专题02 圆锥曲线全章24大题型（期末复习专项训练）高二数学下学期沪教版

**基本信息** 以圆、椭圆、双曲线、抛物线为逻辑主线，覆盖24类核心题型，通过"定义-方程-性质-应用"递进训练，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆|12题型（36题）|涵盖方程互化、位置关系等，标注重点难点|从方程确定到切线弦长，构建圆的完整知识链| |椭圆|4题型（15题）|聚焦定义、离心率等常考点|以定义为基础，递进考查几何量计算与方程求解| |双曲线|4题型（15题）|围绕渐近线、离心率设计综合题|结合渐近线与离心率关系，强化性质应用| |抛物线|3题型（14题）|突出定义理解与距离最值|从定义到焦点准线，衔接轨迹方程综合应用| |轨迹方程|1题型（7题）|综合应用圆锥曲线定义|整合前三类曲线知识，提升模型构建能力|

专题02 圆锥曲线 题型1 由圆心（或半径） 求圆的方程 题型13椭圆定义及辨析（常考点） 题型2 由标准方程确定圆心和半径（常考点） 题型14求椭圆的长轴、短轴 题型3 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型15 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型4由圆的一般方程确定圆心和半径（常考点） 题型16根据离心率求椭圆的标准方程 题型5 判断直线与圆的位置关系（重点） 题型17 已知方程求双曲线的渐近线 题型6 由直线与圆的位置关系求参数 题型18 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型7 直线与圆的位置关系求距离的最值（难点） 题型19 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型8过圆上一点的圆的切线方程 题型20根据离心率求双曲线的标准方程 题型9过圆外一点的圆的切线方程 题型21抛物线定义的理解（常考点） 题型10圆的弦长与中点弦（重点） 题型22抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值（重点） 题型11已知圆的弦长求方程或参数 题型23根据抛物线方程求焦点或准线 题型12由圆的位置关系确定参数或范围（难点） 题型24求平面轨迹方程（难点） 题型一、由圆心（或半径） 求圆的方程（共4小题） 1．（25-26高二下·上海·月考）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 2．（24-25高二下·上海·期末）圆心是且过点的圆的方程为______. 3．（24-25高二下·上海·期末）如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）．    4．已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 题型二、由标准方程确定圆心和半径（共3小题） 5．（24-25高二下·上海·期末）圆的圆心的坐标为__________． 6．（25-26高二下·上海·期中）圆的半径为______． 7．已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 题型三、圆的一般方程与标准方程之间的互化（共3小题） 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 9．（24-25高二下·上海·月考）圆的半径为__________. 10．（24-25高二下·上海·月考）已知实数满足关系：，则的最小值__________. 题型四、由圆的一般方程确定圆心和半径（共4小题） 11．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 12．（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为__________． 13．（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为________； 14．（24-25高二下·上海·阶段检测）圆的半径为________ 题型五、判断直线与圆的位置关系（共4小题） 15．已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 16．（25-26高二下·上海·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 17．（25-26高二下·上海·期中）已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 18．已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 题型六、由直线与圆的位置关系求参数（共4小题） 19．（24-25高二下·上海·阶段检测）点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·上海松江·期中）已知常数．若过点、的直线为圆的切线，则______． 21．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 22．（24-25高二下·上海·期末）设直线过点且与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的斜截式方程； (2)设直线过点与直线垂直，与轴分别交于两点，若与的面积相等，求直线的斜率； (3)若圆的圆心在外，且与轴所在直线相切于轴正半轴上，与轴所在直线相切于轴正半轴上，与直线相切于线段上，设，求关于的函数表达式和定义域，并求圆的面积的最小值及取到最小值时的值. 题型七、直线与圆的位置关系求距离的最值（共4小题） 23．（25-26高二下·上海·月考）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 24．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 25．对于圆上任意一点，的值与x、y无关，有下列结论中正确的命题是______（填写相应的序号）. ①点的轨迹是一个圆； ②r不存在最小值； ③当时，r有最大值； ④当，时，. 26．直线与圆交于两点，则______． 题型八、过圆上一点的圆的切线方程（共3小题） 27．（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 28．（24-25高二下·上海·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 29．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________． 题型九、过圆外一点的圆的切线方程（共3小题） 30．求过点 的圆 的切线方程__________. 31．（24-25高二下·上海·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 32．（25-26高二下·上海·期中）已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 题型十、圆的弦长与中点弦（共4小题） 33．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 34．（25-26高二下·上海·期中）已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为________． 36．（25-26高二下·上海·月考）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 题型十一、已知圆的弦长求方程或参数（共3小题） 37．（23-24高二下·上海松江·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数______. 38．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 39．（24-25高二下·上海·期中）已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 题型十二、由圆的位置关系确定参数或范围（共3小题） 40．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数______． 41．（24-25高二下·上海·月考）已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 42．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 题型十三、椭圆定义及辨析（共3小题） 43．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 44．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 45．已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______. 题型十四、求椭圆的长轴、短轴（共3小题） 46．（25-26高二下·上海·期中）在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 47．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 48．（24-25高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 题型十五、求椭圆的离心率或离心率的取值范围（共4小题） 49．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为_____. 50．（24-25高二下·上海·期末）椭圆的离心率为______. 51．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 52．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线经过点，设点，且的面积为，求的值； (3)若直线过点，设直线的斜率分别为，且成等差数列，求直线的方程 题型十六、根据离心率求椭圆的标准方程（共5小题） 53．（24-25高二下·上海·期末）若椭圆的离心率，则的值为（    ） A．16 B．16或 C． D．3或 54．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为______. 55．（25-26高二下·上海宝山·期中）已知是椭圆的左右焦点，且经过点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)若直线过右焦点与椭圆交于两点，且，求直线的方程． (3)若直线过点，且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值． 56．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 57．（25-26高二下·上海·期中）已知，椭圆的焦距为，离心率为.过点的直线交椭圆于点（在第一象限）. (1)求椭圆的方程； (2)设，点，直线的斜率分别为，求的值； (3)直线交轴于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点，若为中点，且，求直线的斜率. 题型十七、已知方程求双曲线的渐近线（共5小题） 58．（25-26高二下·上海闵行·期中）双曲线的渐近线的方程为________. 59．（25-26高二下·上海·月考）双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为______. 60．（25-26高二下·上海·月考）若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 61．（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 62．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 题型十八、根据双曲线的渐近线求标准方程（共3小题） 63．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为_____ 64．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________. 65．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 题型十九、求双曲线的离心率或离心率的取值范围（共4小题） 66．（24-25高二下·上海闵行·期末）双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为________． 67．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 68．（24-25高二下·上海·期末）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________. 69．（25-26高二下·上海·期中）如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.      (1)已知，求的值，并写出椭圆和双曲线的离心率，； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 题型二十、根据离心率求双曲线的标准方程（共3小题） 70．双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为________. 71．已知双曲线的离心率为2，则实数______． 72．（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左右焦点为. (1)若双曲线的离心率为，且是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求. 题型二一、抛物线定义的理解（共3小题） 73．（25-26高二下·上海·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则p=______. 74．（23-24高二下·上海·期末）拋物线的焦点到其准线的距离是__________． 75．（25-26高二下·上海·期中）抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 题型二二、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值（共3小题） 76．已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值______. 77．（24-25高二下·上海·月考）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为________. 78．设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______． 题型二三、根据抛物线方程求焦点或准线（共5小题） 79．（25-26高二下·上海闵行·期中）抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 80．（25-26高二下·上海闵行·期中）若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 81．（2024·上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 82．（25-26高二下·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 83．（25-26高二下·上海·月考）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： 题型二四、求平面轨迹方程（共4小题） 84．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 85．命题：直角坐标系中动点到定点的距离比到轴的距离大2；命题：动点的坐标满足方程．则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 86．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____. 87．（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 2 / 60 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线 题型1 由圆心（或半径） 求圆的方程 题型13椭圆定义及辨析（常考点） 题型2 由标准方程确定圆心和半径（常考点） 题型14求椭圆的长轴、短轴 题型3 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型15 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型4由圆的一般方程确定圆心和半径（常考点） 题型16根据离心率求椭圆的标准方程 题型5 判断直线与圆的位置关系（重点） 题型17 已知方程求双曲线的渐近线 题型6 由直线与圆的位置关系求参数 题型18 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型7 直线与圆的位置关系求距离的最值（难点） 题型19 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型8过圆上一点的圆的切线方程 题型20根据离心率求双曲线的标准方程 题型9过圆外一点的圆的切线方程 题型21抛物线定义的理解（常考点） 题型10圆的弦长与中点弦（重点） 题型22抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值（重点） 题型11已知圆的弦长求方程或参数 题型23根据抛物线方程求焦点或准线 题型12由圆的位置关系确定参数或范围（难点） 题型24求平面轨迹方程（难点） 题型一、由圆心（或半径） 求圆的方程（共4小题） 1．（25-26高二下·上海·月考）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 2．（24-25高二下·上海·期末）圆心是且过点的圆的方程为______. 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·期末）如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）．    【答案】 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，利用勾股定理求出，即可求出圆的方程，再设，，代入计算可得. 【详解】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，如图，    则，所以， 则圆的标准方程为． 由题意设，，代入圆的方程得，解得（负值已舍去）, 所以支柱的高度约为米. 故答案为：． 4．已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 题型二、由标准方程确定圆心和半径（共3小题） 5．（24-25高二下·上海·期末）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【详解】圆的圆心的坐标为． 6．（25-26高二下·上海·期中）圆的半径为______． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【详解】由，配方得， 故该圆的半径为． 7．已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 因此． 题型三、圆的一般方程与标准方程之间的互化（共3小题） 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 9．（24-25高二下·上海·月考）圆的半径为__________. 【答案】1 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】整理圆的方程为标准方程，可得答案. 【详解】由，则，可得半径为1. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海·月考）已知实数满足关系：，则的最小值__________. 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心坐标为，圆的半径， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 题型四、由圆的一般方程确定圆心和半径（共4小题） 11．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 12．（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为__________． 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为________； 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 14．（24-25高二下·上海·阶段检测）圆的半径为________ 【答案】2 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的一般方程半径公式求解. 【详解】圆的半径为. 故答案为：2. 题型五、判断直线与圆的位置关系（共4小题） 15．已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【答案】C 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】根据条件，即可圆心到直线的距离，再结合直线与圆位置关系的判断方法，即可判断. 【详解】圆心到直线的距离为 ，即 故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意. 故选：C 16．（25-26高二下·上海·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】直线斜率的定义、直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 17．（25-26高二下·上海·期中）已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 【答案】(1) 证明过程见解析 (2) 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）整理直线方程求出恒过的定点，证明定点在圆内部，即可得直线与圆恒相交； （2）当直线与定点和圆心的连线垂直时，圆心到直线距离最大，对应截得弦最短，利用垂径定理计算最小值． 【详解】（1）变形为， 令 ，解得，即直线恒过定点， 圆的圆心为，半径，点到圆心的距离平方：， 故点在圆内部，因此圆与直线恒相交． （2）因为直线过圆内定点，圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小， ，由垂径定理可得最短弦长为 ． 18．已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 【答案】(1)相交 (2)或 (3) 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、判断直线与圆的位置关系、轨迹问题——圆 【分析】（1）由直线方程得直线过定点，计算定点与圆心的距离得直线与圆的位置关系； （2）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （3）设动点，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程. 【详解】（1）直线l：，过定点， 圆C的圆心到该点的距离为，所以直线l过圆内一点，直线与圆相交. （2）设圆心到直线的距离为d，因为，则， 解得，所以，， 直线方程为或. （3）直线l：，过定点， 设弦AB的中点，则， 所以，即， 所以弦AB的中点的轨迹方程为. 题型六、由直线与圆的位置关系求参数（共4小题） 19．（24-25高二下·上海·阶段检测）点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用即可. 【详解】设，则， 因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，得或， 故的取值范围是. 故选：D 20．（25-26高二下·上海松江·期中）已知常数．若过点、的直线为圆的切线，则______． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【详解】由题意可知过点、的直线斜率存在，设斜率为， 则过点、的直线方程可以为，即， 由题意可知，解得， 所以过点、的直线方程为， 点在直线上，所以，解得. 21．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先确定点的轨迹，再根据斜率的几何意义，利用数形结合求取值范围. 【详解】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. 22．（24-25高二下·上海·期末）设直线过点且与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的斜截式方程； (2)设直线过点与直线垂直，与轴分别交于两点，若与的面积相等，求直线的斜率； (3)若圆的圆心在外，且与轴所在直线相切于轴正半轴上，与轴所在直线相切于轴正半轴上，与直线相切于线段上，设，求关于的函数表达式和定义域，并求圆的面积的最小值及取到最小值时的值. 【答案】(1) (2)3 (3)， 【知识点】由直线的交点坐标求参数、由直线与圆的位置关系求参数、直线的斜截式方程及辨析 【分析】（1）利用直线方程表示出截距，再利用截距相等建立方程，求解斜率，最后求出直线方程即可. （2）先求的方程，再求其截距，再利用三角形面积公式表示出面积，利用三角形面积相等建立方程，求解参数即可. （3）利用给定条件表示，再设出直线方程，表示并用基本不等式求解其最小值，最后利用圆的面积公式求解面积即可. 【详解】（1）设直线的斜率为，则， 当时，，当时，， （舍）， 则直线的方程为. （2）由（1）知， 因为直线过点与直线垂直，则直线的斜率为， 则直线的方程为， 当时，，当时，，则， 因为与的面积相等，所以， 故，解得（舍），，则直线的斜率为3. （3）易知圆的半径为， 如图，设圆与轴切点为，与轴切点为，与直线的切点为， 连接，则， ， 设，则， ， ， 设直线的方程为，其中， 因为直线经过，所以有， 化简得，令，即， ， ， 当且仅当，即时，取最小值， 此时的最小值为. 题型七、直线与圆的位置关系求距离的最值（共4小题） 23．（25-26高二下·上海·月考）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 24．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、轨迹问题——圆 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    25．对于圆上任意一点，的值与x、y无关，有下列结论中正确的命题是______（填写相应的序号）. ①点的轨迹是一个圆； ②r不存在最小值； ③当时，r有最大值； ④当，时，. 【答案】②③ 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求平面轨迹方程、求点到直线的距离 【分析】可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，当时，轨迹是直线，判断①②；当时，有最大值，可判断③；当，时，根据，即，可求的范围判断④． 【详解】设， 故可以看作点到直线与直线距离之和的倍， ∵的取值与，无关， 这个距离之和与点在圆上的位置无关， 距离之和与在圆上的位置无关， 故已知圆在平行线，之间， ，的距离为，则，，故r不存在最小值，故②正确； 当时，的轨迹是平行于，的直线，故①错误； 当时，则，的距离为，，即，有最大值，故③正确； 当，时，，即，解得或， ，故④错误. 故答案为：②③． 26．直线与圆交于两点，则______． 【答案】 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理即可求解. 【详解】直线到圆距离， 由垂径定理可得：， 故答案为：. 题型八、过圆上一点的圆的切线方程（共3小题） 27．（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 28．（24-25高二下·上海·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 29．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________． 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】根据题意，求得，得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为， 因为，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 即点且与圆相切的直线的一般式方程为. 故答案为： 题型九、过圆外一点的圆的切线方程（共3小题） 30．求过点 的圆 的切线方程__________. 【答案】或 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】利用几何法求出切线的斜率，即可得到切线方程. 【详解】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线； 当斜率存在，设其为k，则切线可设为. 所以，解得：或. 所以切线方程为：或. 故答案为：或. 31．（24-25高二下·上海·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 【答案】/0.96 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、两条直线的到（夹）角公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 故答案为：. 32．（25-26高二下·上海·期中）已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】或 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【详解】圆即， 所以圆心为，半径， 过点作圆的切线， 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，解得或， 所以切线的方程为或. 题型十、圆的弦长与中点弦（共4小题） 33．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案. 【详解】圆化为标准方程为：,圆心为，； 圆心到直线的距离为，所以弦长为. 故选：B. 34．（25-26高二下·上海·期中）已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意可知弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是，又点，则，可得，可得的取值范围. 【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 35．已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为________． 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】根据已知求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，进而根据弦长公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交. 根据垂径定理可得，直线l被圆C所截得的线段的长为. 故答案为：. 36．（25-26高二下·上海·月考）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 【答案】(1)或 (2)点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线的点斜式方程及辨析、圆的弦长与中点弦、求平面轨迹方程 【分析】（1）利用两直线夹角公式求出直线的斜率，再求直线方程即可. （2）利用垂径定理得到，根据向量垂直的坐标表示结合直线与圆的位置关系即可求出点的轨迹. 【详解】（1）圆可化为，圆心坐标为，半径为. 直线：，斜率为. 设直线的斜率为，则，即， 解得或. 当时，直线方程为，即； 当时，直线方程为，即； 所以直线方程为或. （2） 设，因为是弦中点，所以，所以. 又，， 所以，即， 整理得. 因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部. 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分. 题型十一、已知圆的弦长求方程或参数（共3小题） 37．（23-24高二下·上海松江·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数______. 【答案】 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用垂径定理列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有， 解可得：； 故答案为：. 38．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先由点到直线的距离公式可得，再由圆的弦长公式可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】因为圆心为，所以圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得， 所以圆的方程为. 39．（24-25高二下·上海·期中）已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【详解】（1）解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； （2）解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 题型十二、由圆的位置关系确定参数或范围（共3小题） 40．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数______． 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 41．（24-25高二下·上海·月考）已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面轨迹方程、由圆的位置关系确定参数或范围、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)设的中点为，求出点的坐标，计算直线的斜率，即可得直线的斜率，由点斜式即可得直线的方程； （2）设，由得曲线的方程，最后由曲线和圆外切即可求解. 【详解】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有， 则，，设直线的斜率，则， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程为. （2）设，则由已知有， 由有：， 所以圆，圆心， 圆，圆心， 因为圆和圆外切，所以，解得， 因为，所以. 42．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 题型十三、椭圆定义及辨析（共3小题） 43．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 【答案】4 【知识点】椭圆定义及辨析 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上，长半轴长为， 根据椭圆的定义知，而， 则点到另一个焦点的距离. 44．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 45．已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______. 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆定义及辨析 【分析】利用定义和已知先求，再由相似三角形可得点B坐标，代入椭圆方程可解. 【详解】如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M， 由定义知，，因为，所以 因为，， 所以，所以 将代入得，解得 所以 所以椭圆方程为. 故答案为： 题型十四、求椭圆的长轴、短轴（共3小题） 46．（25-26高二下·上海·期中）在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆上点到两个焦点的距离之和为和两个焦点的距离为，即可求解出短轴长. 【详解】 根据题意可知，在如图所示中， 对于椭圆上的点，有，代入，得半长轴， 椭圆的焦距为，代入，得半焦距， 由于椭圆中半长轴、半短轴与半焦距之间满足关系式， 代入，得半短轴长，因此短轴长为. 47．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、圆柱的展开图及最短距离问题、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率. 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 48．（24-25高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 题型十五、求椭圆的离心率或离心率的取值范围（共4小题） 49．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为_____. 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】因为椭圆经过点， 则，解得，则， 所以椭圆的离心率为 50．（24-25高二下·上海·期末）椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆方程求，即可求椭圆的离心率. 【详解】由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 51．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆定义，都用表示，由，构造齐次式即可求解. 【详解】 依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即. 52．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线经过点，设点，且的面积为，求的值； (3)若直线过点，设直线的斜率分别为，且成等差数列，求直线的方程 【答案】(1). (2) (3). 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据椭圆所过的点可求基本量，从而可求椭圆方程； （2）联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理可用斜率表示面积，从而可求其值； （3）由题设有，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理化简前者可求的值，从而可求直线方程. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，故椭圆的半焦距， 设椭圆的方程为，由题设得即， ∴椭圆的方程是，离心率. （2）设直线，设， 由得：. 与抛物线有两个交点，， 则到的距离， 又，所以即 ，故 （3）设直线，设， 由消去得： 因为在椭圆内部，所以与椭圆恒有两个交点，所以， 由成等差数列得. ， 所以，解得 所以直线的方程为. 题型十六、根据离心率求椭圆的标准方程（共5小题） 53．（24-25高二下·上海·期末）若椭圆的离心率，则的值为（    ） A．16 B．16或 C． D．3或 【答案】B 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】当焦点在轴时，有 ，，则，解得； 当焦点在轴时，有 ，，则，解得， 因为，满足题意，综上所述，或. 54．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为______. 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据给定条件，求出长半轴长，进而求出短半轴长，即可得出结果. 【详解】已知椭圆的离心率为，焦点是， 则. 椭圆的方程为. 故答案为：. 55．（25-26高二下·上海宝山·期中）已知是椭圆的左右焦点，且经过点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)若直线过右焦点与椭圆交于两点，且，求直线的方程． (3)若直线过点，且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由离心率，结合椭圆基本关系，可以得到和的关系，再将点以及代入即可解出，再得到，最终确定椭圆方程。 （2）由小问1得到的右焦点，设直线方程，联立方程组得到关于的一元二次方程，运用韦达定理，联立关于参数的方程，解出，即可解出直线的方程。 （3）先设直线方程，联立直线与椭圆方程组，由韦达定理得出和，再写出直线的方程，纵截距是时的值，即，将代入的表达式化简，再将韦达定理的结果代入化简后的，最终可以消去参数，得到。 【详解】（1）根据题目列出方程组，解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知，设直线的方程为． ：直线过右焦点，即直线与轴重合， 与椭圆的交于两点，不满足，可得. ：将直线方程代入椭圆方程，得到． 所以． 因为，所以，即． 将代入，可得， 那么． 再将代入， 可得，解得． 所以直线的方程为，即或． （3） 设直线的方程为，则关于轴的对称点． 将直线方程代入椭圆方程，得到． 根据韦达定理可得 直线的方程为． 令，可得． 将代入上式，可 得． 把，代入上式， 可得． 所以，即为定值3． 56．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求解可得； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 又点到直线的距离，所以. （3）由已知得直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为， 此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且， 则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 57．（25-26高二下·上海·期中）已知，椭圆的焦距为，离心率为.过点的直线交椭圆于点（在第一象限）. (1)求椭圆的方程； (2)设，点，直线的斜率分别为，求的值； (3)直线交轴于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点，若为中点，且，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)0 (3)1 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据离心率公式以及 的关系即可求解； （2）设直线，与椭圆方程联立，根据两点斜率公式结合韦达定理即可求解； （3）设直线，，根据题意求出的坐标，然后与椭圆联立利用韦达求出点的坐标，利用点在椭圆上可得，最后利用两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意：焦距，得，离心率​​，解得， 由于， 因此椭圆的方程为： . （2）设直线，，，联立直线与椭圆方程： ​ 整理得： ，， 由韦达定理得： ， ，， 因此： . （3） 设直线，，是与轴交点，得 ， 是中点，设，由中点公式得：， ， 与关于轴对称，得 ， 由，得，得 . 在椭圆上，代入椭圆得： ，整理得： ①； 在椭圆上，代入椭圆得： ，整理得：②； 将①代入②，约去公因子得：， 因在第一象限， ， ，故，得​. 直线与椭圆方程联立得， 由韦达定理得点坐标：，， 故 . 题型十七、已知方程求双曲线的渐近线（共5小题） 58．（25-26高二下·上海闵行·期中）双曲线的渐近线的方程为________. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【详解】因为双曲线的焦点位于轴，且，， 所以，， 所以其渐近线方程为：. 59．（25-26高二下·上海·月考）双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【详解】易知双曲线的焦点在轴上，且，， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 60．（25-26高二下·上海·月考）若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由两圆的方程相减整理即得两圆的公共弦方程，依题意可得，再由双曲线的离心率定义求解即得. 【详解】由圆与圆， 两方程相减，得， 即得恰为双曲线的一条渐近线，则有， 故的离心率为. 61．（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【答案】(1)； (2)①，②. 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据渐近线公式即可得到答案； （2）①利用点差法即可求得直线方程；②利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，则双曲线C的渐近线方程为. （2）①设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 联立得，则， 则直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. ②由①得， 则. 62．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【答案】(1)． (2)答案见解析 (3)4 【知识点】求平面两点间的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长、圆锥曲线新定义 【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 题型十八、根据双曲线的渐近线求标准方程（共3小题） 63．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为_____ 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】由双曲线：的一条渐近线方程为，得， 由椭圆得双曲线的焦点为，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 64．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________. 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程为，进而代入点求解即可. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程， 因为双曲线过点，所以，即， 则该双曲线的标准方程为. 65．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 【答案】 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据对称性可得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，则， 而，，由对称性得四边形是平行四边形， 其面积，解得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是，即，又，则，解得， 所以的虚轴长为. 题型十九、求双曲线的离心率或离心率的取值范围（共4小题） 66．（24-25高二下·上海闵行·期末）双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为________． 【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件以及双曲线的定义列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由于，， 所以，设， 则， 所以. 故答案为： 67．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 【答案】/ 【知识点】直线截距式方程及辨析、求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，利用直线截距式方程求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式及双曲线离心率的意义求解. 【详解】依题意，直线的方程为，即， 焦点到直线的距离之和，得， 则，即，因此，整理得，解得， 所以双曲线的离心率，其最小值为. 68．（24-25高二下·上海·期末）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】或 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设双曲线方程为或，由渐近线方程得出关系，进而求出离心率． 【详解】若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以； 若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以，所以， 故答案为：或. 69．（25-26高二下·上海·期中）如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.      (1)已知，求的值，并写出椭圆和双曲线的离心率，； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定直线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程可求出，再根据椭圆和双曲线离心率的定义可求得结果； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，得，所以， 所以的方程分别为， 由椭圆知：，则 ， 所以椭圆的离心率为 ； 由双曲线，，则 ， 所以双曲线的离心率为 ； （2）由（1）可知当时，，设，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 当交点在第一象限且在椭圆上时，且， 所以，所以交点不可能在第一象限的椭圆上， 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为    （3）因为斜率为的直线过点，所以设直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为.    题型二十、根据离心率求双曲线的标准方程（共3小题） 70．双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为________. 【答案】1 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的焦点坐标、求点到直线的距离 【分析】根据双曲线的离心率为，由求得m，从而得到焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】解：因为双曲线C：的离心率为， 所以，解得， 所以焦点坐标为：， 渐近线方程为：， 所以焦点到渐近线的距离为：， 故答案为：1 71．已知双曲线的离心率为2，则实数______． 【答案】12 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线方程可得出，利用离心率求解. 【详解】由双曲线知，，， 所以， 解得. 故答案为：12 72．（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左右焦点为. (1)若双曲线的离心率为，且是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据离心率和正三角形的性质，列出方程，可求解 （2）根据斜率求出相应的正弦函数，再利用正弦定理和余弦定理，列方程可求解 【详解】（1）根据题意，，又是正三角形，， 解得，，，， 的方程为：. （2）直线的斜率为，，， ，又， 设，则， 在中，由正弦定理可得：，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得，，，即. 题型二一、抛物线定义的理解（共3小题） 73．（25-26高二下·上海·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则p=______. 【答案】4 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】抛物线，其准线方程为； 由点到焦点的距离为5，得点到准线的距离； ，解得或. ，. 74．（23-24高二下·上海·期末）拋物线的焦点到其准线的距离是__________． 【答案】6 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】由焦点到准线的距离为可求得结果 【详解】由，得，得， 因为抛物线的焦点到准线的距离为， 所以拋物线的焦点到其准线的距离是6， 故答案为：6 75．（25-26高二下·上海·期中）抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解 【详解】由题意得点P到直线的距离等于点P到点的距离， 根据抛物线的定义可知，该抛物线焦点为，准线为， 焦点到准线的距离． 题型二二、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值（共3小题） 76．已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值______. 【答案】5 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：.    77．（24-25高二下·上海·月考）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为________. 【答案】4 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线定义的理解、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质，转化成三点一线，即可求出最小值. 【详解】根据题意，抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则， 设圆心为点，则点到准线的距离为5， 结合图象可知，则 当且仅当点与点重合，三点共线且点在之间时，等号成立. 故答案为：4. 78．设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______． 【答案】4 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 题型二三、根据抛物线方程求焦点或准线（共5小题） 79．（25-26高二下·上海闵行·期中）抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】抛物线方程为的焦点坐标为. 80．（25-26高二下·上海闵行·期中）若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【详解】由点在抛物线上，得， 抛物线的准线方程为， 所以点到抛物线的准线的距离. 81．（2024·上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 82．（25-26高二下·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【答案】/ 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合等边三角形性质计算求解． 【详解】 抛物线，焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则， 由等边三角形性质可得，，所以， . 83．（25-26高二下·上海·月考）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： 【答案】(1); (2) 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）利用抛物线定义求解. （2）利用两点间距离公式，讨论参数求解. 【详解】（1）由可知，，则，所以焦点，准线为. （2）设点，则有， 则. 因为， 所以当，即时，，； 当，即时，，. 综上所述，. 题型二四、求平面轨迹方程（共4小题） 84．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【知识点】求平面轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 85．命题：直角坐标系中动点到定点的距离比到轴的距离大2；命题：动点的坐标满足方程．则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、判断命题的必要不充分条件 【分析】求出平面内到定点的距离比到y轴的距离大2的动点P的轨迹方程，结合充分、必要条件的定义判定即可得解． 【详解】命题：点到定点的距离比到轴的距离大2. 当命题成立时，得， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 则动点的轨迹方程为或; 命题：动点满足方程； 则不能推出，能够推出，则是的必要不充分条件. 故选：B. 86．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____. 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，直接写出方程即可. 【详解】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则其方程为. 故答案为：. 87．（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、抛物线定义的理解、求平面轨迹方程 【分析】（1）由抛物线的定义列方程即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 2 / 60 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $