专题06 计数原理全章18题型（期末复习专项训练）高二数学下学期沪教版

**基本信息** 以18类题型系统覆盖计数原理全模块，从基本原理到二项式定理分层突破，通过上海期末真题培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本计数原理|8题|含分步乘法（投信、排数）、分类加法（“十全十美数”）|从原理到实际应用，构建计数基础| |排列问题|14题|元素限制、相邻（捆绑法）、不相邻（插空法）|基于计数原理拓展排列技巧| |组合问题|11题|组合数计算、性质应用、实际计数（选举、概率）|从排列到组合体现“无序”逻辑| |二项式定理|23题|展开式应用、系数和、指定项系数|从组合数到二项式深化代数表达|

专题06 计数原理 题型1 分步乘法计数原理及简单应用（重点） 题型10 二项展开式的应用（常考点） 题型2 分类加法计数原理（重点） 题型11 二项式系数的增减性和最值 题型3 排数的计算 题型12 二项式的系数和（难点） 题型4元素（位置）有限制的排列问题 题型13 求指定项的系数（常考点） 题型5 相邻问题的排列问题（常考点） 题型14 由项的系数确定参数 题型6 不相邻排列问题 题型15 二项展开式各项的系数和 题型7 组合数的计算（重点） 题型16 求系数最大（小）的项（难点） 题型8组合数的性质及应用（重点） 题型17奇次项与偶次项的系数和（常考点） 题型9实际问题中的组合计数问题（常考点） 题型18两个二项式乘积展开式的系数问题 题型一、分步乘法计数原理及简单应用（共5小题） 1．（24-25高二下·上海闵行·期末）把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 2．（24-25高二下·上海·期末）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位数.则这样的三位数一共有__________.（用数字作答） 3．（25-26高二下·上海浦东新·月考）将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，则5号盒子中至少有一个球的放法有________种. 4．（25-26高二下·上海·月考）从集合的子集中选出两个非空集合，满足以下两个条件：①且；②若，则，则共有_____种不同的选择．（结果用数值表示） 5．（24-25高二下·上海静安·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ 题型二、分类加法计数原理（共3小题） 6．（24-25高二下·上海·期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（    ）个“十全十美数”． A．36 B．42 C．48 D．54 7．（24-25高二下·上海闵行·期末）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知数列，，，各项均为正整数，满足，且数列中存在一项为3，则可能的数列个数为__________. 题型三、排数的计算（共4小题） 9．（25-26高二下·上海·期中）我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如表所示.现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（   ） 讲台 前门 1 12 13 24 25 31 2 11 14 23 26 32 3 10 15 22 27 33 4 9 16 21 28 34 5 8 17 20 29 35 6 7 18 19 30 36 37 后门 A． B． C． D． 10．（25-26高二下·上海·期中）可以表示为________（用排列数表示）. 11．（25-26高二下·上海·期中）已知为正整数，则__________.（用数字作答） 12．（24-25高二下·上海·月考）某学习小组共有6名学生，则其中至少有2名学生在同一月份出生的概率为_______．(默认每月天数相同，结果精确到0.001） 题型四、元素（位置）有限制的排列问题（共4小题） 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 14．（24-25高二下·上海·期末）在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 15．（25-26高二下·上海·期中）数字按如图形式排列，设第二行中的最大数为，若，则符合要求的排列数为__________．（结果用数值表示） 16．（24-25高二下·上海·阶段检测）现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？ (1)4名男生互不相邻； (2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站； (3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端． 题型五、相邻问题的排列问题（共3小题） 17．（24-25高二下·上海·期中）某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为_____． (用数字作答) 18．（24-25高二下·上海·期中）学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）新一年复旦中学高二的戏剧展演又将来临，这次全年级共准备了个节目，邓老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中班和班都要表演《哈姆雷特》；因此需要分开排，班和班节目需要相邻出现，则邓老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 题型六、不相邻排列问题（共3小题） 20．（24-25高二下·上海浦东新·期中）某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种. 21．（24-25高二下·上海·期中）4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有_________种． 22．（24-25高二下·上海·期末）某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 题型七、组合数的计算（共4小题） 23．（25-26高二下·上海·期中）若，则__________. 24．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 25．（25-26高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求. 26．（24-25高二下·上海·阶段检测）19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是此届马拉松成功举办的重要保障．某高校承办了此次志愿者选拔的面试工作，先随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成n组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)在第四、第五组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率： (3)已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分及以上的志愿者的平均成绩和方差分别为多少? 题型八、组合数的性质及应用（共3小题） 27．（24-25高二下·上海松江·期末）已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 28．（25-26高二下·上海·期中）已知，则的值为________. 29．（23-24高二下·上海·月考）满足方程的的值为______. 题型九、实际问题中的组合计数问题（共4小题） 30．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有________种不同的选法.（结果用数字表示） 31．（24-25高二下·上海虹口·期末）从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为_____． 32．（25-26高二下·上海·期中）用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为______. 33．（25-26高二下·上海·期中）在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量.例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. (1)已知；写出对应的输赢序列； (2)已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和； (3)若篮球队有6次赢，4次输；求具有7个游程的概率； 题型十、二项展开式的应用（共3小题） 34．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知且且则________． 35．已知是正整数，化简：__________． 36．若的展开式中含有常数项，则满足条件的n的最小值为______. 题型十一、二项式系数的增减性和最值（共4小题） 37．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若组合数，则的最大值为：__________． 38．（24-25高二下·上海·期中）已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 39．（24-25高二下·上海·期中）已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 40．（23-24高二下·上海杨浦·期中）（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 题型十二、二项式的系数和（共4小题） 41．（24-25高二下·上海松江·期末）若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 42．（24-25高二下·上海静安·期末）_______． 43．（25-26高二下·上海闵行·期中）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求展开式中含项的系数. 44．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求所有项系数和与二项式系数和； (2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 题型十三、求指定项的系数（共6小题） 45．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 46．（25-26高二下·上海·期中）对任意的实数，若，则_____. 47．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中，求： (1)所有项的系数之和； (2)含项的系数. 48．（25-26高二下·上海长宁·期中）设． (1)求值； (2)求值； (3)求值． 49．（25-26高二下·上海·期中）已知为非零实数，考虑二项展开式. (1)若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值； (2)若，且展开式中的系数是的系数与的系数的算术平均数，求的值. 50．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中. (1)求展开式中常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和. 题型十四、由项的系数确定参数（共4小题） 51．（24-25高二下·上海·期中）若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______. 53．（25-26高二下·上海·期中）（1）在的二项展开式中，求的幂指数是负数的项的个数； （2）设，若的展开式中第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，求的值. 54．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 题型十五、二项展开式各项的系数和（共4小题） 55．（25-26高二下·上海·期中）若对任意实数都有，则________. 56．（24-25高二下·上海·期中）若，，则被7除所得的余数为________． 57．（24-25高二下·上海·月考）设且. (1)求、的值; (2)求展开式中各项系数和； 58．（24-25高二下·上海普陀·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 题型十六、求系数最大（小）的项（共3小题） 59．（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 60．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 61．（25-26高二下·上海·期中）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 题型十七、奇次项与偶次项的系数和（共3小题） 62．若，则正整数的个位数为__________． 63．（24-25高二下·上海静安·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 64．（24-25高二下·上海闵行·期中）设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 题型十八、两个二项式乘积展开式的系数问题（共3小题） 65．（24-25高二下·上海·期末）在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 66．（24-25高二下·上海·期末）若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 67．（24-25高二下·上海·阶段检测）设．已知． (1)当时，求的展开式中项的系数； (2)若，求，，，…，中的最大值． 2 / 38 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 计数原理 题型1 分步乘法计数原理及简单应用（重点） 题型10 二项展开式的应用（常考点） 题型2 分类加法计数原理（重点） 题型11 二项式系数的增减性和最值 题型3 排数的计算 题型12 二项式的系数和（难点） 题型4元素（位置）有限制的排列问题 题型13 求指定项的系数（常考点） 题型5 相邻问题的排列问题（常考点） 题型14 由项的系数确定参数 题型6 不相邻排列问题 题型15 二项展开式各项的系数和 题型7 组合数的计算（重点） 题型16 求系数最大（小）的项（难点） 题型8组合数的性质及应用（重点） 题型17奇次项与偶次项的系数和（常考点） 题型9实际问题中的组合计数问题（常考点） 题型18两个二项式乘积展开式的系数问题 题型一、分步乘法计数原理及简单应用（共5小题） 1．（24-25高二下·上海闵行·期末）把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 【答案】/ 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步计数乘法原理，即可求解. 【详解】分步计数乘法原理：每封信都有种投法，所以总共有， 故答案为： 2．（24-25高二下·上海·期末）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位数.则这样的三位数一共有__________.（用数字作答） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，先排百位数字，再排十位数字，最后排个位数字，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位数， 先排百位上的数字有种排法，再排十位上的数字有种排法， 最后排个位上的数字有种排法，由分步计数原理得，共有种排法， 即这样的三位数一共有个. 3．（25-26高二下·上海浦东新·月考）将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，则5号盒子中至少有一个球的放法有________种. 【答案】61 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先算总的将三个不同的小球放入盒子内，再计算5号盒子内没有球的情况即可求解. 【详解】将三个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，共有种放法， 若5号盒子中没有球，则每个球只能放入1，2，3，4号盒子，共有种放法， 则5号盒子中至少有一个球的放法有种. 4．（25-26高二下·上海·月考）从集合的子集中选出两个非空集合，满足以下两个条件：①且；②若，则，则共有_____种不同的选择．（结果用数值表示） 【答案】 【知识点】集合新定义、分步乘法计数原理及简单应用 【详解】因为，，所以和为11的两个元素应分别在集合， 例如1，10两个元素，，或，或三种选择， 又共有5对和为11的数，因此共有种不同的选择， 又集合都是非空集合，所以共有种不同的选择. 5．（24-25高二下·上海静安·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)81 (2)18 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）根据分步计数原理求解； （2）甲有2种选择，乙有种选择，丙、丁各有种选择，根据分步计数原理求解. 【详解】（1）每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为； （2）甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为. 题型二、分类加法计数原理（共3小题） 6．（24-25高二下·上海·期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（    ）个“十全十美数”． A．36 B．42 C．48 D．54 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理 【分析】利用分类加法原理，根据三位数的具体情况，由列举法，可得答案. 【详解】任取一个＂十全十美三位数＂，包含有一个0的三位数：，分别为： 含有相同数字的三位数：，分别为：424， 不含有0，并且没有相同数字的三位数，分别为： 共54个. 故选：D. 7．（24-25高二下·上海闵行·期末）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、分类加法计数原理 【分析】由题意，，再根据列举法求解即可. 【详解】因为函数的定义域，值域为， 所以要满足“增函数”的定义，一定是，； 元素的取值情况有如下几种： ①三个元素均与7对应，即，符合题意； ②三个元素中有2个元素与7对应，则有，或，，两种情况； ③三个元素中仅有一个元素与7对应，则有，或，，或，，三种情况； 综上可得共有6种情况. 故选：B 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知数列，，，各项均为正整数，满足，且数列中存在一项为3，则可能的数列个数为__________. 【答案】65 【知识点】分类加法计数原理、数列新定义 【分析】由题意记，则，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，从而可求出数列的个数. 【详解】记，则， 对确定的，数列各项间的大小顺序即确定， 设，则， 对于给定的可唯一确定一组数列， 由于且，这样的数列共个， 其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个， 综上所述，符合要求的数列共有个. 故答案为：65. 题型三、排数的计算（共4小题） 9．（25-26高二下·上海·期中）我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如表所示.现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（   ） 讲台 前门 1 12 13 24 25 31 2 11 14 23 26 32 3 10 15 22 27 33 4 9 16 21 28 34 5 8 17 20 29 35 6 7 18 19 30 36 37 后门 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】排列数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】计算总基本事件数与甲乙相邻的事件数，再用对立事件求解概率. 【详解】总座位数为37个，甲乙两人随机就座的总排列数为 . 甲乙相邻分两类： ①左右相邻：每行有5对左右相邻的座位，共6行，所以有对， 所以甲乙两人在这些座位上左右相邻的坐法有种； ②前后相邻：前5列每列有5对前后相邻的座位，共对， 第6列有6对前后相邻的座位（包括座位36和37）， 所以共有对， 所以甲乙两人在这些座位上前后相邻的坐法有种. 所以甲乙相邻的概率为： 因此，甲乙既不前后相邻也不左右相邻的概率为： . 10．（25-26高二下·上海·期中）可以表示为________（用排列数表示）. 【答案】 【知识点】排列数的计算 【详解】依题意，. 11．（25-26高二下·上海·期中）已知为正整数，则__________.（用数字作答） 【答案】744 【知识点】排列数的计算 【详解】由排列数的意义可知，，解得，即， 所以. 12．（24-25高二下·上海·月考）某学习小组共有6名学生，则其中至少有2名学生在同一月份出生的概率为_______．(默认每月天数相同，结果精确到0.001） 【答案】 【知识点】排列数的计算、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据古典概型及对立事件概率公式计算即可. 【详解】由于每名学生的出生月份可能是1月到12月中的任何一个， 因此名学生的出生月份共有种可能的排列， 每个排列对应一个基本事件，从而基本事件就有个， 且每个基本事件发生的概率都相等． 设A表示事件“名学生中没有任何2名学生在同一月份出生”， 那么名学生的出生月份共有种可能的排列， 即事件A包含个基本事件，所以事件A的概率是． 这样，“至少有2名学生在同一月份出生”的概率是． 故答案为： 题型四、元素（位置）有限制的排列问题（共4小题） 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【知识点】实际问题中的计数问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】应用分类分步计数，结合排列数求不同的排法数. 【详解】当乙在第五道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 当乙在第六道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 所以共有144种不同排法. 故选：D 14．（24-25高二下·上海·期末）在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 【答案】/ 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用排列组合先确定无重复的三位数，再分别计算个位是2和4时的情况，由古典概率求解可得. 【详解】首先无重复的三位数共有个， 当个位是2时，有； 同理当个位是4时，也有， 所以偶数的概率为. 故答案为： 15．（25-26高二下·上海·期中）数字按如图形式排列，设第二行中的最大数为，若，则符合要求的排列数为__________．（结果用数值表示） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【详解】①第种情况：在第一行， 的位置：种选择，的位置：种选择，剩余数字排列：， 所以，第1种情况总数为． ②第种情况：在第三行， 的位置：种选择，的位置：种选择，剩余数字排列：， 所以，第种情况总数为． 所以，符合要求的排列数为． 16．（24-25高二下·上海·阶段检测）现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？ (1)4名男生互不相邻； (2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站； (3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端． 【答案】(1) 种 (2) 种 (3) 种 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、其他排列模型 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用定序问题倍分法列式计算. （3）利用排除法列式计算. 【详解】（1）先排3名女生，再把4名男生插入每种排法形成的4个间隙中， 所以4名男生互不相邻的排法种数是（种）. （2）7名学生站成一排照相有种站法，其中4名男生的不同站法有种， 所以所求不同站法种数是（种）. （3）7名学生站成一排照相有种站法，其中男生甲站最左端的有种， 女生乙站最右端的有种，男生甲站最左端且女生乙站最右端的有种， 所以所求不同站法种数是（种）. 题型五、相邻问题的排列问题（共3小题） 17．（24-25高二下·上海·期中）某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为_____． (用数字作答) 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先求农场主站在中间的方法数，以及利用捆绑法求农场主站在中间，且2名女生相邻的方法数，再利用间接法求得2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数. 【详解】由题意，农场主站在中间有种方法， 农场主站在中间，且2名女生相邻有种方法， 所以2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为. 故答案为：528. 18．（24-25高二下·上海·期中）学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 【答案】144 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法即可求得答案. 【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得, 所以共有144种表演顺序， 故答案为：144. 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）新一年复旦中学高二的戏剧展演又将来临，这次全年级共准备了个节目，邓老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中班和班都要表演《哈姆雷特》；因此需要分开排，班和班节目需要相邻出现，则邓老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】先采用捆绑相邻的元素，再插空处理不相邻的元素，使用分步乘法原理计算出总方案即可. 【详解】把班和班捆绑为个整体，内部有种排列顺序， 除去班、班，剩下的元素为：班和班整体加上其余个节目，共个元素， 全排列有种排法， 个元素排好后共产生个空位，从个空位中选个插入班和班，共有种排法， 总方案数为各步骤乘积：种. 题型六、不相邻排列问题（共3小题） 20．（24-25高二下·上海浦东新·期中）某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种. 【答案】12 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用不相邻问题插空法即可. 【详解】依题意，只需将数学与外语在政治与生物留下的三个空位进行插空，再考虑它们的顺序即可，故课表的排法有种. 故答案为：12. 21．（24-25高二下·上海·期中）4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有_________种． 【答案】 【知识点】不相邻排列问题 【分析】根据不相邻问题插空法,结合排列即可求解. 【详解】首先,将4名学生全排列,共有种方法,接下来,将2名老师安放在5个空隙中,共有种方法,故总的排法有, 故答案为:480 22．（24-25高二下·上海·期末）某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 【答案】1440 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题运用插空法求解即可，即先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的4个，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法； 再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序. 故答案为：. 题型七、组合数的计算（共4小题） 23．（25-26高二下·上海·期中）若，则__________. 【答案】8 【知识点】组合数的计算 【详解】由，得， 而，整理得， 所以. 24．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 【答案】329 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、组合数的计算 【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可. 【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数. 先研究集合中无重复数字的三位偶数； （1）若个位为0，这样的偶数有个； （2）若个位不为0，这样的偶数有个； 所以集合元素个数最大值为个． 故答案为：329 25．（25-26高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【详解】（1）若一次抽取3张卡片，共包含个基本事件，其中事件包含2个基本事件， 所以. （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 其中事件包含3个基本事件， 所以. 26．（24-25高二下·上海·阶段检测）19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是此届马拉松成功举办的重要保障．某高校承办了此次志愿者选拔的面试工作，先随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成n组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)在第四、第五组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率： (3)已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分及以上的志愿者的平均成绩和方差分别为多少? 【答案】(1)， (2) (3)平均成绩为82，方差为33 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）应用频率和为1计算求解参数； （2）应用古典概型结合组合数计算求解； （3）应用频率分布直方图计算平均数及方差公式计算求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得， 所以，解得． （2）通过分层抽样可知，从第四组抽取4人，第五组抽取1人， 求选出的两人来自不同组的概率为． （3）因为第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5， 又第四组与第五组的频率之比为， 所以75分及以上的志愿者的平均成绩为（分）， 所以75分及以上的志愿者的方差为． 题型八、组合数的性质及应用（共3小题） 27．（24-25高二下·上海松江·期末）已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】组合数的性质及应用、判断命题的充分不必要条件 【分析】首先判断充分性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立；随后判断必要性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立. 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 28．（25-26高二下·上海·期中）已知，则的值为________. 【答案】10 【知识点】组合数的性质及应用 【详解】由及组合数的性质，得， 所以. 29．（23-24高二下·上海·月考）满足方程的的值为______. 【答案】3或6 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数运算公式结合组合数性质求解即可. 【详解】因为，所以或，所以或. 故答案为：3或6 题型九、实际问题中的组合计数问题（共4小题） 30．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有________种不同的选法.（结果用数字表示） 【答案】252 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算. 【详解】从这10名候选人中任选5人组成班委，不同选法种数是. 故答案为：252 31．（24-25高二下·上海虹口·期末）从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为_____． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】应用组合数及对立事件的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，4名学生来自甲乙以外其它5人有种， 所以甲和乙至少一人参加的概率为. 故答案为： 32．（25-26高二下·上海·期中）用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为______. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】分别求出用1、2、3三个数字可组成四位数的个数和没有两个1相邻出现的四位数个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】用1、2、3三个数字可组成个四位数， 没有两个1相邻出现的四位数分为三种情况： 若四位数中没有1，共有个， 若四位数中有1个1，共有个， 若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法， 其余两位各有2种选择（2或3），故共有个， 因此没有两个1相邻出现的四位数共有60个． 所以所求的概率为. 33．（25-26高二下·上海·期中）在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量.例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. (1)已知；写出对应的输赢序列； (2)已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和； (3)若篮球队有6次赢，4次输；求具有7个游程的概率； 【答案】(1) (2)； ； ； (3) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计数原理与概率综合 【分析】(1)根据题意得，赢的游程数为，赢的次数，输的次数，再结合定义写对应序列即可； (2)根据赢的游程数、赢的次数和输的次数，找出所有可能的输赢序列，并确定对应的向量和； （3）设赢游程数为，输游程数为，进而根据游程总数，且输赢序列交替出现得或，再分情况讨论可能序列的总数，结合古典概型公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以，赢的游程数为，赢的次数，输的次数 根据定义：由得第个赢的游程以前连续输2次，对应序列为； 接着第一个赢游程长度：对应序列为； 然后，第个赢的游程以前连续输1次，对应序列为； 接着第二个赢游程长度：对应序列为； 最后，表示没有输. 所以输赢序列为： （2）解：由，得所求序列有两个赢的游程， 设，则，，故可能为，， ，则，， 同时，为保证两个赢游程不合并，中间必须有至少一个输，即，故可能为或， 所以，满足条件的输赢顺序及对应向量分别为： （3）解：篮球队有6次赢，4次输，共10场，即“个，个的排列”， 所以，所有可能的输赢序列共有种， 设赢游程数为，输游程数为， 因为游程总数，且输赢序列交替出现， 所以，且， 所以或， 当时， 将6个赢分成4个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选3个放入隔板，有种； 将4个输分成3个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选2个放入隔板，有种， 所以，此序列共有种， 当时， 将6个赢分成3个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选2个放入隔板，有种； 将4个输分成4个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选3个放入隔板，有种， 所以，此序列共有种， 所以，满足条件的序列总数有种， 所求概率为，篮球队有6次赢，4次输且具有7个游程的概率为 题型十、二项展开式的应用（共3小题） 34．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知且且则________． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质和二项式定理对原式进行化简求和. 【详解】. 所以原式. 根据二项式定理，令，则. 所以原式. 故答案为：. 35．已知是正整数，化简：__________． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理，化简展开式. 【详解】. 故答案为： 36．若的展开式中含有常数项，则满足条件的n的最小值为______. 【答案】5 【知识点】二项展开式的应用 【分析】求出二项展开式的通项, 令的指数为方程有解，即可求出正整数的最小值. 【详解】由题意，展开式的通项为， ∵展开式中含有常数项， ∴，解得：， ∵， ∴当时, 最小为. 故答案为：5. 题型十一、二项式系数的增减性和最值（共4小题） 37．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若组合数，则的最大值为：__________． 【答案】11 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出的范围即可. 【详解】由及二项式系数的增减性，得，解得，而， 所以的最大值为11. 故答案为：11 38．（24-25高二下·上海·期中）已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)-84 (2)和 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，即可求解， （2）根据二项式系数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， 令，∴常数项 （2）， ∴二项式系数最大的项和 39．（24-25高二下·上海·期中）已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）根据给定条件，列式求出幂指数，再利用二项式系数的性质求解. （2）利用赋值法求出常数项及所有项系数和即可. 【详解】（1）依题意，，即，解得， 所以的展开式中二项式系数最大的项是第5项：. （2）由（1）知，， 取，得，取，得， 所以. 40．（23-24高二下·上海杨浦·期中）（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 【答案】（1）84；（2） 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】（1）应用二项式展开式的通项公式，保证的指数为时，求出的值，进而求出常数项即可； （2）求二项展开式中系数最大的项，只需保证该项系数比较前后两项系数满足不等式，求解得出的值，进而求出该项即可. 【详解】（1）设为常数项，则， 则的二项展开式中的常数项为； （2）设为系数最大的项，则， 则， 则的二项展开式中系数最大的项为：. 题型十二、二项式的系数和（共4小题） 41．（24-25高二下·上海松江·期末）若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】令，求得展开式的所有项的系数之和为，再由二项式系数之和为，根据题意，列出方程，求得，进而求得展开式中项的系数. 【详解】令，可得二项式的展开式的所有项的系数之和为， 又由二项式的展开式的二项式系数之和为， 可得，即，解得，即二项式为， 则二项式的展开式中项的系数为. 故答案为：. 42．（24-25高二下·上海静安·期末）_______． 【答案】 【知识点】二项式的系数和、组合数的计算 【分析】根据二项式定理及逆用求解即得. 【详解】 . 故答案为：. 43．（25-26高二下·上海闵行·期中）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求展开式中含项的系数. 【答案】(1)32 (2)40 【知识点】组合数方程和不等式、二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）由条件列出方程求出的值，再根据二项式系数和的性质计算即可得解； （2）先写出二项展开式的通项，令的幂指数等于2，求出对应的值，再代入通项的系数部分，即可得解. 【详解】（1）由二项式定理可知，展开式中前3项的二项式系数 分别为，，，则由题意知， 即，整理可得，即， 因为，所以解得，或（舍去）， 所以展开式中所有项的二项式系数的和为； （2）由（1）可知二项式为， 其通项为， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为. 44．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求所有项系数和与二项式系数和； (2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】(1)所有项系数和为；二项式系数和为 (2) 【知识点】不相邻排列问题、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意及二项展开式的通项公式先求出，赋值法令求出所有项系数和，由求出二项式系数和； （2）由通项公式求出有理项项数，进而利用插空法与古典概型即可求解. 【详解】（1）展开式的通项公式为：，. ∵第4项的系数与倒数第4项的系数之比为， ∴，解得. ∴所有项系数和为； 二项式系数和为. （2）由（1）知展开式的通项公式为，. 展开式中一共有8项，当时为有理项， 所以由插空法得有理项不相邻的概率为：. 题型十三、求指定项的系数（共6小题） 45．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得：， 故含项的系数为. 46．（25-26高二下·上海·期中）对任意的实数，若，则_____. 【答案】1 【知识点】求指定项的系数 【详解】令，等式左边，等式右边，因此 47．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中，求： (1)所有项的系数之和； (2)含项的系数. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）令，即可求得所有项的系数和； （2）写出二项式展开式的通项，列方程求解，即可求解. 【详解】（1）令，得的展开式中所有项的系数之和为； （2）展开式中的通项为， 令，得，所以含的项的系数是． 48．（25-26高二下·上海长宁·期中）设． (1)求值； (2)求值； (3)求值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）利用赋值法，令求出值； （2）利用赋值法，令求出，再减去即可； （3）先求导，再利用赋值法求解． 【详解】（1）令，则． （2）令，得， ， ． （3）已知， 两边求导得， 令，则， 即． 49．（25-26高二下·上海·期中）已知为非零实数，考虑二项展开式. (1)若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值； (2)若，且展开式中的系数是的系数与的系数的算术平均数，求的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合题意建立方程，合理取舍即可得到的值. （2）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合算术平均数的定义建立方程，即可得到的值. 【详解】（1）当时，，利用二项式定理对其展开， 通项公式为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 因为展开式中的系数是的7倍， 所以，即，解得或， 由，得. （2）当时，，利用二项式定理对展开， 通项公式为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 因为展开式中的系数是的系数与的系数的算术平均数， 所以，化简得， 因为为非零实数，所以，解得或. 50．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中. (1)求展开式中常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用展开式的通项公式，再令，即可求解； （2）取，代入计算，即得展开式中所有项的系数之和. 【详解】（1）因为展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式的常数项为， 故展开式中常数项的值为. （2）令，则， 所以展开式中所有项的系数之和为. 题型十四、由项的系数确定参数（共4小题） 51．（24-25高二下·上海·期中）若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】求出的展开式的通项，令的次数等于，求出对应的值，再代入系数结合题意即可求得实数的值. 【详解】二项式的展开式的通项为, 令，解得， 所以，解得 故选：D. 52．（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______. 【答案】 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用展开式的通项公式来进行求解即可. 【详解】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 故答案为：. 53．（25-26高二下·上海·期中）（1）在的二项展开式中，求的幂指数是负数的项的个数； （2）设，若的展开式中第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，求的值. 【答案】（1）9（2）或 【知识点】求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数 【分析】（1）先根据二项式定理求得通项，进而求得所需的项的个数； （2）根据题意列得等式计算得到参数的值； 【详解】（1）根据二项式定理可得通项为， 要求的幂指数是负数，即，解不等式，解得 因为是整数，且，所以，共有项. （2）由题意可知第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，则， 即，因为，所以，即， 解得或 54．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数、三项展开式的系数问题 【分析】（1）当时,,由展开式中含项的系数与含的系数,可求得,进而可求得展开式中的常数项; （2）当时,,其通项,设第项的系数最大,列不等式求解即可. 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. 题型十五、二项展开式各项的系数和（共4小题） 55．（25-26高二下·上海·期中）若对任意实数都有，则________. 【答案】81 【知识点】二项展开式各项的系数和 【详解】令，则，即. 56．（24-25高二下·上海·期中）若，，则被7除所得的余数为________． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题 【分析】应用赋值法计算系数和，再应用二项式化简计算余数即可. 【详解】若， 令，， 只有不是7的倍数，则被7除所得的余数为6. 故答案为：6. 57．（24-25高二下·上海·月考）设且. (1)求、的值; (2)求展开式中各项系数和； 【答案】(1)， (2) 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）根据二项式定理可得，结合题意可得，利用赋值法令即可得结果； （2）利用赋值法令即可得结果； 【详解】（1）因为展开式的通项为，可知， 又因为，解得； 所以，令，可得. （2）由（1）可知， 令，可得， 所以展开式中各项系数和. 58．（24-25高二下·上海普陀·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 【答案】(1)； (2)6561； (3)3075072. 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）利用赋值法列式求出值. （2）由（1）结合赋值法求出目标值. （3）把代入，求出，再作商结合组合数计算求出最大值. 【详解】（1）取，得，因此， 所以. （2）当时，由（1）知， 取，得，所以 . （3）当时，，， 当时，，解得， 于是， 所以，，…，中的最大值为. 题型十六、求系数最大（小）的项（共3小题） 59．（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 【答案】20412 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数. 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 60．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 61．（25-26高二下·上海·期中）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【详解】（1）由题意得:，解得. 二项式第项展开式的通项公式为 ， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以，时，， 时，， 时，. 所以，展开式中所有的有理项为. （2）设展开式中系数最大的项是第项， 则有，解得，即， 因为，所以，即展开式中最大的项是第5项， . 题型十七、奇次项与偶次项的系数和（共3小题） 62．若，则正整数的个位数为__________． 【答案】2 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、整除和余数问题 【分析】利用赋值和求，再利用二项式定理的应用，转化为余数问题，即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 两式相加得， , 由展开式可知，的个位数为2. 故答案为：2 63．（24-25高二下·上海静安·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)6561 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得. （2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可 【详解】（1）令， 得，解得， 所以 （2）当时， 令，得， 令，得， 即， 所以 64．（24-25高二下·上海闵行·期中）设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 【答案】(1)，第51项 (2)1 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）将赋值为，求得常数项，由二项式系数的单调性，可得答案； （2）利用赋值法，表示各项系数之和与奇偶项，结合平方差公式，可得答案. 【详解】（1）令，则，最大，即第51项二项式系数最大. （2）令，则， 令，则， 原式 . 题型十八、两个二项式乘积展开式的系数问题（共3小题） 65．（24-25高二下·上海·期末）在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 【答案】0 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理可知：有以下几种方法得到： ①从的个括号中选个，的个括号中选个； ②从的个括号中选个，的个括号中选个； ③从的个括号中选个，的个括号中选个； ④从的个括号中选个，的个括号中选个； ∴的系数为：. 故答案为：. 66．（24-25高二下·上海·期末）若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】设，通过赋值和，即可求解. 【详解】设， 令， 令， 故， 即. 故答案为： 67．（24-25高二下·上海·阶段检测）设．已知． (1)当时，求的展开式中项的系数； (2)若，求，，，…，中的最大值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】求系数最大（小）的项、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】（1）由中项得系数和的系数即可求解； （2）由通项公式得到求解即可； 【详解】（1）当时，中项得系数为，的系数为， 所以的展开式中项的系数为； （2）由， ，， 又， 所以，解得：， 假设第项系数最大， 即，即， 可得：， 即第3项系数最大，也即最大； 2 / 38 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $