命题大赛 广东2025-2026学年高一数学下学期4月月考试题

**基本信息** 原创题与文化情境融合，覆盖复数、解三角形、向量等高一核心知识，通过基础题（如第2题复数虚部）、能力题（如第16题解三角形面积最值）、创新题（如第19题函数与向量新定义）梯度设计，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算（第2题）、解三角形形状判断（第3题）|赵爽弦图文化素材（第7题）| |多选题|3/18|向量共线判定（第10题D项）、三角函数性质（第11题）|多选项分层考查逻辑推理| |填空题|3/15|向量垂直求参数（第13题）、解三角形动态问题（第14题）|分空设计区分基础与综合能力| |解答题|5/77|向量坐标运算（第15题）、三角函数周期与值域（第18题）|新定义“相伴特征向量”（第19题）体现创新应用|

2025-2026学年第二学期4月份月考 高一级 数学科 1、 单选题;本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （原创）1. 化简：等于（ ） 2．若复数满足，则的虚部为（   ）. A．1 B．i C． D． 3．设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ）. A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（    ）. A．18 B． C． D． 5．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则（     ）. A． B． C． D． 6．已知向量，且，则（ ）. A． B． C． D． 7．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 8．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ）. A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（ ）. A．. B．=1. C．=1 . D．已知复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于第四象限. 10．下列说法中正确的是（    ）. A．在中，，则. B．已知，则. C．已知与的夹角为钝角，则的取值范围是. D．若，则三点共线. 11．已知函数，且相邻对称轴之间的距离为．现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ）. A．函数相邻的对称轴之间的距离为 . B．函数是奇函数. C．函数在区间上单调递增 D．. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题，第一空2分，第二空3分. （原创）12. . 13．设向量，，若，则____. 14．如图，在中，是边上一点，为钝角，.若，则__________；若，则的面积等于__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15(13分）．已知向量，，，且，. (1)求向量，的坐标； (2)若，. （i）求与的夹角； （ii）求向量在向量方向上的投影向量的坐标. （原创）16（15分）.在中，内角所对的边分别为，设. （1） 求角； （2） 若是的中线，且，求面积的最大值； （3）若，求的取值范围. 17(15分）．如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． (1)用，表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 18(17分）．已知函数，向量，． (1)求函数的最小正周期及其单调递减区间； (2)当，求函数的值域． (3)在中，若，求的最大值． 19(17分）．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与反向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型 题号 分值 知识模块 知识模块 能力要求 难度预估 单选题 1 5 平面向量 向量的加法运算 运算求解 易 单选题 2 5 复数 复数的运算与虚部 理解辨析 易 单选题 3 5 解三角形 正弦定理、三角形形状判断 逻辑推理 中 单选题 4 5 平面向量 向量数量积、模长计算 运算求解 中 单选题 5 5 平面向量 向量线性表示、中点公式 图形分析、运算 中 单选题 6 5 平面向量 向量平行条件、数量积 综合运算 中 单选题 7 5 三角函数 三角恒等式、实际应用（赵爽弦图） 建模与运算 中 单选题 8 5 解三角形 最大角判断、余弦定理、向量运算 综合推理 难 多选题 9 6 复数、三角 复数运算、三角恒等式、复平面 判断辨析 中 多选题 10 6 解三角形、向量 正弦定理、向量夹角、三点共线 综合判断 中 多选题 11 6 三角函数 图象变换、对称轴、奇偶性、单调性 图象分析 难 填空题 12 5 三角恒等变换 和差化积、化简求值 运算求解 中 填空题 13 5 向量 向量垂直条件、模长计算 运算求解 中 填空题 14 5 解三角形 钝角三角形、边角关系、面积计算 综合推理 难 解答题 15 13 向量 向量坐标表示、数量积、夹角、投影向量 综合运算 中 解答题 16 15 解三角形 正弦定理、中线、面积最值、边角范围 建模与最值 难 解答题 17 15 向量与几何 向量表示、数量积、夹角余弦 图形分析 中 解答题 18 17 三角函数 向量点积、周期、单调区间、值域、三角形应用 综合应用 难 解答题 19 17 向量与函数 相伴特征向量、单位向量、存在性问题 抽象推理 难 能力要求说明 运算求解：基本计算、公式应用 理解辨析：概念理解、判断正误 逻辑推理：推导、证明、判断 图形分析：结合几何图形解题 综合应用：多知识点交叉融合 建模与最值：实际问题转化为数学模型，求最值 抽象推理：新定义、存在性问题、逆向思维 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一数学4月月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D C B C A D BC BD ACD 12．0 13．3 14． 15【详解】（1）因为，所以.解得...........1分 因为，所以.解得..........2分 所以，..........3分 （2）（i）..........4分 ..........5分 所以..........7分 因为，所以..........8分 （ii）设向量在向量上的投影向量为，则..........13分 备注：其他解法，请按照相应步骤给分。 16. 解：（1） 在中，由正弦定理得：..........1分 又，，同理 ..........2分 ..........3分 又， 或（舍去）..........4分 ，，...........5分 （2）由（1）得，又..........6分 由易知：为的中点， ..........7分 ，，当且仅当时，等号成立...........8分 所以，面积的最大值为...........9分 （2） 由（1）得，又，所以在中，由正弦定理得 ，，..........11分 则 ..........13分 又，， 的取值范围是...........15分 17【详解】（1）如图，连接， 因为为线段的中点，， 所以，因为，所以，.........2分 由向量的加法法则得，.........3分 故，即成立..........5分 （2）由于，可得，又有，.........6分 所以；.........8分 ，故..........10分 （3）由向量的减法法则得，.........11分 由于，可得，又有， 得到，故，.........12分 则，.........13分 由上问得，故..........15分 备注：其他解法，请按照相应步骤给分。 18【详解】（1）由题知.........1分 ..........3分 由，得的最小正周期为..........4分 令，解得，.........6分 则其单调递增区间.........7分 （2）由，．.........8分 由，得到值域为；.........10分 （3） ，.........11分 因为，所以．.........12分 ，得．.........13分 所以..........16分 当即时，取到最大值，最大值为．.........17分 备注：其他解法，请按照相应步骤给分。 19【详解】（1）由题意，，.........1分 因为，所以， 因为，所以，所以，.........2分 ..........4分 （2） ，.........6分 所以，与反向的单位向量为..........8分 （3）由题意知，解得；.........9分 ，.........10分 设，则,,.........11分 若，则，即，.........12分 整理得；.........13分 因为，所以；.........15分 又，当且仅当时，和同时取到， 此时的坐标为，所以在的图象上是否存在一点，使得. .......17分 备注：其他解法，请按照相应步骤给分。 1 学科网（北京）股份有限公司 $