专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学讲义以“瓜豆模型（直线轨迹）”为核心，通过思维导图系统梳理模型来源、原理及解题策略，结合真题案例提炼动点轨迹判定方法，用框架图呈现主动点与从动点的关系证明，突出中考重难点。 讲义亮点在于“原理推导-模型提炼-真题应用”的递进设计，如矩形动点旋转求最值问题，引导学生用垂线段最短转化轨迹，培养几何直观和推理意识，分层练习题满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题05.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形，，为中点，为上的动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 例2（2026·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 例3（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 例4（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 例5（25-26八年级下·广东江门·期中）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点A旋转时，线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点A旋转过程中，求线段的最小值． 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线上两点，点是直线外一动点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当取得最大值时，线段的长度为（   ） A． B． C． D．5 3．（2026·安徽宿州·二模）如图，是等边三角形，边长为2，点为边的中点，点为边上的一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形放在坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为．点在线段上移动，连接，以为边作等边三角形，点在第一象限，且与直线的距离总是一个定值．则点与点的距离的最小值为（   ） A．5 B． C． D．10 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为(    ) A． B．5 C． D． 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，和是等腰三角形，，，，绕点旋转，连接，若点是的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 7．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 8．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在和中，，点M，N，P分别为的中点，若绕点A在平面内自由旋转，则面积的最大值为（   ） A．32 B．36 C．48 D．64 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形与正方形中，，．连接，为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_____． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是_____． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 12．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是________． 13．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点为轴上一动点，以为边在的左侧作等腰，，连接，则的最小值是_________． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_______． 15．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，正方形的边长为2，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则的度数为___________；线段的最小值为___________． 16．（25-26九年级·福建厦门·自主招生）如图，矩形中，，，为的中点，为矩形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则的最小值为________． 17．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 18．（24-25八年级下·广西贵港·月考）如图，在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则长度的最小值是______． 19．（2026·河南洛阳·一模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一个动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，．则线段长度的最小值为_____． 20．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 21．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知正方形的边长为，点为上一点，连接． (1)如图，过点作于点，交于点，连接，，若点为中点，求四边形的面积； (2)如图，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接，若，求线段的长； (3)如图，点是边上的一个动点，，过点作于点，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积． 22．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 23．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形中，． (1)点分别是边的中点，分别连接．求证：是等边三角形． (2)连接对角线，点E在线段之间，将线段绕点A逆时针旋转得线段，点G是线段的中点，连接．试判断与的数量关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值为_______． 24．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在等边中，点，分别是边，上的一点，． (1)如图，过点作于点，且，，求的长； (2)如图，若点是上的一点，连接交于点，且，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上的一点，连接，以为边向左侧作等边，连接，，当最小时，直接写出的面积． 25．（25-26七年级下·重庆·期中）等腰直角三角形是顶角为，底角为的等腰三角形．是等腰直角三角形，，，． (1)如图1，D为外一点，E为内一点，连接，，，，若，，其中，，求的度数． (2)如图2，点D为线段上一点，连接．以为直角边作等腰直角三角形，取的中点F，连接并延长交于点G．求证：． (3)如图3，点D为直线上的动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，连接，与直线交于点F，当，时，在线段上取一点K满足，点L，H分别在线段与线段上运动，始终满足，当取最小值时，过点L作的垂线l，l上有一动点S，将绕点B顺时针旋转得到，当取最小值时，直接写出的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形，，为中点，为上的动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】先根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，再利用将军饮马模型计算即可． 【详解】解：如图，在外部作等边三角形，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合， ∴点N在线段上运动， ∵是等边三角形，点D是等边三角形边的中点， ∴， ∴， 如图：作点D关于直线的对称点E，连接，，，与的交点就是最小的位置，且最小值为，连接， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴最小值为． 例2（2026·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】过点作，分别交于点M，交于点N，证明是等腰直角三角形，，证明，得，得出的最大值为2，当且仅当与重合时取等号，四边形是正方形，且最大，最小，得出是直角三角形，由勾股定理得：． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点M，交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的角平分线上， ∵，是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， 又， ∴，解得 ∵在中，， ∴的最大值为2，当且仅当与重合时取等号， 当时，，且，即与重合，与重合,此时，四边形是正方形，且最大， ∵点在的角平分线上， ∴最大时，最小， 如图，当时，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴,, ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：． 例3（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】连接，以为边作等边，连接，证明，得出，说明点G在上运动，根据垂线段最短，得出当时，取得最小值，过点F作于点N，证明四边形为矩形，得出，，根据直角三角形的性质得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，以为边作等边，连接，如图所示： 则，， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形，， ∴，即， ∴， ∴，即点G在上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，过点F作于点N，如图所示， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 例4（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 例5（25-26八年级下·广东江门·期中）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点A旋转时，线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点A旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)，直线与的夹角度数为，理由见解析； (4) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点N， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线上两点，点是直线外一动点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当取得最大值时，线段的长度为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于，证明为等边三角形，，，当共线时，最大，此时，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 当共线时，最大， 此时， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 3．（2026·安徽宿州·二模）如图，是等边三角形，边长为2，点为边的中点，点为边上的一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先取中点，连接，，，再根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质，得出为等边三角形，再结合旋转的性质，得出，进一步得出，，根据垂线段最短，过点作的垂线，交点即为最小值处，最后根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，即可解答． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ． 为的中点，即为的中位线， ，且． 是等边三角形，且点为中点， ，，，， ，， 为等边三角形， ． 由旋转得，，， ， ． 在与中， ， ， ． 又， ， ， ． 过点作的垂线，交点即为所求，此时取得最小值， ． 在中，， ． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形放在坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为．点在线段上移动，连接，以为边作等边三角形，点在第一象限，且与直线的距离总是一个定值．则点与点的距离的最小值为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】作等边，连接，设直线交于T，由矩形的性质求得，证明，得到，则直线与直线平行，故当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解；如图所示，作等边，连接，设直线交于T， ∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为． ∴， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限，且与直线的距离总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴当时，有最小值， ∴此时有， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为5． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为(    ) A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】勾股定理求得，则，过A点作，交的延长线于点E，证明，得出，则为的中点，进而证明，取中点，连接，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，，即可求解． 【详解】解：在中，，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴， 如图1，过A点作，交的延长线于点E， 设旋转角，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即为的中点， 如图2，连接， ∵ ∴ ∴如图3，取中点，连接，连接 ∵， ． 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，和是等腰三角形，，，，绕点旋转，连接，若点是的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】取中点，连接，，证明、是等边三角形，根据三角形中位线定理求出，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据 ，可知当点在上时，的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，， 是等腰三角形，， 是等边三角形， ， 点是的中点，点是的中点， ， 是等腰三角形，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 当点在上时，的值最小，此时， 即的最小值为． 7．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【分析】取的中点E，连接，则，，当三点共线，且在的延长线上时，最大，即可求得最大值． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线，且在的延长线上时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7． 8．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在和中，，点M，N，P分别为的中点，若绕点A在平面内自由旋转，则面积的最大值为（   ） A．32 B．36 C．48 D．64 【答案】A 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到推出，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质得到，推出最大时，面积最大，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于交于， 点，是的中点， ， 点，是的中点， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ， 最大时，面积最大，最小时，面积最小， 当点在的延长线上时，最大，此时，， ． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形与正方形中，，．连接，为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_____． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接、，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ，故要求的最小值，即需求的最小值即可， 四边形是正方形， ，， ， ，为定值， 当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为， 的最小值是． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质与判定，延长到点，使得，连接，，由三角形的中位线定理得，当、、依次在同一直线上时的值最大，据此求得的最大值便可求得的最大值． 【详解】解：延长到点，使得，连接，，如图， 四边形是菱形， ，， ， ， 为等边三角形， ， 点是的中点， ， 当取最大值时，的值就最大， 由题意知，点在以为圆心，以为半径的圆上， 当、、依次在同一直线上时，的值最大，如图， 由旋转性质知，， 的最大值为 ， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 【答案】 / 【分析】根据三角形全等的判定和性质，菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，垂线段最短求解即可； 【详解】解：，， ， ， ， 取的中点Q，连接， M为中点， ， ∵四边形是菱形， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 此时也取得最小值， 此时； 12．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，则，，，即为等边三角形，当时，最小，即最小，利用面积法求出点到的距离即可 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作于点， ，， 是等边三角形 ，， ∴，则 点在外部，且与点在异侧 设点到的距离为 根据垂线段最短，当时，最小，最小值为 的最小值为 13．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点为轴上一动点，以为边在的左侧作等腰，，连接，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】过点作轴于，连接，根据正方形和等腰直角三角形的性质证明， 从而推出，得到点在的角平分线所在直线上运动， 作 ，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于，连接． 四边形是正方形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 点在的角平分线所在直线上运动， 作 ，则 是等腰直角三角形， ， ， ， 即的最小值为． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．取的中点，连接，设交于点，在中，由勾股定理得到，由旋转可知：，从而，，由，可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，在中，当在一条直线上时，有最大值为． 【详解】解：取的中点，连接，设交于点， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 当在一条直线上时，有最大值， ∴线段的最大值为． 故答案为：． 15．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，正方形的边长为2，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则的度数为___________；线段的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图，过点Q作交的延长线于点H，在的延长线上取一点T，使得，连接，，过点E作于点K．证明，推出，，可得，推出平分，因为D，T关于对称，所以，推出，可知当点Q在上时，的值最小，最小值为线段的长． 【详解】解：如图，过点Q作交的延长线于点H，在的延长线上取一点T，使得，连接，，过点E作于点K． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴D，T关于对称， ∴， ∴， ∴当点Q在上时，的值最小，最小值为线段的长， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 16．（25-26九年级·福建厦门·自主招生）如图，矩形中，，，为的中点，为矩形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】如图，连接，根据勾股定理得，过点作且，连接、，得，证明得，然后根据三角形三边的关系得到（、、共线时取等号），可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作且，连接、， ∴， ∵在矩形中，，，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 当点、、共线时取等号，此时取得最小值，最小值为：， ∴的最小值为． 17．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 【答案】 1 【分析】过作，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过作，   正方形， ，， ， ， ，且，， ， ，， ， 当时，的最小值为． 18．（24-25八年级下·广西贵港·月考）如图，在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则长度的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，由已知易得，，由此在中易得，由折叠的性质可知，这样由三角形三边之间的关系可知，当落在上时，最短． 【详解】如下图，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵点是由点沿折叠得到的， ∴， ∴由三角形三边之间的关系可知：当落在上时，最短， 此时，． 19．（2026·河南洛阳·一模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一个动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，．则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接,证明，再根据勾股定理可知，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接, ∵, ∴, 在和中， ∴， ∴, ∵正方形中，O是边的中点， ∴, ∴, , ∵, ∴, ∴则线段长度的最小值为． 20．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过矩形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：如图，矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 将线段绕点逆时针旋转至， ，， ，即 在上取点，使，连接， 在和中， ， ， ，即， 点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上， 过点作于，过点作直线于， 则当与重合时，取得最小值，最小值为的长， ， ，解得， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，即的最小值为． 故答案为：． 21．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知正方形的边长为，点为上一点，连接． (1)如图，过点作于点，交于点，连接，，若点为中点，求四边形的面积； (2)如图，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接，若，求线段的长； (3)如图，点是边上的一个动点，，过点作于点，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（），可得 ，再根据解答即可求解； （）延长交于点，利用折叠的性质可得，，， ，即得， ，设，则，利用勾股定理得，即得，，再根据得，得到，最后利用勾股定理解答即可求解； （）延长交的延长线于点，连接，可证，得到，进而得到，即得到，由，，可知当点三点共线时，的值最小，的最小值，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，即得，，得到，最后根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 由折叠得，，，，， ∴， ∴， 设 ，则， 在 中，∵， ∴， 解得， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交的延长线于点，连接，则， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴当点三点共线时，的值最小，此时的最小值，如图， 过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时四边形的面积为． 22．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据菱形的性质求解，证明四边形是平行四边形即可得到答案． （2）证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （3）由（2）得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解． （4）如图，取的中点，的中点为F，证明在与的距离为的线段上运动，当时最小，此时四边形为矩形，四边形是矩形，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵菱形的边长为10，对角线的长为16，记对角线的交点为， ∴，，，，， ∴，， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）得：，，四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长． （4）解：∵矩形，， ∴，，， 如图，取的中点，的中点为F，取的中点，的中点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在与的距离为的线段上运动， ∴当时最小，此时， 此时四边形为矩形，四边形是矩形， ∴，共线，， ∴，， ∴． 23．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形中，． (1)点分别是边的中点，分别连接．求证：是等边三角形． (2)连接对角线，点E在线段之间，将线段绕点A逆时针旋转得线段，点G是线段的中点，连接．试判断与的数量关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)；证明见解析 (3)2 【分析】（1）证明，即可求证； （2）延长到H，使，连接,证明是等边三角形，进而证明，根据三角形的中位线即可求解对应关系； （3）将转化成,当三点共线时最小． 【详解】（1）证明：连接， ∵菱形 ∴等边，等边 ∵点E、F分别是的中点 在和中， 是等边三角形 （2）解：，理由如下： 延长到H，使，连接． ∵点G是的中点， 是中位线， ∴ ∵菱形 ∴等边 ∵绕A逆时针旋转得线段AF 在和中 （3）， 当三点共线时最小，最小值是2． 24．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在等边中，点，分别是边，上的一点，． (1)如图，过点作于点，且，，求的长； (2)如图，若点是上的一点，连接交于点，且，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上的一点，连接，以为边向左侧作等边，连接，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)的长为； (2)，证明见解析； (3)当最小时，的面积为． 【分析】（）先说明，再勾股定理求出，然后根据得出答案； （）延长至，使，可得是等边三角形,再根据“”证明，可得，然后根据“”证明，可得，从而求解； （）先作出等边，可得，，再根据等边三角形的性质可得，即可说明，进而得，然后说明，接下来根据“”证明，可得，即可说明点在线段的垂直平分线上，当时，最小，连接，可知，即点与点重合时，点与点重合，此时最小，再根据得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的长为； （2）解：猜想：， 证明：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 延长至，使， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为一边，在下方作等边， ∴，， ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 当时，最小，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，且， ∴，即，即点与点重合时，点与点重合，此时最小， ∵，， ∴，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当最小时，． 25．（25-26七年级下·重庆·期中）等腰直角三角形是顶角为，底角为的等腰三角形．是等腰直角三角形，，，． (1)如图1，D为外一点，E为内一点，连接，，，，若，，其中，，求的度数． (2)如图2，点D为线段上一点，连接．以为直角边作等腰直角三角形，取的中点F，连接并延长交于点G．求证：． (3)如图3，点D为直线上的动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，连接，与直线交于点F，当，时，在线段上取一点K满足，点L，H分别在线段与线段上运动，始终满足，当取最小值时，过点L作的垂线l，l上有一动点S，将绕点B顺时针旋转得到，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)或 【分析】（1）由角度和差得出，证明，利用三角形内角和定理即可得出结果； （2）过点E作交于点H，交于点I，证明，，利用等腰直角三角形的性质及平行线的判定即可证得结论； （3）先求出的长度，由于点F是直线上的动点，点F分情况讨论：①当点F在点B左侧时；②当点F在点B右侧时，通过全等三角形的判定与性质，逆等线模型，等腰直角三角形的性质需确定点T的运动轨迹，求出相关线段的长度，从而得出最终结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：如图，过点E作交于点H，交于点I， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，，点F为直线上的动点， ∴， 此时点F分情况讨论： ①当点F在点B左侧时： 如图，过点E作交直线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点L，H分别是，的动点， 过点B作且，连接， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点，，K三点共线时，有最小值， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵点S是直线l上的一动点，将绕点B顺时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点T的运动轨迹是与直线l夹角为的直线m， 当时，有最小值， ∴， ∴， ∴； ②当点F在点B右侧时： 如图，过点E作交直线于点N， 同理可证得：， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，点L，H分别是，的动点， 过点B作且，连接， ∴，， 易证得：， ∴， 当点，，K三点共线时，有最小值， ∴，此时点为的中点， 由情况①可得：点T的运动轨迹是与直线l夹角为的直线m， 当时，有最小值， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $