专题03期末复习《一次函数与方程(组)、不等式（组）》（小模块·微专题·大压轴）2025-2026学年鲁教版五四制数学七年级下学期

**基本信息** 以“挖井式”专题突破构建一次函数与方程（组）、不等式（组）的系统关联，通过“知识点-模块-微专题-压轴题”四层架构实现碎片化知识体系化，培养几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与方程|1典例+3变式|交点坐标与方程解互化、图象法求解|从“直线与坐标轴交点”到“两直线交点”，构建“形-数”转化逻辑| |一次函数与不等式|1典例+3变式|图象上下方区域判断解集、交点比较法|以“函数值正负”“两函数值大小”为线索，形成不等式解集几何表征| |综合应用（微专题/压轴）|1典例+3变式|面积公式法、区域边界分析、存在性分类讨论|从基础应用到复杂情境，渗透数形结合与分类讨论思想，发展推理能力|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 学途漂泊孤行客 独伫挖井望彩虹 ----期末复习专题03《一次函数与方程(组)不等式(组)》专题突破 【专辑简介】彩虹非天上垂落，而是“挖至泉涌”后的自然显现，真正的彩虹，从不在云层之上，而在你凿穿黑暗的那刻，自己照亮的天空里。屠呦呦团队历经190次失败提取青蒿素，是“挖井”式坚持的典范；独伫广袤，是主动选择的孤独，而非被动流离；走近“挖井人数学”（https://shop.xkw.com/165948），进入”专题式复习”，围绕一两个紧密相关的知识点或题型，直击薄弱环节，实现“以小见大”。通过聚焦核心考点和易错点，将碎片化知识串联成体系，强化知识间的关联，帮您构建系统化知识网络。安得五彩虹，挖井作长桥。仙人如爱我，举手来相招。 题型清单·图表导航 模块1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 微专题1直线围成的图形面积 模块2 由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 微专题2一次函数与不等式组中的区域问题 模块3 利用图象法求一元一次方程的解 压轴1 一次函数中的新定义问题 模块4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 压轴2 绝对值函数与方程、不等式之间的关系 模块5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 压轴3 一次函数与面积关系存在性问题 模块6利用图象法求一元一次不等式组的解集 压轴4一次函数中等腰三角形存在性问题 模块7两直线的交点与二元一次方程组的解 压轴5一次函数中的动点问题 模块8 利用图象法求二元一次方程组的解 知识清单·基础溯源 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 知识点二：一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 知识点三：.二元一次方程（组）与一次函数的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数y=kx十b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx一y十b=0的解;以二元一次方程kx一y十b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx十b的图象上. 2 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数(两条直线) 二元一次方程组的解为两直线和的交点坐标;反过来,两直线和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解. (1)两直线平行(无交点)，方程组无解（） (2)两直线交于一点，方程组有唯一解; (3)两直线重合，方程组有无数组解（） 知识点4二元一次方程组的图象解法 1.二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法. 2 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式和 (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象. (3)求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值 模块通关·举一反 三 【模块一】由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【典例1】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的方程的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【模块二】由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 【典例2】（2025秋•昭平县期中）方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与（　　） A．x轴交点的横坐标 B．y轴交点的横坐标 C．x轴交点的纵坐标 D．y轴交点的纵坐标 【变式2-1】（2025春•献县校级月考）·【中档】若关于x的方程bx+a＝0的解是x＝﹣1，则直线y＝bx+a一定经过点（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 【变式2-2】（2025•碧江区 校级模拟）·【中档】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如下表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 0 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．与y轴的交点是（0，﹣3） C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．图象与x轴的交点是 【变式2-3】（2024秋•古田县期中）·【中档】若关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2，则直线y＝2x+b一定经过点（　　） A．（2，0） B．（0，2） C．（1，0） D．（0，1） 【模块三】利用图象法求一元一次方程的解 【典例3】（2024春•同步）利用函数图象求下列方程的解： （1）2x+6＝0； （2）4x+5＝9． 【变式3-1】如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【模块四】由直线与坐标轴交点求不等式的解集 【典例4】已知一次函数    (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． x … 0 1 … … 0 … (2)结合函数图象，方程的解为______． (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【变式4-1】若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知直线经过点，且经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【模块五】根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 【典例5】如图，直线与的交点的横坐标为，两直线与x轴交点的横坐标分别是，，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为 ． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【模块六】利用图象法求一元一次不等式组的解集 【典例6】一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【变式6-1】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，观察图象直接写出关于x的不等式组的解集________． 【变式6-2】已知函数与的图像如图所示，观察图像并解决下列问题： (1)x取何值时，？ (2)x取何值时，？ (3)当，求的取值范围； (4)当，求x的取值范围． 【变式6-3】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出关于x的不等式组的解集； (3)若点，求关于x的不等式的解集． 【模块七】两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例7】（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【变式7-1】（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【变式7-2】已知一次函数与（均为常数）的图象交于点，则关于的方程组的解是 ． 【变式7-3】已知点，在直线：的图象上，直线和一次函数的图象交于点． (1)求直线的表达式； (2)若点的横坐标是1，则关于，的方程组的解 ； (3)在（2）的条件下，若点关于轴的对称点为，求的面积． 【模块八】利用图象法求二元一次方程组的解 【典例8】利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【变式8-1】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】数形结合是数学的一个重要的思想方法，我们常用数形结合的方法探究学习新知识．在《二元一次方程》的学习过程中．欣欣发现二元一次方程有无数个解，也就是有无数多对数值满足这个二元一次方程，于是她借助平面直角坐标系开展了如下探究： 步骤1：计算并填写表格，使上下每对的值都是方程的解． …. -2 -1 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 2 1 0 -1 … 步骤2：如图，在平面直角坐标系中，将以上表格中各对数值作为点的坐标．例如：即点坐标（-2，5）．在平面直角坐标系中依次描出所对应的点． 步骤3：按照的取值从小到大的顺序，将这些点连起来．发现是一条直线，同时还发现在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的一个解，如直线上一个点（2.5，0.5）则也是方程的一个解． 欣欣通过查阅资料发现如下定义：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．据此她所画的这条直线叫做二元一次方程的图象．请根据以上信息解答下列问题： (1)在同一个平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象，并根据所画的图象得出方程组的解为___________． (2)若平面直角坐标系里的两条直线分别是二元一次方程和二元一次方程的图象，为这两条直线的交点，求点坐标． (3)如果二元一次方程的图象与二元一次方程的图象没有交点，请直接写出常数的值为___________． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】直线围成的图形面积 【典例9】在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 【变式9-1】如图， 直线 与x轴相交于点，直线 经过点， 与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求直线，直线与轴围成的三角形面积； (3)根据图象，直接写出 的解集． 【变式9-2】已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； (2)求△PCD的面积； (3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数与正比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，的取值范围； (3)是轴上一点，若的面积为8，请求出点的坐标． 【微专题二】 一次函数与不等式组中的区域问题 【典例10】要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 _____． 【变式10-1】我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx＋b与y＝mx＋n分别交x轴于点A（－0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx＋b）（mx＋n）＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．－0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜－0.5或x＞2 【变式10-2】（2025顺义区模拟）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 压轴探究·素养提升 【压轴一】一次函数中的新定义问题 【典例11】定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”．如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点B，A． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式：_____；若点在的函数图象上，则的值是_____． (2)若一次函数图象上的一点也是它的“逆反函数”图象上的点． ①求点的坐标． ②求的面积． 【变式11-1】定义：一次函数和（其中k、b为常数，，）互为“友好函数”，比如和互为“友好函数”． (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． 【变式11-2】当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”． (1)点在的“友好函数”的图象上，求的值； (2)若点既是一次函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标． 【变式11-3】我们定义：把一次函数（）与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）的“亮点”，例如求一次函数的“亮点”，联立，得方程组，解得，则一次函数的“亮点”为． (1)求一次函数的“亮点”； (2)若一次函数（）的“亮点”为，求k，b的值． 【压轴二】绝对值函数与方程、不等式之间的关系 【典例12】小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题，下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时，______． 当时，______． (2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质． (3)直接写出关于x的方程（k为常数，）解的个数及对应k的取值范围． 【变式12-1】小亮根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小亮的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时，______； 当时，______； (2)在平面直角坐标系中画出的图象（无需列表），并根据图像回答：该函数有______（填“最大值或最小值”），这个值为______． (3)直接写出关于x的方程（k为常数且）的解的个数及对应k的取值范围． 【变式12-2】下面对函数和进行研究，完成下列探索过程： (1)补充列表： x … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 0 ______ ______ 2 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)在平面直角坐标系中描点，画出函数、的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为_____； ②当时，x的取值为_____． 【变式12-3】小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x …           0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 m 5 … (1)补全表格： ； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时， ；当时， ， ②下列说法正确的个数是（  ） （i）变量x是变量y的函数；（ii）每增加，就减小 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2 C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若一次函数的图象与的图象有两个交点，直接写出实数的取值范围． 【压轴三】一次函数与面积关系存在性问题 【典例13】如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为 　 ； (3)求的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【变式13-1】在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线与轴、轴分别交于点，． （1）直线一定经过的点的坐标为 ； （2）若直线将的面积分为两部分，则的值为 ． 【变式13-2】如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【变式13-3】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【压轴四】一次函数中等腰三角形存在性问题 【典例14】如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B________，C________，D________； (2)求； (3)若点P是x轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出P点的坐标． 【变式14-1】如图，直线和直线相交于点分别为两条直线与轴的交点． (1)的解为__________； (2)当时，的取值范围为_________； (3)求点坐标； (4)在轴上存在一点，当是等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【变式14-2】如图，直线与直线在同一平面直角坐标系内交于点． (1)写出不等式的解集：__________； (2)求直线的表达式． (3)设直线与轴交于点，求的面积． (4)在轴上有一点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【变式14-3】如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【压轴五】一次函数中的动点问题 【典例15】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围； (3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长． 【变式15-1】如图，，，．点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点的直线也随之平行移动，设移动时间为秒，当，位于直线的异侧时，应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，在四边形中，，过点作于点，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式15-3】如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 通关检测·实战演练 1.已知关于的方程组的解是，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． .3..如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax+b＞0的解集是 　 　； (2)关于x的不等式mx+n＜1的解集是　 　； (3)当x　 　，y1≤y2； (4)当x　 　，0＜y2＜y1． 4.如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．善于学习的小明在学习了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程的关系： （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点的横坐标是方程①的解； （3）点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数的函数值大于时，自变量的取值范围是不等式③的解集； （2）函数的函数值小于时，自变量的取值范围时不等式④的解集． (1)请根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论： ①______；②______；③______；④______． (2)若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为______； 不等式的解集为______； 不等式的解集为______； 不等式组的解集为______． 6.数学中，定义符号表示两个数中的最大值，如，，现有函数，请回答如下问题： (1)①当时，函数的函数值________； ②当时，函数的函数值________； ③当时，函数的函数值________； (2)求函数的解析式． (3)在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点,点的坐标为（1，0），函数（为常数，且）与函数相交于不同两点B（0，1）、，分别记△，△的面积为、，且有，求k的值． 7.斌斌同学根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．下面是斌斌的探究过程，请解决相关问题． (1)列表、描点、画出图像． ①把下表补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②如图，描出以表中各对对应值为坐标的剩余的两个点，并画出该函数的图像． (2)观察的图像，下列说法正确的是___________（填序号，可多选）． ①若点在图像上，则； ②函数有最大值，最大值是5； ③函数的图像是轴对称图形，对称轴是y轴； ④y随x的增大而增大． (3)画出一次函数的图像，并利用图像法直接写出不等式的解集． 8.如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． (1)求出m、n的值； (2)直接写出不等式–x+m ＞–2x+3； (3)求出ABP的面积． 9在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像由函数y＝x的图像向下平移1个单位长度得到． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当x≥-2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值总是大于一次函数y＝kx＋b的值，则m的取值范围是 ． (3)设一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，则在y轴上是否存在一点P，使得∠ABO＝2∠BPA，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 10.【活动回顾】： 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．       【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． 【拓展延伸】： (3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． ③若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 学途漂泊孤行客 独伫挖井望彩虹 ----期末复习专题03《一次函数与方程(组)不等式(组)》专题突破 【专辑简介】彩虹非天上垂落，而是“挖至泉涌”后的自然显现，真正的彩虹，从不在云层之上，而在你凿穿黑暗的那刻，自己照亮的天空里。屠呦呦团队历经190次失败提取青蒿素，是“挖井”式坚持的典范；独伫广袤，是主动选择的孤独，而非被动流离；走近“挖井人数学”（https://shop.xkw.com/165948），进入”专题式复习”，围绕一两个紧密相关的知识点或题型，直击薄弱环节，实现“以小见大”。通过聚焦核心考点和易错点，将碎片化知识串联成体系，强化知识间的关联，帮您构建系统化知识网络。安得五彩虹，挖井作长桥。仙人如爱我，举手来相招。 题型清单·图表导航 模块1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 微专题1直线围成的图形面积 模块2 由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 微专题2一次函数与不等式组中的区域问题 模块3 利用图象法求一元一次方程的解 压轴1 一次函数中的新定义问题 模块4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 压轴2 绝对值函数与方程、不等式之间的关系 模块5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 压轴3 一次函数与面积关系存在性问题 模块6利用图象法求一元一次不等式组的解集 压轴4一次函数中等腰三角形存在性问题 模块7两直线的交点与二元一次方程组的解 压轴5一次函数中的动点问题 模块8 利用图象法求二元一次方程组的解 知识清单·基础溯源 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 知识点二：一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 知识点三：.二元一次方程（组）与一次函数的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数y=kx十b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx一y十b=0的解;以二元一次方程kx一y十b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx十b的图象上. 2 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数(两条直线) 二元一次方程组的解为两直线和的交点坐标;反过来,两直线和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解. (1)两直线平行(无交点)，方程组无解（） (2)两直线交于一点，方程组有唯一解; (3)两直线重合，方程组有无数组解（） 知识点4二元一次方程组的图象解法 1.二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法. 2 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式和 (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象. (3)求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值 模块通关·举一反 三 【模块一】由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【典例1】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】2025年广东省东莞市长安实验中学中考数学二模试卷 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 【变式1-2】若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】2025年甘肃省初中学业水平考试数学仿真预测试卷（一） 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1-3】一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的方程的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】/④② 【难度】0.4 【来源】第四章 一次函数（举一反三讲义）数学北师大版2024八年级上册 【知识点】求一次函数解析式、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据：当时，，当时，，求出；根据解析式可知函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；因为当时，，可知方程的解是；当时，，可知方程的解是． 【详解】解：由表格数据可知：当时，，当时，， 可得：， ，； 故错误； 由可知，一次函数的解析式为， 其中，直线与轴交点坐标是， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故正确； 由表格中的数据可知：当时，， 关于的方程的解是， 故错误； 由表格中的数据可知，当时，， 关于的方程的解是， 故正确． 故答案为：． 【模块二】由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 【典例2】（2025秋•昭平县期中）方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与（　　） A．x轴交点的横坐标 B．y轴交点的横坐标 C．x轴交点的纵坐标 D．y轴交点的纵坐标 【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案． 【解答】解：根据题意知，当x＝﹣2时，y＝0， ∴函数y＝x+2的图象与x轴交点坐标为（﹣2，0）， ∴方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与x轴交点的横坐标， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用了函数与方程的关系：函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解． 【变式2-1】（2025春•献县校级月考）·【中档】若关于x的方程bx+a＝0的解是x＝﹣1，则直线y＝bx+a一定经过点（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识． 【答案】D 【分析】根据方程可知当x＝﹣1时，y＝0，从而可判断直线y＝bx+a经过点（﹣1，0）即可． 【解答】解：∵关于x的方程bx+a＝0的解是x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，bx+a＝0，即当x＝﹣1时，y＝0， ∴直线y＝bx+a一定经过点（﹣1，0）， 故选：D． 【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 【变式2-2】（2025•碧江区 校级模拟）·【中档】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如下表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 0 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．与y轴的交点是（0，﹣3） C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．图象与x轴的交点是 【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】先求出一次函数的解析式，再根据k的符号得出增减，可判断A；再求出与y轴的交点，可判断B；根据当x＝1时，y＝1，可判断C；求出与x轴的交点，可判断D． 【解答】解：一次函数y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得：， 所以一次函数解析式为y＝﹣2x+3， 因为k＝﹣2＜0， 所以y随x的增大而减小，故A选项不符合题意； 由表格可知，当x＝0时，y＝3， 所以与y轴的交点是（0，3），故B选项不符合题意； 因为当x＝1时，y＝1， 所以关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1，故C选项符合题意； 由表格可知，当y＝0时，， 所以图象与x轴的交点是，故D选项不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与一次方程的关系，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 【变式2-3】（2024秋•古田县期中）·【中档】若关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2，则直线y＝2x+b一定经过点（　　） A．（2，0） B．（0，2） C．（1，0） D．（0，1） 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】由方程的解是x＝2可得b＝﹣4，即得y＝2x﹣4，再把各选项x代入计算求出y的值即可判断求解． 【解答】解：由条件可知4+b＝0， ∴b＝﹣4， ∴直线y＝2x﹣4， 当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣4；当x＝1时，y＝﹣2； ∴直线y＝2x+b一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元一次方程解的定义及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【模块三】利用图象法求一元一次方程的解 【典例3】（2024春•同步）利用函数图象求下列方程的解： （1）2x+6＝0； （2）4x+5＝9． 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）作出函数y＝2x+6的图象，方程2x+6＝0的解就是直线与x轴交点的横坐标； （2）作出函数y＝4x﹣4的图象，方程4x+5＝9的解就是直线与x轴交点的横坐标． 【解答】解：（1）如图： 直线y＝2x+6与x轴交点的横坐标是﹣3， 则方程2x+6＝0的解为x＝﹣3； （2）由4x+5＝9得到4x﹣4＝0． 如图， 直线y＝4x﹣4与x轴交点的横坐标是1， 则方程4x+5＝9的解为x＝1． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【变式3-1】如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】福建省漳州市诏安片区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了根据一次函数图象求对应方程的解，理解一次函数中点的关系与方程的解的关系是解题的关键． 根据一次函数经过的点判定方程的解即可求解． 【详解】解：直线经过点，即当时，， ∴方程的解为， 故选：A ． 【变式3-2】如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】福建省福州市第十九中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 【变式3-3】如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】四川省达州市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学测试题 【知识点】求一次函数自变量或函数值、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于的方程的解是 故选：D． 【模块四】由直线与坐标轴交点求不等式的解集 【典例4】已知一次函数    (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． x … 0 1 … … 0 … (2)结合函数图象，方程的解为______． (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)表格见解析，图见解析 (2) (3) 【难度】0.94 【来源】安徽省淮北市2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学练习卷 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，正确地作出函数的图象是解题的关键． （1）分别代入，，求出与之对应的y，x的值，再描点、连线，即可画出函数图象； （2）根据图象与轴的交点即可求解， （3）根据函数图象在上方的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，，解得：． 列表如下： x … 0 1 … … 3 1 0 … 描点： ，， 连线，画出函数图象，如图所示．    （2）观察图象可知：当时，一次函数的图象与x轴相交， 方程的解是， 故答案为：； （3）观察图象可知：当时， 【变式4-1】若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】甘肃省天水市2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据一次函数的性质，结合函数图象，可以写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可得，函数与x轴的交点为， ∴不等式的解集是． 故选D． 【变式4-2】已知直线经过点，且经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】吉林省长春市新解放学校初中部2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质和解不等式，熟练掌握一次函数的性质以及解不等式是解题的关键．先由直线经过点 可得 ，代入不等式化为 ，再根据直线经过第二、三、四象限可知 ，进而求解不等式即可． 【详解】解：∵ 直线 经过点 ， ∴ ，即， ∴ 不等式 化为 ， ∵ 直线经过第二、三、四象限， ∴  ， ∴ 不等式 两边除以 （负数），不等号方向改变， ∴ ，解得． 故选：C． 【变式4-3】在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【难度】0.85 【来源】甘肃省武威市古浪县第六中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是一次函数的图像，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图像直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图像可知， 当时，，故A选项错误，不符合题意； 方程的解是，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式的解集是，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【模块五】根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 【典例5】如图，直线与的交点的横坐标为，两直线与x轴交点的横坐标分别是，，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】学易金卷：八年级数学上学期第三次月考卷（江苏苏州专用，新教材苏科版八上全册：三角形 实数 勾股定理 平面直角坐标系 一次函数） 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形可以求得不等式解集就是直线位于直线上方的部分所对应的x取值范围，即可解答本题． 【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为，两直线与x轴交点的横坐标分别是，， ∴关于x的不等式解集就是直线位于直线上方的部分所对应的x取值范围，即：， 故选：C． 【变式5-1】如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省济南市市中区育秀中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式，根据函数图象以及交点坐标，即可求解． 【详解】解：直线相交于点与轴交于点， 根据函数图象可得当时，自变量的取值范围是 故选：C． 【变式5-2】如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末测试卷 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数交点与不等式的解集问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【来源】浙江省台州市海山教育联盟2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．根据所给函数解析式，得出函数的图象过定点，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 函数的图象过定点， 如图所示， 当时，可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意； 当时，可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以当时，或；故C选项不符合题意； 当时，；D选项符合题意． 故选：D． 【模块六】利用图象法求一元一次不等式组的解集 【典例6】一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】江苏省连云港新海初级中学2025-2026学年八年级上学期数学周测7 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故答案为：． 【变式6-1】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，观察图象直接写出关于x的不等式组的解集________． 【答案】﹣1＜x＜2 【分析】利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案． 【详解】解：根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1＜x＜2， 故答案为：﹣1＜x＜2． 【点睛】此题主要考查了一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 【变式6-2】已知函数与的图像如图所示，观察图像并解决下列问题： (1)x取何值时，？ (2)x取何值时，？ (3)当，求的取值范围； (4)当，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【来源】四川省成都市邛崃市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【知识点】求一次函数自变量或函数值、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】（1）当时，得到，解得，根据函数的性质，得到解即可． （2）当时，得到，解得，根据函数的性质，得到解即可． （3）求，的函数值，根据函数的性质解答即可； （4）求，时的对应自变量的值，根据函数的性质解答即可． 本题考查了函数的性质，求函数值，求自变量的值，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，得到， 解得， ∵中， ∴y随x的增大而增大， ∴时，得． （2）解：当时，得到， 解得， ∵中， ∴y随x的增大而减小， ∴时，得． （3）当时，得到， 当时，得到 ∵中， ∴y随x的增大而增大， ∴时，得． （4）解：当时，得到， 解得， 当时，得到， 解得， ∵中， ∴y随x的增大而减小， ∴时，得． 【变式6-3】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出关于x的不等式组的解集； (3)若点，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.85 【来源】陕西省宝鸡市扶风县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图像找到两函数图像在x轴上方部分对应的x的范围即可； （3）根据图像找到图象在图象上方所对应的x的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）根据图象可以得到关于的不等式组的解集； （3）点， 由图象可知，不等式的解集是． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 【模块七】两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例7】（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 【变式7-1】（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式7-2】已知一次函数与（均为常数）的图象交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】江苏省南京市玄武区外国语学校2025-2026学年八年级上学期期末数学统测试卷 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解． 由题意得到的解为，将看作一个整体可知方程组的解为，即可求出答案． 【详解】解：∵一次函数与（均为常数）的图象交于点， ∴方程组即的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 【变式7-3】已知点，在直线：的图象上，直线和一次函数的图象交于点． (1)求直线的表达式； (2)若点的横坐标是1，则关于，的方程组的解 ； (3)在（2）的条件下，若点关于轴的对称点为，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】江苏省泰州市靖江市滨江学校2025-2026学年八年级上学期周测 数学试题（2025.12.10） 【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】（1）将点，代入得，计算求解，然后作答即可； （2）将代入得，，则，根据二元一次方程组的解是直线交点的坐标，进行作答即可； （3）如图，由轴对称的性质可知，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， 解得， ∴直线l的表达式为； （2）解：将代入得，， ∴， 由题意知，关于 ， 的方程组的解为； 故答案为：． （3）解：如图，点关于轴的对称点为， 则， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形是解题的关键． 【模块八】利用图象法求二元一次方程组的解 【典例8】利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【难度】0.65 【来源】第1课时 一次函数与二元一次方程（组） 八年级数学上册（沪科2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 【变式8-1】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、图象法解二元一次方程组 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式8-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2024年山东省临沂初中学业水平考试模拟试题（五） 【知识点】判断一次函数的增减性、图象法解二元一次方程组、一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 【变式8-3】数形结合是数学的一个重要的思想方法，我们常用数形结合的方法探究学习新知识．在《二元一次方程》的学习过程中．欣欣发现二元一次方程有无数个解，也就是有无数多对数值满足这个二元一次方程，于是她借助平面直角坐标系开展了如下探究： 步骤1：计算并填写表格，使上下每对的值都是方程的解． …. -2 -1 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 2 1 0 -1 … 步骤2：如图，在平面直角坐标系中，将以上表格中各对数值作为点的坐标．例如：即点坐标（-2，5）．在平面直角坐标系中依次描出所对应的点． 步骤3：按照的取值从小到大的顺序，将这些点连起来．发现是一条直线，同时还发现在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的一个解，如直线上一个点（2.5，0.5）则也是方程的一个解． 欣欣通过查阅资料发现如下定义：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．据此她所画的这条直线叫做二元一次方程的图象．请根据以上信息解答下列问题： (1)在同一个平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象，并根据所画的图象得出方程组的解为___________． (2)若平面直角坐标系里的两条直线分别是二元一次方程和二元一次方程的图象，为这两条直线的交点，求点坐标． (3)如果二元一次方程的图象与二元一次方程的图象没有交点，请直接写出常数的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】山西省大同市第三中学校2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题 【知识点】二元一次方程的解、两直线的交点与二元一次方程组的解、画一次函数图象、坐标与图形综合 【分析】（1）用描点法画出方程的图象，根据图象的交点坐标，得到方程组的解即可． （2）解方程组，求得方程组的解，x的值为交点的横坐标，y的值为交点纵坐标，解答即可． （3）根据二元一次方程的图象与二元一次方程的图象没有交点，得到两直线平行，由得；得，得到，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 画图象如下： 根据题意，得图象的交点为， 故方程组的解为， 故答案为：． （2）解：根据题意，得方程组， 解方程组，得． 故． （3）解：根据二元一次方程的图象与二元一次方程的图象没有交点，得到两直线平行， 由得；得， 得到， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了描点法画图象，图象的交点坐标与方程组的解的关系，直线平行的条件，坐标系中写点的坐标，熟练掌握关系是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】直线围成的图形面积 【典例9】在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【来源】山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2025-2026学年八年级上学期数学周测（12）（第五章 二元一次方程组 检测题） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，令，分别算出和对应的x的值，即可得出； （2）理解题意，得出，故，然后把代入，得，即可作答． （3）理解题意，得出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：和与x轴交点分别为A、B， ∴令，则 解得， 故 令，则 解得， 故； （2）解：∵和它们的交点为P， ∴， 解得， 把代入，得， ∴； （3）解：由（1）得， 由（2）得， ∴， ∴． 【变式9-1】如图， 直线 与x轴相交于点，直线 经过点， 与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求直线，直线与轴围成的三角形面积； (3)根据图象，直接写出 的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】江苏省泰州市靖江外国语学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求直线围成的图形面积、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，一次函数交点问题，根据两条直线交点求不等式解集，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）分别求出直线，直线与轴的交点，再求出两直线的交点坐标，利用三角形面积公式求解即可． （3）根据图像解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： ， 解得：， ∴； （2）解：设与轴的交点为，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， 联立和可得：， 解得：， 把代入可得：， ∴， ∴， ∴直线，直线与轴围成的三角形面积为：； （3）∵，，， ∴由图可得：． 【变式9-2】已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； (2)求△PCD的面积； (3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、图象法解二元一次方程组、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）根据图象交点坐标可得方程组的解； （2）先求出两个解析式，再求出C，D的坐标，即可求出面积； （3）根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2）， ∴方程组的解为； （2）∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2）， ∴， 解得， ∴y1＝﹣4x+6，y2＝﹣x+3， 当y＝0时，0＝﹣4x＋6，解得x＝， 当y＝0时，0＝﹣x+3，解得x＝3， ∴C（，0），D（3，0）， ∴CD， ∴S△PCD． 即△PCD的面积为； （3）根据图象可知当在P点左边时y1＞y2， ∴y1＞y2时x的取值范围为x＜1． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与二元一次方程组的解和不等式的解集的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与方程和不等式的关系，掌握方程的解与图象交点的关系． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数与正比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，的取值范围； (3)是轴上一点，若的面积为8，请求出点的坐标． 【答案】(1)一次函数关系式为，正比例函数关系式为； (2)当时，； (3)或． 【难度】0.65 【来源】江西省吉安市第八中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求直线围成的图形面积、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数图像的性质． （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）根据函数图像，写出在上方时，的取值范围； （3）设，求出，，结合题意得到，由此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，代入得：， 解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； （2）解：根据函数图像可得，当时，； （3）解：设， ，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 【微专题二】 一次函数与不等式组中的区域问题 【典例10】要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 _____． 【答案】 【分析】根据题意确定x，y满足题设条件的区域，找到临界点A、B，即可求解． 【详解】解：由题意得，下图阴影部分（所在的区域）为x，y满足题设条件的区域， 联立， 解得：，即点， 对于，令，则，故点， 由得：， 则为直线与y轴交点的纵坐标， 如图，当直线：过点A时，此时最小，即M最大， 将点A坐标代入上式得：，解得：， 同理当直线：过点B时，此时最大，即M最小， 即，解得：， 故． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质和图象，涉及到不等式等知识点，弄懂题意是解题的关键，题目综合性强，难度很大． 【变式10-1】我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx＋b与y＝mx＋n分别交x轴于点A（－0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx＋b）（mx＋n）＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．－0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜－0.5或x＞2 【答案】B 【分析】由若不等式，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集． 【详解】解：若，则有或， 若不等式，则有或． 当时， 由图象可知的解集是x＜－0.5，的解集是x＜2， ∴不等式组无解， 当时， 由图象知的解集是x＞－0.5，的解集是x＜2， ∴不等式组的解集是－0.5＜x＜2， 综上所述：． 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键． 【变式10-2】（2025顺义区模拟）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出图象，结合题意分析即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 内部（不包括边上）的整点满足、均为正整数，， 当时，只有一个整点，整点不足个，不符题意； 当时，整点有、、，共个，符合题意； 当时，有多个整点，不符合题意； 故选：D． 【变式10-3】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，轴上有一点，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点， ， 如图1， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得，直线的解析式为， ∵轴， ∴的横坐标为， ∵直线与线段有交点， ∴， 解得：； （3）的取值范围是或．理由如下： 由， 经过定点， 分两种情况讨论： 当时，如图2， 直线围成的封闭图形不包括边界有个整点， 当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 当时，如图3， ∴当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 压轴探究·素养提升 【压轴一】一次函数中的新定义问题 【典例11】定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”．如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点B，A． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式：_____；若点在的函数图象上，则的值是_____． (2)若一次函数图象上的一点也是它的“逆反函数”图象上的点． ①求点的坐标． ②求的面积． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；② 【难度】0.85 【来源】河南省商丘市虞城县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查的是一次函数性质及两直线交点问题， （1）根据新定义得出的解析式，进而求出的值； （2）①联立表达式求出两直线交点；②先求出点B坐标，进而求出面积． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式：； 把点代入， ， ， 故答案为：，． （2）解：①由题意，可得是两个函数的交点，即， 解得， ， 点的坐标为． ②由两个函数解析式，可知点C的坐标， 函数，当时， ， ， 的面积． 【变式11-1】定义：一次函数和（其中k、b为常数，，）互为“友好函数”，比如和互为“友好函数”． (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.85 【来源】江西省吉安市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题； （1）根据“友好函数”的定义，可找出的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值； （2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：的“友好函数”是， 点在一次函数的图象上， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：的“友好函数”是， 联立， 解得：， ∴． 【变式11-2】当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”． (1)点在的“友好函数”的图象上，求的值； (2)若点既是一次函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【难度】0.65 【来源】江西省抚州市六校联2025-2026学年上学期八年级 盟质量检测数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式： （1）把代入，即可求解； （2）根据题意，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，的“友好函数”为， 将点代入中，得， 解得. （2）因为的“友好函数”为， 将点分别代入和中， 得， 解得， 所以点的坐标为. 【变式11-3】我们定义：把一次函数（）与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）的“亮点”，例如求一次函数的“亮点”，联立，得方程组，解得，则一次函数的“亮点”为． (1)求一次函数的“亮点”； (2)若一次函数（）的“亮点”为，求k，b的值． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【来源】陕西省咸阳市彬州市2025-2026学年上学期 八年级数学第二阶段练习 试卷 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与正比例函数交点问题，准确计算是解题的关键． （1）通过联立一次函数和，解方程组求交点； （2）利用 “亮点”在上和在一次函数上建立方程求解； 【详解】（1）联立方程组， ， 解得：， ， 亮点为； （2）亮点在上， ， 亮点在上， ， 由得：， ， 将代入中得：， ， ，． 【压轴二】绝对值函数与方程、不等式之间的关系 【典例12】小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题，下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时，______． 当时，______． (2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质． (3)直接写出关于x的方程（k为常数，）解的个数及对应k的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析；性质1：当时，y随x的增大而减小；性质2：函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3)当或时，关于x的方程（k为常数，）没有解；当或或时，关于x的方程（k为常数，）有1个解；当时，关于x的方程（k为常数，）有2个解． 【难度】0.65 【来源】江苏省南京一中明发滨江分校2025-2026学年上学期八年级 12月月考数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，写出对应范围内的函数关系式即可； （2）根据题意，画出图象，再结合图象写出两条性质即可； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 当时，； 当时，． 故答案为：，； （2）解：函数图象如图所示， 性质1：当时，y随x的增大而减小； 性质2：函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由题知， 函数过定点． 将代入得，， 解得， 所以当时，关于x的方程（k为常数，）有1个解； 当时，关于x的方程（k为常数，）没有解； 当时，关于x的方程（k为常数，）有2个解； 当时，关于x的方程（k为常数，）有1个解； 当时，关于x的方程（k为常数，）没有解； 当时，关于x的方程（k为常数，）有1个解， 综上所述，当或时，关于x的方程（k为常数，）没有解；当或或时，关于x的方程（k为常数，）有1个解；当时，关于x的方程（k为常数，）有2个解． 【变式12-1】小亮根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小亮的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时，______； 当时，______； (2)在平面直角坐标系中画出的图象（无需列表），并根据图像回答：该函数有______（填“最大值或最小值”），这个值为______． (3)直接写出关于x的方程（k为常数且）的解的个数及对应k的取值范围． 【答案】(1)， (2)画图见解析，最大值，； (3)当或时，关于的方程（为常数且）有1个解，当时，关于的方程（为常数且）有2个解，当时，关于的方程（为常数且）无解. 【难度】0.65 【来源】江苏省扬州市梅岭中学2024-2025学年上学期八年级 数学第三次月考试卷 【知识点】从函数的图象获取信息、画一次函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，一次函数的性质，利用图象法求解一次方程的解. （1）根据绝对值的性质化简即可. （2）根据一次函数的解析式，利用描点法画图即可；①根据图象可得函数最大值；②根据函数图象可得增减性. （3）根据（为常数且）过定点，再利用图象法求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，. （2）解：的图象如图所示： 该函数有最大值，这个值为； （3）解：∵（为常数且）过定点， 当直线与直线平行时，如图， 此时，关于的方程（为常数且）有1个解， 如图，当时， 此时关于的方程（为常数且）有1个解， 如图，当直线过时， ∴， 解得：， 此时关于的方程（为常数且）有1个解， 当时，如图， 此时关于的方程（为常数且）有2个解， 当时，如图， 此时关于的方程（为常数且）无解， 综上：当或时，关于的方程（为常数且）有1个解; 当时，关于的方程（为常数且）有2个解; 当时，关于的方程（为常数且）无解. 【变式12-2】下面对函数和进行研究，完成下列探索过程： (1)补充列表： x … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 0 ______ ______ 2 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)在平面直角坐标系中描点，画出函数、的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为_____； ②当时，x的取值为_____． 【答案】(1)，0 (2)见解析 (3)①-2；②1或 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键． （1）分别把、3代入函数解析式，求出y的对应值即可； （2）根据表格中x、y对应值，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象可直接得出结论； ②根据两函数的图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 补充列表： x … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 0 0 2　 4 … … 0 1 2 3 4 … 故答案为：，0； （2）函数图象如图所示； （3）①由函数图象可知，函数的最小值为 故答案为：； ②由函数图象可知，当时，或 故答案为：1或． 【变式12-3】小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x …           0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 m 5 … (1)补全表格： ； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时， ；当时， ， ②下列说法正确的个数是（  ） （i）变量x是变量y的函数；（ii）每增加，就减小 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2 C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若一次函数的图象与的图象有两个交点，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，或；②B (4)且 【难度】0.4 【来源】江苏省泰州市民兴中英文学校2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）在中，当时，代入即可得到答案． （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可． （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可． （4）先确定直线恒过点，根据一次函数的图象与的图象有两个交点, 画出图象进行求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，则， 故． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：根据（2）中图象可得：①当时，； 当时，则，解得：或， 故答案为：，或； ②（i）变量不是变量的函数，原说法错误； （ii）当时，每增加，就增加，原说法错误； （iii）图象经过第一、二象限，正确； （iv）当时，有最小值，正确； 故选：B． （4）解：直线恒过点， ∵一次函数的图象与的图象有两个交点， 当平行于中一支时，或， 由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点， 因为是一次函数，所以， 故答案为：且． 【压轴三】一次函数与面积关系存在性问题 【典例13】如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为 　 ； (3)求的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【难度】0.65 【来源】冀教版八年级数学下册 期末综合测试卷 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、图象法解二元一次方程组 【分析】（1）由两直线的交点C的坐标，可得方程组的解； （2）通过函数图象即可得出x的取值范围； （3）先求出点A和点B的坐标，即可得到的面积； （4）令，根据与的面积相等，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：方程组的解为：； 故答案为：； （2）如图所示：当与同时成立时， x取何值范围是：； 故答案为：； （3）∵令，则，， ∴，． ∴． ∴； （4）令，则， ∴． ∵点P异于点C， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，题目较为基础，注意数形结合思想的应用． 【变式13-1】在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线与轴、轴分别交于点，． （1）直线一定经过的点的坐标为 ； （2）若直线将的面积分为两部分，则的值为 ． 【答案】 或－ 【难度】0.4 【来源】安徽省六安市裕安区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）通过重新整理直线方程，提取参数a，发现当时y恒为3，然后问题可求解； （2）先求的面积，再根据直线与坐标轴的交点位置分两种情况讨论，利用三角形面积公式列出方程求解a的值． 【详解】解：（1）直线方程可化为， 当时，，与a的取值无关， ∴该函数一定经过点； 故答案为； （2）令时，则有，解得：， ∴， 令时，则有，即， ∴， ∴的面积为， 当时，， ∴直线与直线交于点， 情况一：直线与x轴交于点A在线段上，如图所示： 当时，则有，即；当时，则有，即； ∴当直线与x轴交于点A在线段上时，则a的取值范围为或， 令时，则有，解得：， ∴点A坐标为，即， ∴， ∴， ∵直线将的面积分为两部分， ∴或， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 情况二：直线与y轴交于点B在线段上，如图所示： 同理可得此时， 由可知：与y轴的交点B坐标为， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上，a的值为或－． 【变式13-2】如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【难度】0.4 【来源】天津市西青区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 【变式13-3】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【难度】0.85 【来源】甘肃省兰州十一中新区分校2024—2025学年上学期 阶段性检测 八年级 数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等． （1）对于，令，即，解得，令，则，即可求解； （2）由点A、B的坐标得，，再根据求解即可； （3）设点P的坐标为，则，根据的面积为面积的2倍，列方程得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：令，即， 解得， 令，则， 故点A、B的坐标分别为、； （2）解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 即的面积为6； （3）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积为面积的2倍， ∴，即， 解得， 点P的坐标为或． 【压轴四】一次函数中等腰三角形存在性问题 【典例14】如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B________，C________，D________； (2)求； (3)若点P是x轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【难度】0.65 【来源】四川省成都市武侯区西川实验学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求直线围成的图形面积、等腰三角形的性质和判定、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了点平移时的坐标规律，待定系数法求直线解析式，求三角形的面积，根据等腰三角形的判定定理和性质求点的坐标，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据平移得出，然后利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式求出直线与坐标轴的交点坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）由勾股定理求出长度，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B， ， 设AB：， ， ， ， 当时，； 当时，； ，， 故答案为：，，； （2）解：如图所示，连接， ； （3）解：如图所示， ，， ∴由勾股定理得，， ①当时， 过点B作轴， ， ； ②当时， ， 或； 综上所述：P点的坐标为或或． 【变式14-1】如图，直线和直线相交于点分别为两条直线与轴的交点． (1)的解为__________； (2)当时，的取值范围为_________； (3)求点坐标； (4)在轴上存在一点，当是等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）方程组的解就是两条直线的交点坐标； （2）利用函数图象，写出直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可； （3）将点A的坐标代入y2=-3x+b，即可求得b的值，从而求得C的坐标； （4）设P（x，0），分AB为等腰三角形的腰和底边两种情况讨论求解即可． （1） ∵直线y1=kx-2和直线y2=-3x+b相交于点A（2，-1）， ∴的解为 ； 故答案为：； （2） 当x＞2时，y1＞y2， 所以不等式y1＞y2的解集为x＞2； 故答案为：x＞2； （3） 把 点A（2，-1）代入y2=-3x+b中，得-1=-6+b， 解得b=5， ∴y2=-3x+5， 当x=0时，y2=5， 则C（0，5）． （4） 设P（x，0） ①当AB为等腰三角形ABP的腰时，即， 则有， 整理得，， 解得，， ∴点P的坐标为； ②当AB为等腰三角形ABP的底边时，即， 则有， 整理得，， 解得， ∴点P的坐标为（1，0），（-1，0） 综上，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查的是一次函数与方程组的关系，一次函数与不等式的关系，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． 【变式14-2】如图，直线与直线在同一平面直角坐标系内交于点． (1)写出不等式的解集：__________； (2)求直线的表达式． (3)设直线与轴交于点，求的面积． (4)在轴上有一点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)M点坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0） 【分析】（1）根据图象找出直线在直线上方的图象对应的x的值的范围即可求出； （2）待定系数法求解析式即可； （3）先求出A点坐标，再求△AOP的面积即可； （4）设M（m，0），表示出MP2＝（m﹣1）2+22，MA2＝（m﹣3）2，AP2＝（3﹣1）2+22，当△MPA为等腰三角形，分三种情况：①MP＝MA，②PM＝PA，③AM＝AP，分别列方程，求解即可． (1) 根据图象可知，不等式2x＞kx+3的解集是：x＞1， 故答案为：x＞1； (2) 将x＝1代入y＝2x， 得y＝2， ∴P（1，2）， 将点P坐标代入y＝kx+3， 的k+3＝2， 解得k＝﹣1， ∴直线l2的表达式：y＝﹣x+3； (3) 当时，﹣x+3＝0， ∴x＝3， ∴A（3，0）， ∴OA＝3， ∴S△AOP＝＝3； (4) 设M（m，0）， ∵A（3，0），P（1，2）， ∴MP2＝（m﹣1）2+22，MA2＝（m﹣3）2，AP2＝（3﹣1）2+22， △MPA为等腰三角形，分三种情况： ①MP＝MA时， 即（m﹣1）2+22＝（m﹣3）2， 解得m＝1， ∴M（1，0）； ②PM＝PA， 即（m﹣1）2+22＝（3﹣1）2+22， 解得m＝3或m＝﹣1， ∴M（﹣1，0）； ③AM＝AP， （m﹣3）2＝（3﹣1）2+22， 解得m＝或m＝， ∴M（，0）或（，0）； 综上，M点坐标为：（1，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及待定系数法求解析式，求三角形面积，等腰三角形的性质等，本题综合性较强． 【变式14-3】如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)点E的坐标为或 (3)点F的坐标为或或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、已知两点坐标求两点距离 【分析】(1)把点代入，即可求得，把点代入，即可求得，联立两函数解析式得，，解此方程组，即可求得点P的坐标； (2)分两种情况，即当或时，根据点P的坐标及勾股定理，即可分别求得； (3)分两种情况，即当或时，根据勾股定理及两点间距离公式，即可分别求得． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ，则， ∴， ∵直线交x轴于点， ，则， ， 解方程组， 得， ∴； （2）解：如图，当时， 当时，， 设点， 如图，直线为与x轴交于点A， ， 则， 由（1）知，， ， 解得， 综上，以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，点E的坐标为或； （3）解：如图： 设 ， ∴ 由题意知 当时，即，即 ， ∴或， 当时，即， 过点P作轴于H点，则 在中， ∴或 ∴或 所以综上：当以A、P、F为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，勾股定理及两点间距离公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【压轴五】一次函数中的动点问题 【典例15】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围； (3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长． 【来源】专题5.31 一次函数中的动点问题专题（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版） 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式； （2）根据函数图像，结合B点的坐标即可求得x的取值范围； （3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长． 【详解】（1）解：当x＝3时，y＝x+2＝4， ∴B点坐标为（3，4）． 直线y1＝kx+b经过A（5，0）和B（3，4）， 则， 解得：， ∴一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式为y1＝﹣2x+10； （2）解：由图像以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2； （3）解：设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2）， ∴CE＝m+2，CD＝2m﹣10， ∵CE＝3CD， ∴m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6． ∴D（6，﹣2），E（6，6）， ∴DE＝8． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键． 【变式15-1】如图，，，．点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点的直线也随之平行移动，设移动时间为秒，当，位于直线的异侧时，应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出两个临界位置：①直线经过点，②直线经过点，再分别求出此时t的值，由此即可得出答案． 【详解】由题意，有以下两个临界位置： ①直线经过点， 将代入直线的解析式得：，解得， 则此时直线的解析式为， 当时，，即直线与y轴的交点为， 因为点A的坐标为， 所以此时动点P移动时间为（秒）； ②直线经过点， 将代入直线的解析式得：，解得， 则此时直线的解析式为， 当时，，即直线与y轴的交点为， 则此时动点P移动时间为（秒）； 因此，当点，分别位于直线的异侧时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，依据题意，正确找出两个临界位置是解题关键． 【变式15-2】如图，在四边形中，，过点作于点，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； (3)或 【难度】0.65 【来源】重庆市铜梁实验中学校2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、三角形面积的计算等： （1）当点F在上运动时，由即可求解；当点F在上运动时，根据等积关系先求出，再同理可解； （2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解； （3）联立求出交点坐标，然后观察函数图象即可求解； 【详解】（1）解：①当时，如图， ∵ ∴ ∴； ②当时，如图 过点E作于点G， ∵ ∴ 又 ∴ 又 ∴， 综上，； （2）解：对于函数，取描点，连线可得； 对于函数，取描点，连线可得； 如图： 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）解：联立， 解得，； 联立， 解得， 所以，当或时，， 即不等式的解集为或． 【变式15-3】如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【难度】0.65 【来源】重庆市第一中学校2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、画一次函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质； （1）根据三角形的面积以及点的位置，分类讨论，列出函数表达式即可求解； （2）根据列表、描点、连线的方法画出函数图象，结合函数图象写出一条性质，即可求解； （3）先求得当一次函数分别经过三个特殊点时的的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， 当时， 当时，如图， ，， ∴ ∴ （2）解：列表 描点连线，如图所示， 性质，当时，取得最大值；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3）当过点时， 解得：； 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得： 结合函数图象可得，当与函数的图象有且仅有1个交点时，或． 通关检测·实战演练 1.已知关于的方程组的解是，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入方程得到，再根据一次函数与方程的关系即可解答． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， ∴， ∵方程组是由和组成， ∴关于的方程组的解是， ∴直线与直线的交点坐标， 故选． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，熟记两条直线的交点即为二元一次方程组的解是解题的关键． 2在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象，结合一次函数的增减性，判断①即可；根据函数图象，结合一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，判断②即可；根据根据函数图象，结合一次函数图象与轴的交点坐标与方程的解的关系，判断③即可；根据一次函数图象与轴交点坐标，判断④即可，综合即可得出答案． 【详解】解：∵由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， ∴的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为， ∴方程组的解为，故②正确； ∵由函数图象可知，直线与轴的交点坐标为， ∴方程的解为，故③正确； ∵由函数图象可知，直线过点， ∴当时，，故④错误； 综上可得：正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与二元一次方程的关系、一次函数与坐标轴的交点问题，解本题的关键是综合应用一次函数的图象与性质解答． .3..如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax+b＞0的解集是 　 　； (2)关于x的不等式mx+n＜1的解集是　 　； (3)当x　 　，y1≤y2； (4)当x　 　，0＜y2＜y1． 【来源】广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校八年级下学期第一次段考数学试卷 【答案】(1)x＜4 (2)x＜0 (3)x≤2 (4)2＜x＜4 【分析】（1）利用直线y=ax+b与x轴的交点为（4，0），然后利用函数图象可得到不等式kx+b＞0的解集． （2）利用直线y=mx+n与x轴的交点为（0，1），然后利用函数图象可得到不等式mx+n＜1的解集． （3）结合两条直线的交点坐标为（2，1.8）来求得y1≤y2解集． （4）结合函数图象直接写出答案． 【详解】（1）∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0）， ∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0的解集是x＜4； 故答案是：x＜4； （2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1）， ∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0； 故答案是：x＜0； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，1.8），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，所以当x≤2时，y1≤y2； 故答案为：x≤2； （4）根据图象可得，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1． 故答案为：2＜x＜4． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 4.如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】满足关于x的不等式，就是直线位于直线y＝kx＋b的下方且位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围，然后求出其整数解即可． 【详解】解：∵直线， ∴直线与x轴的交点坐标为（3，0）， 又∵直线与的交点的坐标为， ∴不等式的解集为：， ∴整数解为x＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键． 5.在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．善于学习的小明在学习了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程的关系： （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点的横坐标是方程①的解； （3）点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数的函数值大于时，自变量的取值范围是不等式③的解集； （2）函数的函数值小于时，自变量的取值范围时不等式④的解集． (1)请根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论： ①______；②______；③______；④______． (2)若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为______； 不等式的解集为______； 不等式的解集为______； 不等式组的解集为______． 【来源】山东省威海市文登区七年级下学期7月月考数学试题 【答案】(1)；；； (2)；；； 【分析】（1）①写出对应的一元一次方程；②两个函数的解析式组成的方程组的解中，的值作为横坐标，的值作为纵坐标．③④可以写出两个对应的不等式． （2）根据函数与方程，函数与不等式组的关系，结合图象即可得出结论． 【详解】（1）①； ②； ③； ④； 故答案为：；；；； （2）若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为； 不等式的解集为； 不等式的解集为； 不等式组的解集为． 故答案为：；；；． 【点睛】本题要求利用图象求解各问题，根据图象观察，得出结论．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解题的关键． 6.数学中，定义符号表示两个数中的最大值，如，，现有函数，请回答如下问题： (1)①当时，函数的函数值________； ②当时，函数的函数值________； ③当时，函数的函数值________； (2)求函数的解析式． (3)在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点,点的坐标为（1，0），函数（为常数，且）与函数相交于不同两点B（0，1）、，分别记△，△的面积为、，且有，求k的值． 【答案】(1)①2；②0；③4； (2) (3)k= 【分析】（1）定义符号的意义即可得到结论； （2）分两种情况：当-x+1≥2x-2时， max{-x+l， 2x-2}=-x+1 ；当-x+1<2x-2时max{-x+l， 2x-2}=2x-2 ； （3）根据题意点C在射线y=2x-2 (x>1)上，与y=kx+ 1联立成方程组，解方程组求得点C的坐标为： (， )，，然后根据三角形面积公式得到 ，，由，得到关于k的方程，解方程即可． （1）解：①∵当x=−1时，，，∴函数值y=2，故答案为：2；②∵当x=1时，，，∴函数值y=0，故答案为：0；③∵当x=3时，，，∴函数值y=4，故答案为：4； （2）解：函数y=max{-x+l， 2x- 2}的解析式为： （3）解：∵函数y=kx+1 ( k为常数，且0<k<2)与函数y=max{-x+1， 2x-2}相交于不同两点B (0， 1)、C，点B在射线y=-x+1 (x≤1)上，∴点C在射线y=2x-2 (x>1 )上，联立，得 ，解得 ，∴点C的坐标为： (， )， ，，∵，∴，解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积，明确定义符号的意义是解题的关键． 7.斌斌同学根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．下面是斌斌的探究过程，请解决相关问题． (1)列表、描点、画出图像． ①把下表补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②如图，描出以表中各对对应值为坐标的剩余的两个点，并画出该函数的图像． (2)观察的图像，下列说法正确的是___________（填序号，可多选）． ①若点在图像上，则； ②函数有最大值，最大值是5； ③函数的图像是轴对称图形，对称轴是y轴； ④y随x的增大而增大． (3)画出一次函数的图像，并利用图像法直接写出不等式的解集． 【来源】山东省德州市平原县八年级下学期期末数学试题 【答案】(1)①－1，1；②见解析； (2)②③； (3)x≤－3或x≥1． 【分析】（1）①分别将x＝－3，x＝2代入解析式求出对应的y即可； ②根据所求结果，描点、连线即可； （2）根据函数图像进行判断即可； （3）利用两点法画出函数图像，根据函数图像判断出交点坐标，进而得出不等式的解集． （1）解：①当x＝－3时，，当x＝2时，，故答案为：－1，1；②描点、连线，函数的图像如图所示 ： （2）由函数图像可知：①若点在图像上，则对应的m值有两个，通过计算可得，原说法错误；②函数有最大值，最大值是5，正确；③函数的图像是轴对称图形，对称轴是y轴，正确；④当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，原说法错误；故答案为：②③； （3）在中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2；∴一次函数的图像过点（0，2），（－2，0），函数图像如图，由函数图像可得，一次函数的图像与函数的图像交于点（－3，－1），（1，3），∴不等式的解集为：x≤－3或x≥1 ． 【点睛】本题考查了求函数值，画函数图像，函数的图像和性质，根据函数图像交点求不等式解集等知识，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 8.如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． (1)求出m、n的值； (2)直接写出不等式–x+m ＞–2x+3； (3)求出ABP的面积． 【来源】专题2.13 一元一次不等式和一元一次不等式组（全章复习与巩固）（知识讲解）八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版） 【答案】(1)n=，m=- (2)x＞ (3) 【分析】（1）将点P（n，-2）代入y=–2x+3求得的坐标，进而代入y=–x+m即可求解； （2）根据函数图象与交点的横坐标即可求解； （3）分别求得y=-2x+3，y=-x-与轴的交点，得到A，B的坐标，进而得出AB的值，根据面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵y=-2x+3过P（n，-2） ∴-2=-2n+3， 解得：n=， ∴P() ， ∵y=-x+m的图像过P() ， ∴-2=-×+m， 解得：m=-， （2） P()，根据函数图象可得， 不等式-x+m＞-2x+3的解集为x＞； （3）∵当y=-2x+3中，x=0时，y=3 ∴A(0，3) ∵y=-x-中，x=0时，y=-， ∴B(0， -)．       ∴AB=3， ∴△ABP的面积：AB×=××= 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式的解集，求两直线围成的三角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键． 9在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像由函数y＝x的图像向下平移1个单位长度得到． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当x≥-2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值总是大于一次函数y＝kx＋b的值，则m的取值范围是 ． (3)设一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，则在y轴上是否存在一点P，使得∠ABO＝2∠BPA，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【来源】第11讲 用一次函数解决问题及一次函数与方程（6大考点）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版） 【答案】(1)yx﹣1 (2)m＜1 (3)存在，点P的坐标为：（0，1）或（0，1） 【分析】（1）根据平移的规律即可求得； （2）由题意可得当x≥﹣2时，y＝mx的图象在yx﹣1的图象的上方，即可求解； （3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：函数yx的图象向下平移1个单位长度得到yx﹣1， ∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数yx的图象向下平移1个单位长度得到， ∴这个一次函数的表达式为yx﹣1； （2）当m时，函数y＝mx（m≠0）的值总是大于一次函数y＝kx+b的值， 当m时，把x＝﹣2代入yx﹣1，求得y＝﹣2， ∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数yx﹣1的交点为（﹣2，﹣2）， ∴﹣2＝﹣2m， ∴m＝1， ∵当x≥﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值总是大于一次函数y＝kx+b的值， ∴当x≥﹣2时，y＝mx的图象在yx﹣1的图象的上方， ∴m＜1， 综上所述：m＜1； 故答案为：m＜1； （3）存在，理由如下： 如图， ∵一次函数yx﹣1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴点A（2，0），点B（0，﹣1）， ∴AO＝2，OB＝1， ∴AB， 当点P在点B下方时， ∵∠ABO＝2∠BPA，∠ABO＝∠ABP+∠BAP， ∴∠BAP＝∠APB， ∴AB＝BP， ∴PO1， ∴点P（0，1）， 当点P'在点B上方时， ∵∠APB＝∠AP'B， ∴AP＝AP'， 又∵AO⊥y轴， ∴OP＝OP'1， ∴点P（0，1）， 综上所述：点P的坐标为：（0，1）或（0，1）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10.【活动回顾】： 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．       【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． 【拓展延伸】： (3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． ③若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；； (3)①，；②；③存在，点坐标为或，或，或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；②通过观察图象求解即可；③分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， 随值的增大而减小， 当时，， 当时，， 不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， 的解为两直线交点的横坐标， 方程的解为， 由图象可得，当时，， 不等式的解是， 故答案为：，，； （3）解：①联立方程组， 解得， ， 当时，， ， ； ②由的图象可知，当时，， 当时，， 方程组的解集为， 故答案为：； ③存在点，使得为等腰三角形，理由如下： 令，则， ， ， ，，， ①当时，， 解得（舍或， ； ②当时，， 或， ，或，； ③当时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为或，或，或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $