方形的面积” - “现长方形的面积” = ab - b ( a - 1 ) = ab - ab + b = b ( m2 )， 而“直道”的面积 = 1 × b = b ( m2 )， ∴通过图形的平移与计算可得： 两条小道的面积相等。 新知探究 生活经验告诉我们，“眼见不一定为实”。数学中一般不能仅仅凭借观察来判断一个命题的真假。 数学命题一般都由“条件”和“结论”两部分组成，如果我们从命题的“条件”出发，根据一些已知的事实，得出命题的“结论”成立，那么就可以说这个命题为真命题。 新知探究 下面，我们来看两个例子： 1. 判断命题“如果a，b是偶数，那么a + b也是偶数”的真假性。 解：∵a，b都是偶数， ∴可以设a = 2m，b = 2n ( m，n是整数 )， ∴a + b = 2m + 2n = 2 ( m + n )。 ∴a + b也是偶数。 命题的条件 偶数的定义 等量代换和分配律 根据偶数定义，得到命题的结论 ∴命题“如果a，b是偶数，那么a + b也是偶数”为真命题。 新知探究 2. 判断命题“如果a < b，c < d，那么a + c < b + d”的真假性。 解：∵a < b， 在不等式两边都加上c，得a + c < b + c。 ∵c < d， 在不等式两边都加上b，得b + c < b + d。 ∵a + c < b + c，b + c < b + d， ∴a + c < b + d。 命题的条件 不等式的基本性质 命题的条件 不等式的基本性质 根据传递性，得到命题的结论 ∴命题“如果a < b，c < d，那么a + c < b + d”为真命题。 新知探究 知识要点 证明： 像上面这样，从命题的条件出发， 根据一些已知的事实 ( 如概念的定义，基本性质，真命题等 )， 用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论， 从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 典例分析 典例1 证明：三个连续自然数之和能被3整除。 证明：设这三个自然数分别为k - 1，k，k + 1，其中k ≥ 1。 所设三个自然数的和为( k - 1 ) + k + ( k + 1 ) = 3k。 ∵3k能被3整除， ∴这三个自然数的和能被3整除。 典例分析 典例2 证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行。 已知：如图，a，b，c是同一平面内的三条直线，a ⊥ c，b ⊥ c。 求证：a // b。 证明：∵a ⊥ c ( 已知 )， ∴∠1 = 90° ( 垂直的定义 )。 ∵b ⊥ c ( 已知 )， ∴∠2 = 90° ( 垂直的定义 )。 ∴∠1 = ∠2 ( 等量代换 )。 ∴a // b ( 同位角相等，两直线平行 )。 等量代换： 一个量用与它相等的量代替 新知探究 讨、 论 证明一个命题的一般步骤有哪些？ 解：① 审题：分清命题的条件和结论； ② 画图：根据题意画出对应几何图形； ③ 写已知、求证：结合图形用几何语言表述条件与待证结论； ④ 推理证明：依据已知的事实 ( 如概念的定义，基本性质，真命题等 ) 逐步推导； ⑤ 得出结论：总结命题成立。 题型探究 几何证明 题型一 【例1-1】完成下列推理过程。如图，已知∠CGD = ∠CAB， ∠ADE + ∠CEF = 180°，求证：∠1 = ∠2。 证明：∵∠ADE + ∠CEF = 180° ( __________________________ )， ∴EF ∥ AD ( __________________________ )， ∴∠2 = ∠3 ( __________________________ )； ∵∠CGD = ∠CAB ( __________________________ )， ∴DG ∥ AB ( __________________________ )， ∴∠1 = ∠3 ( __________________________ )； ∴∠1 = ∠2 ( __________________________ )。 已知 已知 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等量代换 题型探究 几何证明 题型一 【例1-2】完成下列推理过程。如图，已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠5 = ∠A，求证：BE ∥ CF。 证明：∵∠3 = ∠4 ( 已知 )， ∴AE ∥ ______ ( __________________________ )， ∴∠EDC = ∠5 ( __________________________ )； ∵∠5 = ∠A ( 已知 )， ∴∠EDC = ______ ( 等量代换 )， ∴DC ∥ AB ( __________________________ )， ∴∠5 + ∠ABC = 180° ( __________________________ )， 即∠5 + ∠2 + ∠3 = 180°； BC 内错角相等，两直线平行 ∠A 两直线平行，内错角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 题型探究 几何证明 题型一 证明：∵∠3 = ∠4 ( 已知 )， ∴AE ∥ ______ ( __________________________ )， ∴∠EDC = ∠5 ( __________________________ )； ∵∠5 = ∠A ( 已知 )，∴∠EDC = ______（等量代换）， ∴DC ∥ AB ( __________________________ )， ∴∠5 + ∠ABC = 180° ( __________________________ )， 即∠5 + ∠2 + ∠3 = 180°； ∵∠1 = ∠2 ( 已知 )， ∴∠5 + ∠1 + ∠3 = 180° ( __________________________ )， 即∠BCF + ∠3 = 180°，∴BE ∥ CF ( __________________________ )。 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 BC 内错角相等，两直线平行 ∠A 两直线平行，内错角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 题型探究 几何证明 题型一 【例1-3】如图，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上， 过点D的直线与线段EF的交点为点H，请从以下给出三个条件 ① ∠1 + ∠2 = 180°；② ∠3 = ∠C；③ DE ∥ BC 再选取两个为条件，剩下的一个作为结论，并请完成证明。 条件 ( 已知 ) __________；结论 ( 求证 ) __________。 ①② ③ 题型探究 几何证明 题型一 已知：① ∠1 + ∠2 = 180°，② ∠3 = ∠C，求证：③ DE ∥ BC。 证明：∵∠1是△DEH的外角 ( 已知 )， ∴∠1 = ∠3 + ∠4 ( 外角的性质 )； 又∵∠1 + ∠2 = 180° ( 已知 )， ∴∠3 + ∠4 + ∠2 = 180° ( 等量代换 )； ∵∠3 = ∠C ( 已知 )， ∴∠C + ∠4 + ∠2 = 180° ( 等量代换 )， 即∠DEC + ∠C = 180°， ∴DE ∥ BC ( 同旁内角互补，两直线平行 )。 题型探究 代数证明 题型二 【例2】数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律， 现请观察下列几个等式： 23 × 83 = ( 2 × 8 + 3 ) × 100 + 3 × 3 = 1909； 38 × 78 = ( 3 × 7 + 8 ) × 100 + 8 × 8 = 2964； 45 × 65 = ( 4 × 6 + 5 ) × 100 + 5 × 5 = 2925。 ( 1 ) 请你类比上面的等式，计算：① 84×24，② 562； ( 2 ) 请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明。 解：( 1 ) ① 84 × 24 = ( 8 × 2 + 4 ) × 100 + 4 × 4 = 2016， ② 562 = 56 × 56 = ( 5 × 5 + 6 ) × 100 + 6 × 6 = 3100 + 36 = 3136； 题型探究 代数证明 题型二 23 × 83 = ( 2 × 8 + 3 ) × 100 + 3 × 3 = 1909； 38 × 78 = ( 3 × 7 + 8 ) × 100 + 8 × 8 = 2964； 45 × 65 = ( 4 × 6 + 5 ) × 100 + 5 × 5 = 2925。 ( 2 ) 请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明。 ( 2 ) 一般规律为： (10a + c ) × [ 10 × ( 10 - a ) + c ] = [ a × ( 10 - a ) + c ] × 100 + c × c， 证明：左边 = 10a × 10 × ( 10 - a ) + 10a × c + c × 10 × ( 10 - a ) + c × c = 100a × ( 10 - a ) + 10ac + 10c × ( 10 - a ) + c × c = 100a × ( 10 - a ) + 100c + c × c = [ a × ( 10 - a ) + c ] × 100 + c × c = 右边。 课堂小结 证明： 像上面这样，从命题的条件出发， 根据一些已知的事实 ( 如概念的定义，基本性质，真命题等 )， 用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论， 从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 证明一个命题的一般步骤： ① 审题：分清命题的条件和结论； ② 画图：根据题意画出对应几何图形； ③ 写已知、求证：结合图形用几何语言表述条件与待证结论； ④ 推理证明：依据已知的事实 ( 如概念的定义，基本性质，真命题等 ) 逐步推导； ⑤ 得出结论：总结命题成立。 感谢聆听! $