专题03 空间向量及其应用全章15大题型（期末复习专项训练）高二数学下学期沪教版

**基本信息** 以空间向量运算为基础，通过15类题型系统覆盖从概念到几何应用的全链条，突出空间观念与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-6（18题）|聚焦加减、数量积、共面等基础运算，含正四面体、正方体模型|从向量线性运算到数量积应用，构建基底表示与共面判定逻辑| |坐标表示|题型7-10（14题）|重点考查平行、垂直的坐标条件，结合模长与投影计算|衔接空间直角坐标系，实现向量运算代数化，强化坐标法工具性| |几何应用|题型11-15（23题）|涵盖距离、异面直线/线面/面面角求法，含动态点与参数问题|以向量为桥梁解决立体几何问题，体现几何直观与推理能力，呼应期末高频考点|

专题03 空间向量及其应用 题型1 空间向量的加减运算 题型9空间向量平行的坐标表示（重点） 题型2 求空间向量的数量积 题型10空间向量垂直的坐标表示（重点） 题型3 空间向量数量积的应用（重点） 题型11 点到平面距离的向量求法 题型4空间向量共面求参数 题型12异面直线夹角的向量求法（难点） 题型5 空间共面向量定理的推论及应用（难点） 题型13 线面角的向量求法 题型6 用空间基底表示向量 题型14 面面角的向量求法 题型7 空间向量的坐标运算（常考点） 题型15 已知面面角求其他量 题型8空间向量模长的坐标表示（常考点） 题型一、空间向量的加减运算（共3小题） 1．（25-26高二下·上海·月考）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【知识点】空间向量的加减运算 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则________． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的加减运算 【分析】根据向量的线性运算、数量积的运算即可求解. 【详解】因为正四面体，底面边长为2，侧棱PB中点为E， 所以 . 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 【答案】 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 题型二、求空间向量的数量积（共3小题） 4．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、求异面直线所成的角 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海青浦·月考）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个. 【答案】5 【知识点】求空间向量的数量积、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且， 所以点在平面上， 因为， 所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 6．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____. 【答案】 【知识点】求二面角、求空间向量的数量积 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 题型三、空间向量数量积的应用（共3小题） 7．在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为__________. 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】确定点在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，计算得到答案. 【详解】，故，，， 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 同理得到： 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面. 个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个. 故答案为： 8．如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________. 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由平方求解. 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量数量积的应用 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 题型四、空间向量共面求参数（共3小题） 10．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 11．已知，若三向量共面，则实数等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，解出即可. 【详解】因为三向量共面，设， 所以，即，解得， 故选：C. 12．已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 【答案】10 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案. 【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得． 所以，所以． 故答案为： 题型五、空间共面向量定理的推论及应用（共3小题） 13．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间共面向量定理的推论及应用、锥体体积的有关计算 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 14．（24-25高二下·上海·期末）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 【答案】/0.4 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海杨浦·月考）如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 【答案】5 【知识点】求空间向量的数量积、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 题型六、用空间基底表示向量（共3小题） 16．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 17．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________. 【答案】 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 18．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于______.    【答案】 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意，. 故答案为： 题型七、空间向量的坐标运算（共6小题） 19．已知，则与向量共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、判定空间向量共面 【分析】根据共面向量定理，设出表达式，由方程组的解的情况确定是否与共面即得. 【详解】对于A，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故A错误； 对于B，设，则得，解得，故存在的值满足，故B正确； 对于C，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故C错误； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：B. 20．（25-26高二下·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 【答案】 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】先根据空间中点关于平面对称的坐标特征求出点的坐标，再结合空间向量数量积的坐标运算公式计算结果。 【详解】已知点 ，则其关于平面的对称点的坐标为 ， 因此 ， ， 21．（25-26高二下·上海·月考）已知向量，向量，若，则__________. 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【详解】因为，所以， 即，解得. 22．（24-25高二下·上海·阶段检测）向量 且 ，则实数 _____. 【答案】/ 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 23．（24-25高二下·上海·月考），，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 24．已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 题型八、空间向量模长的坐标表示（共5小题） 25．（25-26高二下·上海·期中）已知空间向量的坐标为，则________. 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【详解】因为空间向量的坐标为，所以. 26．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、用空间向量求点的坐标 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 27．已知，则________. 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 28．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 29．（25-26高二下·上海·期中）如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)存在； 【知识点】空间向量模长的坐标表示、用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用 【分析】（1）直接用向量表示，即可得答案； （2）根据向量数量积的运算律计算即可判断，再根据结果代入对应数值即可求得答案. （3）设平面，进而根据向量垂直关系求得，设，，求得，再根据线面角的向量求法求得，最后将的值代入即可求得. 【详解】（1）因为，所以． （2）设，， ， 所以； . （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 题型九、空间向量平行的坐标表示（共3小题） 30．已知，，若，则______. 【答案】6 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线的坐标运算列方程求解的值即可. 【详解】因为，， 若，所以存在实数使得：, 所以，解得. 故答案为：. 31．设，若向量与向量平行，则__________. 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据已知可得，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以有，且， 所以，，所以. 故答案为：. 32．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______ 【答案】6 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量平行的坐标表示 【分析】因为法向量定义，把转化为，可得k的值. 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以，可得，即得. 故答案为：6. 题型十、空间向量垂直的坐标表示（共3小题） 33．（24-25高二下·上海·月考）已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选：D. 34．已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 35．（25-26高二下·上海松江·期中）在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】设平面的法向量为，由，，求得，令的方向向量为，通过，，求得，再由夹角公式即可求解. 【详解】因为，的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，① 又都在上，则, 即，② ①②联立，令，得， 即 又在上，令的方向向量为， 则，即 又，则，则， 即 令，解得，得， 又与的夹角即为与的夹角， ， ， ​， 因此： . 题型十一、点到平面距离的向量求法（共5小题） 36．（25-26高二下·上海·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【知识点】求点面距离、点到平面距离的向量求法 【分析】以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算点到该平面的距离. 【详解】以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴建立空间直角坐标系， 正方体棱长为，则，所以， 设平面的法向量为，所以，即，取所以平面的一个法向量为， 为的中点，所以点，所以， 所以点到平面的距离. 37．（24-25高二下·上海·期末）若E，F为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点O，A，B，C为空间中四个定点，，且，，两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是_____. 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、点到平面距离的向量求法 【分析】证明在平面内射影为角平分线，据此如图建立空间直角坐标系. 然后由动点满足，动点满足，类比平面情况可得点P，点Q轨迹，然后由空间向量知识可得答案. 【详解】先证明在平面内射影为角平分线. 如图，过点B做平面垂线，垂足设为F，则为在平面内射影. 过F点做OA，OC垂线，垂足为H，G. 因平面，又平面，则. 又平面，，则平面， 又平面，则，同理可得， 又，，则，从而. 又，则，则，又， 则，从而为角平分线，则. 如图，以OF所在直线为y轴，在平面内与OF垂直直线为x轴，过O点与平面垂直直线为z轴，建立空间直角坐标系. 因，则，又， 则. 注意到，，. 则，. 又，则. 因，又，则在方向上的投影向量模长为8， 如图，取，则点P在过点D，与垂直的平面上，注意到. 因，则，故在以AB为直径的球体表面上. 取中点为M，则. 得， 故最小值为点到平面的距离，减去球M半径. 注意到的一个法向量为，则到平面的距离为：. 注意到，，则. 又，则球体半径为.故所求最小值为. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：若过空间中过一定点不共面三直线夹角两两相等，则其中一条直线，在另两条直线确定平面上的射影为这两条直线确定其中一个夹角的角平分线上.对于立体几何问题，常可由平面几何问题类比思考. 38．（24-25高二下·上海·月考）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，求出直线方向向量和平面的一个法向量，证明向量垂直即可. （2）根据向量方法求空间中点到平面距离，根据公式求出距离即可. 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． （2）点B到平面的距离． 39．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 40．（25-26高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，． (1)证明：平面； (2)当时，求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为底面平面ABCD，所以． 在和中，，即， 故，得，即， 又平面，故平面PAC． （2）由已知得，， 故以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 当时，，则， 设平面HEF的法向量为， 则，令，可得， 所以点P到平面EFH的距离． 题型十二、异面直线夹角的向量求法（共4小题） 41．（24-25高二下·上海·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法将用一元函数进行表示，再对是否为进行分类讨论，求出的最大值，进而找到的最小值即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在棱长为4的正方体中，得到，， ，，，， 因为为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，设，， 得到，， 即，，，解得， 故，则， 设异面直线与所成角为，， 则， ， 令，当时，， 当时，， 令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，则，得到， 若异面直线与所成角最小，则最大， 此时，故. 故答案为： 42．（2024·上海）在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________． 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】 ， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 43．（24-25高二下·上海·月考）如图，平行六面体中，已知，且；    (1)用表示，并求； (2)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)，， (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法、用空间基底表示向量 【分析】（1）由向量的线性运算，及模长公式即可求解； （2）由异面直线夹角的向量法求解即可； 【详解】（1）由题意可得：， ， ， ， ， ， （2）由（1）可得：, 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 所以 44．如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且.记，，. (1)用表示、； (2)求直线与直线所成角的大小. 【答案】(1)， (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、用空间基底表示向量 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， ； （2） ， 设直线与直线所成角的大小为，则， 即. 题型十三、线面角的向量求法（共6小题） 45．（25-26高二下·上海·阶段检测）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法、已知面面角求其他量、立体几何中的轨迹问题 【分析】选项A：由题意可得动点的轨迹是直线，即可判断；建立空间坐标系，利用空间向量逐一判断B，C，D. 【详解】选项A：空间中满足的点的轨迹是一个平面， 该平面与侧面的交集为一条直线, 所以动点的轨迹是直线，故A错误； 选项B：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 易知平面的一个法向量， 设，则， 设平面的一个法向量， 则 不妨令，则，则， 因为的二面角的大小为 则，即，解得， 所以，即动点的轨迹是一条直线，故B错误； 选项C：因为， 且直线与直线所成的角的大小为， 所以， 即， 整理得：， 此方程不表示抛物线，故C错误； 选项D：设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则有，即， 所以， 所以动点的轨迹为双曲线，故D正确. 46．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）依题意可得，再由直棱柱的性质得到，即可得证； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）底面是等腰直角三角形，且， ， 在直三棱柱中，平面， 又 平面， ， ，平面， 平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，、，， 则，取， 设直线与平面所成角为 ， 则， 所以直线与平面所成角为的大小为 . 47．（25-26高二下·上海·期中）如图，已知在四棱柱中，平面分别是､的中点. (1)求证：平面； (2)若底面为直角梯形，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面平行证明线面平行、线面角的向量求法、证明面面平行 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明平面//平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求得直线与平面所成角的正弦值.. 【详解】（1）取的中点，记为，连接，则//， 因为平面，平面，所以//平面； 连接，由//，得四边形是平行四边形， 所以//. 因为平面，平面， 所以//平面； 因为，平面， 所以平面//平面； 因为平面，所以平面. （2）因为平面，且，所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 因为分别是､的中点，所以. 所以. 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 则， 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 48．（24-25高二下·上海·期末）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】线面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以， 因为底面圆， 所以底面圆， 因为底面圆，所以， 因为平画，所以平画， 因为平面，所以平面平面． （2）因为底面圆圆， 所以， 又，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 49．（24-25高二下·上海·期末）已知正三棱柱的所有棱长为是中点，求： (1)直线与平面所成角的大小； (2)二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】反三角函数、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（2）求出平面的法向量和直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式即可求解； （3）求出平面的一个法向量，结合（2）中的平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，过点在平面内作， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 则，即，取，得， 直线的一个方向向量， 设与平面所成角为， 所以，则． （2）平面的一个法向量， 设夹角为，则， 由图可知二面角是锐二面角， 所以二面角大小为． 50．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在长方体 中，，，  .    (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有， 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 则， 所以直线与平面所成的角为． 题型十四、面面角的向量求法（共6小题） 51．（25-26高二下·上海松江·期中）如图，在圆柱中，、O分别是上、下底面圆的圆心，线段，为圆柱的两条母线，三点共线，点C在上底面圆周上，平面平面．设，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为．已知，对于命题： ①对任意符合题意的，恒有； ②存在常数，使得当时，的最大值为， 下列判断正确的是（   ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】B 【知识点】二面角的概念及辨析、判断命题的真假、面面角的向量求法 【分析】命题①，考虑建立空间直角坐标系，设圆柱底面半径和高为参数，写出相关点的坐标，进而求出平面和平面的法向量，利用平面法向量的点积为0，那么可以等于，以此判断命题①的真假； 命题②，根据平面与平面所成二面角，求出平面的法向量满足的关系，再求出平面与平面所成二面角的余弦值表达式，结合的定义，将转化为关于的函数，若能找到常数使得函数最大值为，则命题②为真. 【详解】设圆柱底面半径为，为原点，为轴，为轴，得各点坐标： ，由，得， 平面过轴（交线），设平面，其法向量， 命题①， 平面的法向量：由，叉乘得法向量， 若，说明两平面垂直，即：， 已知，当时，，满足上式，此时，存在这样的情况，因此①恒有是假命题； 命题②， 是锐二面角，因此，代入得：， 化简得：，令，目标式为：， 由辅助角公式，的最大值为，因此最大值最大为，不存在这样的使得最大值为，因此②是假命题； 52．四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）由正方形的性质得到，又由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）底面是正方形，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面． （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. 53．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）应用线面垂直得出结合已知应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再根据点到平面距离公式计算求解； （3）应用空间向量法求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算再结合二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为， 设平面的法向量为， 则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以， 即， 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 54．（24-25高二下·上海杨浦·月考）如图，在长方体中，，． (1)设、分别为和中点，求证：平面； (2)在（1）的条件下，求点到平面的距离； (3)当点为线段（不含两个端点）上的动点时，求二面角的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】面面角的向量求法、求点面距离、证明线面平行 【分析】（1）取中点，可证，由线面平行的判定定理可证线面平行； （2）利用等积法或向量法可求点到平面的距离； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，，设利用向量法可用表示二面角的余弦值，利用二次函数的性质或导数可求二面角的取值范围. 【详解】（1） 连接，交于中点，连接，则且， 所以是平行四边形，进而． 因为平面，不在平面上，所以平面． （2）法1：，． 在中，，，， 所以，， 故，故所求距离． 法2：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 而， 所以所求距离． （3）以为原点建系，，， 设平面的一个法向量为，则，令，则，故. 设，，， 设平面的一个法向量为，则，令，则，故， 因为的方向为轴正向、轴负向， 而的方向为坐标轴的正向， 故二面角的大小等于， 而， 则， 法1：当时，； 当时，， 故所求范围为． 另：令，而， 故， 令，则， 则在上严格递增，值域为， 故故所求范围为． 55．（24-25高二下·上海·月考）如图，在棱长为4的正方体中，分别是和的中点： (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成的二面角的大小. 【答案】(1) (2)或 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算点到平面的距离. （2）利用空间向量可计算结果. 【详解】（1） 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴点到平面的距离为. （2）由（1）得，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴， ∴平面与平面所成的二面角为或. 56．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； (3)若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2 (3)位于的延长线上，且到的距离为1 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）由已知，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，，得，证得； （2）取平面的法向量，由则，即可得到当时，直线与平面所成的角最大，此时的正切值为2； （3）由平面与平面所成的锐二面角为，利用坐标运算求出，即可确定点的位置． 【详解】（1）因为三棱柱的侧棱与底面垂直， 底面，则， 由， 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 又， 是的中点，是的中点， 点在直线上，且满足， 则，，， ，， ，． （2）取平面的法向量，， 则， 当时，，此时，． （3）设平面的一个法向量，，， 则，， 令，则， ， 解得， 位于的延长线上，且到的距离为1． 题型十五、已知面面角求其他量（共3小题） 57．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. (1)求证：； (2)当为钝角时，求实数的取值范围； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】已知面面角求其他量、空间向量的坐标运算、点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）首先求出点坐标，即可表示出，，依题意可得，即可求出的取值范围； （3）利用空间向量法求出二面角二余弦值，即可求出，从而得到平面的法向量，再由向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为底面为正方形，底面， 如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以； （2）因为， 所以， 所以，， 当为钝角时，， 化简得，解得， 显然不平行，所以； （3）因为，，显然， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，则， 又平面的一个法向量为， 则有，解得， 又由已知，所以. 所以，， 由， 所以点到平面的距离为. 58．（23-24高二下·上海虹口·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点是棱上的动点，. (1)当时，证明：直线平面； (2)若二面角的大小等于，求的值； (3)记三棱锥的体积为，试将表示为的函数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）利用两平面夹角的向量法求解； （3）利用向量法求点到平面的距离求出，再求出，从而求体积. 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 当时，，，， ，， 平面，平面，因此，平面； （2）设，则， 设平面的一个法向量为， 于是，则，取，则， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以，，所以， 解得. （3）由（2）可知，， 则， 在中，， 所以， 则， 所以， 则. 59．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 试卷第1页，共3页 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其应用 题型1 空间向量的加减运算 题型9空间向量平行的坐标表示（重点） 题型2 求空间向量的数量积 题型10空间向量垂直的坐标表示（重点） 题型3 空间向量数量积的应用（重点） 题型11 点到平面距离的向量求法 题型4空间向量共面求参数 题型12异面直线夹角的向量求法（难点） 题型5 空间共面向量定理的推论及应用（难点） 题型13 线面角的向量求法 题型6 用空间基底表示向量 题型14 面面角的向量求法 题型7 空间向量的坐标运算（常考点） 题型15 已知面面角求其他量 题型8空间向量模长的坐标表示（常考点） 题型一、空间向量的加减运算（共3小题） 1．（25-26高二下·上海·月考）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则________． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 题型二、求空间向量的数量积（共3小题） 4．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 5．（24-25高二下·上海青浦·月考）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个. 6．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____. 题型三、空间向量数量积的应用（共3小题） 7．在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为__________. 8．如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________. 9．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 题型四、空间向量共面求参数（共3小题） 10．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 11．已知，若三向量共面，则实数等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 题型五、空间共面向量定理的推论及应用（共3小题） 13．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 14．（24-25高二下·上海·期末）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 15．（24-25高二下·上海杨浦·月考）如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 题型六、用空间基底表示向量（共3小题） 16．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 17．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________. 18．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于______.    题型七、空间向量的坐标运算（共6小题） 19．已知，则与向量共面的向量是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 21．（25-26高二下·上海·月考）已知向量，向量，若，则__________. 22．（24-25高二下·上海·阶段检测）向量 且 ，则实数 _____. 23．（24-25高二下·上海·月考），，则向量在向量上的投影向量是______． 24．已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 题型八、空间向量模长的坐标表示（共5小题） 25．（25-26高二下·上海·期中）已知空间向量的坐标为，则________. 26．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 27．已知，则________. 28．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 29．（25-26高二下·上海·期中）如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 题型九、空间向量平行的坐标表示（共3小题） 30．已知，，若，则______. 31．设，若向量与向量平行，则__________. 32．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______ 题型十、空间向量垂直的坐标表示（共3小题） 33．（24-25高二下·上海·月考）已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 34．已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 35．（25-26高二下·上海松江·期中）在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 题型十一、点到平面距离的向量求法（共5小题） 36．（25-26高二下·上海·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 37．（24-25高二下·上海·期末）若E，F为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点O，A，B，C为空间中四个定点，，且，，两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是_____. 38．（24-25高二下·上海·月考）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 39．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 40．（25-26高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，． (1)证明：平面； (2)当时，求点P到平面的距离． 题型十二、异面直线夹角的向量求法（共4小题） 41．（24-25高二下·上海·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 42．（2024·上海）在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________． 43．（24-25高二下·上海·月考）如图，平行六面体中，已知，且；    (1)用表示，并求； (2)求异面直线与所成角的大小； 44．如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且.记，，. (1)用表示、； (2)求直线与直线所成角的大小. 题型十三、线面角的向量求法（共6小题） 45．（25-26高二下·上海·阶段检测）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 46．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 47．（25-26高二下·上海·期中）如图，已知在四棱柱中，平面分别是､的中点. (1)求证：平面； (2)若底面为直角梯形，，求直线与平面所成角的正弦值. 48．（24-25高二下·上海·期末）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 49．（24-25高二下·上海·期末）已知正三棱柱的所有棱长为是中点，求： (1)直线与平面所成角的大小； (2)二面角的大小. 50．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在长方体 中，，，  .    (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的大小. 题型十四、面面角的向量求法（共6小题） 51．（25-26高二下·上海松江·期中）如图，在圆柱中，、O分别是上、下底面圆的圆心，线段，为圆柱的两条母线，三点共线，点C在上底面圆周上，平面平面．设，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为．已知，对于命题： ①对任意符合题意的，恒有； ②存在常数，使得当时，的最大值为， 下列判断正确的是（   ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 52．四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 53．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 54．（24-25高二下·上海杨浦·月考）如图，在长方体中，，． (1)设、分别为和中点，求证：平面； (2)在（1）的条件下，求点到平面的距离； (3)当点为线段（不含两个端点）上的动点时，求二面角的取值范围． 55．（24-25高二下·上海·月考）如图，在棱长为4的正方体中，分别是和的中点： (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成的二面角的大小. 56．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； (3)若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 题型十五、已知面面角求其他量（共3小题） 57．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. (1)求证：； (2)当为钝角时，求实数的取值范围； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 58．（23-24高二下·上海虹口·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点是棱上的动点，. (1)当时，证明：直线平面； (2)若二面角的大小等于，求的值； (3)记三棱锥的体积为，试将表示为的函数. 59．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $